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四川省德阳市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷(文科)


四川省德阳市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},则(?UA)∩B=() A.{2,3} B.{3,4} C.{3} D.{4}

2.已知各项均不为 0 的数列{an}满足:an+1﹣3an=0,则

=()

A.

B. 3

C.

D.27

3.过点(1,﹣1)的直线 l 与直线:﹣5x+y=0 平行,则 l 在纵轴上的截距是() A.﹣4 B. 4 C.﹣6 D.6 4.设 m<0,﹣1<n<0,则 m,mn,mn 三者的关系大小为() 2 2 2 2 A.m<mn <mn B.m<mn<mn C.mn <m<mn D.mn <mn<m 5.指数函数 y=a (a>0,a≠1)在区间[﹣1,1]上的最大值与最小值之差等于 ,则常数 a 的值是() A.2 B. C. 2 或 D.2 或
x 2

6.要得到函数 A.向左平移 C. 向左平移 个单位 个单位

的图象,只要将函数 y=sin2x 的图象() B. 向右平移 D.向右平移 个单位 个单位

7.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组

确定,若 M(x,y)为

D 上的动点,则 Z= A.4
2

x+y 的最大值为() B. 4
2

C. 3

D.3

8.在△ ABC 中,sin C=(sinA﹣sinB) +sinAsinB,则 C 的值是() A. B. C. D.

9.三角形 ABC 满足,|

|=|

|,点 M 为边 BC 的中点,且|

|=4,

=0,则边 AC 的长度为() A.4 B. 4 C. 8 D.8

10.已知二次函数 f(x)=x ﹣2x+ab(a≠b)有唯一的零点,则代数式| 是() A.8

2

|的最小值

B. 6

C. 4

D.4

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在答题卡的横线上) 11.原点到直线 3x﹣4y﹣5=0 的距离为. 12.设 tanα,tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根,则 tan(α+β)的值为. 13.已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn=n +n,则 a3=. 14.已知直线 l1∥l2,A 是 l1,l2 之间的一定点,并且 A 点到 l1,l2 的距离分别为 h1,h2,B 是直线 l2 上一动点,作 AC⊥AB,且使 AC 与直线 l1 交于点 C,则△ ABC 面积的最小值为. 15.有以下 5 个命题: ①若 P (a, b) , Q(c, d) 是直线 y=kx+m 上两个不同的点, 则|PQ|可以表示为|c﹣a| ②若| |=1.| |= ,且( )⊥ ,则 与 的夹角为 45°; ;
2 2

③三角形的三边分别是 4,5,6,则该三角形的最大内角是最小内角的两倍; ④在平面直角坐标系中所有直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率,且倾斜角越大, 则斜率越大; ⑤若三角形 ABC 的重心为 P,则 .

其中正确的命题是. (写出所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.已知 O(0,0) ,M(﹣1,﹣2) ,N(3,n)均在直线 l 上, (1)求 n 的值及直线 l 的斜率; (2)若点 P 为直线 l 上一个动点,A(1,5) ,B(7,1) ,求 的最小值.

17.已知向量 =(1,1) , =(x,3) ,





(1)若

,求 x 的值,并判断 与 同向还是反向; ,求 x 的值.

(2)若向量 在向量 方向上的投影为

18.已知函数 f(x)=sinωx+ cosωx(ω>0)的最小正周期为 π, (1)求 ω 的值与函数 f(x)的图象的对称轴方程; (2)若角 A 为△ ABC 的最小内角,求 f(A)的取值范围. 19.已知△ ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 bcosA+acosB=2ccosC, c= ; (1)若 A= ,求边 b 的长;

(2)求△ ABC 面积的最大值. 20.已知数列{an}是公比为 d 的等比数列,且 a1 与 a2 的算术平均数恰好是 a3; (1)求 d; (2)设{bn}是以 2 为首项,d 为公差的递减等差数列,其前 n 项和为 Sn,比较 Sn 与 bn 的大 小. 21.已知实数 a>0,定义域为(﹣1,1)的函数 f(x)= +a ;

(1)当 a=1 时,用定义判定 f(x)的奇偶性并求(x)的最小值. (2)用定义证明函数 g(x)=x+ (k>0)在(0, 调递增; (3)利用(2)的结论求实数 a 的取值范围,使得对于区间[0, ]上的任意三个实数 r,s, t,都存在以 f(r) ,f(s) ,f(t)为边长的三角形. )上单调递减,则( ,+∞)上单

四川省德阳市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},则(?UA)∩B=() A.{2,3} B.{3,4} C.{3} D.{4} 考点: 交、并、补集的混合运算.

