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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)课件:第3章 第4节 定积分与微积分基本定理(理)


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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
导数及其应用

第三章

导数及其应用

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/>
第三章 第四节 定积分与微积分

基本定理(理)

第三章

导数及其应用

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

第三章

导数及其应用

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自主预习学案

第三章

导数及其应用

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了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定 积分的概念,了解微积分基本定理的含义.

第三章

导数及其应用

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从近几年高考命题看,本节内容多以选择题或填空题形式

出现,主要是利用微积分基本定理进行计算求值,利用定积分
的几何意义求平面图形的面积.与其他知识交汇是高考命题的 方向,备考中应进行相应训练.

第三章

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1.定 积 分 的 有 关 概 念 1 () 在 限 , 区 间 _ _ _ _ _ _ _ _x
?b ? ? ?a

f(x)dx中,_ _ _ _ _ _ _ _a、b 分 别 叫 做 积 分 下 限 与 积 分 上
f ( x) _ _ _ _ _ _ _ _

[ a _ _ _ _ _ _ _ _,b] 叫 做 积 分 区 间 ,

叫 做 被 积 函 数 ,

叫 做 积 分 变 量 ,
?b ? ? ?a

f_ (x)dx 叫 _ _ _ _ _ _ _ 做 被 积 式 .

2 () 定 积 分

f(x)dx是 一 个 常 数 .

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2.定 积 分 的 几 何 意 义 当f(x)≥0时 , 定 积 分
?b ? ? ?a

f(x)dx的 几 何 意 义 : 表 示 由 直 线

x=

a,x=b(a≠b),y=0和 曲 线 y=f(x)所 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 . 当 y<0时 , 即 曲 边 梯 形 在 示 这 个 曲 边 梯 形 面 积 的 相 反 数 . x轴 的 下 方 时
?b ? ? ?a

f(x)dx在 几 何 上 表

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一 般 情 况 下

(如下图),定积分

?b ? ? ?a

f(x)dx的 几 何 意 义 是 介 于

x

轴、函数f(x)的 图 象 以 及 直 线 数和,在x轴 上 方 的 面 积 取 正 号 ; 在

x=a、x=b之 间 各 部 分 面 积 的 代 x轴 下 方 的 面 积 取 负 号 .

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3.定 积 分 的 性 质 1 ( )
?b ? ? ?a

b ? k? f(x)dx ? ? kf(x)dx=_ _ _ _ _ _ _ _ ( k为 常 数 ); a
?b ? ? ?a

?b ? f1(x)dx± f2(x)dx ? b ?a ? [ f 1(x)± f 2(x)] dx=_ 2 ( ) ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___; ?

?a ?c ? ? ?a

3 ( )

b ? f(x)dx+? ?
?c

f(x)dx f(x)dx=_ _ _ _ _ _ _ _ ( 其中a<c<b).

?b ? ? ?a

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4.微 积 分 基 本 定 理 一 般 地 , 如 果 =f(x), 那 么
?b ? ? ?a

f(x)是 区 间 [ a,b] 上 的 连 续 函 数 , 并 且
F ( b )-F(a__. ) f(x)dx=___ _ _ _ _ _ _ _

F ′(x)

b b F(b)- F(a ) ? 即? f ( x )d x = F ( x )| = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . a ?
?a

其 中 F(x)是f(x)的 一 个 原 函 数 .

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1 2 ( . 0 1 3 ·

江 西 理 ,

1 2 x ? e dx , 6)若S1= x dx,S2= dx,S3= ? ? x ?
?2 ? ? ?1

2

?2 ? ? ?1

1

则S1,S2,S3的 大 小 关 系 为 A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1

(

) B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1

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[答案] B

[ 解析]
?2 ? ? ?1

3 x 7 2 ?2 2 S1=? x dx= |1= . ? 3 3 ? 1

1 S2= dx=lnx|2 1=ln2-ln1=ln2. x
2 x x2 2 ? e dx=e |1=e - e=e(e- 1). S3=? ?
?1

∵e>2.7,ln2<1, ∴S3>3>S1>S2.故选B.

