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2013、7、12高二数学课件:柯西不等式与排序不等式


大数学家柯西(Cauchy)
法国数学家、力学家。1789年8月 21日生于巴黎,1857年5月23日卒于 索镇。曾为巴黎综合工科学校教授, 当选为法国科学院院士。曾任国王查 理十世的家庭教师。 柯西在大学期间,就开始研读拉格朗日和拉普拉斯 的著作。柯西最重要的数学贡献在微积分、复变函数和 微分方程等方面。 此外,柯西对力学和天文学也有许多贡献。著作甚 丰,共出版了七

部著作和800多篇论文,1882年开始出 版他的全集,至1970年已达27卷之多。

复习引入
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值, 人们称它们为经典不等式. 如均值不等式: a1 ? a2 ? ? ? an ≥ n a1a2 ? an (ai ? R ? , i ? 1, 2,? , n) . n 本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用,感受数学的美妙,提高数学素养.

复习引入
思考:阅读课本第 31 页探究内容.

由 a ? b ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
2 2

ac ? bd 设 a, b, c, d 为任意实数.
(a ? b )(c ? d )
2 2 2 2

?

?

2





展开这个乘积,整理得

(a2+b2)?(c2+d2)
=a2c2+b2d2+a2b2+b2c2

由于

a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2 +(ad-bc)2 而(ad-bc)2 ≥0 即(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2+(ad-bc)2. 而(ad-bc)2 ≥0,当且仅当ad=bc,取= 号

因此
2 2 2 2 2

?(a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd)



? ? ?a, b?, ? ? ?c, d ?

探究: ? b )(c ? d )与(ac ? bd) (a ? ? ?a, b?, ? ? ?c, d ? ? ? ? ? ? ? ? ? co s?
2 2 2 2

2

? ? ? ? ? ? ? ? ? cos? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? 当且仅当 // ?时,等号成立。 ? ? ?? ? ? ? ac ? bd,
? ? a ?b , ? ? c ?d ? a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ? ac ? bd
2 2 2 2

m

?

? n
2

?(a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd)
2 2 2 2

当且仅当ad ? bc ? 0时,等号成立。

发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式) 2 2 2 2 2 若 a, b, c, d 都是 实数,则 (a ? b )(c ? d ) ≥ (ac ? bd ) . 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.

思考?
你能简明地写出这个定理的证明吗?
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 ? 思考:设 a , b ? R , a ? b ? 1, 求证: ? ≥ 4 . a b

二维形式的柯西不等式的变式:

(1) a ? b ? c ? d ?| ac ? bd |
2 2 2 2

(2)(a ? c)(b ? d ) ? ( ac ? bd ) .(a, b, c, d ? R )
2

?

(当且仅当ad=bc时,等号成立.)
2 2 2 2

(3) a ? b ? c ? d ?| ac | ? | bd |
(当且仅当|ad|=|bc|时,等号成立.)

(a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd)
2 2 2 2

2

定理 2 ( 柯西不等式的向量形式 )

设? , ? 是两个向量, 则 ? ? ? ? ? ? .② 当且仅当? 是零向量, 或存在实数k , 使? ? k ? 时, 等号成立.

探究
上面是从不等式①推 到不等式②,在进行 反方向的推导,从数 形结合的角度体会二 者的等价关系

观 察

y

P1(x1,y1)

y P1(x1,y1) 0

0

P2(x2,y2) x

x P2(x2,y2)

根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:

x ? y ? x ? y ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2

2

定理3(二维形式的三角不等式)


2 1

, y , x 2, y ? R ,那么 x1 1 2
2 1 2 2 2 2 2 2

x ? y ? x ? y ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ③

由于上面的不等式③对于任何 实数都成立,所以不妨用
x
用x
1

?x
3

3

代替 x
2

1

, 用y
2

1

?y

2

代替 y
2

1

,

2

?x

代替 x

, 用y

?y

3

代替 y

, 代入不等式

③,得
(x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( x ? x ) ? ( y ? y )
1 3 1 3 2 3 2 3 2 2 2 2

? (x

1

?x

2

)

2

? (y

1

?y


2

2



探究

请结合平面直角坐标系,解 释不等式的④的几何意义

不等式④有明显的几何意义,人被称为二维形 式的三角不等式, 在上面得出三个定理的过程中,分别讨论了二 维形式柯西不等式的数学意义、几何背景及其 在不等式证明中的应用,下面继续几何不等式 的证明,介绍二维形式柯西二维不等式的应用。

例题选讲

例1 : 已知a, b为实数, 证明(a ? b )(a ? b ) ? (a ? b )
4 4 2 2 3 3 2

课堂练习 1: 已知 a,b? R ? ,a+b=1, x1 , x2 ? R? ,

求证: ? ax1 ? bx2 ? ? ? bx1 ? ax2 ? ≥ x1 x2

(a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd)
2 2 2 2

2

例题选讲
例2 : 求函数y ? 5 x ?1 ? 10 ? 2x的最大值


课堂练习 : 2



求函数y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x的最大值。

(a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd)
2 2 2 2

2

例题选讲
例2 : 求函数y ? 5 x ?1 ? 10 ? 2x的最大值

? 解:函数的定义域为1,5?,且y ? 0.
y ? 5? x ?1 ? 2 ? 5 ? x ? 5 ? ( 2 ) ? ( x ? 1) ? ( 5 ? x )
2 2 2 2

? 27 ? 4 ? 6 3 ,
当且仅当 2 ? x ? 1 ? 5 ? 5 ? x时,等号成立, 127 即x ? 时函数取最大值 3. 6 27

补充例题
a b 例3 已知x, y, a, b ? R , 且 ? ? 1,求x ? y的最小值. x y b ? a 解 : ? x, y, a, b ? R , ? ? 1, x y
?

?x ? y ? ( x) ? ( y)
2

?

2

?

?? ?? ?? ??

a x

? ? ? ?? ? ? ? ?

2

b y

? ? ? ?

2

? ? ? ?

? ( a ? b )2 当且仅当 x ? b ? y y? a x ,即 ? x y a 时取等号 . b

? ( x ? y ) min ? ( a ? b ) 2

补充练习
1.若a , b ? R, 且a 2 ? b 2 ? 10, 则a ? b的取值范围是( A )

? C .??

A. - 2 5 ,2 5 10 ,

? 10 ?

? D.??

B . ? 2 10 ,2 10 5, 5

?

?

2.已知x ? y ? 1, 那么2 x 2 ? 3 y 2的最小值是( 5 6 25 36 A. B. C. D. 6 5 36 25

)B

3.函数 ? 2 1 ? x ? 2 x ? 1的最大值为 3 y ______
4.设实数x , y满足3 x 2 ? 2 y 2 ? 6, 则P ? 2 x ? y的最大
25 1 2 1 2 2 5.若a ? b ? 1, 则(a ? ) ? (b ? ) 的最小值是______ a b

值是 ______ 11

小结
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a , b, c , d ? R) 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.

( 2) a ? b ? c ? d ? ac ? bd
2 2 2 2

(3) a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd
(4)柯西不等式的向量形式? ? ? ? ? ? . 当且仅当? 是零向量, 或存在实数k , 使? ? k ? 时, 等号成立.

课后作业

P课本36页:第3、4、5、7题


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