专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:∵U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4}, ∴(?UA)∩B={3,4,5}∩{2,3,4}={3,4}, 故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

2.已知各项均不为 0 的数列{an}满足:an+1﹣3an=0,则 A. B. 3 C.

=()

D.27

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据条件 an+1﹣3an=0,得到数列{an}为等比数列,根据等比数列的通项公式进行 求解即可. 解答: 解:an+1﹣3an=0, ∴an+1=3an, 则数列{an}为等比数列,公比 q=3, 则 =q =3 =27,
3 3

故选:D. 点评: 本题主要考查等比数列的性质和通项公式的应用, 判断数列是等比数列是解决本题 的关键. 3.过点(1,﹣1)的直线 l 与直线:﹣5x+y=0 平行,则 l 在纵轴上的截距是() A.﹣4 B. 4 C.﹣6 D.6 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由平行关系可得直线的斜率,可得直线的方程,令 x=0 解得 y 值即为截距. 解答: 解:由题意可得直线﹣5x+y=0 的斜率为 5, 由平行关系可得直线 l 的斜率也为 5, ∴所求直线方程为 y+1=5(x﹣1) , 令 x=0 可得 y=﹣6, ∴l 在纵轴上的截距为﹣6 故选:C. 点评: 本题考查直线的一般式方程和平行关系,属基础题. 4.设 m<0,﹣1<n<0,则 m,mn,mn 三者的关系大小为() 2 2 2 2 A.m<mn <mn B.m<mn<mn C.mn <m<mn D.mn <mn<m
2

考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用不等式的基本性质即可得出. 解答: 解:∵m<0,﹣1<n<0, 2 ∴n<n <1, 2 ∴m<mn <mn. 故选:A. 点评: 本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 5.指数函数 y=a (a>0,a≠1)在区间[﹣1,1]上的最大值与最小值之差等于 ,则常数 a 的值是() A.2 B. C. 2 或 D.2 或
x

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对底数 a 分类讨论,分别根据指数函数的单调性求出函数的最大、小值,由条件列 出方程求出 a 的值. 解答: 解:①当 a>1 时,y=a 在区间[﹣1,1]上的最大值是 a,最小值是 , ∴a﹣ = ,则 2a ﹣3a﹣2=0,解得 a=2 或 则 a=2; ②当 a>1 时,y=a 在区间[﹣1,1]上的最小值是 a,最大值是 , ∴ ﹣a= ,则 2a +3a﹣2=0,解得 a= 或﹣2(舍去) , 则 a= , 综上可得,a 的值是 或 2, 故选:C. 点评: 本题考查指数函数的单调性,以及分类讨论思想,属于基础题.
2 x 2 x

(舍去) ,

6.要得到函数 A.向左平移 C. 向左平移 个单位 个单位

的图象,只要将函数 y=sin2x 的图象() B. 向右平移 D.向右平移 个单位 个单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题.

分析: 根据平移的性质, 个单位.

,根据平移法则“左加右减”可知向右平移

解答: 解:∵ 故选:D 点评: 本题主要考查三角函数的平移. 三角函数的平移原则为左加右减上加下减. 但要注 意平移量是 而不是 ,平移量是指 x 的变化量.

7.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组

确定,若 M(x,y)为

D 上的动点,则 Z= A.4

x+y 的最大值为() B. 4

C. 3

D.3

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 画出满足已知不等式组

确定的可行域,并求出各角点的坐标,代入

目标函数中分别求出目标函数的值,比较后可得目标函数的最大值

解答: 解:满足不等式组

确定的可行域如下图中阴影部分所示:

∵z= x+y,则 y=﹣ x+z, ∴zO=0,zA=3,zB=4,zC=2, 故 z=的最大值为 4; 故选 A.

