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06.平面向量


深圳市 2016 年高考数学复习参考题
6、平面向量
编辑:深圳市第二实验学校 何明志 ) 一、选择题: 1、已知向量 a ? ( k ,3) , b ? (1, 4) ), c ? (2,1) ,且 (2a ? 3b) ? c ,则实数 k ? ( A. ?

9 2

B. 0

C. 3

/>
D.

15 2

(2a ? 3b) ? c , c = 2(2k ? 3) ? 6 = 0 , 【试题解析】 选 C.因为 2a ? 3b ? (2k ? 3, ?6) , 所以 (2a ? 3b)?
解得 k ? 3 . 【选题意图】本小题主要考查平面向量坐标运算和向量垂直的充要条件. 在近年全国新课标高考中常 常涉及到向量垂直的试题,属于简单题. 2、设向量 a ? ( ?1, 2) , b ? (m,1) ,如果向量 a ? 2b 与向量 2a ? b 平行,那么 a 与 b 的数量积等于 ( ) A. ?

7 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D.

5 2

【试题解析】选 D. a ? 2b ? ( ?1 ? 2m,4) , 2a ? b ? ( ?2 ? m,3) ,由题意得:

1 1 5 3(?1 ? 2m) ? 4(?2 ? m) = 0 ,则 m ? ? ,所以 a?b ? ?1 ? ( ? ) ? 2 ? 1 ? . 2 2 2
【选题意图】本小题主要考查平面向量坐标运算和向量共线的充要条件. 在近年全国新课标高考中常 常涉及到向量平行的试题,属于简单题. ??? ? ???? ? 3、 已知平面向量 a ,b 的夹角为 , 且 a ? 3 ,b ? 2 , 在 ?ABC 中,AB ? 2a ? 2b ,AC ? 2a ? 6b ,

6

???? D 为 BC 中点,则 AD 等于(
A. 2 B. 4

) C. 6 D. 8

【试题解析】选 A 因为 AD ?

????

? ???? 1 1 ??? ( AB ? AC ) ? (2a ? 2b ? 2a ? 6b) ? 2a ? 2b ,所以 2 2

???? ???? ? | AD |2 ? 4(a ? b) 2 ? 4(a 2 ? 2b ? a ? b 2 ) ? 4 ? (3 ? 2 ? 2 ? 3 ? cos ? 4) ? 4 ,则 | AD |? 2 . 6
【选题意图】本小题主要考查平面向量数量积、平面向量基本定理以及向量的模. 在近年全国新课标 高考中常常涉及到求向量模的试题,属于简单题.

BC + BC · CA + CA ·AB 4、 已知平面上三点 A、 B、 C 满足| AB |=6, | BC |=8, | CA |=10, 则 AB ·
的值等于( A. 100 C. ?100 ) B. 96

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ? ???

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

D. ?96 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 【试题解析】选 C ? | AB |? 6,| BC |? 8,| CA |? 10, | AB |2 ? | BC |2 ?| CA |2 . ??? ? ??? ? ? ?ABC 为 Rt ? ,即 AB ? BC ? 0 .

??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB ? CA ? BC ? AB ? CA ? AC ? ? | AC |2 ? ?100

?

?

【选题意图】 本小题主要考查平面向量数量积. 在近年全国新课标高考中常常涉及到求向量模的试题, 属于简单题. 5、已知点 A ? ?1,1? . B ?1, 2 ? . C ? ?2, ?1? . D ? 3, 4 ? ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为(

??? ?

??? ?



A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

【试题解析】选 A

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? (2,1) , CD ? (5,5) , 向 量 AB 在 CD 方 向 上 的 投 影 为

??? ? ??? ? AB? CD 2 ? 5 ? 1 ? 5 3 2 . ? ??? ? ? 2 CD 52 ? 52
【选题意图】本小题主要考查平面向量数量积的几何意义:一个向量在另一个向量方向上的投影. 在 近年全国新课标高考中常常涉及到求向量数量积的几何意义的试题,属于简单题. 6、已知向量 p ? A. ?0, 2 ?

a b ? ,其中 a、b 均为非零向量,则 | p | 的取值范围是( |a| |b|
B. ?0,1? C. ? 0, 2?

)

?

?

D. ? 0, 2?

【试题解析】选 D 由已知向量 p 是两个单位向量的和,当这两个单位向量同向时, | p | max ? 2 ,当 这两个单位向量反向时, | p | min ? 0 . 【选题意图】本小题主要考查平面向量数乘的概念,以及向量加法的平行四边形法则. 在近年全国新 课标高考中常常涉及到单位向量

a 的运算的试题,属于简单题. |a |

7、已知向量 a ? ? cos? ,sin ? ? ,向量 b ? A. 4 2,0 B. 4, 2 2
2 2

?

3, ?1 ,则 | 2a ? b | 的最大、小值分别是(
D. 4, 0

?

