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等差数列、等比数列专题


第1讲

等差数列、等比数列

1.等差数列 (1)定义式:an+1-an=d(n∈N*,d 为常数). (2)通项公式:an=a1+(n-1)d. n?a1+an? n?n-1?d (3)前 n 项和公式:Sn= =na1+ . 2 2 (4)等差中项公式:2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2). (5)性质:①an=am+(n

-m)d(n,m∈N*). ②若 m+n=p+q, am+an=ap+aq(m, p, 则 n, q∈N*).

注意:为了方便,有时等差数列的通项公式也可

写成an=pn+q的形式,前n项和的公式可写成Sn
=An2+Bn的形式(p,q,A,B为常数).

2.等比数列 an+1 (1)定义式: =q(n∈N*,q 为非零常数). an (2)通项公式:an=a1qn-1. (3)前 n 项和公式:Sn= ?q=1?, ?na1 ? ?a1?1-qn? ? 1-q ?q≠1?. ? (4)等比中项公式: 2 =an-1an+1(n∈N*, an n≥2). (5)性质:①an=amqn-m(n,m∈N*). ②若 m+n=p+q,则 aman=apaq(p,q,m,n ∈N*).

注意:为了方便,有时等差数列的通项公式也
可写成an=pn+q的形式,前n项和的公式可写成Sn =An2+Bn的形式(p,q,A,B为常数).
2.等比数列 an+1 (1)定义式: =q(n∈N*,q 为非零常数). an (2)通项公式:an=a1qn-1. ?q=1?, ?na1 ? (3)前 n 项和公式:Sn=?a1?1-qn? ? 1-q ?q≠1?. ?

(4)等比中项公式:a2 =an-1an+1(n∈N*,n≥2). n (5)性质:①an=amq
n-m

(n,m∈N ).

*

②若 m+n=p+q,则 aman=apaq(p,q,m,n∈N*
注意:(1)a=an-1an+1是an-1,an,an+1成等 比数列的必要不充分条件.

(2)利用等比数列前n项和的公式求和时,不可
忽视对公比q是否为1的讨论.

例1 (2010年高考重庆卷)已知{an}是首项为19, 公差为-2的等差数列,Sn为{an}的前n项和. (1)求通项an及Sn; (2)设{bn-an}是首项为1,公比为3的等比数

列,求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.

【解】

(1)∵{an}是首项为 a1=19,公差为 d

=-2 的等差数列, ∴an=19-2(n-1)=21-2n, 1 Sn=19n+ n(n-1)×(-2)=20n-n2. 2 (2)由题意得 bn-an=3n 1, bn=an+3n 1, 即 ∴ bn=3n 1-2n+21,Tn=Sn+(1+3+?+3n 1)=- 3n-1 n2+20n+ . 2
- - - -

【题后点评】

利用等差、等比数列的通项

公式和前n项和公式,由五个量a1,d(q),n,an, Sn中的三个量可求其余两个量,即“知三求二”, 体现了方程思想.解答等差、等比数列的有关问 题时,“基本量”(等差数列中的首项a1和公差d或

等比数列中的首项a1和公比q)法是常用方法.

1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)若等比数列{bn}满足b2=S1,b4=a2+a3,
求数列{bn}的前n项和Tn. 解:(1)a1=S1=3, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n- 1)]=2n+1,当n=1时,上式也成立,所以an=2n+

1(n∈N*).

(2)设等比数列{bn}的公比为 q, 则
?b q=3, ? 1 b2=3,b4=5+7=12,所以? 3 ?b1q =12. ?