点评: 本题考查的知识点是简单的线性规划, 熟练掌握角点法是快速准确的解答线性规划 题的关键;考查了数形结合的思想. 8.在△ ABC 中,sin C=(sinA﹣sinB) +sinAsinB,则 C 的值是() A. B. C. D.
2 2

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 原式可化简为 a +b ﹣c =ab,由余弦定理知 cosC= 的值. 解答: 解:∵已知等式 sin C=(sinA﹣sinB) +sinAsinB=sin A+sin B﹣sinAsinB, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴sin C+sinAsinB=sin A+sin B,利用正弦定理化简得:c +ab=a +b ,即 a +b ﹣c =ab, ∴cosC= 又 0<C<π, ∴C= ; = ,
2 2 2 2 2 2 2

= ,即可求得 C

故选:C. 点评: 本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用,属于中档题.

9.三角形 ABC 满足,|

|=|

|,点 M 为边 BC 的中点,且|

|=4,

=0,则边 AC 的长度为() A.4 B. 4 C. 8 D.8

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 根据平面向量的加减法的几何意义分析以 AB,AC 为邻边的平行四边形的形状, 求 AC. 解答: 解:由三角形 ABC 满足,| |=| |,

根据平行四边形法则,可知以 AB,AC 为邻边的平行四边形对角线相等,所以是矩形, 又点 M 为边 BC 的中点,且| |=4, =0,所以得到对角线垂直,

所以 AC= AM=4 ; 故选:A. 点评: 本题考查了平面向量的加法和减法的几何意义以及数量积为 0 的几何意义的运用.

10.已知二次函数 f(x)=x ﹣2x+ab(a≠b)有唯一的零点,则代数式| 是() A.8

2

|的最小值

B. 6

C. 4

D.4

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由二次函数 f(x)有唯一零点,便有△ =0,这样便得到 ab=1,从而 2ab=2,从而 有 ,根据基本不等式即可求出原代数式的最小值.

解答: 解:二次函数 f(x)有唯一零点; ∴△=4﹣4ab=0; ∴ab=1; ∴ = ;

∴原代数式的最小值是 4. 故选:D. 点评: 考查函数零点的概念, 二次函数有一个零点时的判别式△ 的取值情况, 分离常数法 的运用,基本不等式用于求最小值. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在答题卡的横线上) 11.原点到直线 3x﹣4y﹣5=0 的距离为 1. 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 利用点到直线的距离公式解答. 解答: 解:原点到直线 3x﹣4y﹣5=0 的距离为: 故答案为:1. =1;

点评: 本题考查了点到直线的距离公式的运用;熟记公式是关键. 12.设 tanα,tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根,则 tan(α+β)的值为﹣3. 考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题. 分析: 由 tanα, tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根, 利用根与系数的关系分别求出 tanα+tanβ 及 tanαtanβ 的值,然后将 tan(α+β)利用两角和与差的正切函数公式化简后,将 tanα+tanβ 及 tanαtanβ 的值代入即可求出值. 2 解答: 解:∵tanα,tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根, ∴tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2, 则 tan(α+β)= =
2 2

