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福建省厦门双十中学2016届高三上学期期中考试数学文试题 Word版


厦门双十中学 2016 届高三数学(文)期中考试卷
(2015.11.10) 一.选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1. 命题“对任意的 x∈R,x2+1>0”的否定是 A.不存在 x∈R,x2+1>0 C.对任意的 x∈R,x2+1≤0 B.存在 x∈R,x2+1>0 D.存在 x∈R,x2+1≤0

2 2. 已知集合 A ? 3, a ,集合 B ? ?0, b,1 ? a? ,且 A ? B ? ?1? ,则 A ? B ?

?

?

A. ?0,1,3?

B. ?0,1,2,3? D. ?0,1,2,3,4?

C. ?1, 2, 4?

3.设 a , b 为实数,若复数 A. ?2

1 ? 2i ? 1 ? i ,则 a ? b ? a ? bi
B. ?1 C. 1 D. 2

4. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点, 则弦 AB 的长等于 A. 3 3 B. 2 3 C. ? D. ?

5. 等比数列 ?a n ?中, a3 ? 1, q ? 0 ,满足 2an?2 ? an?1 ? 6an ,则 S 5 的值为 A.31 B
王新敞
奎屯 新疆

121

C.

31 4

D

王新敞
奎屯

新疆

121 9


x ? ?2 ? 1, x ? 1, 6. 已知函数 f ( x) ? ? 2 若 f ( f (0)) =4 a ,则实数 a =( ? ? x ? ax, x ? 1.

A.

2

B. 9

C.

1 2

D.

4 5

?? ? ? ?? 7. 函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ?0, ? 上的最小值是 4? ? ? 2?
2 2 C. D.0 2 2 8. 已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图像如右图所示,则函数 g(x)=ax+b 的图象是

A. ?1

B. ?

2 9. “ a ? ?1 ”是“一元二次方程 x ? x ? a ? 0 有一个正根和一个负根”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数 , 且在区间 [0,??) 单调递增 . 若实数 a 满足
-1-

f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) , 则 a 的取值范围是
2

A. [1, 2]

? 1? B. ? 0, ? ? 2?

?1 ? C. ? , 2 ? ?2 ?

D. (0, 2]

11.已知各项均不为零的数列 {an } ,定义向量 c n ? (a n , a n ?1 ) , bn ? (n, n ? 1) , n ? N * . 下列命题 中真命题是 A. 若 ?n ? N * 总有 cn B. 若 ?n ? N * 总有 cn

bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 bn 成立,则数列 {an } 是等比数列

C. 若 ?n ? N * 总有 cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 D. 若 ?n ? N * 总有 cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 12. 设函数 f ( x) ? ex ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x2 ? 3 . 若实数 a, b 满足 f (a) ? 0, g (b) ? 0 , 则 A. 0 ? g (a) ? f (b) C. f (b) ? g (a) ? 0 二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. 函数 y ? B. f (b) ? 0 ? g (a) D. g (a) ? 0 ? f (b)

x?3 ? lg ? 2 ? x ? 的定义域为_________ x

14. 在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P ? 2, 的交点,则圆 C 的极坐标方程是

? ?

??

?? 3 ? 与极轴 ? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 4? 3? 2 ?

???? ??? ? BE ? 1 , 则 AB 的 15. 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AC· 长为 .



16. 给出下列四个命题中: ①命题: ?x ? R,sin x ? cos x ? 2 ; ②函数 f ? x ? ? 2x ? x2 有三个零点; ③对 ? ? x, y ? ?

?? x, y ? 4 x ? 3 y ? 10 ? 0?,则 x2 ? y2 ? 4 .
1 ,若 ?ABC 中,角 C 是钝角,那么 f ? sin A? ? f ? cos B ? x
.

④已知函数 f ? x ? ? x ?

其中所有真命题的序号是 三.解答题 17.(本小题满分 12 分)

已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a2 ? 5 , S9 ? 99 . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)若数列 ?

? 4 ? 1 ? Tn ? 1 成立 ? 的前 n 项和 Tn ,试求 Tn 并证明不等式 2 2 ? an ? 1?

-2-

18. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 b sin A ? 3c sin B , a = 3, cos B ? (Ⅰ) 求 b 的值;
2 . 3

?? ? (Ⅱ) 求 sin ? 2 B ? ? 的值. 3? ?

