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(教案3)2.1空间点、直线、平面之间的位置关系


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2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
一、素质教育目标 (一)知识教学点 1.直线和平面平行的定义. 2.直线和平面的三种位置关系及相应的图形画法与记法. 3.直线和平面平行的判定. (二)能力训练点 1.理解并掌握直线和平面平行的定义. 2.掌握直线和平面的三种位置关系,体现了分类的思想. 3.通过对比的方法,使学生掌握直线和平面的各种位置关系的图形的画法,

进一步培养学生的空间想象能力.
4.掌握直线和平面平行的判定定理的证明,证明用的是反证法和空间直线

与平面的位置关系,进一步培养学生严格的逻辑思维。除此之外,还要会灵活运 用直线和平面的判定定理,把线面平行转化为线线平行.
(三)德育渗透点 让学生认识到研究直线与平面的位置关系及直线与平面平行是实际生产的需要,充分 体现了理论来源于实践,并应用于实践. 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 教学重点、难点、 1.教学重点:直线与平面的位置关系;直线与平面平行的判定定理. 2.教学难点:掌握直线与平面平行的判定定理的证明及应用. 3.教学疑点:除直线在平面内的情形外,空间的直线和平面,不平行就相

交,课本中用记号 a≮α统一表示 a‖α,a∩α=A 两种情形,统称直线 a 在平 面α外.
三、课时安排 1.7 直线和平面的位置关系与 1.8 直线和平面平行的判定与性质这两个课题

安排为 2 课时.本节课为第一课时,讲解直线和平面的三种位置关系及直线和平 面平行的判定定理.

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四、教与学过程设计 (一)直线和平面的位置关系.

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师:前面我们已经研究了空间两条直线的位置关系,今天我们开始研究空间直线和平 面的位置关系. 直线和平面的位置关系有几种呢?我们来观察: 黑板上的一条直线在黑板面 内;两墙面的相交线和地面只相交于一点;墙面和天花板的相交线和地面没有公共点,等 等. 如果把这些实物作出抽象, 如把“墙面”、 “天花板”等想象成“水平的平面”, 把“相 交线”等想象成“水平的直线”, 那么上面这些关系其实就是直线和平面的位置关系, 有几 种,分别是什么? 生:直线和平面的位置关系有三种:直线在平面内;直线和平面相交;直线和平面平 直线在平面内;直线和平面相交; 直线在平面内 行. 师:什么是直线和平面平行? 生:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么这条直线和这个平面平行. 这条直线和这个平面平行. 这条直线和这个平面平行 师:直线和平面的位置关系是否只有这三种?为什么? 生:只有这三种情况,这可以从直线和平面有无公共点来进一步验证:若直线和平面 没有公共点,说明直线和平面平行;若直线和平面有且只有一个公共点,说明直线和平面相 交;若直线和平面有两个或两个以上的公共点,根据公理 1,说明这条直线在平面内. 师:为了与“直线在平面内”区别,我们把直线和平面相交或平行的情况统称为“直 线在平面外”,归纳如下: 直线在平面内——有无数个公共点.

师:如何画出表示直线和平面的三种位置关系的图形呢? 生:直线 a 在平面α内,应把直线 a 画在表示平面α的平行四边形内,直线

不要超出表示平面的平行四边形的各条边;直线 a 与平面α相交,交点到水平线 这一段是不可见的,注意画成虚线或不画;直线 a 与平面α平行,直线要与表示 平面的平行四边形的一组对边平行.如图 1-57:

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注意,如图 1-58 画法就不明显我们不提倡这种画法.

1.观察图中的吊桥,说出立柱和桥面、水面,铁轨和桥面、水面的位置关

系:(图见课本)
答:立柱和桥面、水面都相交;铁轨在桥面内,铁轨与水面平行. (二)直线和平面平行的判定 师:直线和平面平行的判定不仅可以根据定义,一般用反证法,还有以下的方法.我 们先来观察:门框的对边是平行的,如图 1-59,a∥b,当门扇绕着一边 a 转动时,另

一边 b 始终与门扇不会有公共点,即 b 平行于门扇.由此我们得到:

直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那 么这条直线和这个平面平行.

求证:a∥α.

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师提示:要证明直线与平面平行,只有根据定义,用反证法,并结合空间直线和平面 的位置关系来证明.

∴ a∥α或 a∩α=A. 下面证明 a∩α=A 不可能. 假设 a∩α=A ∵a∥b,

在平面 α 内过点 A 作直线 c∥b.根据公理 4,a∥c.这和 a∩c=A 矛盾,所

以 a∩α=A 不可能.
∴a∥α. 师:从上面的判定定理可以知道,今后要证明一条直线和一个平面平行,只要在这个 平面内找出一条直线和已知直线平行, 就可断定这条已知直线必和这个平面平行, 即可由线 线平行推得线面平行. 下面请同学们完成例题和练习. (三)练习 例1

空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另外两边的平面.

已知:空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的中点. 求证:EF∥平面 BCD.

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师提示:根据直线与平面平行的判定定理,要证明 EF∥平面 BCD,只要在平面 BCD

内找一直线与 EF 平行即可,很明显原平面 BCD 内的直线 BD∥EF.
证明:连结 BD.

性,这三个条件是证明直线和平面平行的条件,缺一不可. 1.使一块矩形木板 ABCD 的一边 AB 紧靠桌面α,并绕 AB 转动,AB 的对边

CD 在各个位置时,是不是都和桌面α平行?为什么?(模型演示)
答:不是.

2.长方体的各个面都是矩形,说明长方体每一个面的各边及对角线为什么 都和相对的面平行?(模型演示) 答:因为长方体每一个面的对边及对角线都和相对的面内的对应部分平行,所以,它 们都和相对的面平行. (四)总结 这节课我们学习了直线和平面的三种位置关系及直线和平面平行的两种判定方法.学 习直线和平面平行的判定定理,关键是要会把线面平行转化为线线平行来解题. 五、作业

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六、板书设计

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一、直线和平面的位置关系直线在平面内——有无数个公共点. 直线在平面外

二、直线和平面平行的判定 1.根据定义:一般用反证法. 2.根据判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那

么这条直线和这个平面平行.

直线和平面的位置关系:

直线和平面平行的判定定理

求证:a∥α 例: 已知:空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的中点. 求证:EF∥平面 BCD.

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