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高中数学典型例题解析平面解析几何初步


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高中数学典型例题分析
§7.1 直线和圆的方程 一、知识导学 1.两点间的距离公式:不论 A( x 1, y 1),B( x 2, y 2)在坐标平面上什么位置,都有
2 2 d=|AB|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ,特别地,与坐标轴平行的线段的长 |AB|=| x 2- x 1|或

|AB|=| y 2- y 1|. 2.定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点 A( x 1, y 1),B( x 2, y 2),P( x , y ) 之间数量关系的一个公式,其中λ 的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比. 这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的,一旦选定后λ 的值也就随之确定了.若以

? x? ? ? A 为起点,B 为终点,P 为分点,则定比分点公式是 ? ?y ? ? ? x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 λ =1,此时中点坐标公式是 ? . y ? y 1 2 ?y ? ? 2 ?

x1 ? ?x2 1? ? .当 P 点为 AB 的中点时, y1 ? ?y 2 1? ?

3.直线的倾斜角和斜率的关系 (1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率. (2)斜率存在的直线,其斜率 k 与倾斜角α 之间的关系是 k =tanα . 4.确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多,但必须注意各种 形式的直线方程的适用范围. 名称 斜截式 方程 说明 适用条件 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 与两坐标轴平行的直线 不能用此式 过(0,0)及与两坐标 轴平行的直线不能用此 式 A、B 不全为零

y ? kx ? b

k 为直线的斜率
b 为直线的纵截距 ( x0 , y0 ) 为直线上的

点斜式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? y1 x ? x1 = y 2 ? y1 x2 ? x1
x y + =1 a b

已知点, k 为直线的斜率 两点式 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 )是直 线上两个已知点

截距式

a 为直线的横截距
b 为直线的纵截距

一般式

Ax ? By ? C ? 0

?

A C C , ? , ? 分别 B A B

为斜率、横截距和纵截距

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5. 两条直线的夹角。 当两直线的斜率 k 1 , k 2 都存在且 k 1 · tanθ = k 2 ≠ -1 时,

k 2 ? k1 , 1 ? k1 k 2

当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.另外还应注意到: “到角”公式与“夹角”公式的 区别. 6.怎么判断两直线是否平行或垂直?判断两直线是否平行或垂直时,若两直线的斜率 都存在,可以用斜率的关系来判断;若直线的斜率不存在,则必须用一般式的平行垂直条件 来判断. (1) 斜率存在且不重合的两条直线 l 1∶ y ? k1 x ? b1 , l 2∶ y ? k 2 x ? b2 , 有以下结论: ① l 1∥ l 2 ? k 1 = k 2 ,且b1=b2 ② l 1⊥ l 2 ? k 1 · k 2 = -1 (2)对于直线 l 1∶ A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,l 2


A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,当 A 1, A 2, B 1,

B 2 都不为零时,有以下结论:
① l 1∥ l 2 ?

A1 B1 C = ≠ 1 A2 B 2 C 2
2

② l 1⊥ l 2 ? A 1 A 2+ B 1 B ③ l 1 与 l 2 相交 ?

= 0

A1 B ≠ 1 A2 B2 A1 B1 C1 = = A2 B 2 C 2

④ l 1 与 l 2 重合 ?

7.点到直线的距离公式. (1)已知一点 P( x0 , y0 )及一条直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则点 P 到直线 l 的距离

d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2



( 2 ) 两 平 行 直 线 l 1: Ax ? By ? C1 ? 0 , d=

l 2: Ax ? By ? C2 ? 0 之 间 的 距 离

| C1 ? C 2 | A2 ? B 2

.

8.确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式,要知道两种形式之 间的相互转化及相互联系 (1)圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,其中( a ,b)是圆心坐标, r 是圆 的半径;
2 2 (2)圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F >0) ,圆心坐标
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为(-

D E D 2 ? E 2 ? 4F ,- ) ,半径为 r = . 2 2 2

二、疑难知识导析 1.直线与圆的位置关系的判定方法. (1)方法一 直线: Ax ? By ? C ? 0 ;圆: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

? Ax ? By ? C ? 0 ? ?? ?消元 ?? ? 一元二次方程 ?判别式 ? 2 2 △?b 2 ? 4 ac x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ?

?△? 0 ? 相交 ? ?△? 0 ? 相切 ?△? 0 ? 相离 ?

(2)方法二 直线: Ax ? By ? C ? 0 ;圆: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,圆心( a ,b)到 直线的距离为 d=

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2

?d ? r ? 相离 ? ?? ? ?d ? r ? 相切 ?d ? r ? 相交 ?

2.两圆的位置关系的判定方法. 设两圆圆心分别为 O1、O2,半径分别为 r 1, r 2,|O1O2|为圆心距,则两圆位置关系如下: |O1O2|> r 1+ r 2 ? 两圆外离; |O1O2|= r 1+ r 2 ? 两圆外切; | r 1- r 2|<|O1O2|< r 1+ r 2 ? 两圆相交; | O1O2 |=| r 1- r 2| ? 两圆内切; 0<| O1O2|<| r 1- r 2| ? 两圆内含. 三、经典例题导讲 [例 1]直线 l 经过 P(2,3),且在 x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 错解:设直线方程为:

x y 2 3 ? ? 1 ,又过 P(2,3),∴ ? ? 1 ,求得 a=5 a b a b x y ? ? 1 的条件是: a ≠0 且 b≠0,本题忽略了 a ? b ? 0 这一情 a b 3?0 3 ? , 2?0 2

∴直线方程为 x+y-5=0. 错因: 直线方程的截距式: 形. 正解:在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为: k ? ∴直线方程为 y=

3 x 2 3 x . 2

综上可得:所求直线方程为 x+y-5=0 或 y=

[例 2]已知动点 P 到 y 轴的距离的 3 倍等于它到点 A(1,3)的距离的平方,求动点 P 的轨迹 方程. 错解:设动点 P 坐标为(x,y).由已知 3 x ? ( x ? 1) ? ( y ? 3) ,
2 2

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化简 3 x =x -2x+1+y -6y+9 .
2 2

当 x≥0 时得 x -5x+y -6y+10=0 . ① 2 2 当 x<0 时得 x + x+y -6y+10=0 . ② 错因:上述过程清楚点到 y 轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方 程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得 5 2 21 2 (x- ) +(y-3) = ① 2 4 和 1 2 3 2 (x+ ) +(y-3) = 2 4 ②

2

2

两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现. 5 2 21 1 2 2 2 正解: 接前面的过程,∵方程①化为(x- ) +(y-3) = ,方程②化为(x+ ) +(y-3) = 2 4 2 3 5 2 21 2 ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点 P 的轨迹方程为: (x- ) +(y-3) = 4 2 4 (x≥0) 2 2 2 2 [例 3]m 是什么数时,关于 x,y 的方程(2m +m-1)x +(m -m+2)y +m+2=0 的图象表示一个 圆? 2 2 错解:欲使方程 Ax +Cy +F=0 表示一个圆,只要 A=C≠0, 2 2 2 得 2m +m-1=m -m+2,即 m +2m-3=0,解得 m1=1,m2=-3, 2 2 ∴当 m=1 或 m=-3 时,x 和 y 项的系数相等,这时,原方程的图象表示一个圆 2 2 错因:A=C,是 Ax +Cy +F=0 表示圆的必要条件,而非充要条件,其充要条件是: F A=C≠0 且 <0. A 正解:欲使方程 Ax +Cy +F=0 表示一个圆,只要 A=C≠0, 2 2 2 得 2m +m-1=m -m+2,即 m +2m-3=0,解得 m1=1,m2=-3, 2 2 (1) 当 m=1 时,方程为 2x +2y =-3 不合题意,舍去.
2 2 2 2 1 (2) 当 m=-3 时,方程为 14x +14y =1,即 x +y = ,原方程的图形表示圆. 14 [例 4]自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 2 2 x +y -4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在的直线方程. 错解:设反射光线为 L′,由于 L 和 L′关于 x 轴对称,L 过点 A(-3,3),点 A 关于 x 轴的对 称点 A′(-3,-3),于是 L′过 A(-3,-3). 设 L′的斜率为 k,则 L′的方程为 y-(-3)=k[x-(-3)] ,即 kx-y+3k-3=0, 2 2 已知圆方程即(x-2) +(y-2) =1,圆心 O 的坐标为(2,2),半径 r=1 因 L′和已知圆相切,则 O 到 L′的距离等于半径 r=1 2 2

2k ? 2 ? 3k ? 3

k2 ?1 k2 ?1 即 2 整理得 12k -25k+12=0
解得 k=

?

