当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修4第一章三角函数完整教案



四、作业:

4-1.2.1 任意角的三角函数(1)
教学目的: 知识目标: 1.掌握任意角的三角函数的定义; 2.已知角α 终边上一点,会求角α 的各三角函数值; 3.记住三角函数的定义域、值域,诱导公式(一) 。 能力目标: (1)理解并掌握任意角的三角函数的定义; (2)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数; (3)通过对定义域,三角函数值的符号,诱导公式一的推导,提高学生分 析、探究、 解决问题的能力。 德育目标: (1)使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与 比值(函数值)的一种联系方式; (2)学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神; 教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ,以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重 点。 教学难点:利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用他 们的集合形式表示出来. 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 初中锐角的三角函数是如何定义的? 在 Rt△ABC 中,设 A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,锐角 A 的正弦、余弦、正切依 次为 sinA ?

a b a , cosA ? , tanA ? . c c b

角推广后,这样的三角函数的定义不再适用,我们必须对三角函数重新定义。 二、讲解新课: 1.三角函数定义 在直角坐标系中, 设α 是一个任意角, α 终边上任意一点 P (除了原点) 的坐标为 ( x, y ) ,
2 2 它与原点的距离为 r (r ? | x | ? | y | ?

x 2 ? y 2 ? 0) ,那么

y y 叫做α 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? ; r r x x (2)比值 叫做α 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? ; r r y y (3)比值 叫做α 的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ? ; x x x x (4)比值 叫做α 的余切,记作 cot ? ,即 cot ? ? ; y y r r (5)比值 叫做α 的正割,记作 sec? ,即 sec ? ? ; x x
(1)比值

r r 叫做α 的余割,记作 csc? ,即 csc ? ? . y y 说明:①α 的始边与 x 轴的非负半轴重合,α 的终边没有表明α 一定是正角或负角,以及α
(6)比值 的大小,只表明与α 的终边相同的角所在的位置; ②根据相似三角形的知识,对于确定的角α ,六个比值不以点 P ( x, y ) 在α 的终边上 的位置的改变而改变大小; ③当 ? ?

?
2

? k? (k ? Z ) 时,α 的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等 y r x 与 sec ? ? 无意义;同理,当 ? ? k? (k ? Z ) 时, coy? ? 与 x x y

于 0 ,所以 tan ? ?

csc ? ?

r 无意义; y
y x y r x r 、 、 、 、 、 分别是一 r x r x y y

④除以上两种情况外,对于确定的值α ,比值

个确定的实数,所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量,一比值为 函数值的函数,以上六种函数统称为三角函数。 2.三角函数的定义域、值域 函 数 定 义 域 值 域

y ? sin ? y ? cos ?
y ? tan ?

R R

[?1,1] [?1,1]
R

{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }

注意: (1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与 x 轴的非 负半轴重合.? (2) α 是任意角,射线 OP 是角 α 的终边,α 的各三角函数值(或是否有意义)与 ox 转了几圈,按什么方向旋转到 OP 的位置无关. (3)sin ? 是个整体符号,不能认为是“sin”与“α ”的积.其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例,它们的基础共建立于相似(直角)三角形 的性质,“r”同为正值. 所不同的是,锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角 函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定 义.实质上,由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研 究过程. (5)为了便于记忆,我们可以利用两种三角函数定义的一致性,将直角三角形置于平面 直角坐标系的第一象限,使一锐角顶点与原点重合,一直角边与 x 轴的非负半轴重合,利用 我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.? 3.例题分析 例 1.已知角α 的终边经过点 P(2, ?3) ,求α 的六个函数制值。 解:因为 x ? 2, y ? ?3 ,所以 r ?

