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2013郑州市高三一模数学题完美解析word版


郑州市 2013 年高三第一次调研考试 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~23 题为选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在 本试卷上答题无效. 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其 它答案的标号;非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书 写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写 的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题 目对应的题号涂黑. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中.只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? ?0,1,2, x?, B ? 1, x 2 , A ? B ? A ,则满足条件的 x 的个数有( ) A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个

? ?

解析: A ? B ? A ,所以 A ? B ,所以 x 2 ? 0,1,2, x ,注意集合元素的互异性,解 得 x ? ? 2 ,选 B.

10 等于( ) z A. 2 ? i B. 2 ? i C. 4 ? 2i D. 6 ? 3i 10 10 10 ? 2 ? i ? (2 ? i ) ? 6 ? 3i ,选 D. 解析: z ? ? 2 ? i ? z 2?i 5
2.若复数 z ? 2 ? i ,则 z ? 3.直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x3 ? ax ? b 相切于点 A(1,3) ,则 2a ? b 的值等于( ) A.2 B. -1 C. 1 D.-2

解析: A(1,3) 在切线上,代入 y ? kx ? 1 得 k ? 2 , y? ? 3x 2 ? a , k ? y? |x?1 ? 3 ? a ? 2
A(1,3) 在曲线 y ? x3 ? ax ? b 上,代入得:1 ? a ? b ? 3 ,联立得: 2a ? b ? 1 ,选 C.

4.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架歼——15 飞机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那

么不同的着舰方法有( ) A.12 B. 18 C. 24 D.48 解析:甲乙两机捆绑,先排列甲乙第五架飞机,然后再把丙、丁插孔.
2 2 2 2 A2 ? C3 ? A2 ? 24 ,选 C.

5.执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的值为( ) A.5 B. 9 C. 14 D.41

解析:当 x ? 2 , y ? 2 ? 3 ? 1 ? 5 ,5<9,把 5 赋给 x ;当 x ? 5 , y ? 3 ? 5 ? 1 ? 14 ; 把 14 赋给 x ;当 x ? 14 , y ? 3 ?14 ? 1 ? 41,选 D. 6.图中阴影部分的面积 S 是 h 的函数( 0 ? h ? H ) ,则该函数的大致图像是 ( )

解析:当 h ? 0 , S 取最大值,排除 C、D;另外随着 h 的增大,起初面积 S 改变 量较大,随后较小,所以切线的斜率起初大,随后小,排除 A,答案选 B. 7.已知双曲线 ( ) A. y ? ?
1 2 x B. y ? ? 2 x C. y ? ?2 x D. y ? ? x 2 2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,则双曲线的渐近线方程为 a2 b2

解析: e ?
y??

c x2 y2 ? 3 ,所以 c ? 3a , a 2 ? b 2 ? c 2 , b 2 ? 2a 2 , 2 ? 2 ? 0 , a a b

b x ? ? 2 x ,选 B. a 8.把 70 个面包分 5 份给 5 个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和 1 的 是较小的两份之和,问最小的 1 份为 ( ) 6 A.2 B. 8 C. 14 D.20 1 解析: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , 5a3 ? 70 ,所以 a3 ? a1 ? 2d ? 14 , a1 ? a2 ? ?a3 ? a4 ? a5 ? , 6 1 即: 2a1 ? d ? (3a1 ? 9d ) , 9a1 ? 3d ? 0 ,联立得: a1 ? 2 , d ? 6 ,选 A. 6 9.在三棱锥 A ? BCD 中,侧棱 AB 、 AC 、 AD 两两垂直,△ ABC 、△ ACD 、△

ADB 的面积分别为

2 3 6 、 、 ,则该三棱锥外接球的表面积为( ) 2 2 2

A. 2? B. 6? C. 4 6? D. 24?

?1 ? ab ? ?2 ?1 解析:设 AB 、AC 、AD 依次为 a 、b 、c , ? ac ? 则 ?2 ?1 ? bc ? ?2
c ? 6 ,r ?

