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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修 条件概率


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2.3.1

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【学习要求】 1.理解条件概率的定义.
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条件概率

2.掌握条件概率的计算方法. 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题. 【学法指导】 理解条件概率可以以简单事例为载体,先从古典概型出发求

条 件概率,然后再进行推广;计算条件概率可利用公式 P(A|B)= P?AB? ,也可以利用缩小样本空间的观点计算. P?B?

填一填·知识要点、记下疑难点

2.3.1

条件概率的概念
本 课 一般地, 对于两个事件 A 和 B, 在已知事件 B 发生的条件下事件 时 栏 A 发生的概率,称为事件 B 发生的条件下事件 A 的条件概率 目 开 (conditional probability),记为 P(A|B).若 P(B)>0,则事件 B 发 关 P?AB? P(A|B)= 生的条件下 A 发生的条件概率是 P?B? .

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2.3.1

探究点一
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条件概率

问题 1

3 张奖券中只有 1 张能中奖, 现分别由 3 名同学无放

回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其 他同学小?
1 答 最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 , 不比其他同学小. 3

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问题 2
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如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后

一名同学抽到中奖奖券的概率是多少?
按照古典概型的计算公式,此时最后一名同学抽到中 1 奖奖券的概率为2. 小结 已知第一名同学的抽奖结果会影响最后一名同学抽到
中奖奖券的概率,这就是条件概率.



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问题 3 怎样计算条件概率?
答 (1)在缩小后的样本空间 ΩA 中计算事件 B 发生的概率,
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即 P(B|A);
(2)在原样本空间 Ω 中,先计算 P(AB),P(A),再利用公式 P?AB? P(B|A)= 计算求得 P(B|A). P?A?

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问题 4 若事件 A、B 互斥,则 P(B|A)是多少?
答 A 与 B 互斥,即 A、B 不同时发生.
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∴P(AB)=0,∴P(B|A)=0.

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例 1 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依 次抽取 2 道题,求: (1)第 1 次抽到理科题的概率; (2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率;
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(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率.
解 设“第 1 次抽到理科题”为事件 A,“第 2 次抽到理科题” 为事件 B,则“第 1 次和第 2 次都抽到理科题”就是事件 AB.

(1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道的事件数为 n(Ω)=A2=20. 5
1 根据分步计数原理,n(A)=A1×A4=12. 3

n?A? 12 3 于是 P(A)= = = . n?Ω? 20 5

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(2)因为 n(AB)=A2=6, 3 n?AB? 6 3 所以 P(AB)= = = . n?Ω? 20 10
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由(1)(2)可得, 在“第 1 次抽到理科题的条件下, 2 第 3 P?AB? 10 1 次抽到理科题”的概率为 P(B|A)= = 3 =2. P?A? 5 方法二 因为 n(AB)=6,n(A)=12, (3)方法一
n?AB? 6 1 所以 P(B|A)= = = . n?A? 12 2

n?AB? 小结 利用 P(B|A)= 解答问题的关键在于明确 B 中的基本 n?A? 事件空间已经发生了质的变化,即在 A 事件必然发生的前提下, B 事件包含的样本点数即为事件 AB 包含的样本点数.

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跟踪训练 1 一个盒子中有 6 个白球、4 个黑球,每次从中不放 回地任取 1 个,连取两次,求第一次取到白球的条件下,第二次 取到黑球的概率.
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解 方法一 记“第一次取到白球”为事件 A,“第二次取到黑 球”为事件 B.
显然,事件“第一次取到白球,第二次取到黑球”的概率为 6×4 4 P(AB)= = . 4 10×9 15 P?AB? 15 4 由条件概率的计算公式,得 P(B|A)= = = . 6 9 P?A? 10 方法二 这个问题还可以这样理解:第一次取到白球,则只剩 9
个球,其中 5 个白球,4 个黑球,在这个前提下,第二次取到黑 4 球的概率当然是 . 9

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探究点二 条件概率的综合应用

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例 2 一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从 0~9 中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的 最后一位数字,求:
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(1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的 概率.

