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初高中数学衔接课程教案14-耐克函数 - 学生版


初高中数学衔接课程教案 14 耐克函数 一、知识点梳理 1、反比例函数 1. 定义:一般地,形如 y ? 以写成 y ? kx
?1

k k ( k 为常数, k ? o )的函数称为反比例函数. y ? 还可 x x

2. 反比例函数解析式的特征: ⑴等号左边是函数 y , 等号右边是一个分式. 分子是不为零的常数 k(也叫做比例系数 k ) , 分母中含有自变量 x ,且指数为 1. ⑵比例系数 k ? 0 . ⑶自变量 x 的取值为一切非零实数. ⑷函数 y 的取值是一切非零实数. 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法:描点法 ① 列表(应以 O 为中心,沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数) ② 描点(有小到大的顺序) ③ 连线(从左到右光滑的曲线)

k ? 0) ⑵反比例函数的图像是双曲线,y ? ( k 为常数, 中自变量 x ? 0 , 函数值 y ? 0 ,
所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不 与坐标轴相交. ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是 y ? x 或 y ? ? x ) . ⑷反比例函数 y ?

k x

k k ( k ? 0 )中比例系数 k 的几何意义是:过双曲线 y ? ( k ? 0 ) x x

上任意引 x 轴 y 轴的垂线,所得矩形面积为 k . 4.反比例函数性质如下表:

k 的取值

图像所在象限 一、三象限 二、四象限

函数的增减性 在每个象限内, y 值随 x 的增大而减小 在每个象限内, y 值随 x 的增大而增大

k ?o k?o
可求出 k )

5.反比例函数解析式的确定:利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即 6.“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函 数y?

k 中的两个变量必成反比例关系. x

7.反比例函数的应用 2、耐克函数 在高中数学学习中,我们常常会碰到形如 y ? ax ?

b (a ? 0, b ? 0) 的函数,我们称这样的函 x

数为“耐克函数”,它是一种类似于反比例函数的重要的函数之一,它的性质及图像有十分鲜 明的特征和规律,其图像形如两个中心对称的对勾,故又名对号函数、对勾函数,在实际问 题中有着广泛的应用. 我们都知道,(a ? b) ? 0 , 展开就是 a 2 ? b 2 ? 2ab ? 0 , 有 a 2 ? b 2 ? 2ab , 当且仅当 a ? b
2

时取得“ ? ” 号,在两边同时加上 2ab ,整理得到 (a ? b) ? 4ab ,同时开根号,就得到了
2

a ? b ? 2 ab ,当且仅当 a ? b 时取得“ ? ”号.
现 在 把

y ? ax ?

b (a ? 0, b ? 0) x



















b b b y ? ax ? (a ? 0, b ? 0) ? 2 ax ? ? 2 ab ,这里有当且仅当 ax ? 时取得最小值,解 x x x
得x?

b ,对应的 y ? 2 ab . a
b (a ? 0, b ? 0) 的性质: x

函数 y ? ax ?

(1)奇偶性:奇函数

(? ?,0) ? (0,??) (2)定义域:
(3)单调性:单调增区间为 (??,?

b b b b ) ),( , ? ?) ,单调减区间为 (? , 0) , (0, a a a a

(4)值域: (??,?2 ab) ? (2 ab,??)

二、典型例题

例 1、如果函数 y ? kx2k

2

? k ?2

的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么的值是多少?

例 2 、在反比例函数 y ? ?

1 的图像上有三点 ? x1 , y1 ? , ? x 2 , y 2 ? , ? x3 , y3 ? .若 x

x1 ? x2 ? 0 ? x3 则下列各式正确的是()
A. y3 ? y1 ? y2 B. y3 ? y2 ? y1 C. y1 ? y2 ? y3 D. y1 ? y3 ? y2

例 3、 如果一次函数 y ? mx ? n?m ? 0?与反比例函数 y ? 那么该直线与双曲线的另一个交点为。

1 3n ? m 2) 的图像 相交于点 ( , , 2 x

例 4、如图,在 Rt ?AOB 中,点 A 是直线 y ? x ? m 与双曲线 y ? 且 S ?AOB ? 2 ,则 m 的值是.

m 在第一象限的交点, x

1 (0, ? ?) 在 上的最值; x 1 1 (2)求函数 y ? x ? 在 [ , 2 ] 上的最值; 2 x 1 (3)求函数 y ? x ? 在 [2,4] 上的最值. x
例 5、 (1)求函数 y ? x ?

例 6、求下列函数的最小值 (1) y ?

x2 ? x ?1 ( x ? 0) x

(2) y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

( x ? R)

(3) y ?

x2 ? 2x ? 6 ( x ? 1) x ?1

三、巩固练习 1、某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内 气体的气压 P ( kPa ) 是气体体积 V ( m3 ) 的反比例函数,其 图象如图所示. 当气球内气压大于 120 kPa 时, 气球将爆炸. 为 了安全起见,气球的体积应()

5 3 5 m B、小于 m3 4 4 4 4 C、不小于 m3 D、小于 m3 5 5 1 2、如图,A、C 是函数 y ? 的图象上的任意两点,过 A 作 x 轴的 x
A、不小于 垂线,垂足为 B,过 C 作 y 轴的垂线,垂足为 D,记 RtΔAOB 的面 积为 S1,RtΔCOD 的面积为 S2 则() A. S1>S2 C. S1=S2 B. S1<S2 D. S1 与 S2 的大小关系不能确定

y

O

x

3、关于 x 的一次函数 y=-2x+m 和反比例函数 y= 点 A(-2,1) . 求: (1)一次函数和反比例函数的解析式; (2)两函数图象的另一个交点 B 的坐标; (3)△AOB 的面积.

n ?1 的图象都经过 x

k 4、如图所示,一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A、B 两点,与 x 轴 x 1 交于点 C.已知点 A 的坐标为(-2,1) ,点 B 的坐标为( ,m) . 2 (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)△AOB 的面积; (3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围.

A O C B

5、 (1)求函数 y ? x ? (2)若函数 y ? x ?

9 在 [1,5] 上的最小值; x

9 在 (0, a ] 上的最小值为 6,求 a 的取值范围; x 9 (3)若函数 y ? x ? 在 (0, a ] 上是减函数,求 a 的取值范围. x


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