22 ? (?3) 2 ? 13 ,于是

sin ? ?

y ?3 3 13 x 2 2 13 ; cos ? ? ? ; ? ?? ? r 13 r 13 13 13

tan ? ?

y 3 ?? ; x 2

cot ? ?

x 2 ?? ; y 3

sec? ?

r 13 ; ? x 2

csc? ?

r 13 . ?? y 3
3? . 2

例 2.求下列各角的六个三角函数值: (1) 0 ; (2) ? ; (3)

解: (1)因为当 ? ? 0 时, x ? r , y ? 0 ,所以

cos 0 ? 1 , cot 0 不存在, csc 0 不存在。 (2)因为当 ? ? ? 时, x ? ?r , y ? 0 ,所以 sin ? ? 0 , cos ? ? ?1 , cot ? 不存在, tan ? ? 0 , sec ? ? ?1 , csc? 不存在。 3? (3)因为当 ? ? 时, x ? 0 , y ? ? r ,所以 2 3? 3? sin ? ?1 , cos ? 0, 2 2 3? 3? tan cot ? 0, 不存在, 2 2 3? 3? sec csc ? ?1 . 不存在, 2 2
例 3.已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求α 的六个三角函数值。 解:因为过点 (a, 2a)(a ? 0) ,所以 r ? 5 | a | , 当 a ? 0时, sin ? ?

sin 0 ? 0 , tan 0 ? 0 , sec 0 ? 1 ,

x ? a, y ? 2a

y 2a 2a 2 5 ; ? ? ? r 5 5|a| 5a

1 5 x a 5a ; tan ? ? 2;cot ? ? ;sec ? ? 5;csc ? ? ; ? ? 2 2 r 5 5a y 2a 2a 2 5 当 a ? 0时, ; sin ? ? ? ? ?? r 5 5 | a | ? 5a

cos ? ?

cos? ?

x a 5a ? ?? r ? 5a 5



1 5 tan ? ? 2;cot ? ? ;sec? ? ? 5;csc ? ? ? . 2 2
4.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:

y 对于第一、 二象限为正 ( y ? 0, r ? 0 ) , 对于第三、 四象限为负 ( y ? 0, r ? 0 ) ; r x ②余弦值 对于第一、 四象限为正 ( x ? 0, r ? 0 ) , 对于第二、 三象限为负 ( x ? 0, r ? 0 ) ; r
①正弦值

③正切值

y 对于第一、三象限为正( x , y 同号) ,对于第二、四象限为负( x , y 异号) . x

说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。

sin ? csc ? t an? cot?

为正

全正

正弦 、余割 余弦 、正割 正切 、余切
y y y

为正

cos? 为正 sec ?

+ o -

+ x

o

+ + x

- + o x + -

5.诱导公式 由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同。 即有: sin(? ? 2k? ) ? sin ? ,

cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z . tan(? ? 2k? ) ? tan ? ,
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π 间角的三角函数值问 题. 三、巩固与练习 1 确定下列三角函数值的符号: (1) cos 250 ; 2 求函数 y ?
?

(2) sin( ?

?
4

);

(3) tan(?672? ) ;

(4) tan

11? . 3

cos x cos x

?

tan x 的值域 tan x

解: 定义域:cosx?0 ∴x 的终边不在 x 轴上 又∵tanx?0 ∴x 的终边不在 y 轴上 ∴当 x 是第Ⅰ象限角时, x ? 0, y ? 0 cosx=|cosx| tanx=|tanx|
x ? 0, y ? 0 ????ⅢⅣ???, x ? 0, y ? 0

∴y=2

????Ⅱ????, x ? 0, y ? 0 |cosx|=?cosx |tanx|=?tanx ∴y=?2 |cosx|=?cosx |tanx|=tanx ∴y=0

四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.任意角的三角函数的定义; 2.三角函数的定义域、值域; 3.三角函数的符号及诱导公式。 五、课后作业: 补充:1 已知点 P (3r , -4r ) (r ? 0) ,在角 ? 的终边上,求 sin ? 、 cos? 、 tan ? 的值。 2 已知角?的终边经过 P(4,?3),求 2sin?+cos?的值 解:由定义 : r ? 5 六、板书设计: sin?=?

3 5

cos?=

4 5

∴2sin?+cos?=?

2 5

4-1.2.1 任意角的三角函数(2)

教学目的: 知识目标:1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式; 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值; 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 能力目标:掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数的定义域、 值域有更深的理解。 德育目标:学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神; 教学重点:正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点:正弦、余弦、正切线的利用。 授课类型:新授课 教学模式:讲练结合 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.三角函数的定义及定义域、值域: 练习 1:已知角 ? 的终边上一点 P(? 3, m) ,且 sin ? ?

