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2013届高考数学快速提升成绩题型训练——三角函数 (1)


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2009 届高考数学快速提升成绩题型训练——三角函数
1. 右图为 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象的一段,求其解析式。

2

设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ?

?
8



(Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y ? f (x) 在区间 [0, ? ] 上 的图像。

3. 已知函数 f ( x) ? log1 (sin x ? cos x) ,
2

(1)求它的定义域和值域; (2)求它的单调区间; (3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期。

4. 已知向量 a = ( 3 ,2), b =( sin 2?x,? cos

2 ( ?x) , ? ? 0) 。 ? ? (1)若 f ( x) ? a ? b ,且 f (x) 的最小正周期为 ? ,求 f (x) 的最大值,并求 f (x) 取得 最大值时 x 的集合; ? ? (2)在(1)的条件下, f (x) 沿向量 c 平移可得到函数 y ? 2 sin 2 x, 求向量 c 。

?

?

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x x 5. 设 函 数 f ( x) ? a ? b c o s ? c s i n 的 图 象 经 过 两 点 ( 0 , 1 ) ( ,
0? x?

?
2

,1 ) 且 在 ,

?
2

内 | f ( x) |? 2 ,求实数 a 的的取值范围.

6. 若函数 f ( x) ?

1 ? cos2 x 2 sin( ? x) 2

?

? sin x ? a 2 sin(x ? ) 的最大值为 2 ? 3 ,试确定常数 a 4

?

的值.

7. 已知二次函数 f (x) 对任意 x ? R ,都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立,设向量 a ?(sinx,2) ,

?

? ? ? ? ? ? 1 , , ,当 b ? (2sinx, ) c ? (cos2x,1) d ? (1,2) x ?[0, π ]时,求不等式 f( a ? b ) 2 ? ? ? >f( c ? d )的解集.

8. 试判断方程 sinx=

x 实数解的个数. 100?

9. 已知定义在区间 [ ? ? , ? ] 上的函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ?

2 3

?
6

对称,当

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x ?[ ?

? 2

? ? , ? ] 时,函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) ,其图象如图. 6 3 2 2

(1)求函数 y ? f (x) 在 [ ? ? , ? ] 的表达式; (2)求方程 f ( x) ? 2 的解.
2

2 3

? ) 的图象在 y 轴上的截距为 1,它 2 在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 ( x0 ,2) 和 ( x0 ? 3? ,?2) . (1)试求 f ( x ) 的解析式; 1 (2)将 y ? f ( x ) 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) ,然后再将新的图 3 ? 象向 x 轴正方向平移 个单位,得到函数 y ? g( x ) 的图象.写出函数 y ? g( x ) 的解析式. 3
10. 已知函数 f ( x ) ? A sin( ?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

11. 已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? 3 cos 2 . 3 3 3 (Ⅰ)将 f(x)写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标及对称轴方程

(Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此 时函数 f(x)的值域.
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12. f ( x) ? 2 3 sin( 3?x ?

?
3

) (ω>0)

(1)若 f (x +θ)是周期为 2π 的偶函数,求 ω 及 θ 值 (2)f (x)在(0,

? )上是增函数,求 ω 最大值。 3

13.

已 知

3 x 3 x x x a ? (cos , ? cos ), b ? ( ? cos , sin ), 2 2 2 2 2 2
?



a ∥ b.



1 ? 2 cos(2 x ? ) 4 的值. sin(x ? ) 2

?

14. 已知△ABC 三内角 A、B、C 所对的边 a,b,c,且 (1)求∠B 的大小; (2)若△ABC 的面积为

a2 ? c2 ? b2 c ? . 2 2 2 2a ? c a ?b ?c

3 3 ,求 b 取最小值时的三角形形状. 4

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15. 求函数 y= sin(2 x ?

?
3

) cot(2 x ?

?
3

) 的值域.

16. 求函数 y=

tan x ? sec x ? 1 的单调区间. tan x ? sec x ? 1

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 1 ? ctgx ? 3 ? 3 ①化简 f(x);②若 sin( x ? ) ? ,且 ? x ? ? ,求 f(x)的值; 4 5 4 4
17. 已知 f ( x) ?

18. 已知Δ ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 A<B<C,tgA·tgC ? 2 ? 3 ,①求角 A、 B、C 的大小;②如果 BC 边的长等于 4 3 ,求Δ ABC 的边 AC 的长及三角形的面积.

