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25.5.1直线与圆的位置关系


25.1直线与圆的位置关系
马鞍山市金瑞中学数学初三备课组

本节课学习目标
? 1.掌握直线与圆的直线关系,并学会判断

自学内容: 课本33页~34页

观察⊙0与直线L的运动

.

. . .

. .
l

观察⊙0与直线L的运动

. .
.
l

观察⊙0与直线L的运动

.

.

.

(1)直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交 这时直线叫圆的 割线 (2) 直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切 这时直线叫圆的 切线

观察⊙0与直线L的运动

.

.

.

(1)直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交 这时直线叫圆的 割线 (2) 直线和圆有唯一公共点 时,叫做直线和圆相切 这时直线叫圆的 切线
(3)直线与圆没有公共点时,叫做直线和圆 相离

直线与圆有第四种关系吗?
即直线与圆是否有第三个交点?

小问题:

能否根据基本概念来判断直线与圆 的位置关系?

直线与圆的公共点的个数

是是非非
1、直线与圆最多有两个公共 点 。…………………( √ )

.O

是是非非
2、若C为⊙O上的一点,则过点C的直线与 ⊙O相切。… … … …( × )

.O

.C

是是非非
3 、若A、B是⊙O外两点, 则直线AB 与⊙O相离。… … … … …( × )

.A2
.A1 .A .O

.B2
.B1 .B

是是非非
4、若C为⊙O内一点,则过点C的
直线与⊙O相交。( √ )

C .

O .

小问题:

能否根据基本概念来判断直线与圆 的位置关系?

直线与圆的公共点的个数
新的问题:

是否还有其它的方法来判断直线与 圆的位置关系?

复习提问:

1、点与圆有几种位置关系?
.A.A .C AA . BAA.AAA .. .. ..

2、怎样判定点和圆的位置关系?
大于 (1)点到圆心的距离____半径时,点在圆外。 等于 (2)点到圆心的距离____半径时,点在圆上。 (3)点到圆心的距离____半径时,点在圆内。 小于

若将点改成直线 ,那么直线与圆的 位置关系又如何呢?

.O

c b a

直线与圆的位置关系
O d

r
l

d表示圆心O到直线l的距 离,r表示⊙O的半径 当d>r ,那么直线l与⊙O相离

O d A

r
l

当d=r ,那么直线l与⊙O相切

O d A

r
l B

当d<r ,那么直线l与⊙O相交

填空: 1、已知⊙O的半径为5cm,O到 直线a的距离为3cm,则⊙O与直 相交 线a的位置关系是_____。直线a 两个 与⊙O的公共点个数是____。

动动脑筋

2、已知⊙O的半径是4cm, O到直线a的距离是4cm, 则⊙O与直线a的位置关系是相切 _。 ___

3、已知⊙O的半径为6cm,O到 直线a的距离为7cm,则直线a与 零 ⊙O的公共点个数是____。
4、已知⊙O的直径是6cm, O到直线a的距离是4cm, 则⊙O与直线a的位置关系是相离 _。 ___

.O
r
d

.O
d

r .D
l

.E

d

.Or
.N .F
l

.B
H. 相离

.A
l

. C
相切

Q.

相交

看一看 想一想
当直线与圆 相离、相切、 相交时,d与 r有何关系?

1、直线与圆相离 < => d>r

2、直线与圆相切 < => d=r 3、直线与圆相交 < => d<r

说说收获
直线与圆的 位置关系

直线与圆的位置关系
相交 相切 相离

O

O
O

r d
l





d

r l
d

r

l

公共点个数 公共点名称 直线名称 圆心到直线距离 d与半径r的关系

2个 交点 割线 d<r

1个 切点 切线 d=r

没有

d>r

1、设⊙O的半径为4,点O到直线a的距离为d, 若⊙O与直线a至多只有一个公共点,则d为…( C ) A、d≤4 B、d<4 C、d≥4 D、d=4

2、设⊙p的半径为4cm,直线l上一点A到圆心的 距离为4cm,则直线l与⊙O的位置关系 是……………………………………………( D) A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
P

