【高中数学】任意角的三角函数

三角函数的概念专题
关键词： 三角函数的定义 终边 弧长公式 扇形面积 同角的基本关系 学习目标： 理解角的概念，掌握同角三角函数基本关系 ? 对角的概念的理解： ? ? R 或 (??,??) （1）无界性 （2）周期性 （3）终边相同的角的表示： （1）? 终边与 ? 终边相同( ? 的终边在 ? 终边所在射线上) ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) ，注意：相等的角的终边一 定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 ? 1825 的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧 度。
?

（答： ?25 ； ?
?

（2） ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? ? ? ? ? k? (k ?Z) . （3） ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? 2k? (k ? Z) . （4） ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . （5） ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . （6）? 终边在 x 轴上的角可表示为：? ? k? , k ? Z ；? 终边在 y 轴上的角可表示为：? ? k? ? 终边在坐标轴上的角可表示为： ? ? ____________。 （答： 2k? ? ? 角与角的位置关系的判断 （1） 终边相同的角 （2） 对称关系的角 （3） 满足一些常见关系式的两角

5 ?） 36

?
2

, k ? Z ；?

k? ? ,k ? Z .如 ? 的终边与 的终边关于直线 y ? x 对称，则 ? ＝ 6 2

?
3

, k ?Z ）

? 是第_____象限角 ：一、三） 2 ? 2 ? 弧长公式： l ?| ? | R ，扇形面积公式： S ? 1 lR ? 1 | ? | R ，1 弧度(1rad) ? 57.3 . 2 2
例如：若 ? 是第二象限角，则 例如：已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。 （答：2 cm ） ? 三角函数的定义： 高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。 但既有联系，又有区别。 定义：设 ? 是任意一个角，P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点（异于原点） ，它与原点的距离是 r ? 那么 sin ? ?
2

x2 ? y 2 ? 0 ，

y x y r x r , cos ? ? ， tan ? ? , ? x ? 0 ? ， cot ? ? ( y ? 0) ， sec ? ? ? x ? 0 ? ， csc ? ? ? y ? 0 ? 。 r r x x y y

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关。 例如： （1）已知角 ? 的终边经过点 P(5，－12)，则 sin ? ? cos ? 的值为＿＿。??◎●■??? ? ? ? （答： ? （2）设 ? 是第三、四象限角， sin ? ?

2m ? 3 ，则 m 的取值范围是_______ 4?m
1

7 ） ； 13

（答： （－1， ) ） ； （3）若

| sin ? | cos? ? ? 0 ，试判断 cot(sin? ) ? tan(cos ) 的符号 ? sin ? | cos? |

3 2

（答：负） 7. 特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° 0° 0 90° 1 180° 0 270° －1

sin ?

1 2

2 2

3 2
1 2

cos?

3 2 3 3

2 2
1

1

0

－1

0

tan ?

3
3 3

0

0

cot ?

3

1

0

0

记忆的时候注意利用规律 8. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： sin 2 ? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan 2 ? ? sec2 ? ,1 ? cot 2 ? ? csc2 ? （2）倒数关系：tan ? cot ? =1, （3）商数关系： tan ? ?

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

同角三角函数的基本关系式的基本作用是：已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。 例如： （1） 若 0 ? 2 x ? 2? ，则使 1 ? sin 2 2x ? cos2x 成立的 x 的取值范围是____ （答： [0, （2）已知 sin ? ?

?

m?3 4 ? 2m ? ( ? ? ? ? ) ，则 tan ? ＝____ ， cos ? ? m?5 m?5 2

3 ] ? [ ?,?]） ； 4 4

（答： ? （3）已知

tan ? sin ? ? 3 cos ? 2 ? ?1 ，则 ＝___； sin ? ? sin ? cos? ? 2 ＝____ tan ? ? 1 sin ? ? cos ?
（答： ?

5 ） ； 12

5 13 ； ） ； 3 5

（4）已知 sin 200 ? a ，则 tan160 等于
? ?

A、 ?

a 1? a2

B、

a 1? a2

C、 ?

1? a 2 a

D、

1? a 2 a
（答：B） ；

2

课堂练习：

1. 设 ? 分别是第二、三、四象限角，则点 P(sin ? , cos? ) 分别在第___、___、___象限. 已知 sin x ? cos x ? m, ( m ?

2.

2 , 且 m ? 1) ， 求 sin x ? cos x
sin ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ＝ cos?

3．若角α 的终边在直线 y＝－x 上，则
1 有意义的 x 的集合为 sin x

.

4．使 tanx－

.

α 4 α 5．已知α 是第二象限的角，且 cos ＝－ ，则 是第 2 5 2

象限的角.

课后练习：
一、选择题

1. 设 ? 角属于第二象限，且 cos
A. 第一象限

?
2

? ? cos

?
2

，则

? 角属于（ 2

）

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2.

给出下列各函数值：① sin(?1000 ) ；② cos( ?2200 ) ；③ tan(?10) ；④
0 0

sin

7? cos? 10 . 其中符号为负的有 17? tan 9

（

） A. ① B. ② C. ③ ）
3

D. ④

3.

sin 2 1200 等于（

A.