19. 已知 sin ? ?

3 ? 1 , ? ? ( , ?), tg (? ? ?) ? ,求 tg(?-2?). 5 2 2

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20. 已知函数 f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x (I)求函数 f (x) 的最小正周期; (II)求函数 f ( x)在x ? ?0,

? ?? 的值域. ? 2? ?

21. 已知向量 a =(cos (1)求 a ? b

?

?

?

? x x 3 3 ? sin ),且 x∈[0, ]. x,sin x), b =( ? cos , 2 2 2 2 2

(2)设函数 f ( x ) ? a ? b + a ? b ,求函数 f (x) 的最值及相应的 x 的值。

?

?

? ?

22. 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 sin ? x sin(? x ?
2

?
2

)(? ? 0) 的最小正周期为π .

(Ⅰ)求ω 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0,

2? ]上的取值范围. 3

23. 在⊿ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 tan A ? (1)求 tanC 的值;

1 3 10 , cos B ? 2 10

(2)若⊿ABC 最长的边为 1,求 b。

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24. 如图,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD 交 AC 于 E, AB=2。 (1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE。

cos B b ?? 2a ? c 。 25. 在 ?ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 cos C
(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 13, a ? c ? 4 ,求 a 的值。

答案: 1. 解析 法 1 以 M 为第一个零点,则 A= 3 ,

? ? 2 所求解析式为 y ? 3 sin(2x ? ? ) ? 2? 点 M( ,0) 在图象上,由此求得 ? ? ? 3 3 2? ? 所求解析式为 y ? 3 sin( 2 x ? ) 3 法 2. 由题意 A= 3 , ? ? 2 ,则 y ? 3sin(2x ? ? ) 7 7 ? 3 ? 3 s i n? ?? ( ) ? 图像过点 ( ? , 3) 12 6 7 7 ? 2? 2? ? 3 ? 3 sin( ? ? ? ) 即 ? ? ? ? ? 2k? . ? ? ? ? ? 2 k? . 取 ? ? ? . 6 6 2 3 3 2? ? 所求解析式为 y ? 3 sin(2 x ? ) 3
2. 解析(Ⅰ)? x ?

?
8

是函数 y ? f ( x) 的图像的对称轴,? sin( 2 ?
? ?? ? ? ? 0, ? ? ? 3? . 4

?
8

? ? ) ? ?1,

?

?
4

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ? ? 由题意得

3? 3? ,因此 y ? sin( 2 x ? ). 4 4 ? 3? ? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z . 2 4 2
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3? ? 5? )的单调增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z . 4 8 8 3? )知 (Ⅲ)由 y ? sin( 2 x ? 4 ? 3? 5? 7? x 0 ? 8 8 8 8
所以函数 y ? sin( 2 x ? y

?

2 2

-1

0

1

0

?

2 2

故函数 y ? f ( x)在区间 0, ? ]上图像是 [

3. 解析 (1)由题意得 sinx-cosx>0 即 2 sin( x ? 从而得 2k? ? x ?

?
4

) ? 0,

?
4

? 2k? ? ? ,

( ∴函数的定义域为 2k? ?
∵ 0 ? sin( x ?

?
4

,k? ? 2

1 ) ? 1 ,故 0<sinx-cosx≤ 2 ,所有函数 f(x)的值域是 [? ,?? ) 。 4 2 3? 5? k ,k? ? 2 ) ?Z (2)单调递增区间是 [2k? ? 4 4 ? 3? k ( 2 ) ?Z , 单调递减区间是 2k? ? ,k? ? 4 4
(3)因为 f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称,故 f(x)是非奇非偶函数。 (4)∵ f ( x ? 2? ) ? log1 [sin(x ? 2? ) ? cos(x ? 2? )] ? f ( x)
2

?

5? k ) ?Z , 4

∴函数 f(x)的最小正周期 T=2π。 4. 解析 f ( x) ? a ? b = 3 sin 2?x ? 2 cos ?x ? 2 sin( 2?x ?
2

? ?

?
6

) ? 1 ,T= ? , ? ? 1

f (x) ? = 2 sin( 2 x ?

?

? ? ? ) ? 1 , ymax ? 1 ,这时 x 的集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? 6 3 ? ?