5k ? 5

?1

4 3

L′的方程为 y+3=

4 (x+3) 3

即 4x-3y+3=0 因 L 和 L′关于 x 轴对称 故 L 的方程为 4x+3y+3=0. 错因:漏解 正解:设反射光线为 L′,由于 L 和 L′关于 x 轴对称,L 过点 A(-3,3),点 A 关于 x 轴的对 称点 A′(-3,-3), 于是 L′过 A(-3,-3). 设 L′的斜率为 k,则 L′的方程为 y-(-3)=k[x-(-3)] ,即 kx-y+3k-3=0,
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2 2

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已知圆方程即(x-2) +(y-2) =1,圆心 O 的坐标为(2,2),半径 r=1 因 L′和已知圆相切,则 O 到 L′的距离等于半径 r=1

2k ? 2 ? 3k ? 3

k2 ?1 k2 ?1 即 2 整理得 12k -25k+12=0
解得 k=

?

5k ? 5

?1

4 3 或 k= 3 4 4 3 (x+3);或 y+3= (x+3)。 3 4

L′的方程为 y+3=

即 4x-3y+3=0 或 3x-4y-3=0 因 L 和 L′关于 x 轴对称 故 L 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0. [例 5] 求过直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的交点, 且满足下列条件之 一的圆的方程: (1) 过原点; (2)有最小面积. 解:设所求圆的方程是: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? ? ?x ? 2 y ? 4? ? 0 即: x 2 ? y 2 ? ?2 ? ? ?x ? 2?2 ? ? ?y ? 1 ? 4? ? 0 (1)因为圆过原点,所以 1 ? 4? ? 0 ,即 ? ? ? 故所求圆的方程为: x ? y ?
2 2

1 4

7 7 x ? y ? 0. 4 2
2

(2) 将圆系方程化为标准式,有:

2??? 5? 2? 4 ? 2 ?x ? ? ? ?y ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 ? 4? 5? 5 ?
当其半径最小时,圆的面积最小,此时 ? ? ?
2

2

2 为所求. 5
2

4? ? 8? 4 ? 故满足条件的圆的方程是 ? x ? ? ? ? y ? ? ? . 5? ? 5? 5 ?
点评: (1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也可以待 定系数法。 (2)面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆面 积最小. [例 6] (06 年辽宁理科) 已知点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ≠0) 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0)
2

上的两个动点,O 是坐标原点,向量 OA, OB 满足| OA ? OB |=| OA ? OB |.设圆 C 的 方程为 x ? y ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
2 2

(1)证明线段 AB 是圆 C 的直径;

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(2)当圆 C 的圆心到直线 x ? 2 y ? 0 的距离的最小值为

2 5 时,求 p 的值. 5
2 2

解: (1)证明 ∵| OA ? OB |=| OA ? OB |,∴( OA ? OB ) =( OA ? OB ) , 整理得: OA ? OB =0 ∴ x1 x2 + y1 y 2 =0

设 M( x , y )是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA ? MB =0 即

( x ? x1 )(x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) =0

整理得: x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径. (2)设圆 C 的圆心为 C( x , y ) ,则

x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?
∵ y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ( p ? 0) ∴ x1 x 2 ?
2 2

y1 y 2 4 p2

2

2

又∵ x1 x2 + y1 y 2 =0 , x1 x2 =- y1 y 2

y y2 ∴- y1 y 2 ? 1 2 4p

2

2

∵ x1 x2 ≠0,∴ y1 y 2 ≠0 ∴ y1 y 2 =-4 p
2

x?

x1 ? x2 1 1 1 2 2 2 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? ( y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ) ? y1 y 2 2 4p 4p 4p



1 (y2 ? 2 p2 ) p
2 2

所以圆心的轨迹方程为 y ? px ? 2 p

设圆心 C 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为d,则

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| x ? 2y | 5

| ?

1 2 (y ? 2 p2 ) ? 2y | p 5
p 5

?

| ( y ? p) 2 ? p 2 | 5p
p 5


当 y = p 时,d有最小值 ∴ p =2. 四、典型习题导练

,由题设得

2 5 5

y y=2x+b

1. 直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对的
2 2

A

圆心角为 A. π 6

( π B. 4

) π C. 3
2 2

π D. 2

O B

1

x

2.已知直线 x=a(a>0)和圆(x-1) +y =4 相切 ,那么 a 的值是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 3. 如果实数 x 、y 满足等式 (x-2) +y =3,则
2 2

y 的最大值 x

为: . 2 2 4.设正方形 ABCD(A、B、C、D 顺时针排列)的外接圆方程为 x +y -6x+a=0(a<9) ,C、D 点 所在直线 l 的斜率为

1 . 3

(1)求外接圆圆心 M 点的坐标及正方形对角线 AC、BD 的斜率; (2)如果在 x 轴上方的 A、B 两点在一条以原点为顶点,以 x 轴为对称轴的抛物线上, 求此抛物线的方程及直线 l 的方程; (3)如果 ABCD 的外接圆半径为 2 5 ,在 x 轴上方的 A、B 两点在一条以 x 轴为对称轴 的抛物线上,求此抛物线的方程及直线 l 的方程. 2 2 5.如图,已知圆 C: (x+4) +y =4。圆 D 的圆心 D 在 y 轴上且与圆 C 外切。圆 D 与 y 轴交于 A、B 两点,点 P 为(-3,0). (1)若点 D 坐标为(0,3) ,求∠APB 的正切值; (2)当点 D 在 y 轴上运动时,求∠APB 的正切值的最大值; (3)在 x 轴上是否存在定点 Q,当圆 D 在 y 轴上运动时,∠AQB 是定值?如果存在,求 出点 Q 坐标;如果不存在,说明理由.

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§7.2 圆锥曲线 一、知识导学 1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点 的轨迹
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2.椭圆的标准方程:

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ?1 (a ? b ? 0) , a2 b2 a2 b2

3 椭圆的第二定义 :一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数
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e ,那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率
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椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式 4.椭圆的准线方程 对于

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x2 y2 a2 a2 ? ? 1 l : x ? ? l : x ? ,左准线 ;右准线 1 2 c c a2 b2 y2 x2 a2 a2 ? ? 1 l : y ? ? l : y ? ,下准线 ;上准线 1 2 c c a2 b2

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对于

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a2 a2 ? c2 b2 ?c ? ? 5.焦点到准线的距离 p ? (焦参数) c c c
椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称 6 椭圆的参数方程 ?
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? x ? a cos? (?为参数) ? y ? b sin ?

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7.双曲线的定义:平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值为常数(小于 F1 F2 )的动 点的轨迹叫双曲线
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即 MF1 ? MF 2 ? 2a 这两个定点叫做双曲线的焦点, 两焦点间的距
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离叫做焦距 8.双曲线的标准方程及特点: (1)双曲线的标准方程有焦点在 x 轴上和焦点 y 轴上两种: 焦点在 x 轴上时双曲线的标准方程为:

x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ); 2 a b

焦点在

2 2 y 轴上时双曲线的标准方程为: y ? x ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) a2 b2
2 2 2

(2) a, b, c 有关系式 c ? a ? b 成立,且 a ? 0, b ? 0, c ? 0 其中 a 与 b 的大小关系:可以为 a ? b, a ? b, a ? b
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9 焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 x 、y 项的分
2
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2

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母的大小来确定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的
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正负来判断焦点所在的位置,即 x 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上; y 项的系数是正
2

2

的,那么焦点在

y 轴上

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10.双曲线的几何性质: (1)范围、对称性 由标准方程

x2 y2 ? ? 1 ,从横的方向来看,直线 x=- a ,x= a 之间没有图象,从纵的方向来 a2 b2

看,随着 x 的增大,y 的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那 样是封闭曲线 双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心 (2)顶点
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顶点: A1 (a,0), A2 ?? a,0? ,特殊点: B1 (0, b), B2 ?0,?b? 实轴: A1 A2 长为 2 a ,

a 叫做半实轴长 虚轴: B1 B2 长为 2b,b 叫做虚半轴长
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双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异 (3)渐近线

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b x y x2 y2 过双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线 y ? ? x ( ? ? 0 ) a a b a b
(4)离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 e ? 双曲线形状与 e 的关系: k ?