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2.(2014· 哈师大、东北师大、辽宁实验中学一模) dx=( A.0
[答案] B

x sin 2
2

) π 1 B. - 4 2 π 1 C. - 4 4 π D. -1 2

[ 解析] π 1 - .故选 B. 4 2

sin dx= 2

2x

1 1 1 1 ( - cosx)dx=( x- sinx) 2 2 2 2



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3.2 ( 0 1 4 ·

福 建 泉 州 五 中 、 莆 田 、 漳 州 一 中 期 末

)由 曲 线 y= (如 图 所 示 )的 面

x2-1, 直 线 x=0,x=2和x轴 围 成 的 封 闭 图 形 积 可 表 示 为
?0

(

)

2 2 ? (x -1 A.? d ) x ? 2 2 ? |x -d B.? 1 | x ?
?0

2 2 ? (x -1 C.|? d ) x| ?
?0

1 2 2 ?2 ? (x -1 ? (x -1 D.? d ) x + d ) x ? ?
?0 ?1

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[答案] B

[ 解析]

曲线y=x2-1,直线x=0,x=2和x轴围成的封闭
?0

2 2 ? |x -1|dx.故选B. 图形的面积可表示为? ?

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4.2 ( 0 1 4 ·

河 北 衡 水 中 学 二 调

)在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 记 抛 M, 该 抛 物 线 与 直 线 M内 随 机 抛 掷 一 点 ) y

物 线 y=x-x2与x轴 所 围 成 的 平 面 区 域 为 =kx(k>0)所 围 成 的 平 面 区 域 为 P, 若 点 P落 在 区 域 1 A. 3 1 C. 2
[ 答案] A

A, 向 区 域

A内 的 概 率 为

8 , 则 k的 值 为 ( 27 2 B. 3 3 D. 4

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[解 析]

如 图 , 由

? ?y=kx ? 2 ? ?y=x-x

,得 x=1-k, 区 域 M的 面 积 1 = , 区 域 A的 面 积 S= 6

S=2

1 2 1 3 (x-x )dx=2( x - x ) 2 3
2

1-k 2 1 3 (x-x -kx)=( x- x) 2 3
2 3

?1-k?3 ?1-k?3 6 8 = ,∵ = ,∴(1 6 1 27 6

8 2 1 -k) = ,∴1-k= ,∴k= . 27 3 3

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典例探究学案

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定积分的几何意义

π 曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x= 所围成 2 的平面区域的面积为( A. C. (sinx-cosx)dx (cosx-sinx)dx ) B. D.2 (sinx-cosx)dx (cosx-sinx)dx

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[答案] D

[ 分析]

在同一坐标系中作出函数y=sinx,y=cosx,和直

π 线x=0,x= ,观察它们所围成的图形,找出积分上下限和被 2 积函数.
[ 解析]
?π 标为 ? ?4, ?

π 当x∈[0, ]时,y=sinx与y=cosx的图象的交点坐 2

2? ? ,作图可知曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x= ? 2?

π 所围成的平面区域的面积可分为两部分: 2
第三章 导数及其应用

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一 部 分 是 曲 线

π y=n s i x,y=c o s x与 直 线 x=0,x= 所 围 成 的 平 4 y=n s i x,y=c o s x与 直 线 x=

面 区 域 的 面 积 ; 另 一 部 分 是 曲 线

π π ,x= 所 围 成 的 平 面 区 域 的 面 积 . 且 这 两 部 分 的 面 积 相 等 , 4 2 结 合 定 积 分 定 义 可 知 选 D.

[ 方法总结]

如 果 被 积 函 数 有 明 显 的 几 何 意 义 , 计 算 定 积

分 时 可 按 几 何 方 法 求 定 积 分 .

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?2 ? ?-2

(|x+1|+|x-1|)dx=_ _ _ _ _ _ _ _ .
10

[ 答案]

[解 析]

?-2x x≤-1, ? -1<x<1, ∵|x+1|+|x-1|=?2 ?2x x≥1, ?
1 2 ?1 2dx+ ? ? x= ? ( - 2 x )d x + 2xdx= - ? ? ?


2 (|x+1|+|x-d ∴? ) 1 | ?
?-2

?-2

?-1

?1

1 1 22 x2|- + 2 x | + x |1=1 0 . -2 -1

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[点评] 的面积.

