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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第五章 第1讲 数列的概念与简单表示法


2016 高考导航 知识点 数列 考纲下载 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数. 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问 题. 4.了解等差数列与一次函数的关系. 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比

数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问 题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 掌握等差、等比数列的前 n 项和公式. 第 1 讲 数列的概念与简单表示法

等差数列

等比数列

数列求和

1.数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义: ①数列:按照一定顺序排列的一列数. ②数列的项:数列中的每一个数. (2)数列的分类: 分类标准 类型 满足条件 有穷数列 项数有限 项数 无穷数列 项数无限 递增数列 an+1>an 项与项间的 其中 n∈ 递减数列 an+1<an 大小关系 N* 常数列 an+1=an (3)数列的通项公式: 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示, 那么这个公式叫做 这个数列的通项公式. 2.数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(n≥2)(或前几项) 间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式. [做一做] 1.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-8n+15,则 3( )

A.不是数列{an}中的项 B.只是数列{an}中的第 2 项 C.只是数列{an}中的第 6 项 D.是数列{an}中的第 2 项或第 6 项 解析:选 D.令 an=3,即 n2-8n+15=3,解得 n=2 或 6,故 3 是数列{an}中的第 2 项 或第 6 项. 1 2.在数列{an}中,a1=1,an=1+ (n≥2),则 a5=________. an-1 8 答案: 5 1.辨明两个易误点 (1)数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且 还与这些“数”的排列顺序有关. (2)易混项与项数两个不同的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数 列的项对应的位置序号. 2.数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数, 即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数, 当自变 量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列. 3.an 与 Sn 的关系 ?S1 (n=1) ? an=? . ?Sn-Sn-1 (n≥2) ? [做一做] 3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式为________. 解析:当 n=1 时,a1=S1=-1; - - - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n-3)-(2n 1-3)=2n-2n 1=2n 1,a1 不适合此等式. ? ?-1,n=1 ∴an=? n-1 . ?2 ,n≥2 ? ?-1,n=1 ? 答案:an=? n-1 ? ?2 ,n≥2 n 4.若数列{an}的通项公式为 an= ,那么这个数列是__________数列.(填“递增” n+1 或“递减”或“摆动”) x 1 解析:法一:令 f(x)= ,则 f(x)=1- 在(0,+∞)上是增函数,则数列{an}是递 x+1 x+1 增数列. n+1 n 1 法二:∵an+1-an= - = >0, n+2 n+1 (n+1)(n+2) ∴an+1>an,∴数列{an}是递增数列. 答案:递增 ,[学生用书 P88~P89]) 考点一__由数列的前几项求数列的通项________ 写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32

2n-1 (2)每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 2 ,2 ,2 ,2 ,?,所以 an= n . 2 (3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式的符号为(-1)n;各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,?;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项 为 2-1,偶数项为 2+1, n n 2+(-1) 所以 an=(-1) · . n 1 - ,n为奇数, n 也可写为 an= 3 ,n为偶数. n [规律方法] 用观察法求数列的通项公式的技巧 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与 n 之间的关系、 规律, 可使用添项、 通分、 分割等办法, 转化为一些常见数列的通项公式来求. 对 + 于正负符号变化,可用(-1)n 或(-1)n 1 来调整. (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到 一般”的思想. 1.根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,?; 1 1 1 1 (2)- , ,- , ,?; 1×2 2×3 3×4 4×5 (3)a,b,a,b,a,b,?(其中 a,b 为实数); (4)9,99,999,9 999,?. 解:(1)各数都是偶数,且最小数为 4,所以通项公式 an=2(n+1)(n∈N*). (2)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数,且奇数项为负,偶 1 数项为正,所以它的一个通项公式 an=(-1)n× . n(n+1) (3) 这是一个摆动数列,奇数项是 a,偶数项是 b ,所以此数列的一个通项公式 an = ?a,n为奇数, ?
1 2 3 4

3 1 3 1 3 (3)-1, ,- , ,- , ,?. 2 3 4 5 6 [解] (1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1.

? ? ?

? ? ?b,n为偶数.

(4)这个数列的前 4 项可以写成 10-1,100-1,1 000-1,10 000-1,所以它的一个通 项公式 an=10n-1. 考点二__由 an 与 Sn 的关系求通项 an(高频考点)__ an 与 Sn 关系的应用是高考的常考内容,且多出现在选择题或填空题中,有时也出现在 解答题的已知条件中,难度较小,属容易题. 高考对 an 与 Sn 关系的考查常有以下两个命题角度: (1)利用 an 与 Sn 的关系求通项公式 an; (2)利用 an 与 Sn 的关系求 Sn. (1)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( ) n-1 3 - ? A.2n 1 B.? ?2? 2?n-1 1 C.? D. n-1 ?3? 2 (2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn. ①若 Sn=2n2-3n,求 an; ②若 Sn=3n+b,求 an.