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2c c ? ,叫做双曲线的离心率 范围: e ? 1 2a a
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b c2 ? a2 c2 ? ? ? 1 ? e 2 ? 1 ,e 越大,即渐近线的斜 2 a a a
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率的绝对值就大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知,双曲线的离心率越 大,它的开口就越阔
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11. 双曲线的第二定义: 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e ?
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c (c ? a ? 0) a
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的点的轨迹是双曲线 其中,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线 是双曲线的离心率. 12.双曲线的准线方程: 对于

常数 e

x2 y2 a2 ? ? 1 l : x ? ? 来说,相对于左焦点 对应着左准线 ,相对于右焦点 F ( ? c , 0 ) 1 1 c a2 b2

a2 ; F2 (c,0) 对应着右准线 l 2 : x ? c
焦点到准线的距离 p ?

b2 (也叫焦参数) c

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对于

y2 x2 a2 ? ? 1 l : y ? 来说,相对于上焦点 对应着上准线 ;相对于下焦点 F1 (0, c) 1 c a2 b2 a2 c
y
l y O F
O F

F2 (0,?c) 对应着下准线 l 2 : y ? ?
抛物线
y

y

图 形
l

x

x

F

O

x

F O l

x

l

方 程 焦 点 准 线

y 2 ? 2 px( p ? 0)
p ( ,0 ) 2
x?? p 2

y 2 ? ?2 px( p ? 0)
(? p ,0) 2 p x? 2

x 2 ? 2 py( p ? 0)
p (0, ) 2
y?? p 2

x 2 ? ?2 py( p ? 0)
p (0,? ) 2 p y? 2

13 抛物线定义:
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平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做抛物线
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的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线

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二、疑难知识导析 椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线,它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几 何性质都存在着相似之处,也有着一定的区别,因此,要准确地理解和掌握三种曲线的特点 以及它们之间的区别与联系 1.等轴双曲线 定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双
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曲线的性质: (1)渐近线方程为: y ? ? x ; (2)渐近线互相垂直; (3)离心率 e ? 2.共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为 y ? ?

2

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b kb x ? ? x(k ? 0) ,那么此双曲线方程就一定 a ka
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x2 y2 x2 y2 是: ? ? ?1(k ? 0) 或写成 2 ? 2 ? ? a b (ka) 2 (kb) 2

3.共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法: 将 1 变为-1 4.抛物线的几何性质 (1)范围
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因为 p>0,由方程 y 2 ? 2 px? p ? 0? 可知,这条抛物线上的点 M 的坐标(x,y)满足不等式 x≥0,所以这条抛物线在 y 轴的右侧;当 x 的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上 方和右下方无限延伸. (2)对称性 以-y 代 y,方程 y 2 ? 2 px? p ? 0? 不变,所以这条抛物线关于 x 轴对称,我们把抛物线的 对称轴叫做抛物线的轴. (3)顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程 y 2 ? 2 px? p ? 0? 中,当 y=0 时,x=0, 因此抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的顶点就是坐标原点. (4)离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用 e 表示.由 抛物线的定义可知,e=1. 19 抛物线的焦半径公式:
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2 p p 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) , PF ? x0 ? ? ? x0

2

2

2 p p 抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) , PF ? x0 ? ? ? x0

2

2

2 p p 抛物线 x ? 2 py( p ? 0) , PF ? y 0 ? ? ? y0

2

2

2 p p 抛物线 x ? ?2 py( p ? 0) , PF ? y 0 ? ? ? y0

2

2

三、经典例题导讲 [例 1]设双曲线的渐近线为: y ? ? 错解:由双曲线的渐近线为: y ? ? 剖析:由双曲线的渐近线为 y ? ? y 轴上时,

3 x ,求其离心率. 2
b 3 3 c b2 13 x ,可得: ? ,从而 e ? ? 1 ? 2 ? a 2 2 a 2 a

3 x 是不能确定焦点的位置在 x 轴上的,当焦点的位置在 2

b 2 ? ,故本题应有两解,即: a 3

e?

13 c b2 13 或 . ? 1? 2 ? 3 a 2 a

2 2 [例 2]设点 P(x,y)在椭圆 4x ? y ? 4 上,求 x ? y 的最大、最小值.

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错 解 : 因 4x 2 ? y 2 ? 4

2 ∴ 4x ? 4 , 得 : ? 1 ? x ? 1 , 同 理 得 : ? 2 ? y ? 2 , 故

?3? x ? y ? 3

∴最大、最小值分别为 3,-3.

剖析:本题中 x、y 除了分别满足以上条件外,还受制约条件 4x 2 ? y 2 ? 4 的约束.当 x=1 时,y 此时取不到最大值 2,故 x+y 的最大值不为 3.其实本题只需令 x ? cos? , y ? 2 sin ? , 则 x ? y ? cos? ? 2 sin ? ? 5 sin(? ? ? ) ,故其最大值为 5 ,最小值为 ? 5 . [例 3]已知双曲线的右准线为 x ? 4 ,右焦点 F (10,0) ,离心率 e ? 2 ,求双曲线方程. 错解一: ? x ?

a2 ? 4, c ? 10,? a 2 ? 40,? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 60. 故所求的双曲线方程为 c

x2 y2 ? ? 1. 40 60
错解二: 由焦点 F (10,0) 知 c ? 10, ? e ?

c ? 2,? a ? 5, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 75. a

故所求的双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1. 25 75

错因: 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点, 而题中并没有告诉中心在原点这个条 件。由于判断错误,而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件,都会产生错误解法. 解法一: 设 P( x, y ) 为双曲线上任意一点, 因为双曲线的右准线为 x ? 4 , 右焦点 F (10,0) ,

( x ? 10) 2 ? y 2 e ? 2 离心率 ,由双曲线的定义知 ? 2. | x?4|
解法二: 依题意,设双曲线的中心为 (m,0) ,

整理得

( x ? 2) 2 y 2 ? ? 1. 16 48



?a2 ? ?m?4 c ? ? ?c ? m ? 10 解得 ?c ? ? 2. ? ?a

?a ? 4 ? 2 2 2 ?c ? 8 ,所以 b ? c ? a ? 64 ? 16 ? 48, ? m ? 2. ?

故所求双曲线方程为

( x ? 2) 2 y 2 ? ? 1. 16 48
3 3 ,已知点 P ( 0, ) 到这个 2 2

[例 4]设椭圆的中心是坐标原点,长轴 x 在轴上,离心率 e ?

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椭圆上的最远距离是 7 ,求这个椭圆的方程.

错解:依题意可设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2



e2 ?

c2 a2 ? b2 b2 3 ? ? 1 ? ? , a2 a2 a2 4
a ? 2b.

所以

b2 1 ? ,即 a2 4

设椭圆上的点 ( x, y ) 到点 P 的距离为 d , 则

3 d 2 ? x2 ? ( y ? )2 2

y2 9 ) ? y 2 ? 3y ? 2 4 b 1 ? ?3( y ? ) 2 ? 4b 2 ? 3. 2 ? a 2 (1 ?
所以当 y ? ? 所以

1 2 时, d 有最大值,从而 d 也有最大值。 2

4b 2 ?3 ? ( 7 ) 2 ,由此解得: b 2 ? 1, a 2 ? 4.
x2 ? y 2 ? 1. 4

于是所求椭圆的方程为

错因: 尽管上面解法的最后结果是正确的, 但这种解法却是错误的。 结果正确只是碰巧而已。 由当 y ? ?

1 2 时, d 有最大值,这步推理是错误的,没有考虑 y 到的取值范围.事实上,由 2
2

于点 ( x, y ) 在椭圆上,所以有 ? b ? y ? b ,因此在求 d 的最大值时,应分类讨论. 正解:若 b ?

1 2 ,则当 y ? ?b 时, d (从而 d )有最大值. 2 3 2 3 1 1 2 于是 ( 7 ) ? (b ? ) , 从而解得 b ? 7 ? ? , 与b ? 矛盾 . 2 2 2 2 1 1 2 所以必有 b ? ,此时当 y ? ? 时, d (从而 d )有最大值, 2 2
所以 4b 2 ?3 ? ( 7 ) 2 ,解得 b ? 1, a ? 4.
2 2

于是所求椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

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[例 5]从椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,( a >b>0)上一点 M 向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点 F1, a2 b2
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A、B 分别是椭圆长、短轴的端点,AB∥OM 设 Q 是椭圆上任意一点,当 QF2⊥AB 时,延长 QF2 与椭圆交于另一点 P,若⊿F1PQ 的面积为 20 3 ,求此时椭圆的方程 解:本题可用待定系数法求解
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∵b=c, a = 2 c,可设椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 2c 2 c 2

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∵PQ⊥AB,∴kPQ=-

1 a ? ? 2 ,则 PQ 的方程为 y= 2 (x-c), k AB b
2 2

代入椭圆方程整理得 5x -8cx+2c =0, 根据弦长公式,得 PQ=

6 2 c, 5

又点 F1 到 PQ 的距离 d=

2 6 c 3

∴ S ?F1PQ ?