)

C. 16, 0
2

【试题解析】 选 D 由于 | 2a ? b | ? 4 | a | ? | b | ?4a ? b ? 8 ? 4 易知 0 ? 8 ? 8cos ? ? ?

?

?? ? 3 cos ? ? sin ? ? 8 ? 8cos ?? ? ? , 6? ?

?

? ?

??

? ? 16 ,故 | 2a ? b | 的最大值和最小值分别为 4 和 0 . 6?

【选题意图】本小题主要考查平面向量数量积的坐标表示、向量的模,以及辅助角公式,三角函数的 最值. 在近年全国新课标高考中常常涉及到向量与三角的交汇试题,属于简单题. 8、已知 a , b 是单位向量, a ? b ? 0 .若向量 c 满足 c ? a ? b ? 1,则 c 的取值范围是( )

, 2+1? A. ? 2-1, ? ?
【试题解析】选 A

, , 2+2? B. ? 2-1 ? ?

, 2+1? C. ?1, ? ?

, 2+2 ? D. ?1, ? ?

以 a , b 为单位正交基底建立坐标系,则 a ? ?1, 0? , b ? ? 0,1? , c ? ? x, y ? ,

点 ? x, y ? 的轨迹是以 ?1,1? 为圆心, 1 为半径的圆, c ? a ? b ? 1的几何意义为点 ? x, y ? 到 ?1,1? 的距离为 1,

, 2+1? c 的几何意义为原点 ? 0, 0 ? 到 ? x, y ? 的距离,所以 c 的取值范围是 ? ? 2-1, ?.
【选题意图】本小题主要考查平面向量模的几何意义. 在近年全国新课标高考中有涉及到向量模的几 何意义的试题,属于中等难度题. 9、已知非零向量 a , b 满足 | a + b |?| a ? b |? A. 30
?

2 3 | a | ,则 a + b 与 a ? b 的夹角为( 3
?

)

B. 60

?

C. 120

D. 150

?

【试题解析】选 B 将 | a + b |?| a ? b | 两边同时平方得: a ? b ? 0 ; 将 | a ? b |?

1 2 3 | a | 两边同时平方得: b 2 ? a 2 . 3 3

所以 cos a ? b, a ? b ?

? a ? b ? ? ? a ? b ? ? a 2 ? b2
| a ? b |?| a ?b | 3 2 a 4

?

1 . 2

所以 a ? b, a ? b ? 60? . 【选题意图】本小题主要考查平面向量夹角. 在近年全国新课标高考中有涉及到向量夹角的的试题, 属于简单题. 10、在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O , E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交 于点 F . 若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ( A.

??? ?

??? ?

????

)

1 1 a? b 4 2

B.

2 1 a? b 3 3

C.

1 1 a? b 2 4

D. a ?

1 3

2 b 3

【试题解析】选 B 由已知得 DE ? 又 ?DEF ∴ DF ? 即 DF ?

1 EB , 3

∽ ?BEA ,

1 AB . 3 1 2 DC .? CF ? CD , 3 3

??? ? 2 ??? ? 2 ???? ??? ? 2?1 1 ? 1 1 ? CF ? CD ? OD ? OC ? ? b ? a ? ? b ? a , 3 3 3?2 2 ? 3 3

?

?

??? ? ???? ??? ? 1 1 2 1 ? AF ? AC ? CF ? a ? b ? a = a ? b . 3 3 3 3
【选题意图】本小题主要考查平面向量基本定理以及向量的加减法. 在近年全国新课标高考中常常涉 及到用基底向量表示另一个向量的试题,属于较难的题. 11 、 如 图 , 在 ?ABC 中 , A ?

?
3

, ?BAC 的 平 分 线 交 BC 于 D , 若 AB ? 4 , 且 )

???? 1 ??? ? ??? ? AD ? AC ? ? AB (? ? R ) ,则 AD 的长为( 4

(A) 2 3 (C) 4 3

(B) 3 3 (D) 5 3

【试题解析】 选 B .因为 B ,D ,C 三点共线, 所以有

1 3 ? ? ? 1, 解得 ? ? , 4 4 ???? ? 3 ??? ? 1 ???? ???? AC , AM ? AB , 4 4

如图,过点 D 分别作 AC , AB 的平行线交 AB , AC 于点 M , N ,则 AN ? 经计算得 AN ? AM ? 3 , AD ? 3 3 .