P 4cm

4cm l A

A

l

3.已知⊙A的直径为6,点A的坐 标为(-3,-4),则⊙A与X轴的 相离 位置关系是_____,⊙A与Y轴的位 相切 置关系是______。

思考:圆心A到X轴、
Y轴的距离各是多少?
4
.A 3 B

Y

O C

X

4、在Rt

ABC中,∠ C=90°,AC=3cm, BC= 4cm,

则以C为 圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系? (1)r =2cm, (2) r =2.4cm (3) r =3cm 分析: 1、什么叫点到直线的距离? 点到直线的垂线段的长度 2、要判断圆与AB的位置关系须 比较什么? 须比较点C到直线AB的距离与半径r的大小 3、故应求什么?怎么做? C到直线AB的距离 4、要求CD, 应考虑用什么方法? 等面积法或相似三角形

D

4在Rt

ABC中,∠ C=90°,AC=3cm, BC= 4cm, (3)r=3cm

则以C为 圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系? (1)r =2cm, (2) r =2.4cm

解: 过C点作CD⊥AB,垂足为D

C 3 4 D B

∵ ∠ C=90°,AC=3cm, BC= 4cm, ∴ AB = 5 1 1 ∵S ABC = AC×BC= AB×CD
∴3×4 = 5×CD ∴ CD =
12 5

A

2

2

即d = 2.4

(1)当r =2cm 时 , d > r ∴ 圆与AB相离 (2)当r =2.4cm 时 , d = r∴ 圆与AB相切 (3)当r =3 cm 时 , d < r ∴ 圆与AB相交

变式:

在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm, BC=4cm,以C为圆心,r为半径作圆。
d=2.4c m

0cm<r<2.4cm 1、当r满足________________ 时,⊙C与直线AB相离。

B
r=2.4cm 2、当r满足____________ 时,⊙C与直线AB相切。

5

4
3、当r满足 r>2.4cm ____________时, ⊙C与直线AB相交。

D

C

3

A

变式二
r=2.4cm 当r满足___________ 或3cm<r≤4cm 时,⊙C与 _____________ 线段AB只有一个公共点.

B

在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=3cm,BC=4cm, 以C为圆心,r为半径作圆。

5

d=2.4cm

4
C 3

D

A

5.如图:已知∠ AOB=30°,M为OB上一点,
且OM=5cm,以M为圆心,以r为半径的圆与直线OA有 怎样的位置关系?为什么? (1)r=2cm; (2)r=4cm; (3)r=2.5cm.
A

2.5cm

解:过点M作MN⊥OA于点N ∵在Rt△OMN中,∠AOB=30°,OM=5cm. ∴MN=2.5CM 即圆心M到直线OA的距离d=2.5cm (1)当r=2cm时, ∵d> r, ∴⊙M与直线OA相离。 O (2)当r=4cm时, ∵d< r, ∴⊙M与直线OA相交。 (3)当r=2.5cm时, ∵d = r, ∴⊙M与直线OA相切。

N

M

B

6. 如图:菱形ABCD的边长为5cm,∠B=60° 当以A为圆心的圆与BC相切时,半径是 此时⊙A与CD的位置关系是 。 ,

A

B

D

C

1、直线与圆的位置关系3种:相离、相切和相交。 2、识别直线与圆的位置关系的方法: (1)一种是根据定义进行识别: 直线L与⊙o没有公共点 ? 直线L与⊙o相离。 直线L与⊙o只有一个公共点 ? 直线L与⊙o相切。 直线L与⊙o有两个公共点 ? 直线L与⊙o相交。 (2)另一种是根据圆心到直线的距离d与圆半径r数量 比较来进行识别: d>r ? 直线L与⊙o相离; d=r ? 直线L与⊙o相切; d<r ? 直线L与⊙o相交。

本节课学习了什么内容?

当堂检测:

课本第36页练习


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