(2)? f (x) 的图象向左平移

? ,再向上平移 1 个单位可得 y ? 2 sin 2 x 的图象,所 12
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以向量 c = ( ?

?

?
12

,1) 。

5. 解析

由图象过两点得 1=a+b,1=a+c,

? b ? 1 ? a, c ? 1 ? a, f ( x) ? a ? (1 ? a)(sin x ? cos x) ? a ? 2 (1 ? a) sin( x ?
?0 ? x ? 3 2 ? ? ? ,? ? sin(x ? ) ? 1 2 4 4 4 2 4 当 a<1 时, 1 ? f ( x) ? 2 ? (1 ? 2 )a, 要使 | f ( x) |? 2 , ,则 ? x?
只须 2 ? (1 ? 2 )a ? 2 解得 a ? ? 2 当 a ? 1 , 2 ? (1 ? 2 )a ? f ( x) ? 1 时 要使 | f ( x) |? 2只须 2 ? (1 ? 2 )a ? ?2 解得 a ? 4 ? 3 2 , 故所求 a 的范围是 ? 2 ? a ? 4 ? 3 2

?
4

)

?

?

?

6. 解析

f ( x) ?

1 ? 2 c o 2s x ? 1 2 s i n ( ? x) 2

?

? s i n ? a 2 s i nx(? x

?
4

)

2 cos2 x ? ? ? sin x ? a 2 sin(x ? ) ? sin x ? cos x ? a 2 sin(x ? ) 2 cos x 4 4 ? ? ? ? 2 sin( x ? ) ? a 2 sin( x ? ) ? ( 2 ? a 2 ) sin( x ? ) 4 4 4 ? 因为 f (x) 的最大值为 2 ? 3, sin( x ? ) 的最大值为 1,则 2 ? a 2 ? 2 ? 3, 4 所以 a ? ? 3 ?
7. 解析 因为 设 f(x)的二次项系数为 m,其图象上两点为(1-x, y1 ) 、B(1+x, y2 )

(1 ? x) ? (1 ? x) ? 1 , f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,所以 y1 ? y2 , 2

由 x 的任意性得 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 若 m>0,则 x≥1 时,f(x)是增函数,若 m<0,则 x≥1 时,f(x)是减函数. ∵

? ? ? ? ? 1 a ? b ? (sin x , 2) ? (2 sin x , ) ? 2 sin 2 x ? 1 ? 1 , c ? d ? (cos 2x ,1) ? (1 , 2) 2 ? cos 2 x ? 2 ? 1 , ? ? ? ? ? ∴ 当 m ? 0 时, f (a ? b) ? f (c ? d ) ? f (2sin 2 x ?1) ? f (cos 2x ?1) ? 2 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? 2 cos 2 x ? 0 π 3π ? cos 2 x ? 0 ? 2kπ ? ? 2 x ? 2kπ ? ,k ?Z. 2 2 π 3π ?x? ∵ 0 ? x ? π, ∴ . 4 4 π 3π ? x ? π. 当 m ? 0 时,同理可得 0 ? x ? 或 4 4 ? ? ? ? ? π 3π }; 综上 f (a ? b) ? f (c ? d ) 的解集是当 m ? 0 时,为 {x | ? x ? 4 4

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当 m ? 0 时,为 {x | 0 ? x ?

π 3π ? x ? π} . ,或 4 4

8. 解析 方程 sinx=

x x 实数解的个数等于函数 y=sinx 与 y= 的图象交点个数 100? 100? x ∵|sinx|≤1∴| |≤1, |x|≤100л 100?
当 x≥0 时,如右图,此时两线共有 100л

x 100 个交点, y=sinx 与 y= 因 都是奇函数, 由对称性知当 x≥0 时, 也有 100 个交点, 100?
原点是重复计数的所以只有 199 个交点。 9. 解析
(1)当 x ? [ ?