2m ,求 cos ? ,sin ? 的值。 4

解:由题设知 x ? ? 3 , y ? m ,所以 r 2 ?| OP |2 ? (? 3)2 ? m2 ,得 r ? 3 ? m2 , 从而 sin ? ?

m 2m m 2 ,解得 m ? 0 或 16 ? 6 ? 2m ? m ? ? 5 . ? ? 2 4 r 3? m 当 m ? 0 时, r ? 3, x ? ? 3 , x y cos ? ? ? ?1, tan ? ? ? 0 ; r x 当 m ? 5 时, r ? 2 2, x ? ? 3 , x 6 y 15 ; ?? , tan ? ? ? ? r 4 x 3 当 m ? ? 5 时, r ? 2 2, x ? ? 3 , x 6 y 15 ?? , tan ? ? ? . r 4 x 3

cos ? ?

cos ? ?

2.三角函数的符号: 练习 2:已知 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 , (1)求角 ? 的集合; (2)求角 号。 3.诱导公式: 练习 3:求下列三角函数的值: (1) cos

? ? ? ? 终边所在的象限; (3)试判断 tan ,sin cos 的符 2 2 2 2

9? 11? ), , (2) tan( ? 4 6

(3) sin

9? . 2

二、讲解新课:
2 2 当角的终边上一点 P ( x, y ) 的坐标满足 x ? y ? 1 时,有三角函数正弦、余弦、正切

值的几何表示——三角函数线。 1.单位圆:圆心在圆点 O ,半径等于单位长的圆叫做单位圆。 2.有向线段:

坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 3.三角函数线的定义: 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P ( x, y ) , 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向 延 长线交与点 T .

y P
M

y

T

P

o
(Ⅱ)

A

x

o

M
(Ⅰ)

A

x

T y A

y

T

M

o
(Ⅲ)

x

o

M A
(Ⅳ) P T

x

P

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

y y x x ? ? y ? MP , cos ? ? ? ? x ? OM , r 1 r 1 y MP AT tan ? ? ? ? ? AT . x OM OA 我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 sin ? ?
说明: ①三条有向线段的位置:正弦线为 ? 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余弦 线在 x 轴上;正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单 位 圆内,一条在单位圆外。 ②三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向 ? 的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向 垂 足;正切线由切点指向与 ? 的终边的交点。 ③三条有向线段的正负:三条有向线段凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值,与 x 轴或 y 轴反向 的 为负值。 ④三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。 4.例题分析: 例 1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 (1)

? 5? 2? ; (2) ; (3) ? ; 6 3 3

(4) ?

13? . 6

解:图略。 例 2.利用三角函数线比较下列各组数的大小:

1?

sin

2? 4? 与 sin 3 5

2? tan

2? 4? 与 tan 3 5
S2

3? cot

2? 4? 与 cot 3 5

解: 如图可知:

sin

2? 4? ? sin 3 5
M2 M1

S1 B P2 P1 o S1 A T2 T1

2? 4? ? tan 3 5 2? 4? cot ? cot 3 5
tan 例 3.利用单位圆寻找适合下列条件的 0?到 360?的角 1? sin?≥ 解: 1? P2 o 30?≤?≤150? y P1 x 210? 30? ? ? ? 90?或 210? ? ? ? 270? o

1 2

2? tan? ?

3 3
2? y 30? T A x

例 4.利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围。 (1) sin x ? ?

1 ; 2

(2) cos x ?

1 ; 2

(3) 0 ? x ? ? ,sin x ? (4) | cos x |? 答案: (1)

1 1 且 cos x ? ; 2 2
(5) sin x ?

7? 11? ? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ; (2) ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ; 6 6 6 6 ? 5? ? ? ? ? ,k ?Z ; (3) ? x ? (4) ? ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z ; 3 6 6 2 6 2 ? 3? ? 2k? , k ? Z . (5) ? 2k? ? x ? 2 4

1 ; 2

1 且 tan x ? ?1 . 2

三、巩固与练习 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.三角函数线的定义; 2.会画任意角的三角函数线; 3.利用单位圆比较三角函数值的大小,求角的范围。 五、课后作业: 补充:1.利用余弦线比较 cos 64 ,cos 285 的大小;
? ?