解 设“第 i 次按对密码”为事件 Ai(i=1,2), 则 A=A1∪( A1 A2)表示“不超过 2 次就按对密码”.
(1)因为事件 A1 与事件 A1 A2 互斥,由概率的加法公式得 9×1 1 1 P(A)=P(A1)+P( A1 A2)=10+ =5. 10×9

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(2)用 B 表示“最后一位按偶数”的事件,则 1 4×1 2 P(A|B)=P(A1|B)+P( A1 A2|B)= + = . 5 5×4 5
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小结 本题条件多,所设事件多,要分清楚事件之间的关系及谁 是条件,同时利用公式 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)可使有些条件 概率的计算较为简捷,但应注意这个性质在“B 与 C 互斥”这一 前提下才成立.

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跟踪训练 2 在某次考试中,从 20 道题中随机抽取 6 道题,若 考生至少能答对其中的 4 道即可通过; 若至少能答对其中 5 道就 获得优秀.已知某考生能答对其中 10 道题,并且知道他在这次 考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.
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解 设事件 A 为“该考生 6 道题全答对”,
事件 B 为“该考生答对了其中 5 道题,另一道答错”, 事件 C 为“该考生答对了其中 4 道题,另两道答错”, 事件 D 为“该考生在这次考试中通过”, 事件 E 为“该考生在这次考试中获得优秀”, 则 A、B、C 两两互斥,且 D=A∪B∪C, 由古典概型的概率公式及加法公式可知
P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)

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C6 C5 · 1 C4 · 2 12 180 10 10 C10 10 C10 = 6+ + = 6 . C20 C6 C6 C20 20 20

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∵P(AD)=P(A∩D)=P(A),P(BD)=P(B∩D)=P(B),
∴P(E|D)=P(A∪B|D)
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=P(A|D)+P(B|D)=

P?A? P?B? + P?D? P?D?

C6 C5 · 1 10 10 C10 C6 C6 13 20 20 = + = . 12 180 12 180 58 C6 C6 20 20 13 所以他获得优秀成绩的概率是 . 58

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1. 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数, 从 事件 A=“取到的 2 个数
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之和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 1 4 P(B|A)=________.
2 2 2 C3+C2 2 C2 1 解析 P(A)= = ,P(AB)= 2= , C2 5 C5 10 5

P?AB? 1 P(B|A)= = . P?A? 4

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2.某人一周晚上值班 2 次,在已知他周日一定值班的条件下, 1 6 则他在周六晚上值班的概率为________.
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解析 设事件 A 为“周日值班”, 事件 B 为“周六值班”,
1 C6 1 P?AB? 1 则 P(A)= 2,P(AB)= 2,故 P(B|A)= = . C7 C7 P?A? 6

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3.设某种动物能活到 20 岁的概率为 0.8,能活到 25 岁的概率 为 0.4,现有一只 20 岁的这种动物,问它能活到 25 岁的概

0.5 率是________.
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解析 设事件 A 为“能活到 20 岁”,事件 B 为“能活到 25 岁”,则 P(A)=0.8,P(B)=0.4,而所求概率为 P(B|A), 由于 B?A,

P?AB? P?B? 0.4 故 AB=B,于是 P(B|A)= = = =0.5, P?A? P?A? 0.8 所以一只 20 岁的这种动物能活到 25 岁的概率是 0.5.

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4.考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某家有男孩,求这家有 两个男孩的概率;若已知某家第一个是男孩,求这家有两 个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率.(假定生男生女为 等可能)
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解 Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}. 设 B=“有男孩”,则 B={(男,男),(男,女),(女,男)}. A=“有两个男孩”,则 A={(男,男)}, B1=“第一个是男孩”,则 B1={(男,男),(男,女)} 3 1 于是得 P(B)= ,P(BA)=P(A)= , 4 4 P?BA? 1 ∴P(A|B)= = ; P?B? 3 1 1 P(B1)= ,P(B1A)=P(A)= , 2 4 P?B1A? 1 ∴P(A|B1)= = . P?B1? 2

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P?AB? n?AB? 1.条件概率:P(B|A)= = . P?A? n?A?
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2. 概率 P(B|A)与 P(AB)的区别与联系: P(AB)表示在样本空间 Ω 中,计算 AB 发生的概率,而 P(B|A)表示在缩小的样本 空间 ΩA 中, 计算 B 发生的概率. 用古典概型公式, P(B|A) 则 AB中样本点数 AB中样本点数 = ,P(AB)= . ΩA中样本点数 Ω中样本点数


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