Sn+1 3 [解析] (1)由已知 Sn=2an+1,得 Sn=2(Sn+1-Sn),即 2Sn+1=3Sn, = ,而 S1=a1 Sn 2 3?n-1 =1,所以 Sn=? ?2? . [答案] B (2)解:①a1=S1=2-3=-1,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n- 1)]=4n-5, 由于 a1 也适合此等式,∴an=4n-5. ②a1=S1=3+b, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 - - =(3n+b)-(3n 1+b)=2· 3n 1. 当 b=-1 时,a1 适合此等式. 当 b≠-1 时,a1 不适合此等式. - ∴当 b=-1 时,an=2· 3n 1; ? ?3+b,n=1, 当 b≠-1 时,an=? n-1 ?2·3 ,n≥2. ? 若本例(1)中,结论改为求 an,如何求解? 解:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2an+1-2an, an+1 3 1 ∴ = ,又由 S1=2a2,得 a2= , an 2 2 ∴{an}是从第 2 项开始的等比数列, ?1,n=1, ∴an=?1 ?3?n-2 * ?2×?2? ,n≥2,n∈N . ? [规律方法] 已知 Sn 求 an 的三个步骤: (1)先利用 a1=S1 求出 a1. (2)用 n-1(n≥2)替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系,利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式. (3)对 n=1 时的结果进行检验,看是否符合 n≥2 时 an 的表达式,如果符合,则可以把 数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分 n=1 与 n≥2 两段来写. 2.(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=1, an+1=3Sn(n≥1), 则 a6=( ) A.3×44 B.3×44+1 C.45 D.45+1 2 (2)若数列{an}的前 n 项和 Sn=n -n+1,则它的通项公式 an=________. 2 1 (3)(2013· 高考课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ , 则{an}的通项公式是 an 3 3 =________. 解析:(1) 法一:a1=1,a2=3S1=3,a3=3S2=12=3×41,a4=3S3=48=3×42,a5= 3S4=3×43,a6=3S5=3×44. 法二:当 n≥1 时,an+1=3Sn,则 an+2=3Sn+1, ∴an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即 an+2=4an+1, ∴该数列从第 2 项开始是以 4 为公比的等比数列, 又 a2=3S1=3a1=3, ? (n=1), ?1 ∴an=? n-2 ?3×4 (n≥2). ? - ∴当 n=6 时,a6=3×46 2=3×44. 2 (2)∵a1=S1=1 -1+1=1, 当 n≥2 时, an = Sn - Sn - 1 = (n2 - n + 1) - [(n - 1)2 - (n - 1) + 1] = 2n - 2 ,∴ an = ? (n=1) ?1 ? . ?2n-2 (n≥2) ?

?

2 1 (3)当 n=1 时,S1= a1+ ,∴a1=1. 3 3 2 1 2 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= an+ -( an-1+ ) 3 3 3 3 2 = (an-an-1), 3 an ∴an=-2an-1,即 =-2, an-1 ∴{an}是以 1 为首项的等比数列,其公比为-2, - - ∴an=1×(-2)n 1,即 an=(-2)n 1. ? (n=1) ?1 - 答案:(1)A (2)? (3)(-2)n 1 ?2n-2 (n≥2) ? 考点三__由递推公式求数列的通项公式__________ 分别求出满足下列条件的数列的通项公式. (1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*); n (2)a1=1,an= a - (n≥2,n∈N*). n-1 n 1 [解] (1)an=a1+(a2-a1)+?+(an-an-1)=0+1+3+?+(2n-5)+(2n-3)=(n-1)2, 所以数列的通项公式为 an=(n-1)2. (2)当 n≥2,n∈N*时, a2 a3 an an=a1× × ×?× a1 a2 an-1 n-2 n-1 2 3 n =1× × ×?× × × =n, 1 2 n-3 n-2 n-1 当 n=1 时,也符合上式, 所以该数列的通项公式为 an=n. [规律方法] 由数列递推式求通项公式常用方法有:累加法、累积法、构造法.形如 an =pan-1+m(p、m 为常数,p≠1,m≠0)时,构造等比数列;形如 an=an-1+f(n)({f(n)}可求 an 和)时,用累加法求解;形如 =f(n)({f(n)}可求积)时,用累积法求解. an+1 3.(1)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ 1 ,求 an; n(n+1) (2)在数列{an}中,a1=1,an+1=2nan,求 an. 1 1 1 1 解:(1)an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=?n-1-n?+?n-2-n-1?+? ? ? ? ? 1 1 1 1 ? ? ? +? ?2-3?+?1-2?+2=3-n. an+1 (2)由于 =2n, an a2 a3 an - 故 =21, =22,?, =2n 1, a1 a2 an-1 将这 n-1 个等式叠乘, n(n-1) an + +?+(n-1) 得 =21 2 =2 2 , a1 故 an=2
n(n-1) 2

.