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 x ? (Ⅰ)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值;

1 . 2 | x|

(Ⅱ)若 2t f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ? [ 1, 2 ] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

x2 y 2 ? ? 1 ,P 为椭圆上的一点(点 P 在第三 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 E 的方程: 100 25
象限上), 圆 P 以点 P 为圆心,且过椭圆的左顶点 M 与点 C ? ?2,0 ? ,直线 MP 交圆 P 与另一点 N . (Ⅰ)求圆 P 的标准方程; (Ⅱ)若点 A 在椭圆 E 上,求使得 AM ? AN 取得最小值的点 A 的坐标; (III)若过椭圆的右顶点的直线 l 上存在点 Q ,使 ?MQN 为钝角,求直线 l 斜率的取值范 围.

???? ? ????

y

M
-3-

F1

C

O

F2

x

P

第 20 题图 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? 1, g ( x) ? ax 2 ? 2x ? 1, 其中实数 a ? 0 . (Ⅰ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)当函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象只有一个公共点且 g ( x) 存在最小值时,记 g ( x) 的 最小值为 h(a) ,求 h(a) 的值域; (Ⅲ)若 f ( x ) 与 g ( x) 在区间 (a, a ? 2) 内均为增函数,求 a 的取值范围.

22. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) ? x ? 3 。 (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a ? ?1 ,且当 x ? [?

a 1 , ) 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围。 2 2

-4-

厦门双十中学 2016 届高三数学(文)期中考试卷答 案
(2015.11.10) 一、DBCBC ABCAC AD 3.解析:选 C. a ? bi ?

3 1 1 ? 2i 3 1 ? ? i ,因此 a ? , b ? . a ? b ? 1 2 2 1? i 2 2
因 为
x ? ?2 ? x ? 1 f ( x) ? ? 2 ? ? x ? ax, x ? 1.

6.



C.

,



1



,

f(

?

0

0

?)

f?2

f ?1 ? 4 a ? 2 f2

a , ?4 ?

a ,? a ? (

?2

( ?.

0

)

? ? 3? ? ? ? ?? 7【解析】当 x ? ? 0, ? 时, 0 ? 2 x ? ? , ? ? 2 x ? ? ,所以当 2 x ? ? ? 时,函 4 4 4 4 4 ? 2?

? 2 ?? ? 数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? 的最小值为 y ? sin(? ) ? ? ,选 B. 4? ? 4 2
9A【解析】 “一元二次方程 x ? x ? a ? 0 有一个正根和一个负根”的条件是 ?
2

?? ? 1 ? 4a ? 0 , ? x1 x 2 ? a ? 0

得 a ? 0 , 故“ a ? 1 ” , “ a ? 0 ”的充分而不必要条件 10 【 解 析 】 因 为 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 l o g l2 oa g, 所 以 1 a ??
2

f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? f (log 2 a) ? f (? log 2 a) ? 2 f (log 2 a) ? 2 f (1) ,即 f (log2 a ) ? f (1) ,因为函
2

数在区间 [0, ??) 单调递增,所以 f ( log2 a ) ? f (1),即 log2 a ? 1,所以 ?1 ? log2 a ? 1,解得

1 ?1 ? ? a ? 2 ,即 a 的取值范围是 ? , 2 ? ,选 C. 2 ?2 ?
12 【解析】由 f ( x) ? e x ? x ? 2 ? 0, g ( x) ? ln x ? x2 ? 3 ? 0 得 e x ? ? x ? 2,ln x ? ? x2 ? 3 ,分别令

f1 ( x) ? e x , f 2 ( x) ? ? x ? 2 , g1 ( x) ? ln x, g 2 ( x) ? ?x2 ? 3 。 在 坐 标 系 中 分 别 作 出 函 数

-5-

f1 ( x) ? e x , f 2 ( x) ? ? x ? 2 , g1 ( x) ? ln x, g 2 ( x) ? ?x2 ? 3 的图象,由图象知 0 ? a ? 1,1? b ? 2 。
此时 g1 (a) ? g 2 (a) ,所以 g (a) ? 0 又。 f1 (b) ? f 2 (b) ,所以 f (b) ? 0 ,即 g (a) ? 0 ? f (b) ,选 D. 二、 13. ? ?3,0? ? ? 0,2? 14. ? ? 2cos? 15.