由定积分的几何意义知,积分值为图中阴影部分

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定积分的性质与微积分基本定理

求下列定积分
2 x +1 x ?2 (1)? (e + )dx=________; ? x ? 1 9 ? (2)? x(1+ x)dx=________; ?
?4

2 ? |3-2x|dx=________. (3)? ?
?1

[ 答案]

3 1 1 (1)e -e+ln2+ (2)45 (3) 2 6 2
2

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2 x +1 1 x x ?2 ?2 1 () ? (e + )dx=? (e +x+ )dx ? ? x x ? ? 1 1

[解 析]
x

1 2 3 2 2 =(e + x +lnx)|1=e -e+ +n l 2 . 2 2 2 ()
?9 ? ? ?4

x(1+

1 9 ? (x2 x)dx=?
? ?4

+x)dx=

?2 3 ? 2 ?3x ?

? 1 2? ??9 + x ??4 2 ??

3 3 2 2 1 2 2 2 1 2 1 = ×9 + ×9 - ×4 - ×4 =45 . 3 2 3 2 6

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[方法总结]

1.熟记积分的三条性质,常数可提到积分号

外;和、差的积分等于积分的和、差;积分区间可加性. 2.用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足F ′(x)= f(x)的函数F(x),利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关 系,运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方 向上求出F(x). 利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简,再积分. 具体步骤是:

(1)把被积函数变形为积分公式中函数的和与差.
(2)分别用求导公式找到一个原函数. (3)用微积分基本定理求各个积分值.

(4)求出结果.
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[答案] (1)A (2)-4

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利用定积分求平面图形的面积

2 (2014· 哈师大附中期中)曲线y= 与直线y=x-1 x 及x=4所围成的封闭图形的面积为( A.2ln2 C.4-ln2
[ 答案] D

)

B.2-ln2 D.4-2ln2

[ 分析]

先画图,找出围成的封闭图形,再将封闭图形的

面积用定积分表示,最后求定积分.
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[ 解析]

如图,封 闭 图 形 的 面 积 为

?4 ? ? ?2

2 1 2 [(x-1)- ]dx=( x - x 2

x-2 n l x)|4 n l 2 . 2=4-2

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[方法总结]

利用定积分求曲边梯形面积的步骤:

(1)画出曲线的草图. (2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的 上、下限.

(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差.
(4)计算定积分,写出答案.

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(1)(2015·北京四中期中 ) 如图,阴影区域是由函数 y =cosx 的一段图象与 x 轴围成的封闭图形,则该阴影区域的面积是

________.

(2)曲线y=cosx(0≤x≤2π)与直线y=1所围成的图形面积是 ( ) A.2π 3π C. 2 B.3π D.π

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[ 答案]

1 ( 2 )

2 ( A )

[ 点评]

2 ( ) 题 可 利 用 余 弦 函 数 的 对 称 性

① ② ③ ④

面 积 相 等 .
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解 决 , 但 若 把 积 分 区 间 改 为

?π ? ? ? , π 则 对 称 性 就 无 能 为 力 了 ?6 ?, ? ?
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易错警示系列

5π 求曲线f(x)=sinx,x∈[0, ]与x轴围成的图形 4 的面积.

[ 错解] 面积为S,

5π 设曲线f(x)=sinx,x∈[0, ]与x轴围成的图形的 4

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[辨析]

本题的错误在于没有理解定积分的几何意义,当

对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值取负值,其面积 应是该定积分的相反数.

[ 正解]

对于f(x)=sinx,

当x∈[0,π] 时,f(x)≥0, 5 当x∈(π, π]时,f(x)<0, 4

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[警示]

求曲线所围成的平面图形的面积时,一是利用数

形结合法,通过解方程组确定被积函数与积分上、下限;二是 弄清平面图形位于x轴上方与下方的部分.

名师点睛 两种类型 (1)由一条曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b和x轴围成平
b ? 面图形的面积为? |f(x)|dx. ?
?a

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2 () 由 两 条 直 线

x=a、x=b(a<b)、 两 条 曲 线

y=f(x)、y=

g(x)(f(x)≥g(x))围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 :
b ? [ f (x)-g(x)] dx(如 S=? 右 图 ). ?
?a

三 条 性 质 1 () 常 数 可 提 到 积 分 号 外 ; 2 () 和 差 的 积 分 等 于 积 分 的 和 差 ; 3 () 积 分 可 分 段 进 行 ,
?b ? ? ?a

c ?b ? f(x)dx+? f(x)dx=? f(x)dx. ? ?
?a ?c

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课时作业
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