【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)课件：第3章 第4节 定积分与微积分基本定理(理)

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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
导数及其应用

第三章

导数及其应用

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第三章 第四节 定积分与微积分

基本定理(理)

第三章

导数及其应用

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

第三章

导数及其应用

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自主预习学案

第三章

导数及其应用

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了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定 积分的概念，了解微积分基本定理的含义.

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导数及其应用

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从近几年高考命题看，本节内容多以选择题或填空题形式

出现，主要是利用微积分基本定理进行计算求值，利用定积分
的几何意义求平面图形的面积．与其他知识交汇是高考命题的 方向，备考中应进行相应训练.

第三章

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1.定 积 分 的 有 关 概 念 1 () 在 限 ， 区 间 _ _ _ _ _ _ _ _x
?b ? ? ?a

f(x)dx中，_ _ _ _ _ _ _ _a、b 分 别 叫 做 积 分 下 限 与 积 分 上
f ( x) _ _ _ _ _ _ _ _

[ a _ _ _ _ _ _ _ _，b] 叫 做 积 分 区 间 ，

叫 做 被 积 函 数 ，

叫 做 积 分 变 量 ，
?b ? ? ?a

f_ (x)dx 叫 _ _ _ _ _ _ _ 做 被 积 式 ．

2 () 定 积 分

f(x)dx是 一 个 常 数 ．

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2．定 积 分 的 几 何 意 义 当f(x)≥0时 ， 定 积 分
?b ? ? ?a

f(x)dx的 几 何 意 义 ： 表 示 由 直 线

x＝

a，x＝b(a≠b)，y＝0和 曲 线 y＝f(x)所 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 ． 当 y<0时 ， 即 曲 边 梯 形 在 示 这 个 曲 边 梯 形 面 积 的 相 反 数 ． x轴 的 下 方 时
?b ? ? ?a

f(x)dx在 几 何 上 表

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一 般 情 况 下

(如下图)，定积分

?b ? ? ?a

f(x)dx的 几 何 意 义 是 介 于

x

轴、函数f(x)的 图 象 以 及 直 线 数和，在x轴 上 方 的 面 积 取 正 号 ； 在

x＝a、x＝b之 间 各 部 分 面 积 的 代 x轴 下 方 的 面 积 取 负 号 ．

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3．定 积 分 的 性 质 1 ( )
?b ? ? ?a

b ? k? f(x)dx ? ? kf(x)dx＝_ _ _ _ _ _ _ _ ( k为 常 数 )； a
?b ? ? ?a

?b ? f1(x)dx± f2(x)dx ? b ?a ? [ f 1(x)± f 2(x)] dx＝_ 2 ( ) ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___； ?

?a ?c ? ? ?a

3 ( )

b ? f(x)dx＋? ?
?c

f(x)dx f(x)dx＝_ _ _ _ _ _ _ _ ( 其中a<c<b)．

?b ? ? ?a

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4．微 积 分 基 本 定 理 一 般 地 ， 如 果 ＝f(x)， 那 么
?b ? ? ?a

f(x)是 区 间 [ a，b] 上 的 连 续 函 数 ， 并 且
F ( b )－F(a__. ) f(x)dx＝___ _ _ _ _ _ _ _

F ′(x)

b b F(b)－ F(a ) ? 即? f ( x )d x ＝ F ( x )| ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . a ?
?a

其 中 F(x)是f(x)的 一 个 原 函 数 ．

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1 2 ( . 0 1 3 ·

江 西 理 ，

1 2 x ? e dx ， 6)若S1＝ x dx，S2＝ dx，S3＝ ? ? x ?
?2 ? ? ?1

2

?2 ? ? ?1

1

则S1，S2，S3的 大 小 关 系 为 A．S1<S2<S3 C．S2<S3<S1

(

) B．S2<S1<S3 D．S3<S2<S1

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[答案] B

[ 解析]
?2 ? ? ?1

3 x 7 2 ?2 2 S1＝? x dx＝ |1＝ . ? 3 3 ? 1

1 S2＝ dx＝lnx|2 1＝ln2－ln1＝ln2. x
2 x x2 2 ? e dx＝e |1＝e － e＝e(e－ 1)． S3＝? ?
?1

∵e>2.7，ln2<1， ∴S3>3>S1>S2.故选B.