2 2 3 , 解得:a ? 2 、b ? 3 、 2 6 2

a 2 ? b2 ? c2 6 , S ? 4?r 2 ? 6? ,选 B. ? 2 2

10.设函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,把 f (x) 的图像按向量 a ? (m,0) ( m ? 0 )平移后 的图像恰好为函数 y ? f ?(x) 的图像,则 m 的最小值为( A. )

? 解析:f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) , f (x) 的图像按向量 a ? (m,0) m ? 0 ) 把 ( 4 ? ? 平移后解析式为: f ( x) ? 2 sin( x ? m ? ) , f ?( x) ? cos x ? sin x ? 2 cos( x ? ) , 4 4 函数名称改变,所以选 C.
11.已知抛物线 x 2 ? 4 y 上有一条长为 6 的动弦 AB , AB 中点到 x 轴的最短距离 则 为( )

? ? ? 2? B. C. D. 4 3 2 3

A.

3 3 B. C. 1 D.2 4 2

解析:利用抛物线定义,准线方程: y ? ?1 ,焦点 F (0,1) ,过 A 作 AA? 垂直准线:

A? ; 过 B 作 BB? 垂 直 准 线 于 B? , 过 AB 中 点 M 作 MM ? 垂 直 准 线 于 M ? , 1 1 1 MM ? ? ( AA? ? BB?) ? ( AF ? BF ) ? AB ? 3 ,当且仅当 A 、 F 、 B 三点共线取 2 2 2 等,所以 AB 中点 M 到 x 轴的最短距离为:3-1=2,选 D.
12.设函数 f ( x ) ? x ?
1 ,对任意 x ∈ ?1,??? , f (2mx) ? 2mf ( x) ? 0 恒成立,则实数 x )

m 的取值范围是(

1? ? 1 ? ? ? 1 1? A. ? ? ?,? ? B. ? ? ,0 ? C. ? ? , ? 2? ? 2 ? ? ? 2 2?

? 1? D. ? 0, ? ? 2?
1 , f (2mx) ? 2mf ( x) ? 0 即 : x

解 析 :分离参数, 分 类讨思想 . 因为 f ( x ) ? x ?
2mx ? 1 1 ? 2 m( x ? ) ? 0 , 2mx x

整理得: 4m x ?

1 1 ? 4m 2 .当 m ? 0 , 8m 2 x 2 ? 4m2 ? 1 , m 2 ? ,因为 x ∈ 4(2 x 2 ? 1) 2m x

?1,??? , 无 最 小 值 , 所 以 m ? 0 不 符 合 题 意 ; 当 m ? 0 , 8m2 x 2 ? 4m2 ? 1 ,
m2 ?
1 1 , 因为 x ∈ ?1,??? , 化简得: x 2 ?1? ?1,??? , 要使恒成立, m 2 ? , 则 2 2 4 4(2 x ? 1)

1? ? 且 m ? 0 ,所以: m 的取值范围是 ? ? ?,? ? ,选 A. 2? ?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 2l 题为必考题,每个试题考 生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分. 13.已知 a ? (1,2) , b ? (x,6) ,且 a ∥ b ,则 a ? b =________. 解析:答案: 2 5
a ∥ b ,所以 2 x ? 1? 6 , x ? 3 , a ?b ? (?2,?4) , a ? b ? (?2) 2 ? (?4) 2 ? 2 5 .

14.一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ( 单 位 : m ) 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ,

________ m 3 解析:答案: 6 ? ? 物体为下部是长、宽、高依次为 3、2、1 的长方体,上部底面半径为 1,高为 3 1 的圆锥,所以体积为: 3 ? 2 ?1 ? ? ? ?12 ? 3 ? 6 ? ? 3

?3x ? 5 y ? 6 ? 0 ? 15.若 x , y 满足条件 ?2 x ? 3 y ? 15 ? 0 ,当且仅当 x ? y ? 3 时, z ? ax ? y 取最小 ?y ? 0 ?
值,则实数 a 的取值范围是________.
? 2 3? 解析:答案: ? ? , ? ? 3 5?

