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重庆市第八中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(文)试题


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数学(文)试题 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. 已知集合 A ? ? x | A. ?1, 2,3, 4?

? ?

x ?1 ? ? 0? ,集合 B ? ?1, 2,3, 4? ,则 A B ? ( x?4 ?
B. ?2,3? ) C. ?1 ? i
x

) D. ?2,3, 4?

C. ?1, 2,3?

2. 复数 z 满足 zi ? 1 ? i ,则 z 为 ( A. 1 ? i
2 3

B. 1 ? i

D. ?1 ? i )

3. 根据 e ? 7.39, e ? 20.08 ,判定方程 e ? x ? 6 ? 0 的一个根所在的区间为( A. ? ?1, 0 ? B. ? 0,1? C. ?1, 2 ?

D. ? 2,3? )

4. 已知 a ? 0 ,且 a ? 1 ,下列函数中,在其定义域内是单调函数而且又是奇函数的是 ( A. y ? sin ax B. y ? loga x2 C. y ? a ? a
x ?x

D. y ? tan ax )

5. 已知命题 p : x ? y ? ?2 ,命题 q : x, y 都是 ?1 ,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件

6. 各项为正的等比数列 ?an ? 中, a4 与 a14 的等比中项为 2 2 ,则

log 2 a7 ? log 2 a11 的值为(
A. 4 B. 3

) C. 2 ) C. 15 ) D. 6 D. 14 D. 1

7. 执行如图所示的程序框图, 则输出的结果是( A. 17 B. 16

8. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( A.

47 6

B.

15 2

C.

23 3

9. 送快递的人可能在早上 6 : 30 ? 7 : 30 之间把快递送到张老师家里, 张老师离 开家去工作的时间在早上 7 : 00 ? 8: 00 之间, 则张老师离开家前能得到快递的 概率为( )

-1-

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A. 12.5 0 0

B. 50 0 0

C. 75 0 0

D. 87.5 0 0
2

10. 双曲线 率为( A. 5

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程与圆 x ? 3 a2 b2

?

?

2

? ? y ? 1? ? 1 相切, 则此双曲线的离心

) B. 2 C. 3 D. 2 )
2 2 D. x1 ? x2

11. 设函数 f ? x ? ? x sin x ,若 x1 , x2 ? ? ? A. x1 ? x2 B. x1 ? x2 ? 0

? ? ?? ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 则( , ? 2 2? ?
C. x1 ? x2

12. 已知 f ? x ? 是定义在 R 上的增函数, 函数 y ? f ? x ? 1? 的图象关于点 ?1, 0 ? 对称, 若对任 意的 x, y ? R ,不等式 f x ? 6 x ? 21 ? f y ? 8 y ? 0 恒成立,当 x ? 3 时, x ? y
2 2

?

?

?

?

2

2

的取值

范围是( A. ? 3, 7 ?

) B. ? 9, 25 ? C. ?13, 49 ? D. ? 9, 49 ?

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分) 13. 2, 4, 4,6,6,6,8,8,8,8 这 10 个数的标准差为 14. 已知 f ? x ? ? 4 ? 2
x x ?1

. .

? 3 ,则 f ? x ? ? 0 的解集为

15. 已知四棱锥 P ? ABCD 的 5 个顶点都在球 O 的球面上, 若底面 ABCD 为距 形, AB ? 4, BC ? 4 3 , 且四棱锥 P ? ABCD 体积的最大值为 64 3 ,则球 O 的表面积 为 .

16. 已知函数 f ? x ? ? ?

? ? x ,x ? m ,其中 m ? 0 ,若存在实数 b ,使得关于 x 的方程 2 ? ? x ? 2mx ? 4m, x ? m


f ? x ? ? b 有三个不同的零点, 则 m 的取值范围是

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2 x ? 3 ? a ?
3

? ?

1? 2 ? x ? 6 x ? 1,其中 a ? 0 . a?