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2．(2014· 哈师大、东北师大、辽宁实验中学一模) dx＝( A．0
[答案] B

x sin 2
2

) π 1 B. － 4 2 π 1 C. － 4 4 π D． －1 2

[ 解析] π 1 － .故选 B. 4 2

sin dx＝ 2

2x

1 1 1 1 ( － cosx)dx＝( x－ sinx) 2 2 2 2

＝

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3．2 ( 0 1 4 ·

福 建 泉 州 五 中 、 莆 田 、 漳 州 一 中 期 末

)由 曲 线 y＝ (如 图 所 示 )的 面

x2－1， 直 线 x＝0，x＝2和x轴 围 成 的 封 闭 图 形 积 可 表 示 为
?0

(

)

2 2 ? (x －1 A.? d ) x ? 2 2 ? |x －d B.? 1 | x ?
?0

2 2 ? (x －1 C．|? d ) x| ?
?0

1 2 2 ?2 ? (x －1 ? (x －1 D.? d ) x ＋ d ) x ? ?
?0 ?1

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[答案] B

[ 解析]

曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭
?0

2 2 ? |x －1|dx.故选B. 图形的面积可表示为? ?

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4．2 ( 0 1 4 ·

河 北 衡 水 中 学 二 调

)在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 记 抛 M， 该 抛 物 线 与 直 线 M内 随 机 抛 掷 一 点 ) y

物 线 y＝x－x2与x轴 所 围 成 的 平 面 区 域 为 ＝kx(k＞0)所 围 成 的 平 面 区 域 为 P， 若 点 P落 在 区 域 1 A. 3 1 C. 2
[ 答案] A

A， 向 区 域

A内 的 概 率 为

8 ， 则 k的 值 为 ( 27 2 B. 3 3 D. 4

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[解 析]

如 图 ， 由

? ?y＝kx ? 2 ? ?y＝x－x

，得 x＝1－k， 区 域 M的 面 积 1 ＝ ， 区 域 A的 面 积 S＝ 6

S＝2

1 2 1 3 (x－x )dx＝2( x － x ) 2 3
2

1－k 2 1 3 (x－x －kx)＝( x－ x) 2 3
2 3

?1－k?3 ?1－k?3 6 8 ＝ ，∵ ＝ ，∴(1 6 1 27 6

8 2 1 －k) ＝ ，∴1－k＝ ，∴k＝ . 27 3 3

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典例探究学案

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定积分的几何意义

π 曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝ 所围成 2 的平面区域的面积为( A． C． (sinx－cosx)dx (cosx－sinx)dx ) B． D．2 (sinx－cosx)dx (cosx－sinx)dx

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[答案] D

[ 分析]

在同一坐标系中作出函数y＝sinx，y＝cosx，和直

π 线x＝0，x＝ ，观察它们所围成的图形，找出积分上下限和被 2 积函数．
[ 解析]
?π 标为 ? ?4， ?

π 当x∈[0， ]时，y＝sinx与y＝cosx的图象的交点坐 2

2? ? ，作图可知曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝ ? 2?

π 所围成的平面区域的面积可分为两部分： 2
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一 部 分 是 曲 线

π y＝n s i x，y＝c o s x与 直 线 x＝0，x＝ 所 围 成 的 平 4 y＝n s i x，y＝c o s x与 直 线 x＝

面 区 域 的 面 积 ； 另 一 部 分 是 曲 线

π π ，x＝ 所 围 成 的 平 面 区 域 的 面 积 ． 且 这 两 部 分 的 面 积 相 等 ， 4 2 结 合 定 积 分 定 义 可 知 选 D.

[ 方法总结]

如 果 被 积 函 数 有 明 显 的 几 何 意 义 ， 计 算 定 积

分 时 可 按 几 何 方 法 求 定 积 分 ．

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?2 ? ?－2

(|x＋1|＋|x－1|)dx＝_ _ _ _ _ _ _ _ .
10

[ 答案]

[解 析]

?－2x x≤－1， ? －1<x<1， ∵|x＋1|＋|x－1|＝?2 ?2x x≥1， ?
1 2 ?1 2dx＋ ? ? x＝ ? ( － 2 x )d x ＋ 2xdx＝ － ? ? ?
－

2 (|x＋1|＋|x－d ∴? ) 1 | ?
?－2

?－2

?－1

?1

1 1 22 x2|－ ＋ 2 x | ＋ x |1＝1 0 . －2 －1

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[点评] 的面积．

由定积分的几何意义知，积分值为图中阴影部分

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定积分的性质与微积分基本定理

求下列定积分
2 x ＋1 x ?2 (1)? (e ＋ )dx＝________； ? x ? 1 9 ? (2)? x(1＋ x)dx＝________； ?
?4