? , 2 ? ] 时,
6 3
2 2

? ? 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) ,观察图象易得:

A ? 1, ? ? 1, ? ? ? ,即函数 f ( x) ? sin(x ? ? ),由函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 3 3 ? x ? ? ? 对称得, x ? [ ? ? , ? ] 时,函数 f ( x) ? ? sin x .
?sin( x ? ? ) x ? [ ? ? , 2? ] ? 3 6 3 ∴ f ( x) ? ? . ?) ?? sin x x ? [ ?? , ? 6 ? ? , 2 ? ] 时, (2)当 x ? [ ? 6 3 2 得, x ? ? ? ? 或 3? ? x ? ? ? 或x ? 5? ; 由 sin( x ? ? ) ? 3 2 3 4 4 12 12 当 x ? [ ? ? , ? ? ] 时,由 ? sin x ? 2 得, x ? ? 3? 或x ? ? ? . 4 4 2 6 2 的解集为 { ? 3? , ? ? , ? ? , 5? } ∴方程 f ( x) ? 4 4 12 12 2
10. 解析 (1)由题意可得:

6

6

T ? 6? , A ? 2 ,

, ? 函数图像过(0,1) ? sin ? ?

x ? ? f ( x) ? 2 sin( ? ) ; 3 6
(2) g ( x) ? 2 sin( x ?

? 1 ? , ? ? ? ,?? ? 6 2 2

1 ? f ( x) ? 2 s i n ( x ? ? ) , 3


?

6

)

11. 解析 (1) f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin( 2 x ? ? ) ? 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 由 sin(

2x ? 2x ? 3k ? 1 ? ) =0 即 ? ? k? (k ? z )得x ? ? 3 3 3 3 2
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k?z

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即对称中心的横坐标为

3k ? 1 ?, k ? z 2
a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2

(Ⅱ)由已知 b2=ac, cos x ?

1 ? ? 2 x ? 5? ? ? cos x ? 1 , 0? x? , ? ? ? 2 3 3 3 3 9 ? ? 5? ? ? 2x ? ?| ? |?| ? | , ? sin ? sin( ? ) ? 1 , 3 2 9 2 3 3 3 2x ? 3 ? 3 ? sin( ? ) ? 1 ? , 3 3 2 3 即 f (x) 的值域为 ( 3 ,1 ? ]. 2
12. 解析(1)因为 f (x +θ)= 2 3 sin( 3?x ? 3? ?

) 3 1 ? 又 f (x +θ)是周期为 2π 的偶函数, 故 ? ? ,? ? k? ? 3 6 ? 1 (2)因为 f (x)在(0, )上是增函数,故 ω 最大值为 3 6

?

k? Z

13. 由 a∥b 得,

3 x x x ? cos 2 ? sin cos ? 0, 4 2 2 2 3 1 ? cos x 1 1 ? sin x ? 0, ? sin x ? cos x ? , 即 ? 4 2 2 2

1 ? 2 c o s ( ? ) 1 ? 2 ( c o2sx c o s ? s i n x s i n ) 2x 2 4 ? 4 4 ? cos x s i nx(? ) 2

?

?

?

?

1 ? cos2 x ? sin 2 x 2 cos2 x ? 2 sin x cos x ? ? 2(sin x ? cos x) ? 1. cos x cos x

思路点拨:三角函数的求值问题,关键是要找到已知和结论之间的联系,本题先要应用向量 的有关知识及二倍角公式将已知条件化简,然后将所求式子的角向已知角转化.

a2 ? c2 ? b2 a2 ? c2 ? b2 c b ? 得 2 2ac 2 ? 14. (1)由 2 2 2 2 2a ? c a ? b ? c 2a ? c a ?b ?c 2ab


cos B sin B ? , cos C 2 sin A ? sin C

2 s i n c o B ? c o B s i n ? s i n c o C, A s s C B s

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即 2 sin A cos B ? cos B sin c ? sin B cosC,

2 sin A cosB ? sin(B ? C ),
由 B ? C ? ? ? A得, sin AcosB ? sin A, 2 ∵ sin A ? 0,? cos B ? (2) 由 S ?ABC ?

1 , ?B ? 60 ? . 2

1 1 3 3 acsin B ? acsin 60? ? 得,ac ? 3, 2 2 4

∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2accos60? ? 2ac ? ac ? ac ? 3, 当且仅当 a ? c ? 3 时取等号, 即 b ? 3 ,故当 b 取最小值 3 时,三角形为正三角形. 15. 解:原函数化简为

y ? cos(2 x ?

?

).这里sin(2 x ? ) ? 0即2 x ? ? k? 3 3 3

?

?