2.若

?
4

?? ?

?
2

,则比较 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 的大小;

3.分别根据下列条件,写出角 ? 的取值范围: (1) cos? ? 六、板书设计:

3 ; 2

(2) tan ? ? ?1 ;

(3) sin ? ? ?

3 . 2

4-1.2.1 任意角的三角函数(3)
教学目的: 知识目标:1.理解三角函数定义. 三角函数的定义域,三角函数线. 2.理解握各种三角函数在各象限内的符号.? 3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等. 能力目标:1.掌握三角函数定义. 三角函数的定义域,三角函数线. 2.掌握各种三角函数在各象限内的符号.? 3.掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 授课类型:复习课 教学模式:讲练结合 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1、三角函数定义. 三角函数的定义域,三角函数线,各种三角函数在各象限内的符号.诱导 公式第一组. 2.确定下列各式的符号 (1)sin100°?cos240° (2)sin5+tan5 3. .x 取什么值时,

4.若三角形的两内角?,?满足 sin?cos? ? 0,则此三角形必为??( ) A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 以上三种情况都可能 5.若是第三象限角,则下列各式中不成立的是??????( ) A:sin?+cos? ? 0 B:tan??sin? ? 0 ? C:cos??cot? 0 D:cot?csc? ? 0 6.已知?是第三象限角且 cos 二、讲解新课: 1、求下列函数的定义域: (1) y ? 2cos x ?1 ; (2) y ? lg(3 ? 4sin x)
2

sin x ? cos x 有意义? tan x

?
2

? 0 ,问

? 是第几象限角? 2

2、已知 ? ?

?1? ?2?

sin 2?

? 1 ,则?为第几象限角?

3、 (1) 若θ 在第四象限,试判断 sin(cosθ )cos(sinθ )的符号; (2)若 tan(cosθ )cot(sinθ )>0,试指出θ 所在的象限,并用图形表示出

? 的取值范围. 2

4、求证角θ 为第三象限角的充分必要条件是 ? 证明:必要性:∵θ 是第三象限角,? ∴?

?sin ? ? 0 ?tan? ? 0

?sin ? ? 0 ?tan? ? 0

充分性:∵sinθ <0, ∴θ 是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上 ∵tanθ >0,∴θ 是第一或第三象限角.? ∵sinθ <0,tanθ >0 都成立.? ∴θ 为第三象限角.? 5 求值:sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°. 三、巩固与练习 1 求函数 y ?

cos x tan x | cot x | sin x 的值域 ? ? ? | sin x | cos x tan x cot x

2 设?是第二象限的角,且 | cos

?
2

|? ? cos

?
2

,求

?
2

的范围.

四、小 结: 五、课后作业: 1、利用单位圆中的三角函数线,确定下列各角的取值范围: (1) sinα <cosα ; (2) |sinα |<|cosα | . 2、 若0 ? x ?

?
2

, 求证: sin x ? x ? tan x.

3、角α 的终边上的点 P 与 A(a,b)关于 x 轴对称 (ab ? 0) ,角β 的终边上的点 Q 与 A 关于 直线 y=x 对称.求 sinα escβ +tanα cotβ +secα cscβ 的值. 六、板书设计:

4-1.2.2 同角三角函数的基本关系(1)
教学目的: 知识目标: 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式; 2.掌握三种基本关系式之间的联系; 3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 能力目标: (1)牢固掌握同角三角函数的八个关系式,并能灵活运用于解题,提高学 生分析、解决三角的思维能力; (2) 灵活运用同角三角函数关系式的不同变形, 提高三角恒等变形的能力; 德育目标:训练三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:

一、复习引入: 1.任意角的三角函数定义: 设角 ? 是一个任意角, ? 终边上任意一点 P ( x, y ) ,
2 2 它与原点的距离为 r (r ? | x | ? | y | ?

x 2 ? y 2 ? 0) ,那么:

sin ? ?

y x y r x r , cos ? ? , tan ? ? , cot ? ? , sec ? ? , csc ? ? . r r x x y y

2.当角α 分别在不同的象限时,sinα 、cosα 、tgα 、ctgα 的符号分别是怎样的? 3.背景:如果 sin A ?