(1)若函数 f ? x ? 没有极值, 求实数 a 的值;

-2-

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(2)若函数 f ? x ? 在区间 ? 2,3? 上单调递减, 求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分)2016 年夏季奥运会将在巴西里约热内卢举行, 体育频道为了解某地 区关于奥运会直播的收视情况, 随机抽取了 100 名观众进行调查, 其中 40 岁以上的观众有

55 名, 下面是根据调查结果绘制的观众准备平均每天收看奥运会直播时间的频率分布表(时
间:分钟): 分组 频率

?0, 20 ?
0.1

? 20, 40 ?
0.18

? 40, 60 ?
0.22

?60,80 ?
0.25

?80,100 ? ?100,120 ?
0.2 0.05

将每天准备收看奥运会直播的时间不低于 80 分钟的观众称为“奥运迷”, 已知“奥运迷”中 有 10 名

40 岁以上的观众.
(1)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表, 并据此资料你是否有 95 0 0 以上的把握认为“奥 运迷”与年龄有关? 非“奥运迷” “奥运迷” 合计

40 岁以下 40 岁以上
合计 (2)将每天准备收看奥运会直播不低于 100 分钟的观众称为“超级奥运迷”, 已知“超级奥 运迷”中有 2 名

40 岁以上的观众, 若从“超级奥运迷”中任意选取 2 人,
的概率. 附: K ?
2

求至少有 1 名 40 岁以上的观众

n ? ad ? bc ? ? a ? b ?? a ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2

P?K2 ? k?

0.05
3.841

0.01
6.635

k

19. (本小题满分 12 分)如图, 三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面

ABC, PA ? AB ? 1, BC ? 3, AC ? 2 .
(1)求证: BC ? 平面 PAB ;
-3-

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(2)若 AE ? PB 于点 E, AF ? PC 于点 F ,求四棱锥 A ? BCFE 的体积.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上, 椭圆上、下顶点与 焦点所组成的四边形为正方形, 四个顶点围成的图形面积为 2 2 . (1)求椭圆的方程; (2) 直线 l 过点 P ? 0, 2 ? 且与椭圆相交于 A 、B 两点, 当 ?AOB 面积取得最大值时, 求直线 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? e , g ? x ? ? sin x .
ax

(1)若直线 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 在 x ? 0 处的切线平行, 求 a , 并讨论 y ? f ? x ? ? g ? x ? 在

? ?1, ?? ? 上的单调性;
(2)若对任意 x ? ? 0,

? ?? ? ,都有 ? 2?

?x? f ? ? g ? x ? ? kx ,求 k 的取值范围. ?a?

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为: ?

? ? ? x ? 2 ? t cos ? (t 为参数, 其中 0 ? ? ? ) , 2 ? ? y ? 3 ? t sin ?

椭圆 M 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? 2 ( ? 为参数), 圆 C 的标准方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 . ? y ? sin ?

(1)写出椭圆 M 的普通方程; (2)若直线 l 为圆 C 的切线, 且交椭圆 M 于 A, B 两点, 求弦 AB 的长.

-4-

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重庆市第八中学 2015-2016 学年高二下学期期末考试数学(文)试题参考答案 一、选择题:1-5.CBDCB 二、填空题:13. 2 三、解答题 17.解: (1) f ' ? x ? ? 6 x 2 ? 6 ? a ?
2

6-10.BBDDB 14. ? x | x ? log 2 3? 15.

11-12.DC

1600? 9

16. ?m | m ? 3?

? ?

1? 1 ? x ? 6 ? 6 ? x ? a ? ( x ? ) ,由条件, 只需 a? a

? ? 1 ?? 1 2 1 ?6 ? a ? a ? ? ? 4 ? 6 ? 6 ? 0 ,即 (a ? a ) ? 0 ,所以 a ? a ,因为 a ? 0 ,从而 a ? 1 . ?? ? ?

