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等比数列练习题(一)(带答案)


家庭作业

等比数列练习题(一)
一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a 2 =1,则 a1 = A.
2

1 2

B.

2 2

C.

2


D.2

【答案】B
2 8 4 【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q

?

? ,即 q
2

2

? 2 ,又因为等比数列 {a n } 的公比为正数,所

a2 1 2 ? ? ,选 B q 2 2 2、如果 ?1, a, b, c, ?9 成等比数列,那么( ) A、 b ? 3, ac ? 9 B、 b ? ?3, ac ? 9 C、 b ? 3, ac ? ?9 D、 b ? ?3, ac ? ?9 n 3、若数列 ?an ? 的通项公式是 a n ? (1) (3n ? 2), 则a1 ? a 2 ? ? ? a10 ?
以q ?

2 ,故 a1 ?

(A)15 (B)12 (C) ??? D) ??? 答案:A 4.设{ an }为等差数列,公差 d = -2, S n 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则 a1 =( A.18 B.20 答案:B 解析: C.22 D.24



? S10 ? S11 ,? a11 ? 0 a11 ? a1 ? 10 d ,? a1 ? 20

5.(2008 四川)已知等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是() A. ? ??, ?1? B. ? ??, 0 ? ? ?1, ?? ? C. ? 3, ?? ?

D. ? ??, ?1? ? ?3, ?? ?

答案 D 6.(2008 福建)设{an}是公比为正数的等比数列,若 n1=7,a5=16,则数列{an}前 7 项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.(2007 重庆)在等比数列{an}中,a2=8,a5=64, ,则公比 q 为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 答案 A 8.若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为 A.2 B.4 C.8 D.16 答案:B 9.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1 =3Sn(n ≥1) ,则 a6= 4 4 (A)3 × 4 (B)3 × 4 +1 (C)44 (D)44+1 答案:A 解析:由 an+1 =3Sn,得 an =3Sn-1(n ≥ 2) ,相减得 an+1-an =3(Sn-Sn-1)= 3an,则 an+1=4an(n ≥ 2) ,a1=1, a2=3,则 a6= a2·44=3× 44,选 A. 10.(2007 湖南) 在等比数列 {an } ( n ? N * )中,若 a1 ? 1 , a4 ? A. 2 ?

1 24

B. 2 ?

1 22

C. 2 ?

1 210

1 ,则该数列的前 10 项和为( 8 1 D. 2 ? 11 2



答案 B

c, a, b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a ? 11.(2006湖北)若互不相等的实数a, b, c 成等差数列, A.4 B.2 C.-2 D.-4 答案 D
解析 由互不相等的实数 a, b, c 成等差数列可设a=b-d,c=b+d,由 a ? 3b ? c ? 10 可得b=2,所以a= 2-d,c=2+d,又 c, a, b 成等比数列可得d=6,所以a=-4,选D
1

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1 12.(2008 浙江)已知 ?a n ?是等比数列, a 2 ? 2,a5 ? ,则 a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 =( 4 ?n ?n A.16( 1 ? 4 ) B.6( 1 ? 2 ) 32 32 C. (1 ? 4 ?n ) D. (1 ? 2 ?n ) 3 3
答案 C 二、填空题: 三、13.(2009 浙江理)设等比数列 {an } 的公比 q ?



S 1 ,前 n 项和为 S n ,则 4 ? a4 2



a1 (1 ? q 4 ) s4 1 ? q4 3 , a4 ? a1q ,? ? 3 ? 15 答案:15 解析 对于 s4 ? 1? q a4 q (1 ? q ) 14.(2009 全国卷Ⅱ文)设等比数列{ a n }的前 n 项和为 s n 。若 a1 ? 1, s 6 ? 4s3 ,则 a 4 =
答案:3 3 3 解析:本题考查等比数列的性质及求和运算,由 a1 ? 1, s 6 ? 4s3 得 q =3 故 a4=a1q =3

15.(2007 全国 I) 等比数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , 2S2 , 3S3 成等差数列,则 ? an ? 的公比 为 .答案

1 3
a1 ? a 3 ? a 9 的值为 a 2 ? a 4 ? a10


16.已知等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则 答案

13 16

三、解答题 17.(本小题满分 12 分)
已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (I)求数列{an}的通项公式; (II)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

18:①已知等比数列 ? an ? , a1 ? a2 ? a3 ? 7, a1a2 a3 ? 8 ,则 an ? ②已知数列 ? an ? 是等比数列,且 Sm ? 10, S2 m ? 30 ,则 S3m = ③在等比数列 ? an ? 中,公比 q ? 2 ,前 99 项的和 S99 ? 56 ,则 a3 ? a6 ? a9 ? ??? ? a99 ? ④在等比数列 ? an ? 中,若 a3 ? 4, a9 ? 1 ,则 a6 ? 若 a3 ? 4, a11 ? 1 ,则 a7 ? ⑤在等比数列 ? an ? 中, a5 ? a6 ? a ? a ? 0 ? , a15 ? a16 ? b ,则 a25 ? a26 ? 解:① a1a2 a3 ? a2 ? 8
2

∴ a2 ? 2

∴?

?a1 ? a3 ? 5 ? a1 ? 1 ?? ? a1 ? a3 ? 4 ?a3 ? 4
n ?1
n ?1



? a1 ? 4 ? ? a3 ? 1

当 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 4 时, q ? 2, an ? 2 当 a1 ? 4, a2 ? 2, a3 ? 1 时, q ?
2

1 ?1? , an ? 4 ? ? ? 2 ?2?