1 4 3 2 4 3 2 PQ d ? c ,由 c ? 20 3,得c 2 ? 25, 2 5 5

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 50 25

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? x2 ? y 2 ? 1 ,过左焦点 F 作倾斜角为 6 的直线交椭圆于 A、B 两点,求 [例 6]已知椭圆: 9
弦 AB 的长
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解:a=3,b=1,c=2 2 ; 由题意知: l : y ?

则 F(-2 2 ,0)

1 3

(x ? 2 2) 与

x2 ? y 2 ? 1 联立消去 y 得: 9

4 x 2 ? 12 2 x ? 15 ? 0
设 A( x1 , y1 ) 、B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 , x 2 是上面方程的二实根,由违达定理, x1 ? x2 ? ?3 2

x1 ? x 2 ?

x ? x2 15 3 2 ?? , xM ? 1 又因为 A、B、F 都是直线 l 上的点, 4 2 2

所以|AB|= 1 ? ? | x1 ? x2 |?

1 3

2 3

? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

2 3

18 ? 15 ? 2

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点评:也可利用“焦半径”公式计算

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[例 7] (06 年全国理科)设 P 是椭圆 个动点,求|PQ|的最大值.

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 短轴的一个端点,Q 为椭圆上的一 2 a

2 2 解: 依题意可设 P(0,1) ,Q( x , y ) ,则|PQ|= x ? ( y ? 1) ,又因为 Q 在椭圆上,

所以, x 2 ? a 2 (1 ? y 2 ) ,|PQ| = a 2 (1 ? y 2 ) ? y 2 ? 2 y ? 1 = (1 ? a 2 ) y 2 ? 2 y ? 1 ? a 2
2

1 2 1 ) ? ?1? a2. 2 2 1? a 1? a 1 1 | ≤ 1 ,当 y ? 因为 | y | ≤ 1 , a > 1 ,若 a ≥ 2 ,则 | 时,| PQ |取最大值 2 1? a 1? a2
= (1 ? a )( y ?
2

a2 a2 ?1 ;若 1< a < 2 ,则当 y ? ?1 时,|PQ|取最大值 2. a2 ?1
[例 8]已知双曲线的中心在原点,过右焦点 F(2,0)作斜率为 M、N 两点,且 MN =4,求双曲线方程

3 的直线,交双曲线于 5

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解:设所求双曲线方程为

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,由右焦点为(2,0) 知 C=2,b2=4- a 2 2 a b
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则双曲线方程为

x2 y2 3 ? ? 1 ,设直线 MN 的方程为: y ? ( x ? 2) ,代入双曲线方程 2 2 5 a 4?a
2 2 2 4 2

整理得:(20-8 a )x +12 a x+5 a -32 a =0

? 12a 2 5a 4 ? 32a 2 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? 20 ? 8a 2 20 ? 8a 2

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? ? ? MN ? 1 ? ? 3 ? ? ? 5? ? ?
8 ? ? 5
解得
2

2

?x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2

? ? 12a 2 ? 5a 4 ? 32a 2 ? ? ? 4 ? ?4 ? 20 ? 8a 2 ? 20 ? 8a 2 ? ?
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a 2 ? 1 ,? b 2 ? 4 ? 1 ? 3
2

y2 ?1 故所求双曲线方程为: x ? 3

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点评: 利用待定系数法求曲线方程, 运用一元二次方程的根与系数关系将两根之和与积整体 代入,体现了数学的整体思想,也简化了计算,要求学生熟练掌握
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四、典型习题导练 1. 设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 两焦点为 F1、F2,点 Q 为双曲线上除顶点外的任一点, a2 b2


过 F1 作∠F1QF2 的平分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹是 ( A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.圆的一部分. 2 2.已知点(-2,3)与抛物线 y =2px(p>0)的焦点 的距离是 5,则 p=

.

3. 平面内有两定点 A(?1,0)和B( 1 , 0),在圆( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 上,求一点 P 使

AP ? BP 取得最大值或最小值,并求出最大值和最小值.
4.已知椭圆

2

2

x2 y2 2 2 2 20 .(1)若圆(x-2) +(y-1) = 与椭圆 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 2 a b

相交于 A、 B 两点且线段 AB 恰为圆的直径, 求椭圆方程; (2) 设 L 为过椭圆右焦点 F 的直线, 交椭圆于 M、N 两点,且 L 的倾斜角为 60 ,求
0

MF NF

的值.

5.已知抛物线方程为 y 2 ? 2 p( x ? 1)( p ? 0) ,直线 l : x ? y ? m 过抛物线的焦点 F 且被抛 物线截得的弦长为 3,求 p 的值. 6.线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m>0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2 m ,以 x 轴 为对称轴,过 A,O,B 三点作抛物线 (1)求抛物线方程;
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(2)若 tg?AOB ? ?1 ,求m 的取值范围

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§7.3

点、直线和圆锥曲线

一、知识导学 1. 点 M(x0,y0)与圆锥曲线 C:f(x,y)=0 的位置关系 已知

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 (a>0,b>0) ( a > b > 0 )的焦点为 F 1、F2, a2 b2 a2 b2

的焦点为 F1、F2, y 2 ? 2 px (p>0)的焦点为 F,一定点为 P(x0,y0),M 点到抛物线的准线 的距离为 d,则有:

上述结论可以利用定比分点公式,建立两点间的关系进行证明. 2.直线 l ∶Ax+B y +C=0 与圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 的位置关系: 直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对称轴的 直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线 只有一个交点,但并不相切.这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为: 设直线 l :Ax+By+C=0,圆锥曲线 C:f(x,y)=0,由 ?
2 2

?Ax ? By ? C ? 0 ? f(x,y) ? 0

消去 y(或消去 x)得:ax +bx+c=0,△=b -4ac,(若 a≠0 时), △>0 ? 相交 △<0 ? 相离 △= 0 ? 相切 注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不 是充分条件. 二、疑难知识导析 1.椭圆的焦半径公式:(左焦半径) r1 ? a ? ex0 ,(右焦半径) r2 ? a ? ex0 ,其中 e 是离

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心率。 焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式: ?

? MF1 ? a ? ey0 ( 其中 F1 , F2 分别是椭圆 ? MF2 ? a ? ey0
可以记为:左

的下上焦点). 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关,而与点在左在右无关 加右减,上减下加. 2.双曲线的焦半径

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定义:双曲线上任意一点 M 与双曲线焦点 F1 , F2 的连线段,叫做双曲线的焦半径. 焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式:

? MF1 ? a ? ex0 ?? ? MF2 ? a ? ex0
焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式:

? MF1 ? a ? ey0 ?? ? MF2 ? a ? ey0

( 其中 F1 , F2 分别是双曲线的下上焦点)

3.双曲线的焦点弦: 定义:过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。 焦点弦公式: 当双曲线焦点在 x 轴上时, 过左焦点与左支交于两点时: AB ? ?2a ? e( x1 ? x2 ) ; 过右焦点与右支交于两点时: AB ? ?2a ? e( x1 ? x2 ) 。 当双曲线焦点在 y 轴上时, 过左焦点与左支交于两点时: AB ? ?2a ? e( y1 ? y2 ) ; 过右焦点与右支交于两点时: AB ? ?2a ? e( y1 ? y2 ) 。 4.双曲线的通径: 定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦

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d?

2b 2 . a

5.直线和抛物线 (1)位置关系: 相交(两个公共点或一个公共点) ;相离(无公共点) ;相切(一个公共点). 联立 ?