18. 解: (1)由频率分布表可知, 在轴取的 100 人中, “奥运迷”有 25 人, 从完成 2 ? 2 列联 表如下: 非“奥运迷” “奥运迷” 合计

40 岁以下
40 岁以上
合计
2

30
45 75
2

15
10 25

45
55

100

100 ? ? 30 ?10 ? 45 ?15? 100 K ? ? ? 3.030 . 75 ? 25 ? 45 ? 55 33
因为 3.030 ? 3.841 ,所以没有 95 0 0 以上的把握认为“奥运迷”与年龄有关. (2)由频率分布表可知, “超级奥运迷”有 5 人, 从而所有可能结果所组成的基本事件空间 为:

? ? ?? a1 , a2 ? , ? a1 , a3 ? , ? a2 , a3 ? , ? a1 , b1 ? , ? a1 , b2 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ?b1 , b2 ??
其中 ai 表示男性, i ? 1, 2,3, bi 表示女性, i ? 1, 2 . ? 由 10 个基本事件组成, 且是等可能的, 用 A 表示事件“任意选 2 人, 至少有 1 名 40 岁以上观众”, 则

A ? ?? a1 , b1 ? , ? a1 , b2 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ? b1 , b2 ?? ,即事件 A 包含 7 个基本事
件, 所以 P ? A ? ?

7 . 10
-5-

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19. 解: (1)

PA ? 平面 ABC, BC ? 平面 ABC,? PA ? BC , ?ABC

中, AB ? 1, BC ? 3, AC ? 2,? AB2 ? BC 2 ? AC 2 , AB ? BC,

PA 、

AB 是平面 PAB 上的两条相交直线,? BC ? 平面 PAB .
(2)由 BC ? 平面 PAB , BC ? 平面 PBC ,?平面 PBC ? 平面 PAB ,交 线为 PB ,

AE ? PB 于点 E,? AE ? 平面 PAB ,从而 AE ? EF , AE ? PC .又 AF ? PC

于点 F ,? PC ? 平面 AEF ,

EF ? 平面
5 . 又 ?PFE 相似于 5

AEF ,? PC ? EF ,直角 ?PBC 中, PB ? 2, PF ?
2

S 1 9 9 6 ? PF ? ?PBC ,? ?PFE ? ? ,所以, 四棱锥 A ? BCFE 的 ? ? ,从而 S BCFE ? S?PBC ? S?PBC ? PB ? 10 10 20
体积 V ?

1 1 2 9 6 3 3 . AE S BCFE ? ? 3 3 2 20 20
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? .(1)由已知得 b ? c ,且 2ab ? 2 2 ,又由 a 2 b2

20. 解:设椭圆方程为

b2 ? c2 ? a 2 ,解得 a 2 ? 2, b2 ? c 2 ? 1 ,所以椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

(2)由题意知直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由

? y ? kx ? 2 ? 2 2 2 ,消去 y 得关于 x 的方程: ?1 ? 2k ? x ? 8kx ? 6 ? 0 ,由直线 l 与椭圆相交于 A 、 ?x 2 ? ? y ?1 ?2
B 两点,?? ? 0 ? 64k 2 ? 24 ?1 ? 2k 2 ? ? 0 ,解得 k 2 ?

3 ,又由韦达定理得 2

8k ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 , ? ?x x ? 6 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ?

1? k 2 16k 2 ? 24 . 2 1 ? 2k

-6-

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原点 O 到直线 l 的距离 d ?

2 1? k 2

, 所以 S ?ABC ?

1 16k 2 ? 24 2 2 2k 2 ? 3 AB d ? ? , 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

令m ?

2k 2 ? 3 ? m ? 0 ? ,则 2k 2 ? m2 ? 3 ,? S ?

4 2 2m 2 2 2 ,当且仅当 m ? , ? ? 2 4 m m ?4 m? 2 m

即 m ? 2 时, Smax ?

14 2 , 此时 k ? ? ,所以, 所求直线方程为 ? 14 x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2 2
ax

21. 解: (1)由 f ? x ? ? e ,知 f ' ? x ? ? ae ,曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 0 处的切线斜率为
ax

f ' ? 0 ? ? a .由 g ? x ? ? sin x 知 g ' ? x ? ? cos x ,曲线 y ? g ? x ? 在 x ? 0 处的切线为 g ' ? 0 ? ? 1 ,
因为曲线 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 在 x ? 0 处的切线相互平行, 所以

a ? 1 , y ' ? f ' ? x ? ? g ' ? x ? ? e x ? cos x ,当 x ? 0 时, y ' ? f ' ? 0 ? ? g ' ? 0 ? ? 2 ? 0 . 当
x ? ? ?1, 0 ? 时, e x ? ? 0,1? , cos x ? ? 0,1? , 从而 y ' ? f ' ? x ? ? g ' ? x ? ? e x ? cos x ? 0 ;当 x ? ? 0, ?? ? 时, e x ? ? 0, ?? ? , cos x ? ? ?1,1? , 从而 y ' ? f ' ? x ? ? g ' ? x ? ? e x ? cos x ? 0 ,故 y ? f ? x ? ? g ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上单调递增.
(2)记 h ? x ? ? f ?

