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【高中数学】任意角的三角函数


三角函数的概念专题
关键词: 三角函数的定义 终边 弧长公式 扇形面积 同角的基本关系 学习目标: 理解角的概念,掌握同角三角函数基本关系 ? 对角的概念的理解: ? ? R 或 (??,??) (1)无界性 (2)周期性 (3)终边相同的角的表示: (1)? 终边与 ? 终边相同( ? 的终边在 ? 终边所在射线上) ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) ,注意

:相等的角的终边一 定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 ? 1825 的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧 度。
?

(答: ?25 ; ?
?

(2) ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? ? ? ? ? k? (k ?Z) . (3) ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? 2k? (k ? Z) . (4) ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . (5) ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . (6)? 终边在 x 轴上的角可表示为:? ? k? , k ? Z ;? 终边在 y 轴上的角可表示为:? ? k? ? 终边在坐标轴上的角可表示为: ? ? ____________。 (答: 2k? ? ? 角与角的位置关系的判断 (1) 终边相同的角 (2) 对称关系的角 (3) 满足一些常见关系式的两角

5 ?) 36

?
2

, k ? Z ;?

k? ? ,k ? Z .如 ? 的终边与 的终边关于直线 y ? x 对称,则 ? = 6 2

?
3

, k ?Z )

? 是第_____象限角 :一、三) 2 ? 2 ? 弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R ,1 弧度(1rad) ? 57.3 . 2 2
例如:若 ? 是第二象限角,则 例如:已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 (答:2 cm ) ? 三角函数的定义: 高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。 但既有联系,又有区别。 定义:设 ? 是任意一个角,P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点(异于原点) ,它与原点的距离是 r ? 那么 sin ? ?
2

x2 ? y 2 ? 0 ,

y x y r x r , cos ? ? , tan ? ? , ? x ? 0 ? , cot ? ? ( y ? 0) , sec ? ? ? x ? 0 ? , csc ? ? ? y ? 0 ? 。 r r x x y y

三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关。 例如: (1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ? ? cos ? 的值为__。??◎●■??? ? ? ? (答: ? (2)设 ? 是第三、四象限角, sin ? ?

2m ? 3 ,则 m 的取值范围是_______ 4?m
1

7 ) ; 13

(答: (-1, ) ) ; (3)若

| sin ? | cos? ? ? 0 ,试判断 cot(sin? ) ? tan(cos ) 的符号 ? sin ? | cos? |

3 2

(答:负) 7. 特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° 0° 0 90° 1 180° 0 270° -1

sin ?

1 2

2 2

3 2
1 2

cos?

3 2 3 3

2 2
1

1

0

-1

0

tan ?

3
3 3

0

0

cot ?

3

1

0

0

记忆的时候注意利用规律 8. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan 2 ? ? sec2 ? ,1 ? cot 2 ? ? csc2 ? (2)倒数关系:tan ? cot ? =1, (3)商数关系: tan ? ?

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

同角三角函数的基本关系式的基本作用是:已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。 例如: (1) 若 0 ? 2 x ? 2? ,则使 1 ? sin 2 2x ? cos2x 成立的 x 的取值范围是____ (答: [0, (2)已知 sin ? ?

?

m?3 4 ? 2m ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan ? =____ , cos ? ? m?5 m?5 2

3 ] ? [ ?,?]) ; 4 4

(答: ? (3)已知

tan ? sin ? ? 3 cos ? 2 ? ?1 ,则 =___; sin ? ? sin ? cos? ? 2 =____ tan ? ? 1 sin ? ? cos ?
(答: ?

5 ) ; 12

5 13 ; ) ; 3 5

(4)已知 sin 200 ? a ,则 tan160 等于
? ?

A、 ?

a 1? a2

B、

a 1? a2

C、 ?

1? a 2 a

D、

1? a 2 a
(答:B) ;

2

课堂练习:

1. 设 ? 分别是第二、三、四象限角,则点 P(sin ? , cos? ) 分别在第___、___、___象限. 已知 sin x ? cos x ? m, ( m ?

2.

2 , 且 m ? 1) , 求 sin x ? cos x
sin ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? = cos?

3.若角α 的终边在直线 y=-x 上,则
1 有意义的 x 的集合为 sin x

.

4.使 tanx-

.

α 4 α 5.已知α 是第二象限的角,且 cos =- ,则 是第 2 5 2

象限的角.

课后练习:
一、选择题

1. 设 ? 角属于第二象限,且 cos
A. 第一象限

?
2

? ? cos

?
2

,则

? 角属于( 2



B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2.

给出下列各函数值:① sin(?1000 ) ;② cos( ?2200 ) ;③ tan(?10) ;④
0 0

sin

7? cos? 10 . 其中符号为负的有 17? tan 9



) A. ① B. ② C. ③ )
3

D. ④

3.

sin 2 1200 等于(

A.

