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高中数学人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程单元综合测试


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第二章圆锥曲线与方程单元综合测试
时间:120 分钟 分值:150 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.椭圆 x2+4y2=1 的离心率为( A. C. 3 2 2 2 3 B. 4 D. 2 3 )

1 3 3 c 解析:∵a=1,b= ,∴c= a2-b2= ,∴e=a= ,故选 2 2 2 A. 答案:A 2. (2010· 新课标全国卷)已知双曲线 E 的中心为原点, F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(- 12,-15),则 E 的方程为( x 2 y2 A. - =1 3 6 x 2 y2 C. - =1 6 3 )

x 2 y2 B. - =1 4 5 x 2 y2 D. - =1 5 4

解析:∵F(3,0),AB 的中点 N(-12,-15), ∴kAB= -15-0 =1. -12-3

x 2 y2 又∵F(3,0),可设双曲线的方程为 2- 2=1, a b 易知 a2+b2=9①
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再设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x2 y2 1 1 2- 2=1② a b x2 y2 2 2 - =1③ a2 b2
2 2 x2-x2 y2-y2 1 1 由②-③可得 2 = 2 , a b



?x1-x2??x1+x2? ?y1+y2??y1-y2? = a2 b2

y1-y2 b2 x1+x2 ∴ = 2· =kAB=1.?* x1-x2 a y1+y2 又∵ x1+x2 y1+y2 =-12, =-15, 2 2

b2 -12 ∴?* 式可化为 2×( )=1, a -15 b2 5 ∴ 2= ④ a 4 由①和④可知 b2=5,a2=4, x 2 y2 ∴双曲线的方程为 - =1,故选择 B. 4 5 答案:B x 2 y2 3. 双曲线 + k =1 的离心率 e∈(1,2), k 的取值范围是( 则 4 A.(-∞,0) B.(-12,0) C.(-3,0)
2

)

D.(-60,-12)
2 2

c2 4-k 解析:∵a =4,b =-k,∴c =4-k.∵e∈(1,2),∴ 2= ∈ a 4 (1,4),k∈(-12,0). 答案:B 4.若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点
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金太阳新课标资源网 P 的轨迹为( A.圆 C.双曲线 )

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B.椭圆 D.抛物线

解析:设 M(2,0),由题设可知,把直线 x=-1 向左平移一个单 位即为直线 x=-2,则点 P 到直线 x=-2 的距离等于|PM|,所以动 点 P 的轨迹为抛物线,故选 D. 答案:D 1 5.已知两定点 F1(-1,0),F2(1,0),且 |F1F2|是|PF1|与|PF2|的等 2 差中项,则动点 P 的轨迹是( A.椭圆 C.抛物线 B.双曲线 D.线段 )

解析:依题意知|PF1|+|PF2|=|F1F2|=2,作图可知点 P 的轨迹 为线段,故选 D. 答案:D 6.(2011· 课标全国高考)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2 C.2 B. 3 D.3 )

x 2 y2 解析:不妨设双曲线 C 为 2- 2=1(a>0,b>0),并设 l 过 F2(c,0) a b 2b2 2b2 且垂直于 x 轴,则易求得|AB|= a ,∴ a =2×2a,b2=2a2, c ∴离心率 e=a= 答案:B
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b2 1+ 2= 3,故选 B. a

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7.过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两 点,它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线( A.有且仅有一条 C.有无穷多条 B.有且仅有两条 D.不存在 )

解析:由定义|AB|=5+2=7,∵|AB|min=4,∴这样的直线有且 仅有两条. 答案:B x 2 y2 8.已知(4,2)是直线 l 被椭圆 + =1 所截得的线段的中点,则 36 9 l 的方程是( ) B.x+2y-4=0 D.x+2y-8=0

A.x-2y=0 C.2x+3y+4=0

2 2 y1-y2 解析:设 l 与椭圆的两交点分别为(x1,y1)、(x2,y2),则得 2 x1-x2 2 y1-y2 9 1 =- ,所以 =- . 36 2 x1-x2 1 故方程为 y-2=- (x-4),即 x+2y-8=0. 2 答案:D

x 2 y2 9. 过椭圆 + =1 的右焦点作 x 轴的垂线交椭圆于 A、 两点, B 4 2 已知双曲线的焦点在 x 轴上, 对称中心在坐标原点且两条渐近线分别 过 A、B 两点,则双曲线的离心率 e 为( 1 A. 2 C. B. 2 2 )