? y ? kx ? b 2 ,得关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0 2 ? y ? 2 px

当 a ? 0 (二次项系数为零) ,唯一一个公共点(交点) ; 当 a ? 0 ,则 若 ? ? 0 ,两个公共点(交点) ; ? ? 0 ,一个公共点(切点) ;
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? ? 0 ,无公共点 (相离).
(2)相交弦长: 弦长公式: d ? (3)焦点弦公式: 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) , AB ? p ? ( x1 ? x2 ) . 抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) , AB ? p ? ( x1 ? x2 ) . 抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) , AB ? p ? ( y1 ? y2 ) . 抛物线 x 2 ? ?2 py( p ? 0) , AB ? p ? ( y1 ? y2 ) . (4)通径: 定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦 (5)常用结论:
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? 1? k 2 . a

通径: d ? 2 p .

p ? 2p k 2 p2 ? y ? k(x ? ) 2 2 2 2 2 ? y ? y ? p ? 0 k x ? ( k p ? 2 p ) x ? ?0 和 ? 2 k 4 2 ? ? y ? 2 px

? y1 y2 ? ? p 2 和 x1 x 2 ?
三、经典例题导讲

p2 . 4
2

[例 1]求过点 (0,1) 的直线,使它与抛物线 y ? 2 x 仅有一个交点. 错解: 设所求的过点 (0,1) 的直线为 y ? kx ? 1 ,则它与抛物线的交点为

? y ? kx ? 1 ? 2 2 2 2 ? y ? 2 x ,消去 y 得 (kx ? 1) ? 2x ? 0. 整理得 k x ? (2k ? 2) x ? 1 ? 0.

? 直线与抛物线仅有一个交点,? ? ? 0, 解得

k?

1 1 . ? y ? x ? 1. 2 2 所求直线为

正解: ①当所求直线斜率不存在时, 即直线垂直 x 轴, 因为过点 (0,1) , 所以 x ? 0, 即 y 轴, 它正好与抛物线 y ? 2 x 相切.②当所求直线斜率为零时,直线为 y = 1 平行 x 轴,它正好
2 2 与 抛 物 线 y ? 2 x 只 有 一 个 交 点 . ③ 一 般 地 , 设 所 求 的 过 点 (0,1) 的 直 线 为

? y ? kx ? 1 y ? kx ? 1 (k ? 0) ,则 ? 2 , ? y ? 2x
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1 1 ? k 2 x 2 ? (2k ? 2) x ? 1 ? 0. 令 ? ? 0, 解得 k = 2 ,∴ 所求直线为 y ? x ? 1. 2 1 综上,满足条件的直线为: y ? 1, x ? 0, y ? x ? 1. 2
[例 2]已知曲线 C: y ?

20 ? x 2 与直线 L: y ? ? x ? m 仅有一个公共点,求 m 的范围. 2

错解:曲线 C: y ?

2 2 ? y ? ?x ? m 20 ? x 2 可化为 x ? 4 y ? 20①,联立 ? 2 ,得: 2 2 ? x ? 4 y ? 20

5x 2 ? 8mx ? 4m 2 ? 20 ? 0 ,由Δ =0,得 m ? ?5 .
错因:方程①与原方程并不等价,应加上 y ? ?0,???. 正解:原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.(如图) ,结合 图形易求得 m 的范围为 m ? 5或 ? 2 5 ? m ? 2 5 . 注意: 在将方程变形时应时时注意范围的变化, 这样才不会出 错.

y

o

x

y2 ? 1 ,过 P(1,1)能否作一条直线 L 与双曲线交于 A、B 两点,且 P [例 3]已知双曲线 x ? 2
2

为 AB 中点. 错解: (1)过点 P 且与 x 轴垂直的直线显然不符合要求. (2)设过 P 的直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,代入 x ?
2

y2 ? 1 并整理得: 2

(2 ? k 2 ) x 2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) 2 ? 2 ? 0
∴ x1 ? x 2 ?

2k (1 ? k ) 2k (1 ? k ) ?2 ,又∵ x1 ? x2 ? 2 ∴ 2 2?k 2?k2

解之得:k=2,故直线方程为:y=2x-1,即直线是存在的. 正解:接以上过程,考虑隐含条件“Δ >0” ,当 k=2 时代入方程可知Δ <0,故这样的直线不 存在. [例 4]已知 A、B 是圆 x ? y ? 1 与 x 轴的两个交点,CD 是垂直于 AB 的动弦,直线 AC 和
2 2

DB 相交于点 P,问是否存在两个定点 E、F, 使 | | PE |-| PF | | 为定值?若存在,求 y 出 E、F 的坐标;若不存在,请说明理由. P 解:由已知得 A (-1, 0 )、B ( 1, 0 ), C 设 P ( x, y ), C ( x0 , y0 ) , 则 D ( x0 ,? y 0 ), 由 A、C、P 三点共线得

y0 y ? x ? 1 x0 ? 1



A

O D

B

x

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由 D、B、P 三点共线得

? y0 y ? x ? 1 x0 ? 1
2



①×② 得
2 2

?y y2 ? 20 2 x ? 1 x0 ? 1
2 2



又 x0 ? y0 ? 1 ,

∴ y0 ? 1 ? x0 , 代入③得 x 2 ? y 2 ? 1 ,

即点 P 在双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上, 故由双曲线定义知,存在两个定点 E (- 2 , 0 )、 F ( 2 , 0 )(即此双曲线的焦点) ,使 | | PE |-| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴 长为定值). [例 5]已知椭圆的中心在坐标原点 O, 焦点在坐标轴上, 直线 y=x+1 与该椭圆相交于 P 和 Q,

10 ,求椭圆的方程. 2 x2 y2 解:设所求椭圆的方程为 2 ? 2 =1. a b
且 OP⊥OQ,|PQ|= 依题意知,点 P、Q 的坐标满足方程组: ?x 2 y2 ? 2 ? 2 ? 1    ① ?a b ?y ? x ? 1     ② ? 将②代入①,整理得 ③ (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 , 设方程③的两个根分别为 x1 、 x2 ,则直线 y=x+1 和椭圆的交点为 P( x1 , x1 +1),Q( x2 , x2 +1) 由题设 OP⊥OQ,|OP|=

10 ,可得 2

? x1 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? x ? ?1 ? 1 2 ? 10 2 ? 2 2 ( x ? x ) ? [( x ? 1 ) ? ( x ? 1 )] ? ( ) 2 1 2 1 ? 2 ?
整理得

?( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? 1 ? 0       ① ? 2 ?4( x1 ? x 2 ) ? 16x1 x 2 ? 5 ? 0     ②
解这个方程组,得

1 ? x x ? 1 2 ? ? 4 ? ?x ? x ? ? 3 1 2 ? 2 ?

1 ? x x ? ? 1 2 ? ? 4 或 ? ?x ? x ? ? 1 1 2 ? 2 ?

根据根与系数的关系,由③式得

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? 2a 2 3 ? ? 2 2 ?a ? b 2 (1) ? 2 2 ? a (1 ? b ) ? 1 ? 4 ? a2 ? b2
解方程组(1)、(2)得

? 2a 2 1 ? ? 2 2 ?a ? b 2 或 (2) ? 2 2 ? a (1 ? b ) ? ? 1 ? 4 ? a2 ? b2

?a 2 ? 2 ? ? 2 2 ?b ? 3 ?
x2 y2 ? 2 2 3

? 2 2 ?a ? 或? 3 ?b 2 ? 2 ?
=1 , 或

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? =1. 2 2 3

[ 例 6] ( 06 年 高 考 湖 南 ) 已 知 椭 圆 C1 :

x2 y2 ? 4 3

= 1 , 抛 物 线 C2 :

(1)当 AB⊥ x 轴时, ( y ? m) 2 ? 2 px( p ? 0) ,且 C1、C2 的公共弦 AB 过椭圆 C1 的右焦点。 4 求 m 、 p 的值,并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上; (2)若 p = ,且抛物线 C2 的 3 焦点在直线 AB 上,求 m 的值及直线 AB 的方程. 解: (1)当 AB⊥ x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m =0,直线 AB 的方程为 x =1, 3 3 从而点 A 的坐标为(1, )或(1,- ) , 2 2 9 9 因为点 A 在抛物线上,所以 ? 2 p , p = . 4 8 9 此时,抛物线 C2 的焦点坐标为( ,0) ,该焦点不在直线 AB 上. 16 (2)当抛物线 C2 的焦点在直线 AB 上时,由(1)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程 为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 消去 y 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 y2 ?1 ? ? 3 ?4 设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ).
8k 2 则 x1 , x2 是方程①的两根, x1 + x2 = . 3 ? 4k 2
因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦,又是 C2 的焦点的弦, 所以|AB|= (2- 且



1 1 1 x1 )+(2- x 2 )=4- ( x1 ? x 2 ) , 2 2 2

p p 4 )+( x 2 ? )= x1 ? x2 ? p = x1 ? x 2 ? . 2 2 3 4 1 从而 x1 ? x 2 ? =4- ( x1 ? x 2 ) 3 2 16 16 8k 2 ? 所以 x1 ? x 2 ? ,即 2 9 9 3 ? 4k
|AB|=( x1 ?
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解得 k ? ? 6 . 因为 C2 的焦点 F ( 即m ? ?


