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(教案2)2.1空间点、直线、平面之间的位置关系


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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、素质教育目标 (一)知识教学点 1.公理 4,即平行公理. 2.等角定理及推论. (二)能力训练点 1.利用联想的方法,掌握并应用由平面内引伸到空间中的平行公理. 2.

充分利用构造的方法证明等角定理,为下一节两条异面直线所成的角的

定义提供了可能性与唯一性.
3.通过本节课的学习,让学生认识到在平面几何中成立的结论或定理等,

在用于非平面图形时,须先证明.
二、教学重点、难点、疑点及解决方法 教学重点、难点、 1.教学重点:让学生掌握平行公理及其应用. 2.教学难点:等角定理证明的掌握及其应用. 3.教学疑点:正确理解等角定理中命题的条件:两个角的两边分别平行且

这两个角的方向相同.
三、课时安排 1 课时. 四、教与学的过程设计 (一)复习两条直线的位置关系(幻灯显示) 师:空间中两条直线的位置关系有哪几种? 生:三种:相交、平行、异面.异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.相 交直线和平行直线也称为共面直线. 师:异面直线的画法常用的有哪几种? 生:三种.如图 1-38,a 与 b 都是异面直线.

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师:如何判定两条直线是异面直线?

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生:(1)间接证法:根据定义,一般用反证法.

(2)直接证法:根据例题结论:过平面外一点与平面内一点的

(二)平行公理 师:在平面几何中,如图 1-40,若 a∥b,c∥b,则 a 与 c 平行吗?

生:平行. 师:也就是说,在平面中,若两条直线 a、c 都和第三条直线 b 平行,则 a∥c.这

个命题在空间中是否成立呢?
师:实际上,在空间中,若 a∥b,c∥b,则 a∥c 也成立.我们把这个结论作

为一个公理,不必证明,可直接应用.

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平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.

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如图 1-41, 三棱镜的三条棱, AA′∥BB′, 若 CC′∥BB′, 则有 AA′∥CC′. 下面请同学们完成下列的例题,巩固应用平行公理. 例已知四边形 ABCD 是空间四边形(四个顶点不共面的图 1-41 四边形),E、

H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 CB、CD

师分析:要证明四边形 EFGH 是梯形,即要证明四边形 EFGH 的一组对边平行,

另一组对边不平行;或证明一组对边平行且不相等.具体用哪一种方法,我们来 分析一下题意:E、H 分别是边 AB、AD 的中

证明:如图 1-42,连结 BD. ∵EH 是△ABD 的中位线,

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根据公理 4,EH∥FG, 又∵FG>EH, ∴四边形 EFGH 是梯形. (三)等角定理

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师:平行公理不仅是今后论证平行问题的主要依据,也是证明等角定理的基础. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同, 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两 个角相等. 个角相等. 已知:∠BAC 和∠B′A′C′的边 AB∥A′B′,AC∥A′C′,并且方向相同. 求证:∠BAC=∠B′A′C′. 师分析:在平面内,这个结论我们已经证明成立了.在空间中,这个结论是否成立, 还需通过证明.要证明两个角相等,常用的方法有:证明两个三角形全等或相似,则对应角 相等; 证明两直线平行, 则同位角、 内错角相等; 证明平行四边形, 则它的对角相等, 等等. 根 据题意,我们只能证明两个三角形全等或相似,为此需要构造两个三角形,这也是本题证明 的关键所在.

证明:对于∠BAC 和∠B′A′C′都在同一平面内的情况,在平面几何中已经

证明.下面我们证明两个角不在同一平面内的情况.
如图 1-43,在 AB、A′B′,AC、A′C′上分别取 AD=A′D′、AE=A′E′,

连结 AA′、DD′、EE′,DE、D′E′.
∵AB∥A′B′, AD=A′D′, ∴AA′DD′是平行四边形.

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根据公理 4,得:DD′∥EE′. 又可得:DD′=EE′ ∴四边形 EE′D′D 是平行四边形. ∴ED=E′D′,可得:△ADE≌△A′D′E′. ∴∠BAC=∠B′A′C′.

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师:若把上面两个角的两边反向延长,就得出下面的推论. 推论: 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两组直线所成的锐角 或 ( 推论: 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 直角)相等. 直角)相等. 从上面定理的证明可以知道:平面里的定义、定理等,对于非平面图形,需要经过证 明才能应用. 下面请同学们完成练习. (四)练习 1.把一张长方形的纸对折两次,打开后如图 1-44 那样,说明为什么这些

折痕是互相平行的?

答:把一张长方形的纸对折两次,打开后得 4 个全等的矩形,每个矩形的竖边是

互相平行的,再应用平行公理,可得知它们的折痕是互相平行的.

△ABC≌△A′B′C′.

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∴四边形 BB′C′C 是平行四边形. ∴BC=B′C′. 同理可证:AC=A′C′,AB=A′B′. ∴△ABC≌△A′B′C′. (五)总结 这节课我们学习了平行公理和等角定理及其推论.平行公理是论证平行问题的主要根 据,也是确定平面的基础.等角定理给下一节两条异面直线所成角的定义奠定了基础.这节 课我们还明确了在平面几何中成立的结论或定理等,在用于非平面图形时,须先证后用. 五、作业

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