交汇创新——数列与周期函数的交汇 (2014· 高考课标全国卷 Ⅱ) 数列 {an} 满足 an + 1 = ________. 1 , 1-an 1-an-1 1 1 ∴an+1= = = 1 1-an 1-an-1-1 1- 1-an-1 1-an-1 1 = =1- -an-1 an-1 1 =1- =1-(1-an-2)=an-2, 1 1-an-2 ∴周期 T=(n+1)-(n-2)=3. ∴a8=a3×2+2=a2=2. 1 1 而 a2= ,∴a1= . 2 1-a1 1 [答案] 2 [名师点评] (1)本题是数列与周期函数的交汇, 解答此类问题的思路是由递推关系推出 1 数列的周期性,在本题中由 an+1= 推出周期为 3,由 a8=a2=2,即可求出 a1. 1-an (2)数列是一个特殊的函数,具有函数的一般性质,如单调性、周期性、最值等. [解析] ∵an+1= 1 , a8 = 2 ,则 a1 = 1-an

1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( ) 1 1 1 A.1, , , ,? 2 3 4 B.-1,-2,-3,-4,? 1 1 1 C.-1,- ,- ,- ,? 2 4 8 D.1, 2, 3,?, n 解析:选 C.根据定义,属于无穷数列的是选项 A、B、C(用省略号),属于递增数列的 是选项 C、D,故同时满足要求的是选项 C. 2. (2015· 海南三亚模拟)在数列 1, 2, 7, 10, 13, ?中, 2 19是这个数列的第( ) A.16 项 B.24 项 C.26 项 D.28 项 解析:选 C.因为 a1=1= 1,a2=2= 4,a3= 7,a4= 10,a5= 13,?,所以 an = 3n-2.令 an= 3n-2=2 19= 76,得 n=26.故选 C. 1 3.数列{an}满足 an+an+1= (n∈N*),a2=2,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S21=( ) 2 7 A.5 B. 2

9 C. 2 1 解析:选 B.∵an+an+1= ,a2=2, 2 3 ? ?- ,n为奇数, ∴a =? 2
n

13 D. 2

? ?2,n为偶数. 3? 7 ∴S21=11×? ?-2?+10×2=2.故选 B.
4.(2015· 吉林普通中学摸底)已知数列{an},an=-2n2+λn,若该数列是递减数列,则 实数 λ 的取值范围是( ) A.(-∞,6) B.(-∞,4] C.(-∞,5) D.(-∞,3] 解析:选 B.数列{an}的通项公式是关于 n(n∈N*)的二次函数,若数列是递减数列,则- ≤1,即 λ≤4. 2×(-2) 5.(2015· 云南昆明一中开学考试)已知数列{an}满足 an+1=an-an-1(n≥2),a1=1,a2= 3,记 Sn=a1+a2+?+an,则下列结论正确的是( ) A.a100=-1,S100=5 B.a100=-3,S100=5 C.a100=-3,S100=2 D.a100=-1,S100=2 解析:选 A.因为数列{an}满足 an+1=an-an-1(n≥2),a1=1,a2=3,所以 a3=2,a4= -1,a5=-3,a6=-2,a7=1,a8=3,?, 由此可知数列中各项满足 an+6=an,且 an+an+1+?+an+6=0.故 a100=a4=-1,S100= a1+a2+a3+a4=5. n-2 1 1 6.在数列-1,0, , ,?, 2 ,?中,0.08 是它的第________项. 9 8 n n-2 解析:令 2 =0.08,得 2n2-25n+50=0, n 即(2n-5)(n-10)=0. 5 解得 n=10 或 n= (舍去). 2 ∴a10=0.08. 答案:10 7.已知数列{an}满足 as·t=asat(s,t∈N*),且 a2=2,则 a8=________. 解析:令 s=t=2,则 a4=a2×a2=4,令 s=2,t=4,则 a8=a2×a4=8. 答案:8 8.在一个数列中,如果?n∈N*,都有 anan+1an+2=k(k 为常数),那么这个数列叫做等 积数列,k 叫做这个数列的公积,已知数列{an}是等积数列,且 a1=1,a2=2,公积为 8, 则 a1+a2+a3+?+a12=________. 解析:依题意得数列{an}是周期为 3 的数列,且 a1=1,a2=2,a3=4,因此 a1+a2+a3 +?+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28. 答案:28 1 9.已知 an=an-1+ (n≥2),a1=1. n(n-1) (1)写出这个数列的前 5 项; (2)由(1)中前 5 项推测数列的通项公式并证明. 1 3 解:(1)a1=1,a2=a1+ = , 1×2 2 1 5 1 7 1 9 a3=a2+ = ,a4=a3+ = ,a =a4+ = . 2×3 3 3×4 4 5 4×5 5

