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江西省遂川中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题


遂川中学 2015 届高三年级上学期第一次月考

理 数 试 题
命题人:袁林

2014.8.30

审题人:黄宣镜

一、选择题(每小题 5 分) 1.若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于( D A.M∪N B.M∩N C.(?UM

)∪(?UN) D.(?UM)∩(?UN) 2.函数 y ?

)

log 1 (3 x ? 2) 的定义域是( D
2

)

A.[1,+∞) 3.已知 sin 2? ? ? A.-

1 5

4.由直线 x ? ?

?
3

? 24 , ? ? ( ? , 0) ,则 sin ? ? cos ? ? ( B 4 25 1 7 7 B. C.- D. 5 5 5
,x?

?2 ? B.? ,+∞? ?3 ?

?2 ? C.? ,1? ?3 ?

?2 ? D.? ,1? ?3 ?


?

3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为( D

)

A.

1 2

B.1

C.

3 2

D. 3

2 5.已知命题 p :关于 x 的函数 y ? x ? 3ax ? 4 在[1,+∞)上是增函数,命题 q :关于 x 的函数

y ? (2a ? 1) x 在 R 上为减函数,若 p 且 q 为真命题,则 a 的取值范围是( C ) 2 1 1 1 2 ? a ?1 A. a ≤ B. o ? a ? C. ? a ≤ D. 3 3 2 2 2 6.在△ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a ? 2b cos C ,则此三角形一定是( C
A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

)

7.设点 P ? x0 , y0 ? 是函数 y ? tan x 与 y ? ? x ? x ? 0 ? 的图象的一个交点,则 x02 ? 1 ?1 ? cos2x0 ? 的值为 ( A A. 2 ) B. 2+ 2 C. 2+ 3 D. 因为 x0 不唯一,故不确定 ) D. a ? b ? c

?

?

8.已知 f ( x ) 是定义在 (-∞,+∞)上的偶函数,且在 (-∞, 0]上是增函数,设 a ? f (log4 7) ,

b ? f (log 1 3) , c ? f (21.6 ) ,则 a, b, c 的大小关系是( B
A. c ? a ? b
2

B. c ? b ? a

C. b ? c ? a

9. 下列四个图中,函数 y=

101n x ? 1 的图象可能是( C x ?1

)

·1 ·

10. 某同学在研究函数 f ( x ) =

x2+ 1 + x2-6x+ 10 的性质时,受到两点间距离公式的启发,将

, f ( x) 变形为 f ( x) = ( x-0) 2+(0-1) 2 + ( x-3) 2+(0+1) 2 ,则 f ( x) 表示 PA ? PB (如图) ① f ( x ) 的图象是中心对称图形; ② f ( x ) 的图象是轴对称图形; ③函数 f ( x ) 的值域为[ 13 ,+∞) ; ④方程 f ( f ( x)) ? 1 ? 10 有两个解.上述关于函数 的描述正确的是( C A. ①③ ) B. ③④

f ( x)
D. ②④

C. ②③

参考答案 1-5:DDBDC 6-10:CABCC 二、填空题(每小题 5 分) 11.曲线 y ?

x 在点 P(1,1) 处的切线方程为 x-2y+1=0
?? log3 ( x ? 1) ?3
x ?6

.

12.设 f ( x) ? ?

x?6 x?6

?1

,满足 f (n) ? ?

8 , 则 f (n ? 4) ? 9 3 4

-2 ____.

13.已知 sin ? ? sin ? ?

6 3 2 ?+? ? , cos ? ? cos ? ? ,则 cos 2 3 3

14.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 是 4 ____
x

b a tan C tan C ? ? 6cos C ,则 ? 的值 a b tan A tan B

15.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x) ? e ( x ? 0) 的图象上的动点,该图象在 P 处的 切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t ,则 t 的最 1? 1? 大值是__ ?e+ ? ____. 2? e?
·2 ·

三、解答题 16.设命题 p: 函数 f ( x) ? x3 ? ax ?1 在区间[-1,1]上单调递减;命题 q:函数 y ? ln( x2 ? ax ? 1) 的 值域是 R.如果命题 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 a 的取值范围. 2 2 [ 解答 ] p 为真命题 ?f′(x) = 3x - a≤0 在 [- 1,1] 上恒成立 ?a≥3x 在[ -1,1] 上恒成立? a≥3. q 为真命题?Δ =a2-4≥0 恒成立?a≤-2 或 a≥2. 由题意 p 和 q 有且只有一个是真命题.
? ? ?a≥3, ?a<3, p 真 q 假?? ?a∈?;p 假 q 真?? ?-2<a<2 ?a≤-2或a≥2 ? ? 综上所述:a∈(-∞,-2]∪[2,3).