1 2

16. ①②③④

? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 1 ???? ???? 1 ??? ? ???? ???? ??? 15 【解析】 因为 E 为 CD 的中点, 所以 BE ? BC ? CE ? AD ? DC ? AD ? AB . AC ? AD ? AB 2 2 ? ? ?? ? ? ?? ???? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? ??? ? ???? 2 1 ??? ? 2 1 ??? ? ???? ·B E ? 1 , 所 以 AC· 因为 AC BE ? ( AD ? AB) ? ( AD ? AB) ? AD ? AB ? AB ? AD ? 1 , 即 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 2 1 1 1 1 1 1 ? AB ? AB cos60? ? 1 ,所以 ? AB ? AB ? 0 ,解得 AB ? 。 2 2 2 4 2

16. ①②③ ④ 【解析】 sin x ? cos x ? 知②对;

?? ? 2 sin ? x ? ? ? 2 故①对;画 y ? 2x , y ? 3x 图可 4? ?

③ 正确,因为 x 2 ? y 2 为原点到 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 的距离的平方,为 4,所以 ④正确.,因为

A? B ?

?
2

,故

?
2

?

?
2

? B ? A ? 0 ,所以 1 ? cos B ? sin A ? 0 ,又因为 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调

递减。 三.解答题 17.(1)设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d , ? a2 ? 5 , S 9 ? 99

? 99 ?

9 ? ? a1 ? a9 ? 2

? 9a5 ,得 a5 ? 11

?3d ? a5 ? a2 ? 6 ,? d ? 2 , a1 ? 3 ----------------------------------------------2 分 ? an ? 2n ? 1 --------------------------------------------------------------------------4 分

Sn ?

n ? a1 ? an ? n ? 2n ? 4 ? ? ? n ? n ? 2 ? ----------------------------------------6 分 2 2

(Ⅱ) bn ?

4 4 1 1 1 ? ? ? ? ------------------------------9 分 2 an ? 1 4n ? n ? 1? n ? n ? 1? n n ? 1

1 ? ? 1? ?1 1? ?1 ?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2 3? ? n n ?1? 1 -----------------------------------------11 分 ?1? n ?1 ------------------------------------------------------------------12 分 ?Tn ? 1 18. 解:(Ⅰ)因为 b sin A ? 3c sin B ,据正弦定理可得 ab ? 3bc --------------------------1 分 因为 a = 3 ,得 c ? 1 ------------------------------------------------3 分 2 所以 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 9 ? 1 ? 6 ? ? 6 ------------------------------5 分 3 b ? 6 得 -------------------------------------------------------------6 分

-6-

(Ⅱ)? B ? ? 0, ? ? ,且 cos B ? 分

2 5 --------------------------------------7 ? sin B ? 3 3

?? ? ? 1 3 ? 所以 sin ? 2 B ? ? ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin ? sin 2 B ? cos 2 B ---------------9 分 3? 3 3 2 2 ?
3 5 2 3 ? 4 ? 4 5? 3 ? ? 2cos 2 B ? 1? ? ? ? ? ? 2 ? ? 1? ? ------12 分 2 3 3 2 ? 9 ? 18 19. [解] (1)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;---------------------------------------------------------------1 分 ? sin B cos B ?
当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 x ? 由条件可知 2 x ?

1 . ------------------------------------------------------------2 分 2x

1 ? 2 ,即 2 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 0 , x 2
------------------------------------------------------------4 分

解得 2 x ? 1 ? 2 .

? 2 x ? 0 ,? x ? log2 1 ? 2 .

?

?

------------------------------------------------- 6 分

1 ? 1 ? ? ? (2)当 t ?[ 1, 2 ] 时, 2 t ? 2 2t ? 2t ? ? m? 2 t ? t ? ? 0 , 2 ? 2 ? ? ?
即 m 2 2 t ? 1 ? ? 2 4t ? 1 .

?

? ?

?

------------------------------------------------8 分

? 22t ? 1 ? 0 , ? m ? ? 22t ? 1 .

?

?

----------------------------------------------- 10 分

? t ?[1, 2 ], ? ? 1 ? 2 2 t ?[ ? 17, ? 5 ] ,
故 m 的取值范围是 [ ? 5, ? ? ) . 20.解: ( Ⅰ)椭圆 E 的方程: ----------------------------------------------------12 分

?

?

x2 y 2 ? ? 1 ,得 M ? ?10,0? , C ? ?2,0? ????1 分 100 25 ?10 ? (?2) ? ?6 , 设点 P ? m, n ? ,则有 m ? 2 m2 n2 ? ? 1, ? n ? ?4 ,即 P ? ?6, ?4? , 又: ???????????2 分 100 25
所以 r ? PM ? 4 2 ---------------------------------------------------3 分 所以圆 P 的标准方程为 ? x ? 6? ? ? y ? 4? ? 32 ----------------------------4 分
2 2

(Ⅱ)? P 为 MN 的中点,可得 N ? ?2, ?8?

