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高考必背公式及相关例题——数列


高考必背公式及相关例题——数列
1、数列的通项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?S1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ) an ? ? ?Sn ? Sn?1 , n ? 2
例 1、已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,求 ?a n ?的通项公式: (1) S n ? 2n 2 ? 3n ; (2) S n ? 2n ? 3 ; (3) S n ? n 2 an , a1 ? 1 .

例 2、已知正项数列 ?a n ?的前 n 项和 S n 满足 2 Sn ? an ? 1,求 ?a n ?的通项公式.

例 3、已知正项数列 ?a n ?的前 n 项和 S n 满足 S n ?

1 1 (an ? ) ,求数列 ?a n ?的通项公式. 2 an

2 例 4、数列 ?a n ?的首项为 1 ,前 n 项和 S n 满足 2Sn ,求 ?a n ?的通项公式. ? 2an Sn ? an ( n ? 2 且 n ? N * )

2、等差数列的通项公式为 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ; n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 其前 n 项和公式为 S n ? 2 2 2 2 3、等比数列的通项公式 an ? a1q n ?1 ?
a1 n ? q (n ? N * ) ; q

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? 其前 n 项的和公式为 Sn ? ? 1 ? q 或 Sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1
例 5、在等差数列 ?a n ?中, (1)已知 a15 ? 33 , a45 ? 153 ,求 a61 ; (2)已知 S8 ? 48 , S12 ? 168 ,求 a1 和 d ; (3)已知 a6 ? 10 , S5 ? 5 ,求 a8 和 S8 ; (4)已知 a16 ? 3 ,求 S 31 .

例 6、已知实数列 ?a n ?是等比数列,其中 a7 ? 1 ,且 a4 , a5 ? 1 , a6 成等差数列, (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)数列 ?a n ?的前 n 项和记为 S n ,证明 S n ? 128 .

例 7、等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,已知 S 1 , S3 , S 2 成等差数列. (1)求 ?a n ?的公比 q ; (2)若 a1 ? a3 ? 3 ,求 S n .

4、利用递推关系求数列的通项
例 8、根据下列各个数列

?an ?的首项和递推关系,求其通项公式.
1 4n ? 1
2

(1) a1 ? ,an ?1 ? an ?

1 2

; (2) a1 ?

1 2n ? 3 ? an ?1 (n ? 2) ; , an ? 3 2n ? 1

(3) a1 ? 1 , an ? 3an?1 ? 2(n ? 2) ;(4) a1 ? 2 , an ?1 ?

2an . an ? 2

例 9、已知数列 ?an ?中, a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ? (1)求 a2 , a3 ; (2)求 ?an ?的通项公式.

n?2 an . 3

例 10、数列 ?an ?满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an? 2 ? 2an?1 ? an ? 2 . (1)设 bn ? an ?1 ? an ,证明 ?bn ?是等差数列; (2)求 ?an ?的通项公式.

5、裂项相消法:
(1)

1 1 1 1 ? ( ? ); n( n ? k ) k n n ? 1

(2)

1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3)

1 1 1 1 1 ? n ?1 ? n . ? ( ? ); (4) (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1 n ? n ?1

2 例 11、等比数列 ?an ?的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1 , a3 ? 9a2 a6 .

(1)求数列 ?an ?的通项公式;

?1? (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 ? ? 的前 n 项和. ? bn ?

例 12、已知正项数列 ?an ?中 a1 ? 3 ,前 n 项和 S n 满足当 n ? 2 时有 Sn ? Sn?1 ? 3 , (1)并求 ?an ?的通项公式; (2) 记 Tn 是数列 ?bn ?的前 n 项和, 若 bn 是

1 1 和 的等比中项, 求 Tn . an an ?1

例 13、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3, 前 n 和 Sn ?
(1)求证:数列

1 (n ? 1)( a n ? 1) ? 1 2

?an ?是等差数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式

(3)设数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立? a a n n ? 1 ? ?

6、错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么
这个数列的前 n 项和就可以用错位相减法求. 例 14、求数列 n ? 2n 的前 n 项和.

?

?

例 15、已知数列 ?an ?的首项 a1 ?

2an 2 , an ?1 ? , an ? 1 3

?1 ? ?n? (1)证明:数列 ? ? 1? 是等比数列; (2)求数列 ? ? 的前 n 项和 S n . ? an ? ? an ?

例 16、已知首项都是 1 的两个数列 ?an ?和 ?bn ?( bn ? 0 )满足 anbn?1 ? an?1bn ? 2bn?1bn ? 0 . (1)令 cn ?

an ,求数列 ?c n ?的通项公式; (2)若 bn ? 3n?1 ,求数列 ?an ?的前 n 项和 S n . bn


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