3 ,A 为第一象限的角,如何求角 A 的其它三角函数值; 5

4.问题:由于α 的三角函数都是由 x、y、r 表示的,则角α 的六个三角函数之间有什么关 系? 二、讲解新课: (一)同角三角函数的基本关系式: (板书课题:同角的三角函数的基本关系) 1. 由三角函数的定义,我们可以得到以下关系:

? sin ? ? csc ? ? 1 ? (1)倒数关系: ?cos? ? sec ? ? 1 ? t an? ? cot? ? 1 ?

sin ? ? ?tan? ? cos? (2)商数关系: ? cos? ?cot? ? sin ? ?
?sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ? 2 2 (3)平方关系: ?1 ? tan ? ? sec ? ?1 ? cot2 ? ? csc 2 ? ?
2. 给出右图,你能说明怎样利用它帮助我们记忆三角函数 的基本关系吗? (1)在对角线上的两个三角函数值的乘积等于 1,有倒 数关系。 tgA (2)带有阴影的三个倒置三角形中,上面两个三角函数 值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。有平 方关系。 (3) 六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的 两个顶点上的函数值的乘积。可演化出商数关系。 说明:
2

sinA

cosA

1

ctgA

secA

cscA

①注意“同角” ,至于角的形式无关重要,如 sin 4? ? cos 4? ? 1 等; ② 注 意 这 些 关 系 式 都 是 对 于 使 它 们 有 意 义 的 角 而 言 的 , 如
2

tan ? ? cot ? ? 1(? ?

k? ,k ? Z) ; 2

③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用) ,如:

cos? ? ? 1 ? sin2 ? , sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? , cos ? ?
3.例题分析: 例 1. (1)已知 sin ? ? (2)已知 cos ? ? ?

sin ? 等。 tan ?

12 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? , cot ? . 13

4 ,求 sin ? , tan ? . 5 2 2 解: (1)∵ sin ? ? cos ? ? 1 , 12 2 5 2 2 2 ∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ( ) ? ( ) , 13 13
又∵ ? 是第二象限角, ∴ cos ? ? 0 ,即有 cos ? ? ?

tan ? ?

sin ? 12 ?? , cos ? 5
2

5 ,从而 13 1 5 cot ? ? ?? . tan ? 12
∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) ? ( ) ,
2 2 2 2

(2)∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2

4 5

3 5

又∵ cos ? ? ?

3 sin ? 3 ?? ; , tan ? ? 5 cos ? 4 3 sin ? 3 ? . 当 ? 在第四象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ? ? , tan ? ? 5 cos ? 4
当 ? 在第二象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ? 总结: 1. 已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值 中,确定角的终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解 的情况不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是:①没有确定好或不去确定角的终边位置;②利用平方 关系开平方时,漏掉了负的平方根。 例 2.已知 tan ? 为非零实数,用 tan ? 表示 sin ? ,cos ? .
2 2 解:∵ sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? ?

4 ?0, 5

∴ ? 在第二或三象限角。

sin ? , cos ?
2

∴ (cos? ? tan ? )2 ? cos2 ? ? cos2 ? (1 ? tan 2 ? ) ? 1,即有 cos ? ? 又∵ tan ? 为非零实数,∴ ? 为象限角。 当 ? 在第一、四象限时,即有 cos ? ? 0 ,从而 cos ? ?

1 , 1 ? tan 2 ?

1 1 ? tan 2 ? , ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?

tan ? 1 ? tan 2 ? ; 1 ? tan 2 ? 1 1 ? tan 2 ? 当 ? 在第二、三象限时,即有 cos ? ? 0 ,从而 cos ? ? ? , ? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? sin ? ? tan ? ? cos ? ?
sin ? ? tan ? ? cos ? ? ?
例 3.已知 cot ? ? m ( m ? 0 ) ,求 cos?

tan ? 1 ? tan 2 ? . 1 ? tan 2 ?