3 3 ? ? ?b1= ?b1=- , 2 或? 2 解得? ?q=2 ?q=-2. ? ? 3 3 n ?1-2 ? - [1-?-2?n] 2 2 所以 Tn= 或 Tn= , 1-2 1-?-2? 3 n 1 即 Tn= (2 -1)或 Tn= [(-2)n-1]. 2 2

例2

(1)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}

中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+?+a7=(
A.14 C.28 B.21 D.35

)

(2)(2010年高考安徽卷)设{an}是任意等比数列,它的前 n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列

等式中恒成立的是(
A.X+Z=2Y C.Y2=XZ

)
B.Y(Y-X)=Z(Z-X) D.Y(Y-X)=X(Z-X)

【解析】

(1)由等差数列性质得 a3+a4+a5=3a4,

由 3a4=12,得 a4=4,所以 a1+a2+?+a7= 7?a1+a7? =7a4=28. 2 (2)法一:设数列{an}首项为 a1,公比为 q,则 X= a1+a2+?+an, Y=X(1+qn),Z=X(1+qn+q2n), ∴Y(Y-X)=X(1+qn)·nX=X2qn(1+qn), q X(Z-X)=X2(qn+q2n),∴Y(Y-X)=X(Z-X).

法二:对任意的等比数列,涉及前2n项和的,可 取特殊数列:1,-1,1,-1,1,-1,?,则Y=

0,再取n=1有X=1,Z=1,可排除A、B、C.
【答案】 (1)C (2)D

【题后点评】

等差数列与等比数列有很多类似的性

质,抓住这些性质可以简化运算过程.例如当p+q= m+n时,在等差数列{an}中有ap +aq =am+an ,而在

等比数列{bn}中有bp·q=bm·n.这些公式自己结合这两 b b
种数列的通项公式推导后可加强记忆与理解.

2.(1)在等比数列{an}中,首项a1<0,则{an}是递增 数列的充要条件是( A.q>1 C.0<q<1 ) B.q<1 D.q<0

(2)已知等差数列{an}满足2a2-a+2a12=0,且数列

{bn}是等比数列,若b7=a7,则b5b9=(
A.2 C.8 B.4 D.16

)

答案:(1)C (2)D

解析:(1)当q<0时,{an}为摆动数列,不具备增减 性,当q>0时,由an-an-1=a1qn-1-a1qn-2=a1qn
-2(q-1)>0,且a 1<0,q n-2>0.

∴q-1<0,∴q<1.综合知0<q<1.
2 2 (2)∵2a2-a7+2a12=0,∴2(a2+a12)-a2=4a7-a7= 7

0, ∴a7=4 或 a7=0.又 b7=a7,数列{bn}是等比数列, ∴b7=a7=4,∴b5b9=b2=16,故选 D. 7

答案:(1)C (2)D

例3

(本题满分12分)已知数列{an},Sn是它的前n

项和,且Sn+1=4an+2(n∈N*),a1=1.

(1)设bn=an+1-2an(n∈N*),求证:数列{bn}是等比
数列; (2)求数列{an}的通项公式.

【规范解答】

(1)证明:∵Sn+1=4an+2,Sn+2=

4an+1+2,两式相减得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an,

即an+2=4an+1-4an,
∴an+2-2an+1=2(an+1-2an),3分 ∵bn=an+1-2an,∴bn+1=2bn, 由此可知{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列,

∴bn=3·n 1.6 分 2 (2)由(1)知,bn=3·n 1,∴an+1-2an=3·n 1, 2 2 a n+ 1 a n 3 ∴ n+1- n= , 2 4 2
?an? ? ? a 1 ? n?是首项为 1= , ∴数列 2 ? ? 2 2 ? ?
- -



3 公差 d= 的等差数列.9 分 4 an 1 3 3 1 ∴ n= + (n-1)= n- , 2 2 4 4 4 3 1 n - ∴an=( n- )· =(3n-1)·n 2.12 分 2 2 4 4

【思维升华】

判断某个数列是否为等差(或等比)

数列,常用方法有两种:一种是由定义判断,二
是看任意相邻三项是否满足等差中项(或等比中 项).注意只要其中的一项不符合,就不能为等差 (或等比)数列.而想判断某个数列不是等差(或等 比)数列,只需看前三项即可.

3an-1-2 3.已知数列{an}中,a1=3,an= (n≥2,n an-1 ∈N*). an-2 (1)若数列{bn}满足 bn= ,证明:数列{bn}是等 1-an 比数列; (2)求数列{an}的通项公式以及最大值,并说明理由.

