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第八讲-向量方法求立体几何中的距离问题


高中数学-立体几何 向量方法求立体几何中的距离问题 一、求点到平面的距离 1. (一般)传统方法: 利用定义先作出过这个点到平面的垂线段, 再计算这个垂线段的长度; 2.还可以用等积法求距离; 3.向量法求点到平面的距离. 在 Rt?PAO 中, ?P ? ?P O sin ? ? d | AP | ? d ?| AP | sin ? ? d ? n 又 sin ? ? | AP ? n | | AP || n | A O ?d ? | AP ? n | |n| (其中 AP 为斜向量, n 为法向量) l ?P d n 二、直线到平面的距离 转化为点到线的距离: ? A ? O d? | AP ? n | |n| (其中 AP 为斜向量, n 为法向量) ?P 三、平面到平面的距离 也是转化为点到线的距离: d ? n A ? O d? | AP ? n | |n| (其中 AP 为斜向量, n 为法向量) a P ? 四、异面直线的距离 如图,异面直线也是转化为点到线的距离: d b n d? | AP ? n | |n| ? A (其中 AP 为两条异面直线上各取一点组成的向量, n 是与 a, b 都垂直的向量) 1 高中数学-立体几何 例 1.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,棱长为 1, E 为 C1 D1 的中点,求下列问题: (1) 求 B1 到面 A1 BE 的距离; 解:如图,建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则 1 ? A1 E ? (?1, ,0), A1 B ? (0,1,?1), ,设 n ? ( x, y, z ) 为面 A1 BE 的法向量 2 z 1 ? ? ?n ? A1 E ? 0 ?? x ? y ? 0 ?? 则? 2 ? n ? A B ? 0 ? 1 ? ?y ? z ? 0 取 x ? 1,得 y ? 2, z ? 2 ,? n ? (1,2,2) D1 A1 E B1 C1 D C y A x 选点 B1 到面 A1 BE 的斜向量为 A1 B1 ? (0,1,0) 得点 B1 到面 A1 BE 的距离为 d ? (2)求 D1C 到面 A1 BE 的距离; B | A1 B1 ? n | |n| ? 2 3 z D1 A1 E B1 C1 解 :由(1)知平面A1 BE的法向量n ? (1,2,2) 斜向量D1 A1 ? (1,0,0) D C y A ?点D1到面A1 BE的距离为d ? (3) 求面 A1 DB 与面 D1CB1 的距离; | D1 A1 ? n | n ? 1 3 x B z D1 A1 E B1 C1 解 :由图知平面A1 BD的法向量为 n ? AC1 ? (?1,1,1) 又斜向量D1 A1 ? (1,0,0) D C y A ?点D1到面A1 BD的距离为d ? | D1 A1 ? n | n 1 ? 3 x B z D1 E B1 3 即面A1 BD与D1CB1的距离为 3 2 C1 A1 D C y A x B 高中数学-立体几何 (4) 求异面直线 D1 B 与 A1 E 的距离. 解 : 如图建立空间直角坐标 系D ? xyz 1 则D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E(0, ,1) 2 1 ?

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