解: ∵ cot ? ?

cos ? cos ? , 即 sin ? ? , sin ? cot ? 2 2 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 , 1 cos 2 ? 1 m2 2 2 2 2 cos ? (1 ? ) ? 1 ? cos ? ? cos ? (1 ? ) ? 1 ,即 ∴ , cos ? ? , m2 1 ? m2 cot 2 ? cot 2 ? 又∵ m ? 0 ,∴ ? 为象限角。

当 ? 在第一、四象限时,即有 cos ? ? 0 , cos ? ? 当 ? 在第二、三象限时,即有 cos ? ? 0 , cos ? ? ?

m2 ; m2 ? 1 m2 . m2 ? 1

4.总结解题的一般步骤: ①确定终边的位置(判断所求三角函数的符号) ; ②根据同角三角函数的关系式求值。 三、巩固与练习 第 27 页 练习 1,2,3,4 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.同角三角函数基本关系式及成立的条件; 2.根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值; 3.在以上的题型中:先确定角的终边位置,再根据关系式求值。如已知正弦或余弦, 则先用平方关系,再用其它关系求值;若已知正切或余切,则可构造方程组来求值。 五、课后作业:六、板书设计:

4-1.2.2 同角三角函数的基本关系(2)
教学目的: 知识目标:根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明; 能力目标: (1)了解已知一个三角函数关系式求三角函数(式)值的方法。 (2) 灵活运用同角三角函数关系式的不同变形, 提高三角恒等变形的能力; 德育目标:训练三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:如何运用公式对三角式进行化简和证明。 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.同角三角函数的基本关系式。 (1)倒数关系: sin ? ? csc ? ? 1 , cos ? ? sec ? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1 .

sin ? cos ? ? tan ? , cot ? ? . cos ? sin ? 2 2 2 2 2 2 (3)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 , 1 ? tan ? ? sec ? , 1 ? cot ? ? csc ? . 4 (练习)已知 tan ? ? ,求 cos? 3
(2)商数关系: 2.tanα cosα = 二、讲解新课: ,cotα secα = , (secα +tanα ) ? (

)=1

例 1.化简 1 ? sin 2 440? .
2 ? ? 2 ? 解:原式 ? 1 ? sin (360 ? 80 ) ? 1 ? sin 80 ? cos2 80? ? cos80? .

例 2.化简 1 ? 2sin 40? cos 40? . 解:原式 ? sin2 40? ? cos2 40? ? 2sin 40? cos 40?

? (sin 40? ? cos 40? ) 2 ?| cos 40? ? sin 40? |? cos 40? ? sin 40? .
例 3、已知 sin ? ? 2 cos ? ,求 解:? sin ? ? 2 cos?

sin ? ? 4 cos ? 及 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ?的值。 5 sin ? ? 2 cos ?

? tan? ? 2

?

sin ? ? 4 cos ? tan ? ? 4 ?2 1 ? ? ?? 5 sin ? ? 2 cos ? 5 tan ? ? 2 12 6

sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ?

sin 2 ? ? 2 sin ? cos? tan2 ? ? 2 tan? 4 ? 2 6 ? ? ? 4 ?1 5 sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1

强调(指出)技巧:1?分子、分母是正余弦的一次(或二次)齐次式 2?“化 1 法”

例 4、已知 sin ? ? cos? ?

3 ,求 tan? ? cot ?及sin ? ? cos?的值。 3 3 3
两边平方,得: sin ? cos ? ? ?

解:将 sin ? ? cos? ?

1 3

? tan ? ? cot ? ?

1 ? ?3 sin ? cos ? 2 5 ? 3 3

(sin ? ? cos ?) 2 ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? 1 ?
例 5、已知 tan ? ? cot ? ?

? sin ? ? cos? ? ?

15 3

25 , 12

求 tan? ? cot ?, tan2 ? ? cot2 ?, tan3 ? ? cot3 ?, sin ? ? cos?
解:由题设: tan ? ? cot ? ?
2 2

625 ? 2, 144

∴ tan? ? cot ? ? ?

625 7 ?4 ? ? 144 12
25 7 175 ? (? ) ? ? 12 12 144

tan 2 ? ? cot 2 ? ? (tan ? ? cot ?)(tan ? ? cot ?) ?

tan3 ? ? cot3 ? ? (tan? ? cot ?)(tan2 ? ? cot2 ? ? tan? cot ?) 25 337 25 193 4825 ? ?( ? 1) ? ? ? 12 144 12 144 1728

sin ? ? cos? ? ? 1 ? 2 sin ? cos? ? ? 1 ? 2 ?
(? tan ? ? cot ? ?