2 1 , m )在直线 y ? k ( x ? 1) 上,所以 m ? ? k , 3 3

6 3 6 当m ? 时直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 当m ? ? 时直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ? 1) . 3
四、典型习题导练 1.顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 l :y=2x+1 截得的弦长为 15 ,则抛 物线方程为 2 2 2.直线 m:y=kx+1 和双曲线 x -y =1 的左支交于 A、B 两点,直线 l 过点 P(-2,0)和线 段 AB 的中点,则直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围为 3.已知椭圆C∶

x2 y2 ? ? 1上存在关于直线 l∶y ? 2 x ? m对称的两点, 9 4

试求 m 的取值范围.

4. 设过原点的直线 l 与抛物线 y =4(x-1)交于 A、B 两点,且以 AB 为直径的圆恰好过抛物 线的焦点 F, (1)求直线 l 的方程; (2)求|AB|的长. 2 5. 如图,过抛物线 y =4x 的顶点 O 作任意两条互相垂直的弦 OM、ON, 求(1)MN 与 x 轴交点的坐标;(2)求 MN 中点的轨迹方程. 3 9.设曲线 C 的方程是 y=x -x,将 C 沿 x 轴、y 轴正向分别平行移动 t,s 单 位长度后得曲线 C1. (1)写出曲线 C1 的方程; (2)证明曲线 C 与 C1 关于点 A(

2

t s , )对称; 2 2

(3)如果曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,证明 s=

t3 ? t 且 t≠0. 4

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§7.4 轨迹问题 一、知识导学 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个 二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线 叫做方程的曲线. 2.点与曲线的关系 若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0, 则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 ? f(x0,y0)=0; ? 点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点 若曲线 C1,C2 的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)是 C1,C2 的交点 ?

? f1 ( x0 , y 0 ) ? 0 ? ? f 2 ( x0 , y 0 ) ? 0

方程组有 n 个不同的实数解,两条曲线就有 n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就 没有交点. 3.圆锥曲线的统一定义 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的 距离之比是一个常数 e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点 F(c,0)称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率. 当 0<e<1 时,轨迹为椭圆 当 e=1 时,轨迹为抛物线 当 e>1 时,轨迹为双曲线 4.坐标变换 (1)坐标变换 在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴 的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变, 仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改 变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴. (2)坐标轴的平移公式 设平面内任意一点 M,它在原坐标系 xOy 中的坐标是(x,y), 在新坐标系 x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点 O′在原坐标系 xOy 中的 坐标是(h,k),则

或 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 二、疑难知识导析 1.在求曲线轨迹方程的过程中,要注意: (1)理解题意,弄清题目中的已知和结论,发现已知和未知的关系,进行知识的重新组合; (2)合理进行数学语言间的转换,数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言,通过审 题画出必要的图形或示意图,把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式, 把不便于进行数学处理的语言化为便于数学处理的语言; (3)注意挖掘题目中的隐含条件; (4)注意反馈和检验. 2.求轨迹方程的基本方法有: (1)直接法:若动点满足的几何条件是一些几何量的等量关系,则将这些关系“翻译”成 x,y 的关系式,由此得到轨迹方程.一般步骤是:建立坐标系—设点—列式—代换—化简、整 理. (2)定义法:即当动点的轨迹满足的条件符合某种特殊曲线的定义时,则可根据这种曲线 的定义建立方程.

? x ? x? ? h ? (1) ? y ? y? ? k

? x? ? x ? h ? (2) ? y? ? y ? k

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(3)待定系数法:已知动点的轨迹是某种圆锥曲线,则可先设出含有待定系数的方程,再 根据动点满足的条件确定待定系数. (4)相关点法:当动点 P(x,y)随着另一动点 Q(x1,y1)的运动而运动时,而动点 Q 在某已知 曲线上,且 Q 点的坐标可用 P 点的坐标来表示,则可代入动点 Q 的方程中,求得动点 P 的轨迹 方程. (5)参数法:当动点 P 的坐标 x、y 之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量 t,并用 t 表示动点的坐标 x、 y,从而得到动点轨迹的参数方程 ,消去 t,便可得动点 P 的普通 方程. 另外,还有交轨法、几何法等. 3.在求轨迹问题时常用的数学思想是: (1)函数与方程的思想: 求平面曲线的轨迹方程,是将几何条件(性质)表示为动点坐标 x、 y 的方程及函数关系; (2)数形结合的思想:由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合; (3)等价转化的思想:通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时又需要相互 转化. 三、经典例题导讲 2 2 [例 1]如图所示,已知 P(4,0)是圆 x +y =36 内的一点,A、B 是圆上两动 点,且满足∠APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程. 解:设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR|. 2 2 又因为 R 是弦 AB 的中点,依垂径定理:在 Rt△OAR 中,|AR| =|AO| 2 2 2 -|OR| =36-(x +y ) 又|AR|=|PR|= ( x ? 4) 2 ? y 2 所以有(x-4) +y =36-(x +y ),即 x +y -4x-10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1= 代入方程 x +y -4x-10=0,得
2 2 2 2 2 2 2 2

x?4 y ?0 , , y1 ? 2 2

x?4 2 y x?4 -10=0 ) ? ( )2 ? 4 ? 2 2 2 2 2 整理得 x +y =56,这就是所求的轨迹方程. (
技巧与方法: 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题, 可先确定一个较易于求得的点的轨迹方 程,再以此点作为主动点,所求的轨迹上的点为相关点,求得轨迹方程. [例 2]某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱, 检测一个直径为 3 cm 的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱,问这两个标准圆柱的直径 为多少? 解:设直径为 3,2,1 的三圆圆心分别为 O、A、B,问题转化为求两等 圆 P、Q,使它们与⊙O 相内切,与⊙A、⊙B 相外切. 建立如图所示的坐标系,并设⊙P 的半径为 r,则 |PA|+|PO|=1+r+1.5-r=2.5 ∴点 P 在以 A、O 为焦点,长轴长 2.5 的椭圆上,其方程为

1 16( x ? ) 2 2 4 ? 2 y =1 25 3



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同理 P 也在以 O、B 为焦点,长轴长为 2 的椭圆上,其方程为 (x-

1 2 4 2 ) + y =1 2 3



由①、②可解得 P(

3 9 12 3 9 12 9 12 , ), Q( ,? ) ,∴r= ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 2 14 14 7 14 14 14 14

故所求圆柱的直径为

6 cm. 7

[例 3] 直线 L: y ? k ( x ? 5) 与圆 O: x 2 ? y 2 ? 16 相交于 A、B 两点,当 k 变动时,弦 AB 的中点 M 的轨迹方程. 错解:易知直线恒过定点 P(5,0) ,再由 OM ? AP ,得:

OP


2

? OM

2

? MP

2

x 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 25,整理得:
2

5? 25 ? 2 ?x? ? ? y ? 2? 4 ?
分析:求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点 M 应在圆内,故易求得轨 迹为圆内的部分,此时 0 ? x ?

16 . 5

[例 4] 已知 A、B 为两定点,动点 M 到 A 与到 B 的距离比为常数λ ,求 点 M 的轨迹方程,并注明轨迹是什么曲线. 解:建立坐标系如图所示, 设|AB|=2a,则 A(-a,0),B(a,0). 设 M(x,y)是轨迹上任意一点. 则由题设,得
2 2

( x ? a) 2 ? y 2 | MA | =λ ,坐标代入,得 =λ ,化简得 | MB | ( x ? a) 2 ? y 2
2 2 2 2 2

(1-λ )x +(1-λ )y +2a(1+λ )x+(1-λ )a =0 (1)当λ =1 时,即|MA|=|MB|时,点 M 的轨迹方程是 x=0,点 M 的轨迹是直线(y 轴). (2)当λ ≠1 时,点 M 的轨迹方程是 x +y +
2 2

2a (1 ? ? 2 ) x+a2=0.点 M 的轨迹是以 2 1? ?