作出线性约束条件表示的图形, z ? ax ? y ,化简为 y ? ax ? z , z ? ax ? y 取最小
? 2 3? 值所以截距取最大值,前两条直线过定点 (3,3) ,因而 a ? ? ? , ? ? 3 5?
n ?1? 16.已知 an ? ? (2 x ? 1)dx ,数列 ? ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?bn ? 的通项公式为 0 ? an ?

bn ? n ? 8 ,则 bn Sn 的最小值为________.
解析:答案:-4 考查裂项求和,分离常数,均值不等式,不难,但是知识点挺多的.

?1 1 1 ? an ? n?n ? 1? , ? ? ? ? 的前 n 项和为: ? an n n ? 1?
1 1 1 1 1 1 1 1 n Sn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? , 2 2 3 n ?1 n n n ?1 n ?1 n ?1

bn Sn ?

n 2 ? 8n ?n ? 1? ? 10(n ? 1) ? 9 9 9 ? ? n ?1? ? 10 ? 2 ?n ? 1?? ? 10 ? ?4 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1
2

三、解答题:(12+12+12+12+12+10=70 分)解答应写出文字说明.证明过程或演算 步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知 a , b , c 分别为△ ABC 三个内角 A 、 B 、 C 的对边, 2b cos C ? 2a ? c . 1)求 B ;2)若△ ABC 的面积为 3 ,求 b 的取值范围. 解 1)由正弦定理得: 2 sin B cos C ? 2 sin A ? sin C -----2 分 在△ ABC 中, sin A ? sin(180? ? ( B ? C )) ? sin(B ? C ) ? sin B cosC ? cos B sin C , 所以 sinC (2 cosB ? 1) ? 0 ,因为 C ∈ ?0,180?? , sin C ? 0 ,所以 cos B ?
1 ,B∈ 2

?0,180?? ,所以 B ? 60? -----6 分
2) S ?ABC ?
1 ac sin B ? 3 ,所以 ac ? 4 ,------8 分 2

由余弦定理得: b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac ? ac ? 4 , 当且仅当 a ? c ? 2 时,等号成立,所以 b ∈ ?2,??? ----------12 分 18.(本小题满分 12 分) 某高校组织自主招生考试,共有 2000 名优秀学生参加笔试,成绩介于 195 分到 275 分之间,从中随机抽取 50 名同学的成绩进行统计,将统计结果按如下方式 分成八组,第一组 ?195,205?,第二组 ?205,215? , ? ,第八组 ?265,275? ,如图是 按上述分组方法得到的频率分布直方图,且笔试成绩在 260 分(含 260 分)以上 的学生进入面试. 1)估计所有参加笔试的 2000 名学生中,参加面试的学生人数;2)面试时,每 位考生抽取三个问题,若三个问题全打错,则不能取得该校的自主招生资格,若 三个问题都回答正确,且笔试成绩在 270 分以上,则获得 A 类资格,其他情况 B 类资格,现已知某中学有三人获得面试资格,且仅有一人笔试成绩为 270 以上, 1 在回答 3 个面试问题时,说那人对每一个问题正确回答的概率都是 ,用随机变 2 量 X 表示该中学获得 B 类资格的人数,求 X 的分布列及期望 EX .