故答案为:﹣3 点评: 此题考查了两角和与差的正切函数公式, 以及根与系数的关系, 利用了整体代入的 思想,熟练掌握公式是解本题的关键. 13.已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn=n +n,则 a3=6. 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 综合题;分类讨论. 分析: 根据等差数列的前 n 项和公式,分两种情况考虑:当 n=1 时,得到 a1=S1;当 n 大 于等于 2 时,利用 an=Sn﹣Sn﹣1 即可得点 an 的通项公式,把 n=1 代入也满足,进而得到数列 的通项公式,然后令 n=3 代入通项公式即可求出 a3 的值. 解答: 解:当 n=1 时,得到 a1=S1=2, 2 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n +n)﹣[(n﹣1) +(n﹣1)]=2n, 把 n=1 代入 an 得:a1=2 满足, 所以等差数列{an}的通项公式 an=2n, 则 a3=2×3=6. 故答案为:6 点评: 此题考查学生灵活运用数列的递推式求出通项公式, 灵活运用等差数列的通项公式 化简求值,是一道中档题.求等差数列通项公式时注意把 n=1 代入检验. 14.已知直线 l1∥l2,A 是 l1,l2 之间的一定点,并且 A 点到 l1,l2 的距离分别为 h1,h2,B 是直线 l2 上一动点,作 AC⊥AB,且使 AC 与直线 l1 交于点 C,则△ ABC 面积的最小值为 h1?h2. 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 过 A 作 l1、l2 的垂线,分别交 l1、l2 于 E、F.设∠FAC=θ,由直角三角形中三角 函数的定义,算出 AC= 且 AB= ,从而得到△ ABC 面积 S= AB?AC= ,
2

利用正弦函数的有界性,可得 θ=

时△ ABC 面积有最小值 h1?h2.

解答: 解:过 A 作 l1、l2 的垂线,分别交 l1、l2 于 E、F, 则 AF=h1,AE=h2, 设∠FAC=θ,则 Rt△ ACF 中,AC= Rt△ ABE 中,∠ABE=θ, 可得 AB= , , ,

∴△ABC 面积为 S= AB?AC= ∵θ∈(0, )

∴当且仅当 θ=

时,sin2θ=1 达到最大值 1,

此时△ ABC 面积有最小值 h1?h2, 故答案为:h1?h2

点评: 此题考查了直角三角形中锐角三角函数定义, 正弦函数的定义域及值域及二倍角的 正弦函数公式,利用了数形结合的思想,属于中档题. 15.有以下 5 个命题: ①若 P (a, b) , Q(c, d) 是直线 y=kx+m 上两个不同的点, 则|PQ|可以表示为|c﹣a| ②若| |=1.| |= ,且( )⊥ ,则 与 的夹角为 45°; ;

③三角形的三边分别是 4,5,6,则该三角形的最大内角是最小内角的两倍; ④在平面直角坐标系中所有直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率,且倾斜角越大, 则斜率越大; ⑤若三角形 ABC 的重心为 P,则 .

其中正确的命题是①③⑤. (写出所有正确命题的序号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 由条件利用两点间的距离公式、两个向量的夹角公式、余弦定理、直线的倾斜角和 斜率、三角形的重心的性质,逐一判断各个选项是否正确,从而得出结论. 解答: 解:∵P(a,b) ,Q(c,d)是直线 y=kx+m 上两个不同的点,则 b=ka+m,d=kc+m,

∴|PQ|= ①正确. ②若| |=1,| |= ,且(

=

=|c﹣a|

, 故

)⊥ ,则(

)⊥ =

+ ? =1+1×2×cos< , >=0,

求得 cos< , >=﹣ ,可得 与 的夹角< , >=120°,故②不正确. ③三角形的三边分别是 4,5,6,则该三角形的最大内角为 α,最小内角为 β, 则由余弦定理可得 cosα= = ,cosβ= = ,2cos β﹣1= =cosα,
2

∴α=2β,即该三角形的最大内角是最小内角的两倍,故③正确. 在平面直角坐标系中所有直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率,但不是倾斜角越大, 则斜率越大, 如倾斜角为 60°的直线斜率为 ,而倾斜角为 120°的直线的斜率为﹣ ,故④不正确. ⑤若三角形 ABC 的重心为 P, 线段 BC 的中点为 D, 则由三角形的重心的性质可得 PA=2PD, 而 则有 + =2 , ,即 ,故⑤正确,

=﹣

故答案为:①③⑤. 点评: 本题主要考查命题的真假的判断,两点间的距离公式、两个向量的夹角公式、余弦 定理、直线的倾斜角和斜率、三角形的重心的性质,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.已知 O(0,0) ,M(﹣1,﹣2) ,N(3,n)均在直线 l 上, (1)求 n 的值及直线 l 的斜率; (2)若点 P 为直线 l 上一个动点, A(1,5) ,B(7,1) ,求 的最小值.

