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双曲线的第二定义


双曲线的第二定义

(一)知识回顾:
一、椭圆的第二定义: 1、定义:平面内到一个

l1

d1
F1 O

M

d2
F2 F2(c,0)

l2

x

定点F和一条定直线 l 的距


离的比为常数e(0<e<1)的点 M的轨迹,叫椭圆。 定点F叫焦点,定直线 l 叫准线。 椭圆有两个焦点F1,F2,两条准线 l1 , l2

2、定义式:
| MF1 | | MF2 | ? e     ? e  d1 d2

3、焦半径公式:
焦点在X轴上:|MF1| = a + ex , |MF2| = a - ex 焦点在Y轴上:|MF1| = a + ey , |MF2| = a - ey 左加右减,下加上减

问题

点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定

轨迹.

16 的距离的比是常数 5 求:点M的 直线 l :x= 5 4

x y =1 16 9
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为8、6的双曲 线.

2

2

问题: 点M (x,y) 与定点F(c,0)的距离和它到定
2

c a 直线 l : x = 的距离的比是常数 (c>a>0), a c

求:点M的轨迹.

解:设d是点M到直线l的距离,根据题意,所求轨 迹就是集合 |MF| c

P ={M|

由此可得:

= } d a

(x ? c)2 ? y 2 c ? 2 a a x? c

令c ? a ? b
2 2
2

将上式两边平方,并化简,得 2 2 2 2 2 2 2 2 (c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2
2

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.

实 例 演 示 : e=2

线 距 动 离 点 的 二到 定 倍 点 。 距 离 是 它 到 定 直

L

F

y

L

线 距 离动 的点 二到 倍定 。点 距 离 是 它 到 定 直

a2 准线x ? c

c e? ?2 a

焦点

o

F

x

x2 y2 双曲线标准方程是: ? ? 1 a 2 b2

双曲线的第二定义:

平面内到一个定点F的距离与它到一条定直 线L的距离的比是常数e(e>1)的点的轨迹叫 做双曲线.
定点F叫焦点,定直线L叫准线,常数e叫做 双曲线的离心率.

双曲线有两个焦点,两条准线.分别为:F1,l1 和F2 l2
a2 F1 ( ?c.0),   l1 : x ? ? c a2 F2 (c,0),    l2 : x ? c

定义式

| MF1 | | MF2 | ? e,     ?e d1 d2
如果焦点在Y轴上时,如何?

思考

2a 2.两准线间的距离: d ? c

a a 或y ? ? 1.准线方程:x ? ? c c 2
2

2

b 3.焦准距:焦点到对应准线的距离 d ? c

2

思考:双曲线与椭圆的第二定义的区别在哪里?

第二定义应用

x2 y2 ? ? 1上的点P到双曲线的右焦点 如果双曲线 64 36 的距离是8,那么P到右准线的距离是多少, P到左
准线的距离是多少。

d2=6.4

d1=19.2

求焦半径公式
y

设M(x0 , y0 ),

N1

M(x0,y0)

?

F1
a2 x?? c

O

F2

x

M F1 ?e 2 a x0 ? c

? MF1 ? a ? ex0

a2 x? c

同理 MF2 ? a ? ex0

左加右减,下加上减(带绝对值号)

焦半径公式:
(一)M1位于双曲线右支
y

M 2 ( x2 , y2 )

M1 ( x1 , y1 )

(二)M2位于双曲线左支 F1
O

F2

x

|M 2 F1 |? ?a ? ex2

焦半径的应用

26

16

到左、右焦点的距离之比为1:2,求P
点到右准线的距离.
d2=6

x 2 ? y ? 1上一点P 例1 已知双曲线 3

2

x y 例2 已知双曲线 - = 1的右焦点F,点 9 16 3 A ? 9,2 ? ,在此双曲线上求一点M,使 MA + MF 5 的值最小,并求这个最小值

2

2

36 dmin ? 5

3 5 M( ,2) 2

练习

y2 =1 已知点A ( 3,2 ), F ( 2,0 ), 在双曲线x2 ? 3 上求一点P, 使|PA|+1 |PF|的值最小.  2

d min

3 = 2

21 p( ,2) 3

x2 y2 例1:如图,已知F,F2为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0)的焦 思考 1 a b

1 点,过F2作垂直与x轴的直线交双曲线于点P,且sin?PF1F2 ? . 3 求此双曲线的离心率。
x
P

解:由题意x ? c P

?焦半径 PF1 |? ec ? a, PF2 |? ec ? a | |
F2

F1

0

|PF2 | ec ? a 1 ?sin?PF1F2 ? ? ? |PF1 | ec ? a 3 y

c 则e ? ? 2 a




(一)双曲线第二定义 : 当点M到一定点的距离和它
y

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

F1

o

F2

x

到一定直线的距离之比 是常 c 数e ? ? 1,这个点的轨迹是 a 双曲线。

a2 (二)准线方程: x ? ? , (a ? c) c
(三)焦半径公式的推导及 其应用

椭圆 第二定义 定义式

双曲线

动点到一个定点的距离和它到 一条定直线的距离的比是常数e
PF 1 d1 ? PF 2 d2 ? c ? e a

准线方程
离心率范围

a2 x?? c
0<e<1



a2 y ?? c

e>1


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