解:设第 i ( i ? 1,2,3?,8 )组的频率为 f i ,则由频率分布直方图知: ?255,265? 为

第 7 组,

f 7 ? 1 ? (0.04 ? 0.01? 0.01? 0.02 ? 0.02 ? 0.016? 0.008) ?10 ? 0.12 ,
所以笔试成绩在 260 分(含 260 分)的概率为: f p ? 7 ? f 8 ? 0.06 ? 0.008 ?10 ? 0.14 , 2 估计所有参加笔试的 2000 名学生中,参加面试的学生人数 2000×0.14=280 人.------4 分 2)不妨设三位同学为甲、乙、丙,且甲的成绩为 270 以上,记事件 M 、 N 、 R 1 1 3 分 别 表 示 甲 、 乙 、 丙 获 得 B 类 资 格 的 事 件 . 则 P(M ) ? 1 ? ? ? , 8 8 4 1 7 P( N ) ? P( R ) ? 1 ? ? ,--------6 分 8 8 1 故 P( X ? 0) ? P( M ? N ? R) ? ; 256 17 P( X ? 1) ? P( M ? N ? R ? M ? N ? R ? M ? N ? R) ? ; 256 91 P( X ? 2) ? P( M ? N ? R ? M ? N ? R ? M ? N ? R) ? ; 256 147 P( X ? 3) ? P( M ? N ? R) ? . 256 所以随机变量 X 的分布列为: 0 1 2 3 X 1 17 91 147 P 256 256 256 256 -------10 分 1 17 91 147 640 5 EX ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? ? -------12 分 256 256 256 256 256 2 19.(本小题满分 12 分) 如图△ ABC 是等腰直角三角形,?ACB ? 90 ? ,AC ? 2a ,D ,E 分别为 AC ,AB 的中点,沿 DE 将△ ADE 折起,得到如图所示的四棱锥 A? ? BCDE . 1)在棱 A?B 上找一点 F ,使 EF ∥面 A?CD ;2)当四棱锥 A? ? BCDE 体积取最大 值时,求平面 A?CD 与平面 A?BE 夹角的余弦值. 解:1) F 为棱 A?B 中点,证明如下:取 A?C 的中点 G ,连结 DG 、 EF 、 GF , 1 1 则由中位线定理得: DE ∥ BC , DE ? BC ,且 GF ∥ BC , GF ? BC ,所以 2 2 DE ∥ GF , DE = GF ,从而四边形 DEFG 为平行四边形, EF ∥ DG ,又 EF ? 面 A?CD , DG ? 面 A?CD ,所以 F 为棱 A?B 中点时, EF ∥面 A?CD ;----4 分 2)在面 A?CD 内作 A?H ⊥ CD 于点 H ,

DE ? A?D ? ? DE ? CD ? ? ? DE ? A?CD ? A?H ? DE ,又 DE ? CD ? D , A?D ? CD ? D ? A?D, CD ? A?CD ? ?
所以 A?H ⊥底面 BCDE ,即 A?H 为四棱锥 A? ? BCDE 的高,由 A?H ? AD ,当且 仅当 H 与 D 重合时,四棱锥 A? ? BCDE 体积取最大值.------8 分 分别以 DC 、DE 、DA? 所在的直线为 x 、 y 、z ,建立如图右手空间直角坐标系, 设平面 A?BE A?(0,0, a) ,B(a,2a,0) ,E (0, a,0) ,A?B ? (a,2a,?a) ,A?E ? (0, a,?a) , 的法向量 m ? ( x, y, z) ,

?m ? A?B ? 0 ?ax ? 2ay ? az ? 0 ?x ? 2 y ? z ? 0 ? 则? ,得 ? ,即 ? ,令 y ? 1 ,则 m ? (?1,1,1) , ?m ? A?E ? 0 ?ay ? az ? 0 ?y ? z ?
同理可得面 A?CD 的法向量 n ? (0,1,0) . 因为 cos m, n ?

m?n m?n

?

? 1? 0 ? 1?1 ? 1? 0 3 ,所以平面 A?CD 与平面 A?BE 夹 ? 3 3 ?1

角的余弦值为

3 .-------12 分 3

20(本小题满分 12 分)
x2 y2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 、F2 , A 在椭圆 C 上, 点 a b

AF ? F1F2 ? 0 , 3 AF2 ? F1 A ? ?5 AF2 ? F1 A , F1 F2 ? 2 ,过点 F2 且与坐标轴不垂直 1
的直线交椭圆 C 于 P 、 Q 两点. 1)求 椭 圆 C 的 方 程 ; 2 ) 线 段 OF2 上 是 否 存 在 点 M (m,0) , 使 得

QP ? MP ? PQ ? MQ ?若存在,求出实数 m 的值,若不存在,说明理由.

