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解斜三角形在实际生活中的应用(2稿)


解斜三角形在实际生活中的应用 江苏省丹阳高级中学 丁玲(212309) 解三角形在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用。将实际问题提炼成 数学问题,再综合运用正弦定理、余弦定理、三角恒等变形以及平面几何的有关知识解决问题 是解此类应用题的基本思路。下面举例说明解斜三角形在实际生活中的一些应用。 例 1、如图:在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对

于山坡的斜度为 15?, 向山顶前进 100m 后,又从点 B 测得斜度为 45?,假设建筑物高 50m,求此山对于地平面的斜度 ?。 C 分析:如图所示求山地对于地面的倾斜度即求∠OAD 的大小,在三角形△ABC 中 利用正弦定理求得 BC 边的长,然后将问题转到△ DBC 中, 借助?CDB = 90? + ?,再次利用正弦定理最终解决问题。 D 解:在△ABC 中,AB = 100m , ?CAB = 15?, B θ ?ACB = 45??15? = 30? A O 100 BC 由正弦定理: ∴BC = 200sin15? ? sin30? sin15? 在△ DBC 中,CD = 50m , ?CBD = 45?, ?CDB = 90? + ? 由正弦定理:
王新敞
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50 200sin15? ? ? cos? = 3 ? 1 sin 45? sin(90? ? ? )

∴? = 42 94? 例2、缉私巡逻艇在一小岛南50° 西方向,距小岛A12海里的B处,发现隐藏在小岛边上的一走私 船正开始向岛北10° 西方向行驶,测得其速度为每小时10海里,问:我巡逻艇须用多大的速度 朝什么方向航行才能恰在两小时后截获该走私船(已知 sin 38o ? 0.62 )? 分析:根据题意,可设恰在C处截获走私船、逻艇的速度为每小时 v 海里,当截获该走私船时, 则构造了△ABC,其中AB=12,BC=2v,AC=20, 然后用余弦定理求解。 解:假设我巡逻艇恰在C处截获走私船, AC即为走私船航行路线,我巡逻艇的速度为每小时 v 海里, 则 BC ? 2v, AC ? 20 ,则 ?BAC ? 120o ,由余弦定理可得:
BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos 20o ,故: BC 2 ? 784, BC ? 28 ? 2v
E
s in ?ABC ? 20 ? 28 3 2 ? 0.62

C



A B

∴ v ? 14 又由正弦定理得:

? ?ABC ? 38 ?, ?ABD ? 40 ?, ?EBC ? 90? ? 38? ? 40? ? 12?

即:我巡逻艇须用每小时14海里的速度向北12° 东的方向航行. 说明:⑴对方位角如“南50° 西方向”、“北10° 西方向”的正确理解是解题的基础;⑵将实际问题提 炼成数学问题,构造可解三角形是重要环节。 例 3、一条河的两岸平行,河的宽度 d 为 500m,一条船从 A 处出发航行到河的正对岸 B 处,船 航行的速度 | v1 |? 10 km / h ,水流速度 | v 2 |? 4 km / h ,那么 v 1 与 v 2 的夹角 ? (精确到 1°)多大 时,船才能垂直到达对岸 B 处?船行驶多少时间?(精确到 0.1min) 分析:小船在有一定流速的河中过河时,实际上有两个方向的分运动,
-1-

即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(即在静水中的 船的运动) ,船的实际运动是合运动。 解:如图所示根据平行四边形法则和解三角形知识可得:
2 2 | v1 | 2 ?| v | 2 ? | v | 2 得 | v |? v1 ? v2 ? 102 ? 4 2 ? 9.2 (km / h)

B

v1

v θ
A

|v | 4 2 ? ∵ cos(? ? ? ) ? 2 ? | v1 | 10 5

v2

11 19 ∴ ? ? ? ? ? ,即 ? ? ? ? 144o ,500m=0。5km 30 30

d 0.5 ? ? 3.3(min) v 9.2 答: v 1 与 v 2 的夹角 ? 约为 144°时船才能垂直到达对岸 B 处,大约行驶 3.3min。

时间 t ?

说明:本例的“小船过河问题”在速度问题中具有代表性,要清楚以下两点: v θ v

v1

d

v1

d

v2 v2 ⑵ ⑴ ⑴若要小船垂直于河岸过河,过河路径最短,应将船头偏向上游,如图 ⑴此时过河时间
t? d d ? ( v 1 为船在静水中的速度, v 2 为水流速,v 为船的实际速度) 。 v v1 sin? d (以上 d 均 v1

⑵若使小船过河时间最短,应使船头正对河岸行驶,如图⑵,此时过河的时间 t ?

为河宽) 。 例 4、日常生活中,人们有时要用同样长的两根绳子挂一个物体(如图所示) ,如果绳子的最大 拉力为 F,物体受到的重力为 G,你能否用向量的知识,分析绳子受到的拉力 F1 的大小与两绳 之间的夹角θ 的关系?解答以下四个问题: ⑴当θ 逐渐增大时,| F1|的大小怎样变化?为什么? ⑵当θ 为何值时,| F1|最小,最小值是多少? ⑶当θ 为何值时,| F1|=|G|? ⑷如果|F|=588N,|G|=882N,θ 在什么范围内绳子才不会断? 分析:为确切地描述这里的问题,我们要先把这一物理问题转化 成数学问题,不考虑其他物理因素,只考虑绳子和物体受力平衡, F2 F1 我们可以用图(2)表示。 θ 数学模型的建立:由向量的平行四边形法则、力的平衡及解三角形知识有: 力 F1 与 F2 的合力同重力 G 大小相等、方向相反,使物体受力平衡处于 静止状态,又| F1|=|F2|,于是可得数学模型: | F1 |? 利用这个数学模型来定量地研究以上四个问题。 解:⑴由于数学模型 | F1 |?
|G| 2 cos |G| 2 cos

?
2





G

?
2

中的 ? ? [0, ? ] ,因为余弦函数在 [0, ? ] 内是减函数,所以当 ? 增

-2-

大时,| F1|也增大;
|G | ? ⑵在①式中,当 ? ? 0 o 时, cos 也增大,此时| F1|最小且| F1|最小值为 ; 2 2

⑶在①式中,当 cos

?
2

?

1 2 ,即 ? ? ? 时| F1|=|G|; 2 3
882 2 cos

⑷要使绳子不断,必须有| F1|≤588N,由⑴式知

?
2

? 588 。



441 ? 21 ? ? cos ? 1 ,即 ? cos ? 1 ,用计算器操作可知: 588 2 28 2

0o ?

?
2

? 41o 即 0 o ? ? ? 82o

所以,当 0 o ? ? ? 82o 时,绳子才不会断。 说明:将物理量之间的关系抽象成数学模型,即能解释相关的物理现象,并求有关物理量。 通过以上的例题分析,同学们应掌握将实际问题转化为解斜三角形类问题的方法和步骤,逐 步提高分析问题和解决问题的能力,最终提高应用数学的能力。 练习: 1.海中有一小岛 B,周围 3.8 海里有暗礁,军舰由西向东航行到 A,望见岛在北 75° 东,航行 8 海里到 C,望见岛 B 在北 60° 东,若此舰不改变航向继续前进,有无触礁危险?? 2.直线 AB 外有一点 C,∠ ABC=60° ,AB=200 km,汽车以 80 km/h速度由 A 向 B 行驶, 同时摩托车以 50 公里的时速由 B 向 C 行驶,问运动开始几小时后,两车的距离最小 ? 答案:1.不会触礁;2.约 1 3 小时.
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