3an-1-2 解:(1)证明:∵an= (n≥2,n∈N*), a n- 1 3an-1-2 -2 a n- 1 an-2 3an-1-2-2an-1 ∴bn= = = 1-an 3an-1-2 an-1-?3an-1-2? 1- a n- 1 an-1-2 1 = = b-. 2?1-an-1? 2 n 1 bn 1 1 ∴ = ,又∵b1=- ,故数列{bn}是首项为 b1 2 b n- 1 2 1 1 =- ,公比为 的等比数列. 2 2

an-2 1n 1n (2)由(1)知,bn=-( ) ,从而可得 =-( ) , 2 2 1-an 2n 1-1 解得 an=1+ = n (n∈N*). 1 n 2 -1 1-? ? 2 1 ∴数列{an}为单调递减数列,∴当 n=1 时,an 取 得最大值 3,即数列{an}的最大值是 a1=3.




已知数列{an}的前n项和为Sn,S15=S37,a1>0,

三点P(2n-3,an),Q(2n,an+1),R(2n+3,an+2)在一
条直线上,则当n=________时,Sn取得最大值.

【解析】 由点 P(2n-3,an),Q(2n,an+1),R(2n+ an+1-an an+2-an+1 3,an+2)在一条直线上,得 = ,即 3 3 2an+1=an+an+2

所以数列{an}是等差数列,Sn是关于n的二次函数,

又S15 =S37 ,a1>0,由二次函数图象性质可知,S26
最大. 【答案】 26 数列是一种特殊的函数,数列的通项

【题后拓展】

公式以及前n项和公式可以看作是关于正整数n的函

数.利用“数形结合”研究数列问题就是借助函数图
象进行直观分析,从而把数列的有关问题转化为函数 的有关问题来解决.

从近几年高考来看,本讲高考命题具有以下特点:

1.几乎每年都有与数列有关的选择题、填空题和解
答题.对于等差数列与等比数列的概念、性质、通项 公式与前n项和等基础知识,主要以选择题、填空题 的形式考查,难度属于中、低档. 2.考查两种数列或将非等差、等比数列模型经过配 凑构造转化为等差、等比数列的综合题经常出现,要 掌握好它们的公式和性质,做到熟练且灵活的应用.

1.(2010年高考重庆卷)在等比数列{an}中,a2010= 8a2007,则公比q的值为( A.2 ) B.3

C.4

D.8
3

a2010 解析:选 A.∵a2010=8a2007,∴q = =8,∴q=2. a2007

2.(2010年高考福建卷)设等差数列{an}的前n项和 为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小 值时,n等于( )

A.6
C.8

B.7
D.9

解析:选 A.∵{an}是等差数列, ∴a4+a6=2a5=-6, a5-a1 -3+11 即 a5=-3,d= = =2,得{an}是首 4 5-1 项为负数的递增数列,所有的非正项之和最 小.∵a6=-1,a7=1,∴当 n=6 时,Sn 取最小 值,故选 A.

3.(2010 年高考辽宁卷)设{an}是由正数组成的等 比数列, n 为其前 n 项和. S 已知 a2a4=1, 3=7, S 则 S5=( 15 A. 2 33 C. 4 ) 31 B. 4 17 D. 2

解析:选 B.an>0,a2a4=a2q4=1①,S3=a1+a1q+ 1 a1q2=7②. 1 1 解得 a1=4,q= 或- (舍去), 2 3 1 a1?1-q5? 4×?1-32? 31 S5= = = ,故选 B. 1 4 1-q 1- 2

4.(2010年高考北京卷)已知{an}为等差数列,且a3

=-6,a6=0.
(1)求{an}的通项公式; (2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3, 求{bn}的前n项和公式.
解:(1)设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a3=-6,a6=0,
?a +2d=-6, ? 1 所以? ?a1+5d=0, ? ?a =-10, ? 1 解得? ?d=2. ?

所以 an=-10+(n-1)×2=2n-12. (2)设等比数列{bn}的公比为 q. 因为 b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8, 所以-8q=-24,q=3. b1?1-qn? 所以数列{bn}的前 n 项和公式为 Sn= = 1-q 4(1-3n).


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