? k? ? ? ? ?2 x ? 3 ? k? ?x ? 2 ? 6 ? ? ?? (k ? Z ) 得原函数的定义域为 由? ?cos(2 x ? ? ) ? 0 ?k? ? ? ? x ? k? ? 5? ? ? 3 12 12 ? ?
? ? ?? ? ? 5? ? ?k? ? 12 , k? ? 6 ? ? ? k? ? 6 , k? ? 12 ?, k ? Z . ? ? ? ?
16. 解:化简函数式并跟踪 x 的取值范围的变化得

x ? y ? tan( ? ) 2 4

且 cos x ? 0 , sin

x ? 0. 2

? ? ? x ? k? ? 2 ? (k ? Z ) ? 由 ? x ? 2k? ? ? x ? ? ?k? ? ? ? ? k? ? 2 2 4 2 ?
故函数递增区间为 (2k? ?

? ? ? x ? k? ? 2 ? (k ? Z ) ? x ? 2k? ? 3? ? ?2k? ? ? x ? 2k? ? 2 2 ?

3? ? ? ? ,2k? ? ) , (2k? ? ,2k? ) , ( 2k? ,2k? ? ).k ? Z 2 2 2 2

17. 解:①分析:注意此处角,名的关系,所以切化弦化同角,2x 化 x,化同角.

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sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 sin x ? cos x ? 1 ? 2 sin 2 x ? 1 ? cos x 1 ? ctgx 1? sin x 2 2 sin x ? (cos x ? sin x) ? ? 2 sin 2 x sin x ? cos x ? ? ? ②求 f(x)即求 sinx,此处未知角 x, 已知角 x ? , x ? ( x ? ) ? , 而 ∴可把 x 化成已知. 4 4 4 ? 3 ? ? ? x ? ? ?, ∵ ? x ? ?, ∴ 4 4 2 4 ? ? 4 2 ∴ cos(x ? ) ? ? 1 ? sin ( x ? ) ? ? , 4 4 5 ? ? ∴ sin x ? sin[( x ? ) ? ] 4 4 ? ? ? ? 7 ? sin( x ? ) cos ? cos( x ? ) sin ? 2 4 4 4 4 10 49 2 ∴ f ( x) ? 2 sin x ? . 25 f ( x) ?
18. 解:(1)法 1,∵tgA·tgC ? 2 ? 3 ,∴ 即 sin A ? sin C ? (2 ? 3) cos A ? cosC ∴?

sin A sin C ? 2? 3, cos A cos C

1 2? 3 [cos(A ? C ) ? cos(A ? C )] ? [cos(A ? C ) ? cos(A ? C )] 2 2

∵A+B+C=180? 且 2B=A+C, ∴B=60?,

1 , 2 1 1 2? 3 2? 3 ∴ ? cos(A ? C ) ? ? ? cos(A ? C ) 4 2 4 2 3 ∴ cos(A ? C ) ? 2
A+C=120?, ∴ cos( A ? C ) ? ? ∵A<60?<C, 且 A+C=120?, ∴ 0<A<60?, 60?<C<120?, ∴ -120?<A-C<0?,∴ A-C=-30?, 又 A+C=120?∴ A=45?, C=75?. 法 2:∵A+B+C=180?, 2B=A+C, ∴B=60?, A+C=120?, ∴ tg ( A ? C) ? ? 3 又 tg ( A ? C ) ? ∴ ? 3?

tgA ? tgC , tgAtgC ? 2 ? 3 1 ? tgAtgC

∴ tgA ? tgC ? 3 ? 3 1? 2 ? 3 又 tgAtgC ? 2 ? 3 且 0?<A<60?<C<120?, ∴ tgA=1, tgC ? 2 ? 3 , ∴ A=45?, ∴ C=120?-45?=75? (2) 由正弦定理:

tgA ? tgC

| AC | | BC | ? , ∴ | AC |? 6 2 , 0 sin 60 sin 450

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∴ SΔ ABC ?

1 | AC | ? | BC | ? sin C 2 1 ? ? 6 2 ? 4 3 ? sin 750 2

? 12 2 sin(450 ? 300 ) ? 18 ? 6 3.
19. ∵ sin ? ?