6 3 D. 2 2

x 2 y2 解析:A( 2,1),B( 2,-1),设双曲线为 2- 2=1(a>0,b>0), a b

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2 b b b 渐近线方程为 y=± x, 因为 A、 在渐近线上, B 所以 1=a· 2, = , a a 2 c e=a= a2+b2 = a2 6 b 1+?a?2= . 2

答案:C x 2 y2 10. 双曲线m- n =1(mn≠0)有一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点 重合,则 m+n 的值为( A.3 C.1 B.2 D.以上都不对
2

)

x 2 y2 解析: 抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0), 故双曲线m- n =1 中 m>0, n>0,且 m+n=c2=1. 答案:C x 2 y2 11.设 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b<0)的左、右焦点,点 P a b → PF → → |PF 在双曲线上,若PF1· 2=0,且|PF1|·→2|=2ac(c= a2+b2),则双 曲线的离心率为( 1+ 5 A. 2 C.2 ) B. 1+ 3 2 1+ 2 2

D.

→ 解析: →1· 2=0 可知△PF1F2 为直角三角形, 由PF PF 则由勾股定理, → → 得|PF1|2+|PF2|2=4c2,① → → 由双曲线的定义,得(|PF1|-|PF2|)2=4a2,② → |PF 又|PF1|·→2|=2ac,③ 由①②③得 c2-ac-a2=0,即 e2-e-1=0,
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金太阳新课标资源网 解得 e=

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1+ 5 1- 5 或 e= (舍去). 2 2

答案:A x 2 y2 12.已知 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦 a b |PF1|2 点,P 为双曲线右支上的任意一点,若 的最小值为 8a,则双曲 |PF2| 线的离心率 e 的取值范围是( A.(1,+∞) B.(1,2] C.(1, 3] D.(1,3]
2

)

|PF1|2 ?2a+|PF2|? 4a2 解析: = = +|PF2|+4a≥4a+4a=8a,当 |PF2| |PF2| |PF2| 4a2 且仅当 =|PF2|,即|PF2|=2a 时取等号.这时|PF1|=4a.由|PF1|+ |PF2| c |PF2|≥|F1F2|,得 6a≥2c,即 e=a≤3,得 e∈(1,3],故选 D. 答案:D 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 1 13.若双曲线的渐近线方程为 y=± x,它的一个焦点是( 10, 3 0),则双曲线的标准方程是________. 1 b 1 解析:由双曲线的渐近线方程为 y=± x,知a= ,它的一个焦 3 3 点是( 10,0),知 a2+b2=10,因此 a=3,b=1,故双曲线的方程是 x2 2 -y =1. 9

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金太阳新课标资源网 x2 2 答案: -y =1 9

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x 2 y2 14.椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若 9 2 |PF1|=4,则|PF2|=__________,∠F1PF2 的大小为________. 解析:由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=2×3=6,因为|PF1|= 4,所以|PF2|=2. |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 1 在△PF1F2 中,cos∠F1PF2= =- . 2|PF1||PF2| 2 ∴∠F1PF2=120° . 答案:2 120°

x 2 y2 15.已知 F1、F2 是椭圆 2+ 2=1 的左、右焦点,点 P 是椭圆上 a b 任意一点,从 F1 引∠F1PF2 的外角平分线的垂线,交 F2P 的延长线 于 M,则点 M 的轨迹方程是________. 解析:由题意知|MP|=|F1P|, ∴|PF1|+|PF2|=|MF2|=2a. ∴点 M 到点 F2 的距离为定值 2a. ∴点 M 的轨迹是以点 F2 为圆心,以 2a 为半径的圆,其方程为 (x- a2-b2)2+y2=4a2. 答案:(x- a2-b2)2+y2=4a2 x2 2 16.(2011· 浙江高考)设 F1,F2 分别为椭圆 +y =1 的左,右焦 3 → → 点,点 A,B 在椭圆上,若F1A=5F2B,则点 A 的坐标是________. → 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 F1(- 2,0),F2( 2,0)且F1A 1 1 → =5F2B得 x2= (x1+6 2),y2= y1.又 A、B 两点在椭圆上,故有 5 5 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