?

3 2

B.

3 2

C.

?

3 2

D.

1 2


4.

已知 sin ? ? A.

?

4 3

4 ,并且 ? 是第二象限的角,那么 tan ? 的值等于( 5 3 3 4 B. ? C. D. 4 3 4

5π 3π 5.若θ ∈( , ) ,则 1-2sinθ cosθ 等于 4 2 A.cosθ -sinθ C.sinθ -cosθ 1 6.若 tanθ = ,则 cos2θ +sinθ cosθ 的值是 3 6 A.- 5 4 B.- 5 C. 4 5 D. 6 5 B.sinθ +cosθ D.-cosθ -sinθ

三、解答题
1. 已知 tan ? ,

1 7 2 2 是关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两个实根,且 3? ? ? ? ? ,求 cos ? ? sin? 的值. 2 tan ?

2.

m-n 设 cosθ = (m>n>0),求θ 的其他三角函数值. m+n

3.证明(1)

1+2sinθcosθ 1+tanθ = cos2θ-sin2θ 1-tanθ

(2)tan2θ -sin2θ =tan2θ sin2θ

4

◎ 课后练习详细解答
一、选择题 1. C

2 k? ?

?
2

? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ), k? ?

?
4

?

?
2

? k? ?

?
2

, (k ? Z ),

当 k ? 2n,(n ? Z ) 时,

? ? 在第一象限;当 k ? 2n ? 1,(n ? Z ) 时, 在第三象限; 2 2

而 cos

?
2

? ? cos

?
2

? cos

?
2

? 0 ,?

?
2

在第三象限;

2.

C

sin(?10000 ) ? sin800 ? 0 ; cos(?22000 ) ? cos(?400 ) ? cos 400 ? 0
sin 7? 7? cos ? ? sin 10 10 ,sin 7? ? 0, tan 17? ? 0 ? 17? 17? 10 9 tan tan 9 9

tan(?10) ? tan(3? ?10) ? 0 ;

3.

B

sin 2 1200 ? sin1200 ?

3 2

4.

A

4 3 sin ? 4 sin ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ?? 5 5 cos ? 3
6.D 当 ? 是第二象限角时, sin ? ? 0,cos? ? 0 ;当 ? 是第三象限角时, sin ? ? 0,cos ? ? 0 ;当 ? 是第四象限角时, sin ? ? 0,cos ? ? 0 ;

5. A 二、填空题 1. 四、三、二

2.



17 ? 1? 7 sin ? M P? 0 , c o s ? O M ? 18 18
4.{x|x∈ 且 x≠ R
k? ,k∈ Z} 2

0
5.三

3.0 三、解答题 1. 解:? tan ? ?

1 1 7 ? k ? 2, ? k 2 ? 3 ? 1,? k ? ?2 ,而 3? ? ? ? ? ,则 tan ? ? tan ? tan ? 2

得 tan ? ? 1 ,则 sin ? ? cos ? ? ? m-n 解:∵m>n>0,∴cosθ = >0 m+n ∴θ 是第一象限角或第四象限角. 当θ 是第一象限角时:

2 ,?cos? ? sin ? ? ? 2 . 2

2.

5

sinθ = 1 ? cos2 ? ? 1 ? tanθ =

( m ? n) 2 ( m ? n) 2 ? ( m ? n ) 2 2 = ? mn 2 2 m?n ( m ? n) ( m ? n)

sin ? 2 ? mn cos ? m ? n
2

当θ 是第四象限角时: sinθ =- 1 ? cos ? ? ? tanθ =

sin ? 2 ?? mn cos ? m?n

2 mn m?n

3. (1)证明:左=

sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? (cos? ? sin ? )(cos? ? sin ? )
2

cos? ? sin ? cos ? ? sin ? (sin? ? cos? ) cos? = = = cos? ? sin ? (cos? ? sin ? )(cos? ? sin ? ) cos ? ? sin ? cos?
(∵cos θ ≠0,∴分子、分母可同除以 cosθ ) = 1+tanθ =右,证毕. 1-tanθ

还可用其他证法. (2)证明:左=

sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? -sin2θ = cos2 ? cos2 ?



sin 2 ? (1 ? cos2 ? ) sin 2 ? sin 2 ? = =tan2θ sin2θ =右,证毕. cos2 ? cos2 ?
2

4.

解:由 sin x ? cos x ? m, 得 1 ? 2sin x cos x ? m , 即 sin x cos x ?

m2 ? 1 , 2

(1) sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)(1 ? sin x cos x) ? m(1 ?
3 3

m2 ? 1 3m ? m3 )? 2 2

(2) sin x ? cos x ? 1 ? 2sin x cos x ? 1 ? 2(
4 4 2 2

m 2 ? 1 2 ? m 4 ? 2m 2 ? 1 ) ? 2 2

6


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