考点: 平面向量数量积的运算;直线的斜率. 专题: 平面向量及应用;直线与圆. 分析: (1)利用 O,M 两点求直线方程,再由 N 在直线 l 上求 n; (2)由(1)设 P(x,2x) ,利用坐标表示 解答: 解: (1)由题意直线 l 的方程为 y=2x, 所以 n=6,直线 l 的斜率为 2. (2)由(1)设 p(x,2x) ,则 (x﹣2) ﹣8, 所以当 x=2 时,即 P(2,4)时, 的最小值为﹣8.
2

,根据表达式求最小值.

=(1﹣x,5﹣2x)?(7﹣x,1﹣2x)=5x ﹣20x+12=5

2

点评: 本题考查了直线方程的求法以及平面向量的数量积、 二次函数求最值; 属于基础题.

17.已知向量 =(1,1) , =(x,3) ,





(1)若

,求 x 的值,并判断 与 同向还是反向; ,求 x 的值.

(2)若向量 在向量 方向上的投影为

考点: 平面向量数量积的运算;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)先写出向量 解出 x,从而便得到 的坐标,根据平行向量的坐标关系即可建立关于 x 的方程, 的坐标,根据坐标即可判断 的方向;

(2)根据投影的计算公式有

,进行数量积的坐标运算即可解出 x.

解答: 解: (1) =(1+2x,7) , ∵ ∥ ; ∴﹣(1+2x)﹣7(2﹣x)=0; ∴x=3,此时 ∴ ; ;



∴ 与 反向; (2)向量 在 方向上的投影为 ;

∴解得 x=﹣1. 点评: 考查向量坐标的加法、 减法, 及数乘运算, 平行向量的坐标关系, 数乘的几何意义, 以及向量投影的计算公式,向量数量积的坐标运算. 18.已知函数 f(x)=sinωx+ cosωx(ω>0)的最小正周期为 π, (1)求 ω 的值与函数 f(x)的图象的对称轴方程; (2)若角 A 为△ ABC 的最小内角,求 f(A)的取值范围. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由三角函数中的恒等变换应用化简可得 f(x)=2sin(ωx+ 式可求 ω,令 2x+ =k ,则 x= ) ,利用周期公

,即求得函数 f(x)的图象的对称轴方程.

(2)由题意可得 0<A 即可得解.

,可得 2A

,求得 2sin(2A+

)∈[0,2],

解答: 解: (1)由题意可得 f(x)=2sin(ωx+ ∵ ,可得 ω=2. ) ,

) ,

即 f(x)=2sin(2x+ 令 2x+ 分 (2)由题意可得 0<A ∴2A ∴sin(2A+ ∴2sin(2A+ =k

, 则 x=

, 即函数( f x) 的图象的对称轴方程为: x=

(k∈Z) …6

, ,

)∈[0,1], )∈[0,2],即 f(A)的取值范围为[0,2]…12 分

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用, 正弦函数的图象和性质, 属于基本知 识的考查. 19.已知△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 bcosA+acosB=2ccosC, c= ; (1)若 A= ,求边 b 的长;

(2)求△ ABC 面积的最大值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由正弦定理化简已知等式可得 sinC=2sinCcosC,结合范围 C∈(0,π) ,可求 C,B 的值,利用正弦定理即可求得 B 的值. 2 2 (2)利用余弦定理及基本不等式的应用可得 3=a +b ﹣ab≥2ab﹣ab=ab(当且仅当 a=b 时取 等号) ,利用三角形面积公式即可得解. 解答: 解: (1)由题意可得 sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosC, ∴sin(A+B)=2sinCcosC,即 sinC=2sinCcosC, 又 sinC≠0, ∴cosC= , 又 C∈(0,π) , ∴C= ,