? x? x ? g ? x ? ? kx ? e sin x ? kx ,原问题即求 k 的取值范围, 使 h ? x ? ? 0 对 ?a?

? ?? x ? ? 0, ? 恒成立, h ' ? x ? ? e x ? sin x ? cos x ? ? k ,又记 ? ? x ? ? e x ? sin x ? cos x ? ,则当 ? 2? ? ?? ? ?? x ? ? 0, ? 时, ? ' ? x ? ? 2e x cos x ? 0 ,所以 ? ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增, 从而 ? 2? ? 2?
? ?? ? ? ? 0 ? ? ? ? x ? ? ? ? ? ,即 1 ? ? ? x ? ? e 2 . 2

?

?

①若 k ? 1 ,则 h ' ? x ? ? 0, x ? ? 0,

? ?? ? ?? ? ,从而 h ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增, 所以 ? 2? ? 2?

h ? x ? ? h ? 0 ? ? 0 .此时, 不等式成立.

-7-

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②若 k ? e 2 ,则 h ' ? x ? ? 0, x ? ? 0, 此时不等式不恒成立.

?

? ?? ? ,从而 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减, 所以 h ? x ? ? h ? 0 ? ? 0 . ? 2?

③若 1 ? k ? e 2 ,则存在唯一的 x0 ? ? 0,

?

? ?? x0 ? ,使得 h ' ? x0 ? ? 0 ,即 e ? sin x0 ? cos x0 ? ? k , ? 2?

h ? x0 ? ? e x0 sin x0 ? kx0 ? e x0 sin x0 ? x0e x0 ? sin x0 ? cos x0 ? ? e x0 ? ?sin x0 ? x0 ? sin x0 ? cos x0 ? ? ?
因为 x0 ? ? 0, 从而

? ?? ? ,所以 0 ? sin x0 ? x0 且 cos x0 ? 0 , ? 2?

sin x0 ? x0 ? sin x0 ? cos x0 ? ? sin x0 ? sin x0 ? sin x0 ? cos x0 ? ? sin x0 ? ?1 ? ? sin x0 ? cos x0 ? ? ?

? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? sin x0 ?1 ? 2 sin ? x0 ? ? ? ,又因为 x0 ? ? 0, ? ,所以 1 ? 2 sin ? x0 ? ? ? 2 ,从而 4 ?? 4? ? ? ? 2? ? ? ? ?? ? sin x0 ?1 ? 2 sin ? x0 ? ? ? ? 0 ,得 sin x0 ? x0 ? sin x0 ? cos x0 ? ? 0 又 e x0 ? 0 , 4 ?? ? ?
所以 h ? x0 ? ? e 0 ? ?sin x0 ? x0 ? sin x0 ? cos x0 ? ? ? ? 0 ,不等式不恒成立.
x

综上,当且仅当 k ? 1 时, 对任意 x ? ? 0,

? ?? ? ,都有 g ? x ? ? kxf ? 2?

? x? ?? ? . ? a?

23. 解: (1)椭圆 M 的普通方程为
2

x2 ? y2 ? 1. 4

(2)将直线的参数方程 C 得 t ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? t ? 3 ? 0 ,由直线 l 为圆 C 的切线可知

?

?

? ? 0 即 2cos ? ? 2 3 sin ?

?

?

2

? 4 ? 3 ? 0 解得 ? ?

?
6

,所以直线 l 的参数方程为:

? 3 x ? 2? t ? ? 2 ,将其代入椭圆 M 的普通方程得 7t 2 ? 24 3t ? 48 ? 0 ,设 A, B 对应的参数分 ? ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
别为 t1 , t2 ,所以 t1 ? t2 ? ?

24 3 48 , t1t2 ? ? , AB ? t1 ? t2 ? 7 7

? t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ?

8 6 . 7

-8-


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