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高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷


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第一章导数及其应用单元检测试卷 高中数学选修 2-2 第一章 单元检测试卷
一、 选择题 选择题(每题 5 分,共 60 分)
1.满足 f ( x) = f ′( x) 的函数是
A . f(x)=1-x
3

B.

f(x)=x

C . f(x)=0

D . f(x)=1

2.曲线 y = 4 x ? x 在点(-1,-3)处的切线方程是 A . y = 7x + 4 B.

y = 7x + 2

C.

y = x?4

D.

y = x?2

3.若关于 x 的函数 y = mx 2m ? n 的导数为 y ′ = 4 x ,则 m + n 的值为 A. ?3 B.
?1

C.

1

D. 3

4.设 y = x ? ln x ,则此函数在区间(0,1)内为
A.单调递增, B.有增有减 C.单调递减, D.不确定

5. 已知 f ( x) = 3 x · sin x x,则 f ′(1) =

1 1 1 +cos1 B. sin1+cos1 C. sin1-cos1 D.sin1+cos1 3 3 3 3 6.函数 f(x)=x -3x+1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 A . 1,-1 B. 3,-17 C. 1,-17 D. 9,-19 7.f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x)、g(x)满足 f ′(x)=g′(x),则 A f(x)=g(x) B f(x)-g(x)为常数函数 D f(x)+g(x)为常数函数 C f(x)=g(x)=0
A. 8. 函数 f ( x ) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ′( x ) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则函数

f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

y

y = f ′ (x )

b a O x

9.设函数 f ( x) 在定义域内可导, y = f ( x) 的图象如图 1 所示,则导函数 y = f ′( x) 可能为


y


y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

A
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B

C

D

图1

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10. f(x), 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, x <0 时, ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 设 g(x) 当 f 且 g (?3) = 0 ,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是
A . (-3,0)∪(3,+∞) C . (-∞,-3)∪(3,+∞) 11.给出以下命题: B. (-3,0)∪(0,3)

D. (-∞,-3)∪(0,3)
2π 0

⑴若



b a

f ( x)dx > 0 ,则 f(x)>0; ⑵ ∫

sin x dx = 4 ;

⑶已知 F ′( x) = f ( x) ,且 F(x)是以 T 为周期的函数,则 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2



a 0

f ( x)dx = ∫

a +T T

f ( x)dx ;

C.3

D.0

12.已知函数 f ( x) = x 2 + bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线的斜率为 3,数列 ?

? 1 ? ? ? f ( n) ?

的前 n 项和为 Sn ,则 S2011 的值为( )

A.

2008 2009

B.

2009 2010

C.

2010 2011

D.

2011 2012

二.填空题 填空题(每题 5 分,共 20 分) 填空题
13.若 f ( x) = x3 + 3ax 2 + 3(a + 2) x + 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是__ 14.函数 f ( x ) = 2 x ? 6 x + m( m为常数) 在 [ ?2, 上有最大值 3,那么此函数在 [ ?2, 2] 2]
3 2

上的最小值为_____ 15.周长为 20cm 的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为
16.已知 f (x ) 为一次函数,且 f ( x) = x + 2



1 0

f (t )dt ,则 f (x ) =______

.

三.解答题 解答题(共 70 分) 解答题
17. (本小题满分 10 分)

已知曲线 y = x + x ? 2 在点 P0 处的切线 l1 平行直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第
3

三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l ⊥ l1 , 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程.
18. (本小题满分 12 分) 将边长为 a 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边 折起做成一个无盖的方盒. 欲使所得的方盒有最大容积, 截去的小正方形的边长应为多 少?方盒的最大容积为多少? 19.(本小题满分 12 分)
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已知 a 为实数, f ( x) = ( x ? 4)( x ? a )
2

(1)求导数 f ′(x ) ; (2)若 f ′( ?1) = 0 ,求 f (x ) 在[-2,2] 上的最大值和最小值; (3)若 f (x ) 在 (?∞, ?2) 和 (2, +∞) 上都是递增的,求 a 的取值范围.
20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ln( x + 1) ? x .

(1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2 若 x > ?1 ,证明: 1 ?