(-

a (1 ? ?2 ) 2 a? ,0)为圆心, 为半径的圆. 2 1? ? | 1 ? ?2 |
2

[例 5]若抛物线 y=ax -1 上,总存在不同的两点 A、B 关于直线 y+x=0 对称,求实数 a 的取值 范围. 分析:若存在 A、B 关于直线 y+x=0 对称,A、B 必在与直线 y+x=0 垂直的直线系中某一条与 2 抛物线 y=ax -1 相交的直线上,并且 A、B 的中点 M 恒在直线 y+x=0 上. 解:如图所示,设与直线 y+x=0 垂直的直线系方程为 y=x+b
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2

? y ? x?b 得 ? 2 ? y ? ax ? 1


ax -x-(b+1)=0 令 △>0
2

即 (-1) -4a[-(b+1)]>0 整理得 4ab+4a+1>0 ② 2 在②的条件下,由①可以得到直线 y=x+b、抛物线 y=ax -1 的交点 A、B 的中点 M 的坐标为

1 1 , +b),要使 A、B 关于直线 y+x=0 对称,则中点 M 应该在直线 y+x=0 上,所以有 2a 2a 1 1 +( +b)=0 ③ 2a 2a 1 3 即 b=代入②解不等式得 a> a 4 3 2 因此,当 a> 时,抛物线 y=ax -1 上总存在不同的两点 A、B 关于直线 y+x=0 对称. 4
( 四、典型习题导练 1.已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 2.高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距 10 m,如果把两旗杆底部的坐标分 别确定为 A(-5, 0)、 B(5, 0), 则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 3.设直线 2x-y- 3 =0 与 y 轴的交点为 P,点 P 把圆(x+1) +y =25 的直径分为两段,则其 长度之比是 4.已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线 l 于点 A,又过 B、C 作⊙ O′异于 l 的两切线,设这两切线交于点 P,求点 P 的轨迹方程.
2 2

5.双曲线

x2 y2 ? =1 的实轴为 A1A2,点 P 是双曲线上的一个动点,引 A1Q⊥A1P,A2Q⊥A2P, a 2 b2

A1Q 与 A2Q 的交点为 Q,求 Q 点的轨迹方程.
6.已知椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0),点 P 为其上一点,F1、F2 为椭圆的焦点,∠F1PF2 的外角平 a 2 b2

分线为 l ,点 F2 关于 l 的对称点为 Q,F2Q 交 l 于点 R.

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(1)当 P 点在椭圆上运动时,求 R 形成的轨迹方程; (2)设点 R 形成的曲线为 C,直线 l:y=k(x+ 2 a)与曲线 C 相交于 A、B 两点,当△AOB 的面积取得最大值时,求 k 的值.

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§7.5 综合问题选讲 一、知识导学 (一)直线和圆的方程 1.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两 点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程. 2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根 据直线的方程判断两条直线的位置关系. 3.了解二元一次不等式表示平面区域. 4.了解线性规划的意义,并会简单的应用. 5.了解解析几何的基本思想,了解坐标法. 6.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程. (二)圆锥曲线方程 1. 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质. 2. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 3. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 4.了解圆锥曲线的初步应用. (三)目标 1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程; 从直线的点斜式方程出发推导出直线 方程的其他形式,斜截式、两点式、截距式;能根据已知条件,熟练地选择恰当的方程形式 写出直线的方程, 熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化, 能利用直线的方程来研究与 直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式(组)表示的平面区域,知道线性规划的意义,知道线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,能正确地利用图解法解决线性 规划问题,并用之解决简单的实际问题,了解线性规划方法在数学方面的应用;会用线性规 划方法解决一些实际问题. 3.理解“曲线的方程” 、 “方程的曲线”的意义,了解解析几何的基本思想,掌握求曲线的方 程的方法. 4.掌握圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r>0) ,明确方程中各字母的几何意义, 能根据圆心坐标、 半径熟练地写出圆的标准方程, 能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标 和半径,掌握圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,知道该方程表示圆的充要条件 并正确地进行一般方程和标准方程的互化,能根据条件,用待定系数法求出圆的方程,理解 圆的参数方程 ?

? x ? r cos ? (θ 为参数) ,明确各字母的意义,掌握直线与圆的位置关系的 y ? r sin ? ?

判定方法. 5.正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义,明确焦点、焦距的概念;能根据椭圆、双曲线 和抛物线的定义推导它们的标准方程;记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程;能根据 条件,求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程;掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质:范 围、对称性、顶点、离心率、准线(双曲线的渐近线)等,从而能迅速、正确地画出椭圆、 双曲线和抛物线;掌握 a 、b、 c 、 p 、 e 之间的关系及相应的几何意义;利用椭圆、双曲 线和抛物线的几何性质,确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,并解决简单问题;理解椭 圆、双曲线和抛物线的参数方程,并掌握它的应用;掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置 关系的判定方法. 二、疑难知识导析 1. ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念,斜率 k 反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度. 当斜率 k 存在时, 直线方程通常用点斜式或斜截式表示, 当斜率不存在时, 直线方程为 x = a k ( a ∈R).因此,利用直线的点斜式或斜截式方程解题时,斜率 存在与否,要分别考虑. ⑵ 直线的截距式是两点式的特例,a 、b 分别是直线在 x 轴、 y 轴上的截距,因为 a ≠ 0,b≠0,所以当直线平行于 x 轴、平行于 y 轴或直线经过原点,不能用截距式求出它的方 程,而应选择其它形式求解.
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⑶求解直线方程的最后结果,如无特别强调,都应写成一般式. ⑷当直线 l1 或 l 2 的斜率不存在时,可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 ⑸在处理有关圆的问题, 除了合理选择圆的方程, 还要注意圆的对称性等几何性质的运 用,这样可以简化计算. 2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时,要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上,还是两种 都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用,熟练地进行 a 、b、 c 、 e 间的互求,并能根据所给的 方程画出椭圆. ⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题: ⑴ 正确判断焦点的位置; ⑵ 设出标准方程 后,运用待定系数法求解.

b x2 y2 x2 y2 y ? ? x ? ? 1 ? ? 0 . 若已知双曲 的渐近线方程为 或表示为 a a2 b2 a2 b2 m 线的渐近线方程是 y ? ? x ,即 m x ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: n 2 2 2 2 m x ? n y ? k ,其中 k 是一个不为零的常数.
⑷双曲线

x2 y2 y2 x2 ⑸双曲线的标准方程有两个 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 ( a >0,b>0).这里 a b a b 2 2 2 b ?c ?a , 其中| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a 、 b、 c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.
⑹求抛物线的标准方程, 要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型, 再求抛物线的标 准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再由条件确定参数 p 的值.同时,应 明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中抛物线的标准方程、 焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中一个,就可以求出其他两个. 三、经典例题导讲 [例 1]已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT= t (0< t <1),以 AB 为直腰作直角梯形 AA?B?B ,使 AA? 垂直且等于 AT,使 BB? 垂直且等于 BT, A?B? 交半圆于 P、Q 两点, 建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线 A?B? 的方程; (2)计算出点 P、Q 的坐标; (3)证明:由点 P 发出的光线,经 AB 反射后, 反射光线通过点 Q. 解: (1 ) 显然 A ?1,1 ? t ? , B ?? 1 , 1 ? t ?,于 是 直线 A?B? 的方程为 y ? ?tx ? 1 ;
' ‘

(2)由方程组 ?
P (0,1) 、 Q (

? x 2 ? y 2 ? 1, ? y ? ?tx ? 1,

解出

2t 1? t 2 , ); 1? t 2 1? t 2

1? t2 ?0 2 1? t2 1 1? 0 1 (3) k PT ? k QT ? 1 ? t ? ? . ?? , 2 2t t 0?t t t (1 ? t ) ?t 1? t2 由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点 T 反射,反射 光线通过点 Q. 2 2 [例 2]设 P 是圆 M:( x -5) +( y -5) =1 上的动点,它关于 A(9, 0)的对称点为 Q,把 P 绕原

点依逆时针方向旋转 90°到点 S,求|SQ|的最值. 解:设 P( x , y ),则 Q(18- x , - y ),记 P 点对应的复数为 x + y i ,则 S 点对应的复数为: ( x + y i )· i =- y + x i ,即 S(- y , x )
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∴ | SQ|? (18? x ? y)2 ? (? y ? x)2

? 182 ? x2 ? y 2 ?36x ? 36y ? 2xy ? x2 ? y2 ? 2xy ? 2 ? x2 ? y 2 ?18x ?18y ?81?81 ? 2 ? (x ?9)2 ? ( y ? 9)2
其中