???? ? ???? ? AM ?AN ? ? ?10 ? x ?? ?2 ? x ? ? ? ? y ?? ?8 ? y ? ? x2 ? 12 x ? 20 ? y 2 ? 8 y ---------9 分 ???? ? ???? 2 2 ? AM ?AN ? ? x ? 6 ? ? ? y ? 4 ? ? 32 ? ?32 , ???? ? ???? 得 x ? ?6, y ? ?4 时, ? AM ?AN 最小 ---------------------------------7


设 A? x, y ? ,? AM ? ? ?10 ? x, ? y ? , AN ? ? ?2 ? x, ?8 ? y ? ,

???? ?

????

-7-

经检验,点 A 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上? A? ?6, ?4? 100 25

--------------------------8 分

(III)设直线 l : y ? k ? x ? 10? ,即直线与圆相交------------------------------9 分 所以圆心 P 到直线 l 的距离 d ? 分 得

?6k ? 4 ? 10k 1? k2

? 4 2 --------------------------10

1 ? 4k 1? k2

? 2

得 分

4 ? 30 4 ? 30 ?k? 14 14

--------------------------12

2 2 21 解: (Ⅰ)? f ?( x) ? 3x ? 2ax ? a ? 3( x ? )( x ? a) ,又 a ? 0 ,

a 3

a 时, f ?( x) ? 0 ; 3 a ? f ( x) 在 (??, ?a) 和 ( , ??) 内是增函数-----------------------------------------------3 分 3

? 当 x ? ? a或x ?

(Ⅱ)由题意知 x ? ax ? a x ? 1 ? ax ? 2 x ? 1 ,
3 2 2 2

即 x[ x2 ? (a2 ? 2)] ? 0 恰有一根(含重根) .? a ? 2 ≤ 0 ,即 ? 2 ≤ a ≤ 2 ,----4 分
2

又 a ? 0 ,? a ?[? 2,0) ? (0, 2] . 当 a ? 0 时, g ( x) 才存在最小值,? a ? (0, 2] .--------------------------------------------5 分

1 1 1 ? g ( x) ? a( x ? ) 2 ? 1 ? ,? h(a) ? 1 ? , a ? (0, 2] . ------------------------6 分 a a a

? h(a) 的值域为 (??,1 ?

2 ] .------------------------------------------------------------------7 分 2
a 3 1 a

(Ⅲ)当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (??, ?a) 和 ( , ??) 内是增函数, g ( x) 在 ( , ??) 内是增函数.

? ?a ? 0 ? a ? 由题意得 ? a ? ,解得 a ≥ 1 ;-----------------------------------------------------------------9 分 3 ? 1 ? a? ? a ?

-8-

当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (??, ) 和 (?a, ??) 内是增函数, g ( x) 在 (??, ) 内是增函数.

a 3

1 a

? ?a ? 0 ? ? 由题意得 ? a ? 2 ? ? ? a?2? ? ?

a ,解得 a ≤ ?3 ;-----------------------------------------------------11 分 3 1 a

综上可知,实数 a 的取值范围为 (??, ?3] ? [1, ??) .------------------------------12 分 22.解: (I)当 a ? ?2时,不等式f ( x) <g(x)化为 2x ?1 ? 2 x ? 2 ? x ? 3 <0.

1 ? ? ?5 x , x ? 2 ? 1 ? 设函数 y= 2x ?1 ? 2 x ? 2 ? x ? 3 ,则 y ? ? x ? 2, ? x ? 1, 其图像如图所示------3 分 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1. ? ?
从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时,y<0,所以原不等式的解集是 x 0 ? x ? 2 (II)当 x ? ? ?

?

? ;------5 分

? a 1 , ? 2 2

? , f ( x) ? 1 ? a.

不等式 f ( x ) ≤g(x)化为 1+a≤x+3.

所以 x≥a-2 对 x ? ? ?

a 4 ? a 1? , ? 都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ? , 2 3 ? 2 2?

从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 3

? ?

4? ?

------------------------------------------------------------10



厦门双十中学 2016 届高三数学(文)期中考试卷
(说明:大题的答案必须写在虚线内,否则无效;必须用黑色签字笔书写) 一、 选择题: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、 填空题: 13 15. 14. 16. 12

-9-

22(选 做题)

班级座号

考场

考场座号

17.

班级 18、

姓名

- 10 -

19、

20、

y

M
- 11 -

F1

C

O

F2

x

P

--21、

- 12 -

- 13 -


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