【选题意图】 本小题主要考查平面向量基本定理. 在近年全国新课标高考中常常涉及到以三角形为载 体考查向量基本定理的试题. 12 、 在 边 长 为 1 的 正 六 边 形 ABCDEF 中 , 记 以 A 为 起 点 , 其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为

?? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? a1, a2 , a3 , a4 , a5 ; 以 D 为 起 点 , 其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为 d1, d2 , d3 , d4 , d5 . 若 m, M 分 别 为

?? ??? ??? ??? ??? ??? , {r , s, t} ? {1, 2,3, 4,5} , 则 (ai ? a j ? ak) ? ( dr ? ds ? d) t的最小值、最大值 , 其中 {i , j , k }? {1, 2, 3, 4, 5}
m, M 满足(
) B. m ? 0, M ? 0 C. m ? 0, M ? 0 D. m ? 0, M ? 0

A. m ? 0, M ? 0

【试题解析】作图知,只有 AF ?DE ? AB?DC ? 0 ,其余均有 ai ? d r ? 0 ,故选 D. 【选题意图】本小题主要考查平面向量数量积. 这是一道开放性探究题,考生容易受展开式 9 个项和 的困扰而找不出结论,解决此类问题的关键在于找出所有的数量积中的正数值与负数值,利用正负值的整 体进行分析与研究,可以迅速解决问题.在近年全国新课标高考中有涉及到向量开放性探究试题的考查. 二、填空题: ???? ??? ? 13、在平行四边形 ABCD 中, AD ? 2 , ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AD?BE ? 1 , 则 AB 的 长为______. 【试题解析】 BE ? AD ?

??? ? ??? ?

??? ? ????

?? ?? ?

??? ?

???? 1 ??? ? AB 2

( AD ? ∴ AD?BE ? AD?
∴ AB ? 12

???? ??? ?

???? ???? 1 ??? ? ???? 2 1 ???? ??? ? ? 1 ??? AB) ? AD ? AD?AB ? 4 ? AB cos 60? ? 1 2 2 2

??? ?

【选题意图】本小题主要考查平面向量的加减法、数量积以及向量的模运算. 在近年全国新课标高考 中常常考查涉及到向量的运算和数量积的试题,属于简单题. 14、已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? (2,1) ,且 ? a ? b ? 0(? ? R) ,则

? ? ________.

| a |? 1, 【试题解析】?
∴可令 a = ? cos? ,sin ? ? ,

? ?a ? b ? 0 .

?? cos ? ? 2 ? 0, ? ? 即? ?? ?? sin ? ? 1 ? 0, ?
2 2

?

cos ? ? ?

2

?

,

1 sin ? ? ? . ? ? ?
2

由 sin ? ? cos ? ? 1 得 ? ? 5 ,得 | ? |? 5 . 【选题意图】本小题主要考查单位向量的坐标表示、向量数乘的坐标表示以及相等向量的充要条件. 在近年全国新课标高考中常常考查涉及到向量的有关运算的试题,属于简单题. 15、 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB ? 8 ,AD ? 5 ,CP ? 3PD ,AP ? BP ? 2 , 则A BA ?D 的值是_________.

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

? ? ? ?? ? ? ?

??? ? ???? ??? ? ???? 1??? ? 【试题解析】因为 AP ? AD ? DP ? AD ? AB , 4

??? ? ??? ? ??? ? ???? 3 ??? ? BP ? BC ? CP ? AD ? AB , 4
??? ? ??? ? ? ???? 1 ??? ? ? ? ???? 3 ??? ? ? ???? ? ? 3 ??? 1 ???? ??? 所以 AP ? BP ? ? AD ? AB ? ? ? AD ? AB ? ?| AD |2 ? | AB |2 ? AD ? AB ? 2 , 4 4 16 2 ? ? ? ? ??? ? ???? 将 AB ? 8, AD ? 5 代入解得 AB ? AD ? 22 .

【选题意图】本小题主要考查平面向量的加减法、基本定理、数量积以及向量的模运算. 在近年全国 新课标高考中常常考查涉及到向量的运算和数量积的试题,属于较难题. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? B ? a, A C ?b, 16、已知 P 为 ?ABC 内一点,且 3 AP ? 4BP ? 5CP ? 0 .延长 AP 交 BC 于点 D ,若 A 用 a 、 b 表示向量 AD , AD ?

??? ?

??? ?

.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【试题解析】? BP ? AP ? AB ? AP ? a ,CP ? AP ? AC ? AP ? b, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 又 3 AP ? 4BP ? 5CP ? 0 ,∴ 3 AP ? 4 AP ? a ? 5 AP ? b ? 0 ,

?

? ?

?

化简,得 AP ?

??? ?

1 5 a + b. 3 12

设 AD ? t AP ? t ? R ? ,

??? ?

??? ?

1 5 ta + tb .① 3 12 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 又设 BD ? k BC ? k ? R ? ,由 BC ? AC ? AB ? b ? a ,得 BD ? k ? b ? a ? .
则 AP ? 而 AD ? AB ? BD ? a ? BD ,∴ AD ? a ? k ? b ? a ? ? ?1 ? k ? a ? kb .②

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

?1 t ? 1? k ? ?3 由①②,得 ? ? 5 t?k ? ?12
代入①,有 AD ?

解得 t ?

4 . 3

??? ?

4 5 a? b. 9 9

【选题意图】 本小题主要考查平面向量基本定理以及向量的加减法. 在近年全国新课标高考中常常涉 及到用基底向量表示另一个向量的试题,属于较难的题.


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