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? ??x +6 2? -x y + =1, ? 75 25
2 1 2 1 2 1

x2 2 1 +y1=1, 3

2 ?x1+6 2?2-x1 消去 y1 得 =24,有 x1= 3

0,从而 y1=± 1,故点 A 的坐标为(0,1)和(0,-1). 答案:(0,± 1) 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 70 分) x 2 y2 5 17.(10 分)求与椭圆 + =1 有公共焦点,并且离心率为 的 9 4 2 双曲线方程. x 2 y2 解:由椭圆方程 + =1,知长半轴 a1=3,短半轴 b1=2,焦 9 4
2 距的一半 c1= a2-b1= 5,∴焦点是 F1(- 5,0),F2( 5,0),因 1

x2 此双曲线的焦点也是 F1(- 5,0),F2( 5,0),设双曲线方程为 2- a

?c= 5, , ?c =a +b y =1(a>0,b>0),由题设条件及双曲线的性质,得? b c ?a= 25, ?
2 2 2 2 2

?a=2, ? x2 2 解得? 故所求双曲线的方程为 -y =1. 4 ? ?b=1.

x 2 y2 18. 分)(2010· (10 天津高考)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e a b = 3 ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. 2 (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B.已知点 A 的坐标为(- 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

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→ QB → a,0),点 Q(0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上,且QA· =4,求 y0 的值. 3 c 解:(1)由 e=a= ,得 3a2=4c2. 2 再由 c2=a2-b2,得 a=2b. 1 由题意可知 ×2a×2b=4,即 ab=2. 2
?a=2b, ? 解方程组? 得 a=2,b=1. ? ?ab=2,

x2 2 所以椭圆的方程为 +y =1. 4 (2)由(1)可知 A(-2,0). 设 B 点的坐标为(x1,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+2).

?y=k?x+2?, 于是 A,B 两点的坐标满足方程组?x2 2 ? 4 +y =1.
由方程组消去 y 并整理,得 (1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0. 16k2-4 2-8k2 由-2x1= ,得 x1= . 1+4k2 1+4k2 从而 y1= 4k . 1+4k2

设线段 AB 的中点为 M, 8k2 2k 则 M 的坐标为(- ). 2, 1+4k 1+4k2 以下分两种情况: ①当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 y
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→ → 轴,于是QA=(-2,-y0),QB=(2,-y0). → QB → 由QA· =4,得 y0=± 2. 2 ②当 k≠0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 2k 1 8k2 y- =-k(x+ ). 1+4k2 1+4k2 令 x=0,解得 y0=- 6k . 1+4k2

→ → 由QA=(-2,-y0),QB=(x1,y1-y0). → QB → QA· =-2x1-y0(y1-y0) -2?2-8k2? 6k 4k 6k = + ) 2 2( 2+ 1+4k 1+4k 1+4k 1+4k2 4?16k4+15k2-1? = =4, ?1+4k2?2 整理得 7k2=2,故 k=± 14 2 14 .所以 y0=± . 7 5

2 14 综上,y0=± 2或 y0=± 2 . 5 19. 分)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线 (12 于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点.求证: (1)x1x2 为定值; 1 1 (2) + 为定值. |FA| |FB|
?p ? 证明:(1)抛物线 y2=2px 的焦点为 F?2,0?,设直线 AB 的方程 ? ?

p? ? 为 y=k?x-2?(k≠0).
? ?

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?y=k?x-p?, ? ? 2? ? 由? ?y2=2px,
2 2 2

消去 y,

k2p2 得 k x -p(k +2)x+ =0. 4 p2 由根与系数的关系,得 x1x2= (定值). 4 p2 p 当 AB⊥x 轴时,x1=x2= ,x1x2= ,也成立. 2 4 p (2)由抛物线的定义,知|FA|=x1+ , 2 p |FB|=x2+ . 2 1 1 1 1 + = + p p |FA| |FB| x1+ x2+ 2 2 x1+x2+p x1+x2+p = 2= p p p2 p ?x +x2?+x1x2+ ?x +x2?+ 2 1 4 2 1 2 x1+x2+p 2 =p =p(定值). ?x +x2+p? 2 1 当 AB⊥x 轴时,|FA|=|FB|=p,上式仍成立. 20.(12 分)已知 A( 2,0)、B(- 2,0)两点,动点 P 在 y 轴上 → PB → → 的射影为 Q,PA· =2PQ2. (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)设直线 m 过点 A,斜率为 k,当 0<k<1 时,曲线 E 的上支上 有且仅有一点 C 到直线 m 的距离为 2, 试求 k 的值及此时点 C 的坐 标. 解:(1)设动点 P 的坐标为(x,y), 第 11 页 共 15 页 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