解:1)由题意知 ?AF F2 ? 90? , cos ?F1 AF2 ? 1
AF2 ?

3 3 , F1 F2 ? 2 ,所以 AF1 ? , 2 5

5 , 2a ? AF ? AF2 ? 4 ,所以 a ? 2 ,所以 c ? 1 , b 2 ? 3 ,椭圆 C 的方程 1 2

为:

x2 y2 ? ? 1 .-----4 分 4 3

2)存在这样的点 M (m,0) 符合题意,-------5 分 设线段 PQ 的中点为 N , P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , N ( x0 , y0 ) ,直线 PQ 的斜率为 k ,
k ? 0 , F2 (1,0) ,直线 PQ 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,-----6 分

代入

x2 y2 ? ? 1 ,消去 y 得: 4 3

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 ,由求根公式得:

x1, 2 ?

8k 2 ?

?8k ?? 4(4k
2 2

2

? 3)(?12)

2(4k ? 3)



x1 ? x2 ?

8k 2 x ?x 4k 2 ,故 x0 ? 1 2 ? 2 , 4k 2 ? 3 2 4k ? 3
3k 4k 2 3k ,? 2 ) --8 分 , N( 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3

又点 N 在直线 PQ 上,所以 y0 ? k ( x0 ? 1) ? ?

因为 QP ? MP ? PQ ? MQ ,可得: PQ? MQ ? MP ? 2PQ? MN ? 0 ,即 PQ ? MN ,所

?

?

以 k MN

3k 4k 2 ? 3 ? ? 1 -------10 分 ? 3k 2 k m? 2 4k ? 3 0?
k2 1 ? 1? ? ? ? 0, ? ,所以线段 OF2 上是否存在点 M (m,0) ,使 2 4k ? 3 4 ? 3 ? 4 ? k2

整理得: m ?

? 1? 得 QP ? MP ? PQ ? MQ ,其中 m ? ? 0, ? .-----12 分 ? 4?

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?
ax (a ? R) . 1? x

1)求函数 f (x) 的单调区间;2)若数列 ?an ?的通项公式 an ? (1 ? ( m ∈ N? ) ,求证: a1a2a3 ?an ? 3 ( m ∈ N ? ). 解:由题意,函数的定义域为: ?? 1,1? ? ?1,??? , f ?( x) ?

1 ) 2013 m 2013 ? 2 ? 1

1 a ---1 分 ? 1 ? x (1 ? x) 2

当 a?0 时,

1 a ? 0, ? 0 , 所 以 f ?( x) ? 0 , 即 函 数 f (x) 在 区 间 1? x (1 ? x) 2

?? 1,1? ? ?1,??? 单调递增,无减区间.----2 分
当 a ? 0 时 , f ?( x) ?

1 a x 2 ? ?2 ? a ?x ? 1 ? a , 由 f ?( x) ? 0 , 得 : ? ? ?1 ? x ?(1 ? x)2 1 ? x (1 ? x) 2 a ? 2 ? a 2 ? 8a , 2

x 2 ? ?2 ? a?x ? 1 ? a ? 0 ,此方程的两根为: x1 ?
x2 ?

a ? 2 ? a 2 ? 8a ,其中 ?1 ? x1 ? 1 ? x2 , ?1 ? x?(1 ? x)2 ? 0 . 2

所以 f ?( x) ? 0 ? ? 1 ? x ? x1 或 x ? x2 ; f ?( x) ? 0 ? x1 ? x ? 1 或 1 ? x ? x2 .即函数 的单增区间为 ?? 1, x1 ? , ?x2 ,??? ;函数的单减区间为 ?x1 ,1? , ?1, x2 ? . 综述: a ? 0 时, 当 函数 f (x) 单增区间为 ?? 1,1? ? ?1,??? ; a ? 0 时, 当 函数 f (x) 的 单 增 区 间 为 ?? 1, x1 ? , ?x2 ,??? ; 函 数 的 单 减 区 间 为 ?x1 ,1? , ?1, x2 ? , 其 中

x1 ?

