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第一章 §3 集合的基本运算 3.2 全集与补集


理解教材新知

§3
第 一 章 集 合 集 合 的 基 本 运 算 3.2 考点一 全 集 与 补 集 把握热点考向 考点二

考点三

应用创新演练

设集合A={1,2,3,4,5,6},B={2,4,6},C={1,3,5}.

问题1:集合B∪C等于什么?
提示:B∪C=A.

问题2:集合B与集合C的交集是什么?
提示:B∩C=?.

1.全集
在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集 合的 子集 ,这个给定的集合叫作全集.常用符号U表示. 2.补集 (1)设U是全集,A是U的一个子集(即A?U),则由U中

所有 不属于 A的元素组成的集合,叫做U中子集A的补集
(或余集),记作 ?U A . (2)符号表示:?UA= { x| x∈U,且x?A} .

(3)Venn图表示

3.补集的性质 (1)A∪(?UA)= U ; (2)A∩(?UA)= ? .

1.全集是相对于研究的问题而言的,如我们只在 整数范围内研究问题,则Z为全集;而当问题扩展到实 数集时,则R为全集,这时Z就不是全集.

2.补集的定义可以解释为:如果从全集U中取出
A的全部元素,则所剩下的元素组成的集合就是?UA.

[例1]

(1)已知全集U={x|-1≤x≤4},A={x|-

1≤x≤1},B={x|0<x≤3},求?UA,(?UB)∩A;

(2)设U={x|-5≤x<-2,或2<x≤5,x∈Z},A=
{x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},求?UA、?UB. [思路点拨] (1)先求出?UA和?UB,利用数轴解决. (2)先写出集合U和集合B,再利用交集、补集的定义 或Venn图求解.

[精解详析]

(1)∵U={x|-1≤x≤4},A={x|-

1≤x≤1},B={x|0<x≤3},结合数轴(如图),

可知?UA={x|1<x≤4},

?UB={x|3<x≤4,或-1≤x≤0}.
结合数轴(如图).

可知(?UB)∩A={x|-1≤x≤0};

(2)法一:在集合U中, ∵x∈Z,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5, ∴U={-5,-4,-3,3,4,5}. 又A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},B={-3,3,4},

∴?UA={-5,-4,3,4},?UB={-5,-4,5}.
法二:可用Venn图表示

则?UA={-5,-4,3,4},?UB={-5,-4,5}.

[一点通]

1.在解答有关集合补集运算时,如果所给集合是无限
集,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴 上,然后再根据补集的定义求解,这样处理比较形象直观, 但是解答过程中注意边界问题. 2.如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一 列举出来,然后结合补集的定义来求解,针对此类问题, 在解答过程中常常借助于Venn图求解.

1.(2011· 四川高考)若全集M={1,2,3,4,5},N={2,4}, 则?MN= A.? C.{2,4} B.{1,3,5} D.{1,2,3,4,5} ( )

解析:由题意知?MN={1,3,5}.

答案:B

2.设全集U={x∈N+|x<6},集合A={1,3},B={3,5}, 则?U(A∪B)等于 ( )

A.{1,4}
C.{2,4}

B.{1,5}
D.{2,5}

解析:U={x∈N+|x<6}={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5}, ∴?U(A∪B)={2,4}. 答案:C

3. 已知全集 U=R, A={x|-4≤x≤2}, B={x|-1<x≤3}, 5 P={x|x≤0,或 x≥2}, (1)求 A∩B;(2)求(?UB)∪P;(3)求(A∩B)∩(?UP).

解:如图所示

(1)A∩B={x|-1<x≤2}; (2)∵?UB={x|x≤-1,或 x>3}, 5 ∴(?UB)∪P={x|x≤0,或 x≥2}; 5 (3)?UP={x|0<x<2}. (A∩B)∩(?UP) 5 ={x|-1<x≤2}∩{x|0<x<2}={x|0<x≤2}.

[例2]

设全集U={x|x≤20的质数},A∩(?UB)={3,5}, 利用列举法可求得集合U,然后利用

(?UA)∩B={7,19},(?UA)∩(?UB)={2,17},求集合A,B.
[思路点拨] Venn图处理. [精解详析] 因为U={2,3,5,7,11,13,17,19},由题意画

出Venn图,如图所示,故集合A={3,5,11,13},B=

{7,11,13,19}.

[一点通]

Venn图直观形象,特别是在有限集的运

算中,效果比较明显,对集合A,B而言,有下图:

用好此图,在解题中能起到事半功倍的效果.

4.如果U={x| x是小于9的正整数},A={1,2,3,4},
B={3,4,5,6},那么(?UA)∩(?UB)等于 A.{1,2} C.{5,6} B.{3,4} D.{7,8} ( )

解析:如图所示,阴影部分为 (?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={7,8}. 答案:D

5.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓 球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动 但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 解析:设两项运动都喜欢的

人数为x,画出Venn图得到
方程15-x+x+10-x+8=30?x=3,∴喜爱篮球 运动但不爱乒乓球运动的人数为15-3=12人. 答案:12

[例3] 且A

已知集合A={x|2a-2< x<a},B={x|1< x<2}

?RB,求a的取值范围. [思路点拨] 先求出?RB,再分类讨论,由A ?RB

求出a.

[精解详析]

?RB={x|x≤1或x≥2}≠?,∵A

?RB,

∴分A=?和A≠?两种情况讨论. (1)若A=?,此时有2a-2≥a,∴a≥2.
(2)若
? ?2a-2<a, A≠?,则有? ? ?a≤1 ? ?2a-2<a, 或? ? ?2a-2≥2.

∴a≤1.

综上所述,a的取值范围是:a≤1或a≥2.

[一点通]

解答有关交、并、补集综合运算及含参

数的问题,常借助Venn图和数轴,采用数形结合的思想
给予解答,在解答过程中注意集合运算性质的等价转化

及端点值的取舍.

6.已知全集U=R,集合A={x|x≤1,或x≥3},集合B=

{x|k<x<k+1,k∈R},且(?UA)∩B≠?,则实数k的
取值范围为 A.k<0或k>3 C.0<k<3 B.2<k<3 D.-1<k<3 ( )

解析:∵?UA={x|1<x<3},(?UA)∩B≠?, ∴1<k<3或1<k+1<3,∴0<k<3. 答案:C

7.已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+
b=0},满足(?UA)∩B={2},A∩(?UB)={4},U=R, 求实数a、b的值.
解:由条件(?UA)∩B={2}和 A∩(?UB)={4},知 2∈B, 但 2?A;4∈A,但 4?B.将 x=2 和 x=4 分别代入 B, A
2 ? ?2 -2a+b=0, 两集合中的方程式,得? 2 ? ?4 +4a+12b=0,

? ?4-2a+b=0, 即? ? ?4+a+3b=0.

8 12 解得 a=7,b=- 7 .

1.补集的性质
①?UU=?;②?U(?UA)=A;③?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB); ④?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB). 2.当题设条件中含有“至少”“至多”等词语且包含的情况 较多时,在解答过程中往往进行分类讨论,为了避免讨论, 可以借助补集思想来求解,即从问题的对立面出发,进行求 解,最后取相应集合的补集.

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