2 ? |3－2x|dx＝________. (3)? ?
?1

[ 答案]

3 1 1 (1)e －e＋ln2＋ (2)45 (3) 2 6 2
2

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2 x ＋1 1 x x ?2 ?2 1 () ? (e ＋ )dx＝? (e ＋x＋ )dx ? ? x x ? ? 1 1

[解 析]
x

1 2 3 2 2 ＝(e ＋ x ＋lnx)|1＝e －e＋ ＋n l 2 . 2 2 2 ()
?9 ? ? ?4

x(1＋

1 9 ? (x2 x)dx＝?
? ?4

＋x)dx＝

?2 3 ? 2 ?3x ?

? 1 2? ??9 ＋ x ??4 2 ??

3 3 2 2 1 2 2 2 1 2 1 ＝ ×9 ＋ ×9 － ×4 － ×4 ＝45 . 3 2 3 2 6

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[方法总结]

1.熟记积分的三条性质，常数可提到积分号

外；和、差的积分等于积分的和、差；积分区间可加性． 2．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x)＝ f(x)的函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关 系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方 向上求出F(x)． 利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分． 具体步骤是：

(1)把被积函数变形为积分公式中函数的和与差．
(2)分别用求导公式找到一个原函数． (3)用微积分基本定理求各个积分值．

(4)求出结果．
第三章 导数及其应用

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[答案] (1)A (2)－4

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利用定积分求平面图形的面积

2 (2014· 哈师大附中期中)曲线y＝ 与直线y＝x－1 x 及x＝4所围成的封闭图形的面积为( A．2ln2 C．4－ln2
[ 答案] D

)

B．2－ln2 D．4－2ln2

[ 分析]

先画图，找出围成的封闭图形，再将封闭图形的

面积用定积分表示，最后求定积分．
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[ 解析]

如图，封 闭 图 形 的 面 积 为

?4 ? ? ?2

2 1 2 [(x－1)－ ]dx＝( x － x 2

x－2 n l x)|4 n l 2 . 2＝4－2

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[方法总结]

利用定积分求曲边梯形面积的步骤：

(1)画出曲线的草图． (2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的 上、下限．

(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．
(4)计算定积分，写出答案．

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(1)(2015·北京四中期中 ) 如图，阴影区域是由函数 y ＝cosx 的一段图象与 x 轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是

________．

(2)曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是 ( ) A．2π 3π C. 2 B．3π D．π

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[ 答案]

1 ( 2 )

2 ( A )

[ 点评]

2 ( ) 题 可 利 用 余 弦 函 数 的 对 称 性

① ② ③ ④

面 积 相 等 .
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解 决 ， 但 若 把 积 分 区 间 改 为

?π ? ? ? ， π 则 对 称 性 就 无 能 为 力 了 ?6 ?， ? ?
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易错警示系列

5π 求曲线f(x)＝sinx，x∈[0， ]与x轴围成的图形 4 的面积．

[ 错解] 面积为S，

5π 设曲线f(x)＝sinx，x∈[0， ]与x轴围成的图形的 4

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[辨析]

本题的错误在于没有理解定积分的几何意义，当

对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，其面积 应是该定积分的相反数．

[ 正解]

对于f(x)＝sinx，

当x∈[0，π] 时，f(x)≥0， 5 当x∈(π， π]时，f(x)<0， 4

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[警示]

求曲线所围成的平面图形的面积时，一是利用数

形结合法，通过解方程组确定被积函数与积分上、下限；二是 弄清平面图形位于x轴上方与下方的部分．

名师点睛 两种类型 (1)由一条曲线y＝f(x)、两条直线x＝a、x＝b和x轴围成平
b ? 面图形的面积为? |f(x)|dx. ?
?a

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2 () 由 两 条 直 线

x＝a、x＝b(a＜b)、 两 条 曲 线

y＝f(x)、y＝

g(x)(f(x)≥g(x))围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 ：
b ? [ f (x)－g(x)] dx(如 S＝? 右 图 )． ?
?a

三 条 性 质 1 () 常 数 可 提 到 积 分 号 外 ； 2 () 和 差 的 积 分 等 于 积 分 的 和 差 ； 3 () 积 分 可 分 段 进 行 ，
?b ? ? ?a

c ?b ? f(x)dx＋? f(x)dx＝? f(x)dx. ? ?
?a ?c

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课时作业
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