a ? 2 ? a 2 ? 8a a ? 2 ? a 2 ? 8a , x2 ? .-----6 分 2 2

2)证明:当 a ? 1 时,由 1)知 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

x 在 ?0,1? 上为减函数,则当 1? x x x 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? ? f (0) ? 0 ,即 ln(1 ? x) ? , 1? x 1? x 1 1 1 ? ? , m ∈ N? ) ( ,则 ln?1 ? ,所以 ?? m m m 2013 ? 2 ? 1 ? 2013? 2 ? 1 ? 2013? 2
2013

令x?

1 ? ? ln?1 ? ? m ? 2013? 2 ? 1 ?
a1a2a3 ?an ? e 2

1 1 m ) 2013 ? e 2 ,又 an ? 0 , ? m ,所以 an ? (1 ? m 2013? 2 ? 1 2

1

1 1 1 ? ??? m 4 2

?e?3

本题 10 分,请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所 做的第一题记分.做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.如图: AB 是⊙ O 的直径, G 是 AB 延长线上的一点, GCD 是⊙ O 的割线, 过点 G 作 AG 的垂线,交直线 AC 于点 E ,交直线 AD 于点 F ,过点 G 作⊙ O 的 切线,切点为 H .求证:1) C、D、E、F 四点共圆;2)若 GH ? 6 , GE ? 4 ,

求 EF 的长.

证明:1)连结 DB ,因为 AB 为⊙ O 的直径,所以 ?ADB ? 90? ,在 Rt?AFG 中, ?ABD ? ?AFE , ?ABD ? ?ACD , 所以 ?ACD ? ?AFE ,所以 C、D、E、F 四点共圆.------5 分 2) C、D、E、F 四点共圆 ? GE ? GF ? GC ? GD ①;
GH 切⊙ O 于点 H ? GH 2 ? GC ? GD ②;

由 ① ② 得 : GH 2 ? GE ? GF , 又 因 为 GH ? 6 , GE ? 4 , 所 以 GF ? 9 ,
EF ? GF ? GE ? 5 -----10 分

? x ? 2 ? 2 cos? 23.已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) , ? y ? 2 sin ?
在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以圆点 O 为极点,以 x 轴

? 为极轴)中,直线 l 的方程为 ? sin(? ? ) ? 2 2 . 4 1)求曲线 C 在极坐标系中的方程;2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.
解:1)曲线 C 的普通方程为: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,即 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,化为极坐标 方程是: ? ? 4 cos? .-------5 分

?x ? y ? 4 2)因为直线 l 的直角坐标方程为: x ? y ? 4 ? 0 ,由 ? 2 得直线 l 和曲 2 ?x ? y ? 4x ? 0
线 C 的交点坐标为 (2,2) , (4,0) ,所以弦长 OA ? 2 2 .------10 分 24.已知函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 2a . 1)当 a ? 1 时,求 f ( x) ? 3 的解集;2)当 x ∈ ?1,2 ?时, f ( x) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:1)当 a ? 1 时,原不等式可化为: 2x ?1 ? x ? 2 ? 3 ,依题意,当 x ? 2 时,
3x ? 3 ? 3 ,则 x ? 2 无解,当

1 1 ? x ? 2 时, x ? 1 ? 3 ,则 x ? 2 ,所以 ? x ? 2 ,综 2 2

述:原不等式的解集为: ?0,2? -------5 分
2)原不等式可化为: x ? 2a ? 3 ? 2x ?1 ,因为当 x ∈ ?1, 2 ?,所以 x ? 2a ? 4 ? 2x ,

即: 2 x ? 4 ? 2a ? x ? 4 ? 2 x ,故 3x ? 4 ? 2a ? x ? 4 ? x ,对 x ∈ ?1,2 ?恒成立,当
1 ? x ? 2 时, 3x ? 4 的最大值 2, 4 ? x 的最小值为 2,所以实数 a 的取值范 围: a ? 1 .----10 分


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