三角函数的概念专题
关键词: 三角函数的定义 终边 弧长公式 扇形面积 同角的基本关系 学习目标: 理解角的概念,掌握同角三角函数基本关系 ? 对角的概念的理解: ? ? R 或 (??,??) (1)无界性 (2)周期性 (3)终边相同的角的表示: (1)? 终边与 ? 终边相同( ? 的终边在 ? 终边所在射线上) ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) ,注意:相等的角的终边一 定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 ? 1825 的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧 度。
?
(答: ?25 ; ?
?
(2) ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? ? ? ? ? k? (k ?Z) . (3) ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? 2k? (k ? Z) . (4) ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . (5) ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . (6)? 终边在 x 轴上的角可表示为:? ? k? , k ? Z ;? 终边在 y 轴上的角可表示为:? ? k? ? 终边在坐标轴上的角可表示为: ? ? ____________。 (答: 2k? ? ? 角与角的位置关系的判断 (1) 终边相同的角 (2) 对称关系的角 (3) 满足一些常见关系式的两角
5 ?) 36
?
2
, k ? Z ;?
k? ? ,k ? Z .如 ? 的终边与 的终边关于直线 y ? x 对称,则 ? = 6 2
?
3
, k ?Z )
? 是第_____象限角 :一、三) 2 ? 2 ? 弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R ,1 弧度(1rad) ? 57.3 . 2 2
例如:若 ? 是第二象限角,则 例如:已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 (答:2 cm ) ? 三角函数的定义: 高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。 但既有联系,又有区别。 定义:设 ? 是任意一个角,P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点(异于原点) ,它与原点的距离是 r ? 那么 sin ? ?
2
x2 ? y 2 ? 0 ,
y x y r x r , cos ? ? , tan ? ? , ? x ? 0 ? , cot ? ? ( y ? 0) , sec ? ? ? x ? 0 ? , csc ? ? ? y ? 0 ? 。 r r x x y y
三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关。 例如: (1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ? ? cos ? 的值为__。??◎●■??? ? ? ? (答: ? (2)设 ? 是第三、四象限角, sin ? ?
2m ? 3 ,则 m 的取值范围是_______ 4?m
1
7 ) ; 13
(答: (-1, ) ) ; (3)若
| sin ? | cos? ? ? 0 ,试判断 cot(sin? ) ? tan(cos ) 的符号 ? sin ? | cos? |
3 2
(答:负) 7. 特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° 0° 0 90° 1 180° 0 270° -1
sin ?
1 2
2 2
3 2
1 2
cos?
3 2 3 3
2 2
1
1
0
-1
0
tan ?
3
3 3
0
0
cot ?
3
1
0
0
记忆的时候注意利用规律 8. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan 2 ? ? sec2 ? ,1 ? cot 2 ? ? csc2 ? (2)倒数关系:tan ? cot ? =1, (3)商数关系: tan ? ?
sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?
同角三角函数的基本关系式的基本作用是:已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。 例如: (1) 若 0 ? 2 x ? 2? ,则使 1 ? sin 2 2x ? cos2x 成立的 x 的取值范围是____ (答: [0, (2)已知 sin ? ?
?
m?3 4 ? 2m ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan ? =____ , cos ? ? m?5 m?5 2
3 ] ? [ ?,?]) ; 4 4
(答: ? (3)已知
tan ? sin ? ? 3 cos ? 2 ? ?1 ,则 =___; sin ? ? sin ? cos? ? 2 =____ tan ? ? 1 sin ? ? cos ?
(答: ?
5 ) ; 12
5 13 ; ) ; 3 5
(4)已知 sin 200 ? a ,则 tan160 等于
? ?
A、 ?
a 1? a2
B、
a 1? a2
C、 ?
1? a 2 a
D、
1? a 2 a
(答:B) ;
2
课堂练习:
1. 设 ? 分别是第二、三、四象限角,则点 P(sin ? , cos? ) 分别在第___、___、___象限. 已知 sin x ? cos x ? m, ( m ?
2.
2 , 且 m ? 1) , 求 sin x ? cos x
sin ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? = cos?
3.若角α 的终边在直线 y=-x 上,则
1 有意义的 x 的集合为 sin x
.
4.使 tanx-
.
α 4 α 5.已知α 是第二象限的角,且 cos =- ,则 是第 2 5 2
象限的角.
课后练习:
一、选择题
1. 设 ? 角属于第二象限,且 cos
A. 第一象限
?
2
? ? cos
?
2
,则
? 角属于( 2
)
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.
给出下列各函数值:① sin(?1000 ) ;② cos( ?2200 ) ;③ tan(?10) ;④
0 0
sin
7? cos? 10 . 其中符号为负的有 17? tan 9
(
) A. ① B. ② C. ③ )
3
D. ④
3.
sin 2 1200 等于(
A.