λ

2n-1 (2)猜想 an= .证明如下: n 1 由已知得 a2-a1= , 2×1 1 a3-a2= , 3×2 ? 1 an-an-1= , n(n-1) 1 1 1 所以 an-a1= + +?+ . 1×2 2×3 n(n-1) 1 1 1 1 1 1 2n-1 从而 an=1+1- + - +?+ - =2- = . 2 2 3 n n n-1 n + 10.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n 1-2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an+an+1,求数列{bn}的通项公式. 解:(1)当 n=1 时,a1=S1=22-2=2; + 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n 1-2-(2n-2) + =2n 1-2n=2n. 因为 a1 也适合此等式,所以 an=2n(n∈N*). + (2)因为 bn=an+an+1,且 an=2n,an+1=2n 1, + 所以 bn=2n+2n 1=3· 2n. 1.跳格游戏:如图,人从格子外只能进入第 1 个格子,在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格,那么人从格子外跳到第 8 个格子的方法种数为( ) A.8 B.13 C.21 D.34 解析:选 C.设跳到第 n 个格子的方法种数为 an,则到达第 n 个格子的方法有两类:① 向前跳 1 格到达第 n 个格子,方法种数为 an-1; ②向前跳 2 格到达第 n 个格子,方法种数为 an-2,则 an=an-1+an-2,由数列的递推关 系得到数列的前 8 项分别是 1,1,2,3,5,8,13,21. ∴跳到第 8 个格子的方法种数是 21.故选 C. 2 . (2015· 浙江金丽衢十二校联考 ) 已知函数 y = f(x) ,数列 {an} 的通项公式是 an = f(n)(n∈N*), 那么“函数 y=f(x)在[1, +∞)上单调递增”是“数列{an}是递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.若函数 y=f(x)在[1,+∞)上递增,则数列{an}是递增数列一定成立;反之 不成立,现举反例说明:若数列{an}是递增数列,则函数在[1,2]上可以先减后增,只要在 x=1 处的函数值比在 x=2 处的函数值小即可.故“函数 y=f(x)在[1,+∞)上递增”是“数 列{an}是递增数列”的充分不必要条件. + 3.(2015· 大连双基测试 )数列{an}满足:a1+3a2+5a3+?+(2n-1)· an=(n-1)· 3n 1+ * 3(n∈N ),则数列{an}的通项公式 an=________. + 解析:a1+3a2+5a3+?+(2n-3)· an-1+(2n-1)· an=(n-1)· 3n 1+3,把 n 换成 n-1, 得 a1+3a2+5a3+?+(2n-3)· an-1=(n-2)· 3n+3,两式相减得 an=3n. n 答案:3 4.下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是________.

解析:从题图中可观察星星的构成规律,n=1 时,有 1 个,n=2 时,有 3 个;n=3 时, n(n+1) 有 6 个;n=4 时,有 10 个;?,∴an=1+2+3+4+?+n= . 2 n(n+1) 答案:an= 2 1 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=- n2+kn,k∈N*,且 Sn 的最大值为 8.试确定常数 k, 2 并求数列{an}的通项公式. 1 1 1 解:因为 Sn=- n2+kn=- (n-k)2+ k2,其中 k 是常数,且 k∈N*,所以当 n=k 时, 2 2 2 1 2 1 2 1 2 Sn 取最大值 k ,故 k =8,k =16,因此 k=4,从而 Sn=- n2+4n. 2 2 2 1 7 当 n=1 时,a1=S1=- +4= ; 2 2 1 1 9 - n2+4n?-?- (n-1)2+4(n-1)?= -n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=? ? 2 ? ? 2 ? 2 9 7 当 n=1 时, -1= =a1, 2 2 9 所以 an= -n. 2 2 6.(选做题)已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}满足 bn= ,且前 n 项 an+1 和为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性. 解:(1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2). 2 (n=1) 3 ∴bn= . 1 (n≥2) n 1 1 1 (2)∵cn=bn+1+bn+2+?+b2n+1= + + ?+ , n+1 n+2 2n+1 1 1 1 ∴cn+1-cn= + - 2n+2 2n+3 n+1 -1 1 1 = - = <0, 2n+3 2n+2 (2n+3)(2n+2) ∴{cn}是递减数列.

? ? ?


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