?a≤-2 或 2≤a<3.

17. 在锐角△ ABC 中,三个内角 A 、 B 、 C 所对的边依次为 a 、 b 、 c. 设向量 m ? (cos A , sinA ),

1 n ? (cos A, ? sin A) , a ? 2 3 ,且 m n ? ? . 2 (1)若 b ? 2 ,求△ABC 的面积; (2)求 b ? c 的最大值.
1 1 1 π 2 2 [解答] (1)由 m·n=- 得 cos A-sin A=- ,即 cos2A=- ,∵0<A< ,∴0<2A<π , 2 2 2 2 2π π 3 ∴2A= ,∴A= .设△ABC 的外接圆半径为 R,由 a=2RsinA 得 2 3=2R ,∴R=2.由 b= 3 3 2 2RsinB,得 sinB= 2 π ,又 b<a,∴B= , 2 4 ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 3 2 1 2 6+ 2 = × + × = , 2 2 2 2 4 1 1 6+ 2 ∴△ABC 的面积为 S= absinC= ×2 3×2 2× =3+ 3. 2 2 4 2 2 2 2 2 (2)解法一:由 a =b +c -2bccosA 得 b +c -bc=12, ?b+c?2+12,∴(b+c)2≤48, 2 ∴(b+c) =3bc+12≤3? ? ? 2 ?

b+c≤4 3,当且仅当 b=c 时取等号,∴b+c 的最大值为 4 3. b c a 2 3 解法二:由正弦定理得: = = = =4, sinB sinC sinA π
sin 3 2π ?2π -B?=4 3sin?B+π ?,当 B 又 B+C=π -A= ,∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin? ? ? 6? 3 ? 3 ? ? ? π π π + = ,即 B= 时,b+c 取最大值 4 3. 6 2 3

18.已知二次函数 f ( x ) 有两个零点 0 和 ?2 ,且 f ( x ) 最小值是 ?1 ,函数 g ( x) 与 f ( x ) 的图象关于原 点对称. (1)求 f ( x ) 和 g ( x) 的解析式; (2)若 h( x) ? f ( x) ? ? g ( x) 在区间[-1,1]上是增函数,求实数 ? 的取值范围.
·3 ·

[解答] (1)依题意,设 f(x)=ax(x+2)=ax +2ax(a>0). f(x)图象的对称轴是 x=-1, ∴f(-1)=-1,即 a-2a=-1,得 a=1. 2 ∴f(x)=x +2x. 由函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于原点对称, 2 ∴g(x)=-f(-x)=-x +2x. 2 2 2 (2)由(1)得 h(x)=x +2x-λ (-x +2x)=(λ +1)x +2(1-λ )x. ①当 λ =-1 时,h(x)=4x 满足在区间[-1,1]上是增函数; λ -1 ②当 λ <-1 时,h(x)图象的对称轴是 x= , λ +1 λ -1 则 ≥1,又 λ <-1,解得 λ <-1; λ +1 λ -1 ③当 λ >-1 时,同理则需 ≤-1, λ +1 又 λ >-1,解得-1<λ ≤0. 综上,满足条件的实数 λ 的取值范围是(-∞,0]. ? π ?? ? π ? ? π ?? 19.已知函数 f(x)=2cos?x+ ??sin?x+ ?- 3cos?x+ ??. 3 3 3 ?? ? ?? ? ? ? (1)求 f(x)的值域和最小正周期; ? π? (2)若对任意 x∈?0, ?,使得 m[f(x)+ 3]+2=0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 6? ? π? ? π? ? π? 2? [解答] (1)f(x)=2sin?x+ ?cos?x+ ?-2 3cos ?x+ ? 3? ? 3? 3? ? ? 2π ? 2π ? ? ? ? ? =sin?2x+ ?- 3?cos?2x+ ?+1? 3 ? 3 ? ? ? ? ? 2π ? 2π ? ? ? =sin?2x+ ?- 3cos?2x+ ?- 3 3 ? 3 ? ? ? π? ? =2sin?2x+ ?- 3. 3? ? π? ? ∵-1≤sin?2x+ ?≤1. 3? ? π? 2π ? ∴-2- 3≤2sin?2x+ ?- 3≤2- 3,T= =π , 3 2 ? ? 即 f(x)的值域为[-2- 3,2- 3],最小正周期为 π . π ?π 2π ? ? π? (2)当 x∈?0, ?时,2x+ ∈? , ?, 6 3 ? 3 ?3 ? ? π? ? 3 ? ? 故 sin?2x+ ?∈? ,1?, 3? ? 2 ? ? π? ? 此时 f(x)+ 3=2sin?2x+ ?∈[ 3,2]. 3? ? 2 由 m[f(x)+ 3]+2=0 知,m≠0,∴f(x)+ 3=- ,