?

3 2

B.

3 2

C.

?

3 2

D.

1 2
）

4.

已知 sin ? ? A.

?

4 3

4 ，并且 ? 是第二象限的角，那么 tan ? 的值等于（ 5 3 3 4 B. ? C. D. 4 3 4

5π 3π 5．若θ ∈（ ， ） ，则 1－2sinθ cosθ 等于 4 2 A.cosθ －sinθ C.sinθ －cosθ 1 6．若 tanθ ＝ ，则 cos2θ ＋sinθ cosθ 的值是 3 6 A.－ 5 4 B.－ 5 C. 4 5 D. 6 5 B.sinθ ＋cosθ D.－cosθ －sinθ

三、解答题
1. 已知 tan ? ，

1 7 2 2 是关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两个实根，且 3? ? ? ? ? ，求 cos ? ? sin? 的值. 2 tan ?

2.

m－n 设 cosθ ＝ （m＞n＞0)，求θ 的其他三角函数值. m＋n

3．证明(1)

1＋2sinθcosθ 1＋tanθ ＝ cos2θ－sin2θ 1－tanθ

(2)tan2θ －sin2θ ＝tan2θ sin2θ

4

◎ 课后练习详细解答
一、选择题 1. C

2 k? ?

?
2

? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ), k? ?

?
4

?

?
2

? k? ?

?
2

, (k ? Z ),

当 k ? 2n,(n ? Z ) 时，

? ? 在第一象限；当 k ? 2n ? 1,(n ? Z ) 时， 在第三象限； 2 2

而 cos

?
2

? ? cos

?
2

? cos

?
2

? 0 ，?

?
2

在第三象限；

2.

C

sin(?10000 ) ? sin800 ? 0 ； cos(?22000 ) ? cos(?400 ) ? cos 400 ? 0
sin 7? 7? cos ? ? sin 10 10 ,sin 7? ? 0, tan 17? ? 0 ? 17? 17? 10 9 tan tan 9 9

tan(?10) ? tan(3? ?10) ? 0 ；

3.

B

sin 2 1200 ? sin1200 ?

3 2

4.

A

4 3 sin ? 4 sin ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ?? 5 5 cos ? 3
6.D 当 ? 是第二象限角时， sin ? ? 0,cos? ? 0 ；当 ? 是第三象限角时， sin ? ? 0,cos ? ? 0 ；当 ? 是第四象限角时， sin ? ? 0,cos ? ? 0 ；

5. A 二、填空题 1. 四、三、二

2.

②

17 ? 1? 7 sin ? M P? 0 , c o s ? O M ? 18 18
4．{x|x∈ 且 x≠ R
k? ，k∈ Z} 2

0
5．三

3．0 三、解答题 1. 解：? tan ? ?

1 1 7 ? k ? 2, ? k 2 ? 3 ? 1,? k ? ?2 ，而 3? ? ? ? ? ，则 tan ? ? tan ? tan ? 2

得 tan ? ? 1 ，则 sin ? ? cos ? ? ? m－n 解：∵m＞n＞0，∴cosθ ＝ ＞0 m＋n ∴θ 是第一象限角或第四象限角. 当θ 是第一象限角时：

2 ，?cos? ? sin ? ? ? 2 . 2

2.

5

sinθ ＝ 1 ? cos2 ? ? 1 ? tanθ ＝

( m ? n) 2 ( m ? n) 2 ? ( m ? n ) 2 2 ＝ ? mn 2 2 m?n ( m ? n) ( m ? n)

sin ? 2 ? mn cos ? m ? n
2

当θ 是第四象限角时： sinθ ＝－ 1 ? cos ? ? ? tanθ ＝

sin ? 2 ?? mn cos ? m?n

2 mn m?n

3. （1）证明：左＝

sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? (cos? ? sin ? )(cos? ? sin ? )
2

cos? ? sin ? cos ? ? sin ? (sin? ? cos? ) cos? ＝ ＝ ＝ cos? ? sin ? (cos? ? sin ? )(cos? ? sin ? ) cos ? ? sin ? cos?
(∵cos θ ≠0，∴分子、分母可同除以 cosθ ) ＝ 1＋tanθ ＝右，证毕. 1－tanθ

还可用其他证法. (2)证明：左＝

sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? －sin2θ ＝ cos2 ? cos2 ?

＝

sin 2 ? (1 ? cos2 ? ) sin 2 ? sin 2 ? ＝ ＝tan2θ sin2θ ＝右，证毕. cos2 ? cos2 ?
2

4.

解：由 sin x ? cos x ? m, 得 1 ? 2sin x cos x ? m , 即 sin x cos x ?

m2 ? 1 , 2

（1） sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)(1 ? sin x cos x) ? m(1 ?
3 3

m2 ? 1 3m ? m3 )? 2 2

（2） sin x ? cos x ? 1 ? 2sin x cos x ? 1 ? 2(
4 4 2 2

m 2 ? 1 2 ? m 4 ? 2m 2 ? 1 ) ? 2 2

6