?
3 2
B.
3 2
C.
?
3 2
D.
1 2
)
4.
已知 sin ? ? A.
?
4 3
4 ,并且 ? 是第二象限的角,那么 tan ? 的值等于( 5 3 3 4 B. ? C. D. 4 3 4
5π 3π 5.若θ ∈( , ) ,则 1-2sinθ cosθ 等于 4 2 A.cosθ -sinθ C.sinθ -cosθ 1 6.若 tanθ = ,则 cos2θ +sinθ cosθ 的值是 3 6 A.- 5 4 B.- 5 C. 4 5 D. 6 5 B.sinθ +cosθ D.-cosθ -sinθ
三、解答题
1. 已知 tan ? ,
1 7 2 2 是关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两个实根,且 3? ? ? ? ? ,求 cos ? ? sin? 的值. 2 tan ?
2.
m-n 设 cosθ = (m>n>0),求θ 的其他三角函数值. m+n
3.证明(1)
1+2sinθcosθ 1+tanθ = cos2θ-sin2θ 1-tanθ
(2)tan2θ -sin2θ =tan2θ sin2θ
4
◎ 课后练习详细解答
一、选择题 1. C
2 k? ?
?
2
? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ), k? ?
?
4
?
?
2
? k? ?
?
2
, (k ? Z ),
当 k ? 2n,(n ? Z ) 时,
? ? 在第一象限;当 k ? 2n ? 1,(n ? Z ) 时, 在第三象限; 2 2
而 cos
?
2
? ? cos
?
2
? cos
?
2
? 0 ,?
?
2
在第三象限;
2.
C
sin(?10000 ) ? sin800 ? 0 ; cos(?22000 ) ? cos(?400 ) ? cos 400 ? 0
sin 7? 7? cos ? ? sin 10 10 ,sin 7? ? 0, tan 17? ? 0 ? 17? 17? 10 9 tan tan 9 9
tan(?10) ? tan(3? ?10) ? 0 ;
3.
B
sin 2 1200 ? sin1200 ?
3 2
4.
A
4 3 sin ? 4 sin ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ?? 5 5 cos ? 3
6.D 当 ? 是第二象限角时, sin ? ? 0,cos? ? 0 ;当 ? 是第三象限角时, sin ? ? 0,cos ? ? 0 ;当 ? 是第四象限角时, sin ? ? 0,cos ? ? 0 ;
5. A 二、填空题 1. 四、三、二
2.
②
17 ? 1? 7 sin ? M P? 0 , c o s ? O M ? 18 18
4.{x|x∈ 且 x≠ R
k? ,k∈ Z} 2
0
5.三
3.0 三、解答题 1. 解:? tan ? ?
1 1 7 ? k ? 2, ? k 2 ? 3 ? 1,? k ? ?2 ,而 3? ? ? ? ? ,则 tan ? ? tan ? tan ? 2
得 tan ? ? 1 ,则 sin ? ? cos ? ? ? m-n 解:∵m>n>0,∴cosθ = >0 m+n ∴θ 是第一象限角或第四象限角. 当θ 是第一象限角时:
2 ,?cos? ? sin ? ? ? 2 . 2
2.
5
sinθ = 1 ? cos2 ? ? 1 ? tanθ =
( m ? n) 2 ( m ? n) 2 ? ( m ? n ) 2 2 = ? mn 2 2 m?n ( m ? n) ( m ? n)
sin ? 2 ? mn cos ? m ? n
2
当θ 是第四象限角时: sinθ =- 1 ? cos ? ? ? tanθ =
sin ? 2 ?? mn cos ? m?n
2 mn m?n
3. (1)证明:左=
sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? (cos? ? sin ? )(cos? ? sin ? )
2
cos? ? sin ? cos ? ? sin ? (sin? ? cos? ) cos? = = = cos? ? sin ? (cos? ? sin ? )(cos? ? sin ? ) cos ? ? sin ? cos?
(∵cos θ ≠0,∴分子、分母可同除以 cosθ ) = 1+tanθ =右,证毕. 1-tanθ
还可用其他证法. (2)证明:左=
sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? -sin2θ = cos2 ? cos2 ?
=
sin 2 ? (1 ? cos2 ? ) sin 2 ? sin 2 ? = =tan2θ sin2θ =右,证毕. cos2 ? cos2 ?
2
4.
解:由 sin x ? cos x ? m, 得 1 ? 2sin x cos x ? m , 即 sin x cos x ?
m2 ? 1 , 2
(1) sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)(1 ? sin x cos x) ? m(1 ?
3 3
m2 ? 1 3m ? m3 )? 2 2
(2) sin x ? cos x ? 1 ? 2sin x cos x ? 1 ? 2(
4 4 2 2
m 2 ? 1 2 ? m 4 ? 2m 2 ? 1 ) ? 2 2
6