② ? S 2 m ? S m ? ? S m ? ? S3m ? S 2 m ? ? S3m ? 70

b1 ? a1 ? a4 ? a7 ? ??? ? a97
③设 b2 ? a2 ? a5 ? a8 ? ??? ? a98 则 b1q ? b2 , b2 q ? b3 ,且 b1 ? b2 ? b3 ? 56

b3 ? a3 ? a6 ? a9 ? ??? ? a99

2

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56 2 ∴ b1 ? ?1 ? q ? q ? ? 56 即 b1 ? ? 8 ∴ b3 ? b1q 2 ? 32 1? 2 ? 4 2 2 a7 ? a3? a1 1 a7 ? 2 (-2 舍去) a6 ? ?2 ④ a6 ? a3 ? a9
∵当 a7 ? ?2 时, a7 ? a3q ? 4q ? 0
4 4

a ? a16 a25 ? a26 ⑤ 15 ? ? q10 a5 ? a6 a15 ? a16
19. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 中, a1 ?

∴ a25 ? a26

?a ? a ? ? 15 16
a5 ? a6

2

?

b2 a

1 1 ,公比 q ? . 3 3 1 ? an (I) S n 为 {an } 的前 n 项和,证明: S n ? 2 (II)设 bn ? log3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? log 3 an ,求数列 {bn } 的通项公式.
20、某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第 2 年 到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (I)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (II)设 An ?

a1 ? a2 ? ? ? an , 若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M 更新,证明: n

须在第 9 年初对 M 更新. 解析: (I)当 n ? 6 时,数列 {an } 是首项为 120,公差为 ?10 的等差数列.

an ? 120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n;
当 n ? 6 时,数列 {an } 是以 a6 为首项,公比为

3 为等比数列,又 a6 ? 70 ,所以 4

3 an ? 70 ? ( )n?6 ; 4
?120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n, n ? 6 ? 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 an ? ? 3 an ? 70 ? ( ) n ?6 , n ? 7 ? ? 4 (II)设 S n 表示数列 {an } 的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1 ? n ? 6 时, Sn ? 120n ? 5n(n ? 1), An ? 120 ? 5(n ? 1) ? 125 ? 5n; 3 3 3 Sn ? S6 ? (a7 ? a8 ? ? ? an ) ? 570 ? 70 ? ? 4 ? [1 ? ( ) n ?6 ] ? 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 4 4 当 n ? 7 时, 3 n ?6 780 ? 210 ? ( ) 4 An ? . n 因为 {an } 是递减数列,所以 { An } 是递减数列,又

3 3 780 ? 210 ? ( )8?6 780 ? 210 ? ( )9?6 47 79 4 4 A8 ? ? 82 ? 80, A9 ? ? 76 ? 80, 8 64 9 96 20 21:①已知 ? an ? 等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ? ,求 ? an ? 的通项公式。 3 ②设等比数列 ? an ? 的公比为 q ? q ? 0 ? ,它的前 n 项和为 40,前 2n 项和为 3280,且前 n 项和中最
③设等比数列 ? an ? 的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 2, S4 ? 5S2 ,求 ? an ? 的通项公式。 大项为 27,求数列的第 2n 项。

3

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1 an ? 2 ? 33? n 解:① q ? 或q ?3 3 ? S n ? na1 ? 40 ②当 q ? 1 时 ? ? S 2 n ? 2na1 ? 3280

或 无解

an ? 2 ? 3n ?3

当 q ? 1时

? a1 ?1 ? q n ? ? Sn ? ? 40 1? q ? ? a1 ?1 ? q 2 n ? ? ? 3280 ? S2 n ? 1? q ?

S2 n ? 1 ?q n ?8 2 ∴ q n ? 81 ∴ Sn

a1 1 ?? 1? q 2 n ∵ q ? 0 即 q ? 81 ? 1 ∴ q ? 1 ∴ a1 ? 0
∴ an ? 27 ? a1q
n ?1

∴数列 ? an ? 为递增数列

?

a1 ? 81 q

? a1 1 ? q ?3 ? 解方程组 ? ? a1 ? ? 1 ? 2 ?1 ? q

得?

?a1 ? 1 ∴ ?q ? 3

a2 n ? a1q 2 n ?1 ? 32 n ?1

? a1q 2 ? 2 a1 ?1 ? q ? ? ③由已知 a1 ? 0, S n ? 时 ? a1 ?1 ? q 4 ? a1 ?1 ? q 2 ? 1? q ? 5? ? 1? q ? 1? q 4 2 得 1 ? q ? 5 ?1 ? q ? ∵q ?1 ∴ q ? ?1 或 q ? ?2
n

当 q ? ?1 时, a1 ? 2, an ? 2 ? ?1? 当 q ? ?2 时, a1 ?

n ?1

1 1 n ?1 n ?1 , an ? ? ?2 ? ? ? ?1? 2n?2 2 2 22.数列 {an } 为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 为等比数列,且 a1 ? 3, b1 ? 1 ,数列 {ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S2 ? 64 .
(1)求 an , bn ; (2)求证

1 1 1 3 ? ?? ? ? . S1 S2 Sn 4

解: (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ? 1)d , bn ? q n ?1

? ban?1 q3? nd ? 3?( n ?1) d ? q d ? 64 ? 26 ? q 依题意有 ? ban ① ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64 ? 由 (6 ? d )q ? 64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子 1, 2,3, 6 之一, 解①得 d ? 2, q ? 8 n ?1 故 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 8 (2) Sn ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 1 ??? ? ? ? ??? ∴ ? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

4

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1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4

5


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