(x ?9)2 ? ( y ?9)2 可 以 看 作 是 点 P 到 定 点 B(9, -9) 的 距 离 , 共 最 大 值 为

| MB | ?r ? 2 53?1 最小值为 | MB | ?r ? 2 53?1,则
|SQ|的最大值为 2 106? 2 ,|SQ|的最小值为 2 106 ? 2 . [例 4] (02 年天津卷) 已知两点 M (-1, 0) , N (1, 0) 且点 P 使 MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 成公差小于零的等差数列, (1)点 P 的轨迹是什么曲线? (2)若点 P 坐标为 ( x0 , y0 ) , ? 为 PM与PN 的夹角,求 tanθ . 解: (1)记 P( x , y ) ,由 M(-1,0)N(1,0)得

PM ? ?MP ? (?1 ? x,? y)
所以

PN ? ?NP ? (?1 ? x,? y) NM ? NP ? 2(1 ? x)

MN ? ?NM ? (2,0)

MP ? MN ? 2(1 ? x)

PM ? PN ? x 2 ? y 2 ?1

于是, MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 是公差小于零的等差数列等价于

1 ? 2 2 ? x ? y ? 1 ? [2(1 ? x) ? 2(1 ? x)] 2 ? ? ?2(1 ? x) ? 2(1 ? x) ? 0



?x 2 ? y 2 ? 3 ? ?x ? 0

所以,点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆. (2)点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) 。 PM ? PN ? x0 ? y 0 ? 1 ? 2 .
2 PM PN ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (4 ? 2 x0 ) ? (4 ? 2 x0 ) ? 2 4 ? x0 2 2

2

2

所以 cos ? ?

PM ? PN PM ? PN

?

1
2 4 ? x0

.

因为 0〈 x0 ? 3 ,

所以

1 ? 1 ? cos ? ? 1,0 ? ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? , 2 2 3 4 ? x0

tan? ?

sin ? ? cos?

1?

1 2 4 ? x0

1 2 4 ? x0

2 ? 3 ? x0 ? y0 .

[例 4]舰 A 在舰 B 的正东 6 千米处, 舰 C 在舰 B 的北偏西 30°且与 B 相距 4 千米, 它们准备 捕海洋动物,某时刻 A 发现动物信号,4 秒后 B、C 同时发现这种信号,A 发射麻醉炮弹.设 舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度为 1 千米/秒,炮弹的速度是

20 3g 千米/秒, 3

其中 g 为重力加速度, 若不计空气阻力与舰高, 问舰 A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少? 分析:答好本题,除要准确地把握好点 P 的位置(既在线段 BC 的垂直平分线上,又在以 A、
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B 为焦点的抛物线上),还应对方位角的概念掌握清楚.
技巧与方法:通过建立恰当的直角坐标系,将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间 物体的定位,一般可利用声音传播的时间差来建立方程. 解:取 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的中点为原点,建立如图所示的直角坐标系.由题意可知,

A、B、C 舰的坐标为(3,0)、(-3,0)、(-5,2 3 ).

由于 B、C 同时发现动物信号,记动物所在位置为 P,则|PB|=|PC|.于是 P 在线段 BC 的 中垂线上,易求得其方程为 3 x -3 y +7 3 =0. 又由 A、B 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒,知|PB|-|PA|=4,故知 P 在双曲线

x y2 ? =1 的右支上. 4 5
直线与双曲线的交点为(8,5 3 ),此即为动物 P 的位置,利用两点间距离公式,可得 |PA|=10. 据已知两点的斜率公式,得 kPA= 3 ,所以直线 PA 的倾斜角为 60°,于是舰 A 发射炮弹 的方位角应是北偏东 30°. 设发射炮弹的仰角是θ ,初速度 v0=

2

2v ? sin? 10 20 3g ? ,则 0 , g v0 ? cos? 3

∴sin2θ =

10g v0
2

?
0

3 ,∴仰角θ =30°. 2

答:方位角北偏东 30 ,仰角 30°. 解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何 性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高 能力的目的. (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题,需构造参数满足的不等式,通过求不等式 (组)求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域. (2)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特 征及意义,可考虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则 可先建立目标函数,再求这个函数的最值. 2 [例 5]已知抛物线 C: y =4 x . (1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线 C 的焦点 F 及准线 l 分别重合,试求椭圆短轴 端点 B 与焦点 F 连线中点 P 的轨迹方程; (2)若 M(m,0)是 x 轴上的一定点, Q 是(1)所求轨迹上任一点,试问|MQ|有无最小值?若 有,求出其值;若没有,说明理由. 解:由抛物线 y =4 x ,得焦点 F(1,0),准线 l : x =-1.
2

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(1)设 P( x , y ), 则 B(2 x -1,2 y ),椭圆中心 O′,则|FO′|∶|BF|= e ,又设点 B 到 l 的 距离为 d ,则|BF|∶ d = e ,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶ d ,即(2 x -2) +(2 y ) =2 x (2 x -2),化
2 2

简得 P 点轨迹方程为 y = x -1( x >1).
2

(2)设 Q( x ,y),则 |MQ|= ( x ? m) 2 ? y 2 ? (ⅰ)当 m-

1 5 ( x ? m) 2 ? x ? 1 ? [ x ? (m ? )]2 ? m ? ( x ? 1) 2 4

1 3 1 2 5 ≤1,即 m≤ 时, 函数 t =[ x -(m- ) ]+m- 在(1, +∞)上递增, 故t 无 2 2 2 4 最小值,亦即|MQ|无最小值. 1 3 1 2 5 1 2 (ⅱ)当 m- >1,即 m> 时,函数 t =[ x -(m- ) ]+m- 在 x =m- 处有最小值 m 2 2 2 4 2


5 5 ,∴|MQ|min= m ? . 4 4

[例 6]已知抛物线 C 的对称轴与 y 轴平行, 顶点到原点的距离为 5.若将抛物线 C 向上平移 3 个单位,则在 x 轴上截得的线段长为原抛物线 C 在 x 轴上截得的线段长的一半;若将抛物线 C 向左平移 1 个单位,则所得抛物线过原点,求抛物线 C 的方程. 解:设所求抛物线方程为( x - h ) = a ( y - k )( a ∈R, a ≠0)
2

① ②

由①的顶点到原点的距离为 5,得 h2 ? k 2 =5

2 2 在①中,令 y =0,得 x -2 h x + h + a k =0。设方程的二根为 x 1, x 2,则

| x 1- x 2|=2 ? ak . 将抛物线①向上平移 3 个单位,得抛物线的方程为 ( x -h) = a ( y - k -3)
2 2 2 令 y =0,得 x -2 h x + h + a k +3 a =0。设方程的二根为 x 3, x 4,则

| x 3- x 4|=2 ? ak ? 3a . 依题意得 2 ? ak ? 3a = 即 4( a k +3 a )= a k

1 ·2 ? ak , 2

2

将抛物线①向左平移 1 个单位,得( x - h +1) = a ( y - k ), 由抛物线过原点,得(1- h ) =- a k ④ 由②③④得 a =1, h =3, k =-4 或 a =4, h =-3, k =-4. 2 2 ∴所求抛物线方程为( x -3) = y +4,或( x +3) =4( y +4).
2

四、典型习题导练
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1.过抛物线 x =4 y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于 A,B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点. (1)设点 P 分有向线段 AB 所成的比为 ? ,证明: QP ? (QA ? ? QB) ; (2) 设直线 AB 的方程是 x -2 y +12=0, 过 A、 B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线, 求圆 C 的方程. 2.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打 算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100﹪和 50﹪,可 能的最大亏损分别为 30﹪和 10﹪. 投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求确保可能的资 金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元, 才能使可能的盈利最 大? 3.直线 l : y ? kx ? 1与双曲线 C : 2x 2 ? y 2 ? 1的右支交于不同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 4.已知倾斜角为 45 ? 的直线 l 过点 A(1,-2)和点 B,B 在第一象限,|AB|=3 2 . (1) 求点 B 的坐标; (2) 若直线 l 与双曲线 C :

坐标为(4,1) ,求 a 的值; (3) 对于平面上任一点 P , 当点 Q 在线段 AB 上运动时, 称|PQ|的最小值为 P 与线段 AB 的距离. 已知点 P 在 x 轴上运动,写出点 P (t , 0) 到线段 AB 的距离 h 关于 t 的函数 关系式. 5.已知椭圆的中心在原点,离心率为

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 相交于 E 、 F 两点,且线段 EF 的中点 2 a

1 ,一个焦点是 F(-m,0)(m 是大于 0 的常数). 2

(1)求椭圆的方程; (2)设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M. 若|MQ|=2|QF|,求直 线 l 的斜率.

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