1 ≤ ln( x + 1) ≤ x . x +1
1 + af ′( x )( x ≠ 0) ′( x ) f

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) = ln x ( x ≠ 0) ,函数 g ( x) =

(1)当 x ≠ 0 时,求函数 y = g ( x) 的表达式; (2)若 a > 0 ,函数 y = g ( x) 在 (0, +∞) 上的最小值是 2 ,求 a 的值; (3)在⑵的条件下,求直线 y =
22.(本小题满分 12 分)

2 7 x + 与函数 y = g ( x) 的图象所围成图形的面积. 3 6

若存在实常数 k 和 b ,使得函数 f ( x ) 和 g ( x ) 对其定义域上的任意实数 x 分别满足:

f ( x) ≥ kx + b 和 g ( x) ≤ kx + b , 则称直线 l : y = kx + b 为 f ( x ) 和 g ( x ) 的 “隔离直线” 已 .
知 h( x ) = x 2 , ? ( x ) = 2e ln x (e 为自然对数的底数). (1)求 F ( x ) = h( x ) ? ? ( x ) 的极值; (2)函数 h( x ) 和 ? ( x ) 是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请 说明理由.

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《导数及其应用》参考答案【理科】
一、选择题 CDBCB 二.填空题 13. a > 2 或 a < ?1 BBADD BD
14. ?37

15.

4000 π cm2 27

16. f ( x ) = x ? 1

三.解答题 17.解:⑴由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1, 由已知得 3x2+1=4,解之得 x=±1.当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限, ∴切点 P0 的坐标为 (-1,-4). ⑵∵直线 l ⊥ l1 , l1 的斜率为 4,∴直线 l 的斜率为 ? ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为 (-1,-4) ∴直线 l 的方程为 y + 4 = ?

1 , 4

1 ( x + 1) 即 x + 4 y + 17 = 0 . 4

18.解:设小正方形的边长为 x,则盒底的边长为 a-2x, a ∴方盒的体积 V = x(a ? 2 x) 2 ( x ∈ (0, )), 2

V ' = ( a ? 2 x )( a ? 6 x ), 令V ' = 0, 则x1 =

a a a a a , x2 = ,由x1 = ? (0, ), 且对于x ∈ (0, ), V ' > 0, 2 6 2 2 6

a a a x ∈ ( , ), V ' < 0, ∴函数 V 在点 x=6处取得极大值,由于问题的最大值存在, 6 2
a 2 a3 a ∴V( )= 即为容积的最大值,此时小正方形的边长为 . 6 27 6
19. 解:⑴由原式得 f ( x ) = x ? ax ? 4 x + 4a, ∴ f ′( x ) = 3 x ? 2ax ? 4.
3 2 2

⑵由 f ′( ?1) = 0 得 a =

1 1 2 2 ,此时有 f ( x ) = ( x ? 4)( x ? ), f ′( x ) = 3 x ? x ? 4 . 2 2 4 4 50 9 由 f ′( x ) = 0 得 x = 或 x=-1 , 又 f ( ) = ? , f ( ?1) = , f ( ?2) = 0, f ( 2) = 0, 3 3 27 2 9 50 所以 f(x)在[-2,2]上的最大值为 , 最小值为 ? . 2 27

⑶解法一: f ′( x ) = 3 x 2 ? 2ax ? 4 的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线,由条件得

f ′( ?2) ≥ 0, f ′( 2) ≥ 0,


≥0 {84a?+4a8 ≥ 0

∴-2≤a≤2.

所以 a 的取值范围为[-2,2].

a ± a 2 + 12 解法二:令 f ′( x ) = 0 即 3 x ? 2ax ? 4 = 0, 由求根公式得: x1,2 = ( x1 < x2 ) 3
2

所以 f ′( x ) = 3 x 2 ? 2ax ? 4. 在 (? ∞, x1 ] 和 [x 2 ,+∞ ) 上非负.
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由题意可知,当 x ? ?2 或 x …2 时, f ′(x ) ≥0, 从而 x1 …?2 , 即?
x2 ? 2 ,

? a 2 + 12 ≤ a + 6 解不等式组得-2≤ a ≤2. 2 ? a + 12 ≤ 6 ? a.
1 x -1=- . x +1 x +1

∴ a 的取值范围是 [?2, 2] .
20.解:⑴函数 f(x)的定义域为 (?1, +∞) . f ′( x ) =

由 f ′( x ) <0 及 x>-1,得 x>0. ∴ 当 x∈(0,+∞)时,f(x)是减函数,即 f(x)的单调递减区间为(0,+∞) . ⑵证明:由⑴知,当 x∈(-1,0)时, f ′( x ) >0,当 x∈(0,+∞)时, f ′( x ) <0, 证明: 证明 因此,当 x > ?1 时, f ( x ) ≤ f (0) ,即 ln( x + 1) ? x ≤0∴ ln( x + 1) ≤ x .