∴B= 又 c=

, ,在△ ABC 中,∵ ,

∴b=

…6 分

(2)在△ ABC 中,∵c =a +b ﹣2abcosC,且 c=
2 2

2

2

2

,C=



∴3=a +b ﹣ab≥2ab﹣ab=ab(当且仅当 a=b 时取等号) , ∴S△ ABC= (当且仅当 a=b 时取等号) , …12 分

即当△ ABC 为正三角形时,△ ABC 面积的最大值为

点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,基本不等式的综合应用, 属于基本知识的考查. 20.已知数列{an}是公比为 d 的等比数列,且 a1 与 a2 的算术平均数恰好是 a3; (1)求 d; (2)设{bn}是以 2 为首项,d 为公差的递减等差数列,其前 n 项和为 Sn,比较 Sn 与 bn 的大 小. 考点: 等比数列的通项公式;等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据条件建立方程关系即可求 d; (2)求出 Sn 与 bn 的表达式,利用作差法进行比较即可. 解答: 解: (1)∵a1 与 a2 的算术平均数恰好是 a3; 2 ∴a1+a1d=2a1d , ∵a1≠0, 2 ∴2d ﹣d﹣1=0, 解得 d=1 或 d=﹣ . (2)∵{bn}是以 2 为首项,d 为公差的递减等差数列, ∴d=﹣ , 则 bn=2+(n﹣1) ( )= + .

前 n 项和为 Sn=2n+

=



Sn﹣bn=

﹣(

+ )=

=



故当 n=1 或 n=10 时,Sn=bn, 当 1<n<10 时,Sn>bn, 当 n>10,且 n∈N 时,Sn<bn. 点评: 本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用, 考查学生的 运算能力. 21.已知实数 a>0,定义域为(﹣1,1)的函数 f(x)= +a ;

(1)当 a=1 时,用定义判定 f(x)的奇偶性并求(x)的最小值. (2)用定义证明函数 g(x)=x+ (k>0)在(0, 调递增; (3)利用(2)的结论求实数 a 的取值范围,使得对于区间[0, ]上的任意三个实数 r,s, t,都存在以 f(r) ,f(s) ,f(t)为边长的三角形. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数奇偶性的定义进行判断函数的奇偶性,化简函数,即可求 f(x)的 最小值; (2)利用函数单调性的定义,利用定义法进行证明; (3)利用换元法将结合(2)的结论将问题转化为在区间 解答: 解: (1)当 a=1 时,f(x)= 则 f(﹣x)= + + 上,恒有 2ymin>ymax. )上单调递减,则( ,+∞)上单

,定义域为(﹣1,1) ,

=f(x) ,则函数 f(x)为偶函数,

f(x)=

+

=
2

=



∵x∈(﹣1,1) ,∴1﹣x ∈(0,1], ∴ ∴当 ∈(0,1], =1 时,f(x)取得最小值为 2;

(2)设 0<x1<x2< 由 0<x1<x2< ∴(x1﹣x2)? 故函数在(0,

,则 f(x1)﹣f(x2)=x1+

﹣(x2+

)=(x1﹣x2)?



,可得(x1﹣x2)<0,0<x1x2<k, >0,f(x1)>f(x2) , )上单调递减.



<x1<x2,同理可得 f(x1)﹣f(x2)=(x1﹣x2)? ,+∞) )上单调递增. ,∴

<0,

即 f(x1)<f(x2) ,故函数在( (3)设 t=

,则当 x∈[0, ]时,可得

从而原问题等价于求实数 a 的范围,使得在区间 ①当 ∴ 由 2ymin>ymax 得 从而 ②当 ∴ 由 2ymin>ymax 得 从而 ③当 ∴ymin=2 ; 时, ,ymax=a+1, ,从而 在 , ,从而 . ; 上单调递减, 在 上单调递减,在 , ; 时, 在 上单调递减,在 , , 时, 在 , 上单调递增,

上,恒有 2ymin>ymax.

上单调递增,

上单调递增,

由 2ymin>ymax 得 ④当 a≥1 时, ∴ 由 2ymin>ymax 得 综上,



点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断,以及函数 y=x+ (k>0)的单调性的证 明和应用,利用定义法是解决本题的关键.考查学生分析转化问题的能力,运算量较大,属 于难题.


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