3 ? 4 3 , ? ? ( , ?), ∴ cos ? ? ? , ∴ tg? ? ? , 5 2 5 4 1 1 4 又 tg ( ? ? ?) ? , ∴ tg? ? ? , ∴ tg 2? ? ? , 2 2 3 3 4 7 ? ? tg? ? tg 2? 7 4 3 ∴ tg (? ? 2?) ? . ? ? 12 ? 3 4 1 ? tg? ? tg 2? 2 24 1 ? (? )(? ) 4 3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x 2 2

20. 解: f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ? ? 3 ?

?

1 3 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? sin(2 x ?

?
3

)?

3 2 ?

(I) T ?

2? ?? 2

(II)∴ 0 ? x ?

?
2



?
3

? 2x ?

?
3

?

4? 3



3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 3

所以 f (x) 的值域为: ?? 3 ,

? ?

2? 3? ? 2 ?
0? x?

21. 解 :( 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。) 由 已 知 条 件 :

?
2



得:

3x x 3x x ? ? a ? b ? (cos ? cos ,sin ? sin ) 2 2 2 2

(cos

3x x 3x x ? cos )2 ? (sin ? sin )2 2 2 2 2

? 2 ? 2 c o 2x ? 2 s i n s x

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x ? cos 2 x 2 2 2 2 1 3 ? 2 ? ?2 s i n x ? 2 s i n ? 1 ? ?2( s i n ? ) 2 ? , 因 为 : 0 ? x ? x x ,所以: 2 2 2 0 ? sin x ? 1 1 3 所以,只有当: x ? 时, f max ( x ) ? , x ? 0 ,或 x ? 1 时, f min ( x) ? 1 2 2
(2) f ( x) ? 2 sin x ? cos

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22. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 ? cos 2? x 3 ? sin 2? x 2 2 3 1 1 = sin ? x ? cos 2? x ? 2 2 2 ? 1 = sin(2? x ? ) ? . 6 2

因为函数 f(x)的最小正周期为π ,且ω >0,所以 解得ω =1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin(2 x ? 因为 0≤x≤ 所以 ?

2? ?? 2?

?

? 7? 1 . ≤ 2x ? ≤ 6 6 2 ? 1 所以 ? ≤ (2 x ? ) ≤1. 6 2 3 ? 1 3 因此 0≤ sin(2 x ? ) ? ≤ ,即 f(x)的取值范围为[0, ] 2 6 2 2
23. 解: (1)? cos B ?

2? , 3

1 )? . 6 2

3 10 ? 0, ? B 锐角, 10
sin B 1 10 ? , ,? tan B ? cos B 3 10

且 sin B ? 1 ? cos B ?
2

1 1 ? tan A ? tan B 2 3 ? ?1 ? tan C ? tan ?? ? ( A ? B)? ? ? tan( A ? B) ? ? ?? 1 1 1 ? tan A ? tan B 1? ? 2 3
(2)由(1)知 C 为钝角, C 是最大角,最大边为 c=1,

? tan C ? ?1,? C ? 135?,? sin C ?

2 , 2
1? 10 10 ? 5 。 5 2 2

c sin B b c ? ? 由正弦定理: 得b ? sin B sin C sin C

? ? ? 24. 解: (Ⅰ)因为∠BCD ? 90 ? 60 ? 150 , CB ? AC ? CD ,

所以∠CBE ? 15 .
?

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所以 cos∠CBE ? cos(45 ? 30 ) ?
? ?

(Ⅱ)在 △ ABE 中, AB ? 2 , AE 由正弦定理 ?
sin(45? ? 15? )

6? 2 . 4

D C E

2 . sin(90? ? 15? )

2sin 30? 故 AE ? cos15? ?

2?

1 2

6? 2 4

? 6? 2

A

B

25. 解析:

a b c ? ? ? 2R (1)由正弦定理得 sin A sin B sin C ,得
a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, C ? 2R sin C

cos B sin B ?? 2 sin A ? sin C ,即 2 sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0 代入 cos C
2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? 0
∵ A+B+C= ? ∴ sin(B+C)=sinA ∴ 2 sin A cos B ? sin A ? 0

∵ sin A ? 0



cos B ? ?

1 2

又 ∵ 角 B 为三角形的内角



B?

2? 3

(2)将

b ? 13 , a ? c ? 4, B ?

2? 3 代入余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得
2? 3

13 ? a 2 ? (4 ? a) 2 ? 2a(4 ? a) cos
2 ∴ a ? 4a ? 3 ? 0

∴ a ? 1或a ? 3

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