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→ → 则点 Q(0,y),PQ=(-x,0),PA=( 2-x,-y), → → PB → PB=(- 2-x,-y),PA· =x2-2+y2. → PB → → ∵PA· =2PQ2,∴x2-2+y2=2x2, 即动点 P 的轨迹方程为 y2-x2=2. (2)设直线 m:y=k(x- 2)(0<k<1), 依题意, C 在与直线 m 平行且与 m 之间的距离为 2的直线上, 点 设此直线为 m1:y=kx+b. 由 | 2k+b| = 2,即 b2+2 2kb=2.① 2 k +1

把 y=kx+b 代入 y2-x2=2,整理,得(k2-1)x2+2kbx+(b2-2) =0, 则 Δ=4k2b2-4(k2-1)(b2-2)=0, 即 b2+2k2=2.② 由①②,得 k= 2 5 10 ,b= . 5 5

?y=2 5x+ 10, 5 5 此时,由方程组? ?y2-x2=2,
? ?x=2 2, 解得? 即 C(2 2, 10). ? ?y= 10,

21.(14 分)(2010· 江西高考)

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图2 x 2 y2 设椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0),抛物线 C2:x2+by=b2. a b (1)若 C2 经过 C1 的两个焦点,求 C1 的离心率; 5 (2)设 A(0,b),Q(3 3, b),又 M,N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的 4 3 两个交点,若△AMN 的垂心为 B(0, b),且△QMN 的重心在 C2 上, 4 求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程. 解: (1)因为抛物线 C2 经过椭圆 C1 的两个焦点 F1(-c,0), 2(c,0), F 可得 c2=b2. c2 1 由 a =b +c =2c ,有 2= , a 2
2 2 2 2

所以椭圆 C1 的离心率 e=

2 . 2

(2)由题设可知 M,N 关于 y 轴对称, 设 M(-x1,y1),N(x1,y1),(x1>0), → AN → 则由△AMN 的垂心为 B,有BM· =0, 3 所以-x2+(y1- b)(y1-b)=0① 1 4 由于点 N(x1,y1)在 C2 上,故有 x2+by1=b2② 1 b 由①②得 y1=- ,或 y1=b(舍去), 4
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金太阳新课标资源网 所以 x1=

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5 5 5 b b b,故 M(- b,- ),N( b,- ), 2 2 4 2 4

b 所以△QMN 的重心为( 3, ), 4 b2 由重心在 C2 上得:3+ =b2, 4 1 1 所以 b=2,M(- 5,- ),N( 5,- ), 2 2 1 ?- ?2 2 ?± 5? 16 又因为 M,N 在 C1 上,所以 2 + =1,得 a2= .所以 a 4 3
2

x 2 y2 椭圆 C1 的方程为: + =1, 16 4 3 抛物线 C2 的方程为:x2+2y=4. x 2 y2 22.(12 分)(2011· 江西高考)P(x0,y0)(x0≠± a)是双曲线 E: 2- 2 a b =1(a>0,b>0)上一点,M,N 分别是双曲线 E 的左、右顶点,直线 1 PM,PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线交于 A,B → → → 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足OC=λOA+OB,求 λ 的值.
2 x 2 y2 x2 y0 0 解:(1)点 P(x0,y0)(x0≠± a)在双曲线 2- 2=1 上,有 2- 2=1. a b a b

由题意又有 30 c e=a= . 5
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y0 y0 1 · = ,可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则 x0-a x0+a 5

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?x2-5y2=5b2 ? (2)联立? 得 4x2-10cx+35b2=0, A(x1,1), 2, 设 y B(x ? ?y=x-c

?x1+x2=5c, ? 2 y2),则? 35b2 ?x1x2= 4 . ?



? ?x3=λx1+x2, → → → → 设OC=(x3,y3),OC=λOA+OB,即? ?y3=λy1+y2. ?
2 2 又 C 为双曲线上一点,即 x3-5y3=5b2,

有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,
2 2 2 化简得 λ2(x1-5y1)+(x2-5y2)+2λ· 1x2-5y1y2)=5b2.② (x 2

又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以 x2-5y2=5b2,x2-5y2 1 1 2 2 =5b2. 由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)· 2-c)=-4x1x2+5c(x1 (x +x2)-5c2=10b2,得:λ2+4λ=0,解出 λ=0 或 λ=-4.

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