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巧用向量解题


巧用向量解题 张建峰 高中新教材新增了平面向量的内容并作为独立的章节来学习后,就成为高考的一个新内容, 也是高考的热点。平面向量在图象平移、定比分点、解三角形中有很重要的作用。除此之外 在代数、三角函数、解析几何中应用都很广泛,下面笔者就此进行探讨。 一. 向量基础知识 1. 向量的数量积定义: 。

2. 向量夹角公式:a 与 b 的夹角为θ ,则 3. 向量共线的充要条件:b 与非零向量 a 共线 4. 两向量平行的充要条件:向量 5. 向量垂直的充要条件:非零向量 6. 向量不等式: 7. 向量的坐标运算:向量 二. 向量的应用 1. 利用向量证明等式 对于某些恒等式证明,形式中含有 数量积定义和向量坐标运算来证明。 例 1. 已知α 、β 是任意角,求证: 。

。 存在唯一的 平行 ,使 。 。

,则



或符合向量的坐标运算形式,可运用向量的



证明:在单位圆上,以 x 轴为始边作角α ,终边交单位圆于 A,以 x 轴为始边作角β ,终边 交单位圆于 B,有

所以

又有 即 2. 利用向量证明不等式 成立。

当求解问题中(式子)含有乘积或乘方时,可巧妙地利用向量数量积坐标表达式: ,构造向量解之。 例 2. 是正数。

求证:



证明:设

所以 由数量积的坐标运算可得: 又因为

。 。

所以 3. 利用向量求值

成立。

对于求值问题,巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系,求出所需量的值。

例 3. 已知

,求锐角α 、β 。

解:由条件得 设











同理

(因为α 、β 为锐角)。

4. 利用向量求函数值域 巧妙构造向量, 可以解决条件最值问题, 特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最 值问题,用向量证明更有独特之处。 例 4. 若 解:构造向量 由 ,求 的最小值。



所以

当且仅当 例 5. 设 x 是实数,求

时,

有最小值

。 的最小值。

解:因为 故可设 所以

当 所以当 时,

时等号成立。 取得最小值 。

5. 利用向量解决解析几何问题 平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点, 也是近几年高考所考查的热点, 解此类题应 注重从向量数量积的定义和向量的加减法的运算入手, 还应该尽量联系向量与解析几何的共 同点,综合运用解析几何知识和技巧,使问题有效解决。 例 6. 过点 。 (1)求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 (2)是否存在这样的直线 ,使 解:(1)设 的方程为 得 当 时,设 ?若存在,求出 的方程;若不存在,说明理由。 ,代入 ,作直线 交双曲线 于 A、B 不同两点,已知





,由



再将

代入 时,满足(*)式。



(*)

当斜率不存在时,易知 轨迹为双曲线。 当

满足(*)式,故所求轨迹方程为

,其

时, 与双曲线只有一个交点,不满足题意。 ,所以平行四边形 OAPB 为矩形,OAPB 为矩形的充要条件是 ,即 。

(2)因为

当 k 不存在时,A、B 坐标分别为 又

,不满足上式。

化简得 此方程无实数解,故不存在直线 使 OAPB 为矩形。 所以,不存在满足条件的直线 l。


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