1 1 1 x ? 1 ,则 g ′( x) = = . ? 2 x +1 x + 1 ( x + 1) ( x + 1) 2 ∴ 当 x∈(-1,0)时, g ′( x ) <0,当 x∈(0,+∞)时, g ′( x ) >0. 1 1 ∴ 当 x > ?1 时, g ( x ) ≥ g (0) ,即 ln( x + 1) + ? 1 ≥0,∴ ln( x + 1) ≥ 1 ? . x +1 x +1 1 综上可知,当 x > ?1 时,有 1 ? ≤ ln( x + 1) ≤ x . x +1
令 g ( x ) = ln( x + 1) +
21.解:⑴∵ f ( x) = ln x ,

∴当 x > 0 时, f ( x) = ln x ; 当 x < 0 时, f ( x) = ln(? x)

1 1 1 ; 当 x < 0 时, f ′( x ) = ? (?1) = . x ?x x a ∴当 x ≠ 0 时,函数 y = g ( x ) = x + . x a ⑵∵由⑴知当 x > 0 时, g ( x ) = x + , x
∴当 x > 0 时, f ′( x ) = ∴当 a > 0, x > 0 时, g ( x) ≥ 2 a 当且仅当 x = a 时取等号.
∴函数 y = g ( x) 在 (0, +∞) 上的最小值是 2 a ,∴依题意得 2 a = 2 ∴ a = 1 .

2 7 3 ? ? ? ?y = 3 x + 6 ? x1 = 2 ? x2 = 2 ? ? ⑶由 ? 解得 ? ,? 5 ?y = x + 1 ? y = 13 ? y2 = 2 ? ? 1 6 ? x ? ?
∴直线 y =

2 7 x + 与函数 y = g ( x) 的图象所围成图形的面积 3 6

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2 ? 2 7 7 1 ? + ln 3 ? 2 ln 2 S = ∫ 3 ?( x + ) ? ( x + ) ?dx = 24 6 x ? 2? 3

22.解(1) Q F ( x) = h( x ) ? ? ( x ) = x 2 ? 2e ln x ( x > 0) ,

∴ F ′( x) = 2 x ?
当x=

2e 2( x ? e)( x + e) = . x x

e 时, F ′( x) = 0 .

Q 当 0 < x < e 时, F ′( x) < 0 ,此时函数 F ( x) 递减;
当x> ∴当 x =

e 时, F ′( x) > 0 ,此时函数 F ( x) 递增; e 时, F ( x) 取极小值,其极小值为 0 .

(2)解法一 解法一:由(1)可知函数 h( x) 和 ? ( x) 的图象在 x = e 处有公共点,因此若存在 h( x) 和 解法一

? ( x) 的隔离直线,则该直线过这个公共点.
设隔离直线的斜率为 k ,则直线方程为 y ? e = k ( x ? e) ,即 y = kx + e ? k e . 由 h( x) ≥ kx + e ? k e( x ∈ R) ,可得 x 2 ? kx ? e + k e ≥ 0 当 x ∈ R 时恒成立.
Q ? = ( k ? 2 e) 2 ,

∴ 由 ? ≤ 0 ,得 k = 2 e .
下面证明 φ ( x) ≤ 2 e x ? e 当 x > 0 时恒成立. 令 G ( x ) = ? ( x ) ? 2 e x + e = 2e ln x ? 2 e x + e ,则

G ′( x) =
当x =

2e 2 e( e ? x) ?2 e = , x x e 时, G ′( x) = 0 .

Q 当 0 < x < e 时, G ′( x) > 0 ,此时函数 G ( x) 递增;
当x> ∴当 x =

e 时, G ′( x) < 0 ,此时函数 G ( x) 递减; e 时, G ( x) 取极大值,其极大值为 0 .

从而 G ( x ) = 2e ln x ? 2 e x + e ≤ 0 ,即 φ ( x) ≤ 2 e x ? e( x > 0) 恒成立.
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∴函数 h( x ) 和 ? ( x ) 存在唯一的隔离直线 y = 2 e x ? e . 解法二: 由(1)可知当 x > 0 时, h( x ) ≥ ? ( x ) (当且仅当 x = 法二: 若存在 h( x) 和 ? ( x) 的隔离直线,则存在实常数 k 和 b ,使得

e 时取等号) .

h( x) ≥ kx + b ( x ∈ R) 和 ? ( x) ≤ kx + b ( x > 0) 恒成立,
令x=

e ,则 e ≥ k e + b 且 e ≤ k e + b

∴ k e + b = e ,即 b = e ? k e .
后面解题步骤同解法一.

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