2

m

2 即 3≤- ≤2,

m

·4 ·

2 ? ?m+ 3≤0, 即? 2 ?m+2≥0, ?

2 3 解得- ≤m≤-1. 3

? 2 3 ? 即实数 m 的取值范围是?- ,-1?. ? 3 ?
20.已知函数 f ( x) ? a x ? x2 ? x ln a , a ? 1 . (1)求证:函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; (2)对? x1, x2 ?? ?1,1? , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ e ? 1 恒成立,求 a 的取值范围. [解答] (1)证明:f′(x)=a lna+2x-lna=2x+(a -1)lna, x 由于 a>1,故当 x∈(0,+∞)时,lna>0,a -1>0,所以 f′(x)>0, 故函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)由(1)可知,当 x∈(-∞,0)时,f′(x)<0, 故函数 f(x)在(-∞,0)上单调递减. 所以,f(x)在区间[-1,0]上单调递减,在区间[0,1]上单调递增. 所以 f(x)min=f(0)=1,f(x)max=max{f(-1),f(1)}, 1 f(-1)= +1+lna,f(1)=a+1-lna,
x x

a

f(1)-f(-1)=a- -2lna, a
1 1 2 ?1 ?2 记 g(x)=x- -2lnx,g′(x)=1+ 2- =? -1? ≥0,

1

x

x

x ?x

?

1 1 所以 g(x)=x- -2lnx 递增,故 f(1)-f(-1)=a- -2lna>0,

x

a

所以 f(1)>f(-1),于是 f(x)max=f(1)=a+1-lna, 故对? x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|max=|f(1)-f(0)|=a-lna, a-lna≤e-1,所以 1<a≤e. 21.已知函数 f ( x) ?

ln x ? k ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数) ,曲线 y ? f ( x) 在点 ex

(1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.
(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间;
2 (Ⅲ)设 g ( x) ? ( x ? x) f '( x) ,其中 f '( x) 为 f ( x ) 的导函数.

证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e .

?2

1 ? ln x ? k (Ⅰ) f '( x) ? x ,依题意, f '(1) ? 1 ? k ? 0 ? k ? 1 为所求. e ex

·5 ·

1 ? ln x ? 1 ( x?0) , (Ⅱ) 此时 f '( x) ? x 记 hx ( ) ? 1? n l x1 ? ex x 在 (0 , ??) 单减,又 h(1) ? 0 ,


,h '( x) ? ? 12 ? 1 ? 0 , 所以 h( x)

x

x

所以,当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? 0 , f '(x) ? 0 , f ( x) 单增;

x ? 1 时, h( x) ? 0 , f '(x) ? 0 , f ( x) 单减.

所以,增区间为(0,1) ;减区间为(1, ??) . (Ⅲ) g(x) ? ( x 2 ? x) f '( x) ? 1 ?x x ? (1 ? x ln x ? x) ,先研究 1 ? x ln x ? x ,再研究 1 ?x x .

e

e

① 记 i( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? 0 , i '( x) ? ? ln x ? 2 ,令 i '( x) ? 0 ,得 x ? e ?2 , 当 x ? (0 , e?2 ) 时, i '( x) ? 0 , i( x) 单增; 当 x ? (e?2 , ??) 时, i '( x) ? 0 , i( x) 单减 . 所以, imax (x) ? i(e?2 ) ? 1 ? e?2 ,即 1 ? x ln x ? x ? 1 ? e?2 . ② 记 j(x) ? 1 ?x x , x ? 0 , j '( x) ? ? x ,所以 j( x) 在 (0 , ??) 单减, x ?0

e 1 ? x 所以, j( x) ? j(0) ? 1,即 x ? 1 e 1 ? x 综①、②知, g(x) ? x (1 ? x ln x ? x) ? 1 ?x x (1 ? e?2 ) ? 1 ? e?2 . e e

e

·6 ·


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