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直线平面的平行与判定


第3讲
【高考会这样考】

直线、平面平行的判定及其性质

1.考查空间直线与平面平行,面面平行的判定及其性质. 2.以解答题的形式考查线面的平行关系. 3.考查空间中平行关系的探索性问题. 【学习指导】 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质,会把空间问题转化为平面 问题,解答过程中叙述的步骤要完整,避免因条件书写不全而失分. 2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化, 牢记解决问题的根源在“定理” .

基础梳理 1.平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况. 2.直线和平面平行的判定 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面; (2)判定定理:a?α,b?α,且 a∥b?a∥α; (3)其他判定方法:α∥β;a?α?a∥β. 3.直线和平面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=l?a∥l. 4.两个平面平行的判定 (1)定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行; (2)判定定理:a?α,b?α,a∩b=M,a∥β,b∥β?α∥β; (3)推论:a∩b=M,a,b?α,a′∩b′=M′,a′,b′?β,a∥a′,b∥b′ ?α∥β. 5.两个平面平行的性质定理 (1)α∥β,a?α?a∥β;(2)α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?a∥b. 6.与垂直相关的平行的判定 (2)a⊥α,a⊥β?α∥β. (1)a⊥α,b⊥α?a∥b;

一个关系
1

平行问题的转化关系:

两个防范 (1)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误. (2)把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相 交,则直线与交线平行. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)下面命题中正确的是( ).

①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行. A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④ ).

2.平面 α∥平面 β,a?α,b?β,则直线 a,b 的位置关系是( A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 ).

3.(2012· 银川质检)在空间中,下列命题正确的是( A.若 a∥α,b∥a,则 b∥α C.若 α∥β,b∥α,则 b∥β

B.若 a∥α,b∥α,a?β,b?β,则 β∥α D.若 α∥β,a?α,则 a∥β

4.(2012· 温州模拟)已知 m、n 为两条不同的直线,α、β 为两个不同的平面,则 下列命题中正确的是( A.m∥n,m⊥α?n⊥α C.m⊥α,m⊥n?n∥α ). B.α∥β,m?α,n?β?m∥n D.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β

5.(2012· 衡阳质检)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点,则 BD1 与平 面 ACE 的位置关系为________.

2

考向一

直线与平面平行的判定与性质

【例 1】?(2011· 天津改编)如图,

在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,O 为 AC 的中点,M 为 PD 的 中点.求证:PB∥平面 ACM.

【训练 1】 如图,若

PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,E、F 分别是 AB、PD 的中点,求证: AF∥平面 PCE.

3

考向二 【例 2】?如图,

平面与平面平行的判定与性质

在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N、P 分别为所在边的中点. 求证:平面 MNP∥平面 A1C1B;

【训练 2】 如图,

在三棱柱 ABCA1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点, 求证:(1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

4

考向三 线面平行中的探索问题 【例 3】?如图所示,

在三棱柱 ABCA1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,若 D 是棱 CC1 的中点,问在棱 AB 上是否存在一点 E,使 DE∥平面 AB1C1?若存在,请确定点 E 的位置;若不存 在,请说明理由.

【训练 3】 如图,

在四棱锥 PABCD 中,底面是平行四边形,PA⊥平面 ABCD,点 M、N 分别为 BC、PA 的中点.在线段 PD 上是否存在一点 E,使 NM∥平面 ACE?若存在, 请确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由.

5

规范解答 13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题 【问题研究】 高考对平行、 垂直关系的考查主要以线面平行、 线面垂直为核心, 以多面体为载体结合平面几何知识,考查判定定理、性质定理等内容,难度为 中低档题目. 【解决方案】 利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征,尤其注 意对正棱柱、正棱锥等特殊几何体性质的灵活运用,进行空间线面关系的相互 转化. 【示例】?(本题满分 12 分)(2011· 山东)如图,

在四棱台 ABCDA1B1C1D1 中,D1D⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是平行四边形,AB =2AD,AD=A1B1,∠BAD=60° . (1)证明:AA1⊥BD; (2)证明:CC1∥平面 A1BD.

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直线、平面平行的判定及其性质
1. 已知: ? ? ? ? b , a//? , a//? ,则 a 与 b 的位置关系是( A. a//b C. a , b 相交但不垂直 B. a ? b D. a , b 异面

练习题


2. 如图,已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点, E , F 分别是 PA , BD 上 的点且 PE∶EA ? BF ∶FD ,求证: EF// 平面 PBC .

P E

D
A

C

F

B 3. 如图,正方形 ABCD 的边长为 13 ,平面 ABCD 外一点 P 到正方形各顶点的距离都是 13 , M , N 分别是 PA , DB 上的点,且 PM ∶MA ? BN∶ND ? 5∶8 . (1) 求证:直线 MN // 平面 PBC ; (2) 求线段 MN 的长. P

M

D
N
A

C

E

B

7

4. 如图,已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 为 PB 的中点, 求证: PD// 平面 MAC .

P

M

B
A

C

D

5. 如 图, M 、 N 、 P 分 别为空间四 边形 ABCD 的边 AB , BC , CD 上的点, 且 AM ∶MB ? CN∶NB ? CP∶PD . 求证: (1) AC// 平面 MNP , BD// 平面 MNP ; (2)平面 MNP 与平面 ACD 的交线 //AC .

A

M

E D

B

N C

P

8

7. (2010· 安徽)

如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB, EF⊥FB,∠BFC=90° ,BF=FC,H 为 BC 的中点. (1)求证:FH∥平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB; (3)求四面体 BDEF 的体积.

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