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2015年新课标高考数学题型全归纳:等比数列与等差数列概念及性质对比典型例题


等比数列与等差数列概念及性质对比 1.数列的定义 顾名思义,数列就是数的序列,严格地说,按一定次序排列的一列数叫做数列. 数列的基本特征是:构成数列的这些数是有序的. 数列和数集虽然是两个不同的概念,但它们既有区别,又有联系.数列又是一类特殊的 函数. 2.等差数列的定义 顾名思义,等差数列就是“差相等”的数列.严格地说,从第 2 项起,每一项与它的前 一项的差等于同一个常数的数

列,叫做等差数列. 这个定义的要点有两个:一是“从第 2 项起” ,二是“每一项与它的前一项的差等于同 一个常数” .这两个要点,刻画了等差数列的本质. 3.等差数列的通项公式 等差数列的通项公式是:an= a1+(n-1)d . ① 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程,又可将 an 看作关于变量 n 的函数, 这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具. 从发展的角度看, 将通项公式①进行推广, 可获得更加广义的通项公式及等差数列的一 个简单性质,并由此揭示等差数列公差的几何意义,同时也可揭示在等差数列中,当某两项 的项数和等于另两项的项数和时,这四项之间的关系. 4.等差中项 A 称作 a 与 b 的等差中项是指三数 a,A,b 成等差数列.其数学表示是: A? a?b ,或 2 A=a+b. 2 显然 A 是 a 和 b 的算术平均值. 2 A=a+b(或 A ? 差数列的一个依据,并且,2 A=a+b(或 A ? a?b )是 a,A,b 成等差数列的充要条件.由 2 a?b )是判断三数 a,A,b 成等 2 此得,等差数列中从第 2 项起,每一项(有穷等差数列末项除外)都是它的前一项与后一项 的等差中项. 值得指出的是,虽然用 2A=a+b(或 A ? a?b )可同时判定 A 是 a 与 b 的等差中项及 2 A 是 b 与 a 的等差中项,但两者的意义是不一样的, 因为等差数列 a, A,b 与等差数列 b,A, a 不是同一个数列. 5.等差数列前 n 项的和 等差数列前 n 项和的公式是: S n ? 或 S n ? na1 ? n?a1 ? a n ? , 2 ① n?n ? 1? d 2 ② 公式①和②均可看作方程.事实上,公式①和②中均含有四个量,若知其中任意三个量 的值,便可通过解方程的办法求一个量的值.若将前 n 项和的公式与通项公式结合起来看, 共有五个量,通常知道其中的任意三个量的值,通过解方程组就可求出其余的两个量的值. 公式①的结构形式与梯形的面积公式是一致的, 这可由教材中码放钢管的示意图得到印 证. 公式②中的 S n 也可看作关于变量 n 的二次式(d≠0 时) ,其图像是在二次函数: y? d 2 ? d? x ? ? a1 ? ? x 的图像上当 x 取 1,2,3,?时所对应的那群孤立点.这为我们利用 2 2? ? 函数的观点求解等差数列前 n 项和 S n 的最大值或最小值问题提供了直观的背景. 6.等比数列的定义 顾名思义,等比数列就是“比值相等”的数列.严格地说,从第 2 项起,每一项与它前 一项的比等于同一个常数的数列,叫做等比数列. 和等差数列类似,这个定义也有两个要点:一是“从第 2 项起” ,二是“每一项与它前 一项的比等于同一个常数” .它们刻画了等比数列的本质. 7.等比数列的通项公式 等比数列的通项公式是:an= a1q n-1 . ① 这里,一方面,可将 an 看作是 n 的函数,另一方面公式本身也可视为一个方程.从发 展的角度看, 将公式①进行

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