12 7 ?? 25 5

1 25 12 ? ? sin ? cos ? ? ) sin ? cos ? 12 25 1 (0 ? ? ? ?) ,求 tan? 及 sin 3 ? ? cos3 ? 的值。 例 6、已知 sin ? ? cos ? ? 5 12 ? , 0 ? ? ? ?, 得: cos ? ? 0 ? ? ? ( , ?) 解:1? 由 sin ? cos ? ? ? 25 2 49 7 2 , 得: sin ? ? cos ? ? 由 (sin ? ? cos ?) ? 联 25 5





? 1 4 ? s ? i ?c n ? o? s s ? i ?n ? ? ? 5? 5 ?t ? ? 7 3 ?s ? ?c ? i ?c n ? o? s o? ? s ? 5 5 ? ?
3 3

? a?? n

4 3

4 3 3 3 91 5 5 125 4 ? 2m m?3 , cos ? ? , ?是第四象限角, 求 tan? 的值。 例 7、已知 sin ? ? m?5 m?5 4 ? 2m 2 m?3 2 2 2 ) ?( ) ?1 解:∵sin ? + cos ? = 1 ∴( m?5 m?5
2? sin ? ? cos ? ? ( ) ? (? ) ? 化简,整理得: m(m ? 8) ? 0 当 m = 0 时, sin ? ?

? m1 ? 0, m2 ? 8

4 3 , cos ? ? ? , (与?是第四象限角不合) 5 5 12 5 12 当 m = 8 时, sin ? ? ? , cos ? ? , ? tan ? ? ? 13 13 5
三、巩固与练习 1:已知 12 sin? +5 cos? =0,求 sin? 、cos? 的值. 解:∵12 sin? +5 cos? =0 ∴sin? = ?

5 12

cos? ,又 sin

2

? ? cos2 ? ? 1

则( ?

5 12

cos? )2+ cos2 ? =1,即 cos2 ? =

144 169

∴cos? =±

12 13

5 ? 5 ? sin ? ? ? sin ? ? ? ? ? 13 ? 13 ∴? 或? ?cos? ? 12 ?cos? ? ? 12 ? ? ? ? 13 13
5 ;原式= 7

4 sin ? ? 2 cos ? 2.已知 tan ? ? 3 ,求(1) 5 cos ? ? 3 sin ?

9 (2) 2 sin ? ? sin ? cos? ? 3 cos ? ;原式= 5
2 2

说明: (1)为了直接利用 tan ? ? 3 ,注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式,把分子、 分母同除以 cos? ,将分子、分母转化为 tan ? 的代数式; (2)可利用平方关系 sin ? ? cos ? ? 1 ,将分子、分母都变为二次齐次式,再利用商数
2 2

关系化归为 tan ? 的分式求值; 3

1 (1)tg 2 A ? sin 2 A ? tg 2 A ? sin 2 A(2)设 sin x ? cos x ? , 求 sin 3 x ? cos2 x 5 1 4 cos x ? 5 sin x (3)ctgx ? , 求(1) ; (2)8 sin 2 x ? 9 cos2 x. 4 6 cos x ? 7 sin x

(4)化简(1) sec 2 30? ? 1(2) cos2 x ? 6 cos x ? 9 (3) sin 2 10? ? 2 sin 10? cos10? ? cos2 10? (4) 1 ? sin 4 x ? cos4 x ctgA ? tgA sec A (5) 2 ? 6 6 2 1 ? sin x ? cos x sin A ? cos A sin A

4.已知 secα —tgα =5,求 sinα 。 解 1:∵secα —tgα =5=5?1=5(sec2α —tg2α )=5(secα +tgα ) (secα —tgα ) ,故 sec α +tgα =1/5, 则 secα =13/5,tgα =—12/5;sinα =tgα ?cosα = ? 解 2:由已知:

1 ? sin ? ? 5,? sin ? ? 1,? cos ? ? 0 cos ? 12 2 则 1 ? sin ? ? 5 1 ? sin ? ? sin ? ? 1, or sin ? ? ? 13
5.已知 sin ? ? sin ? ? 1 ,求 cos ? ? cos ? 值;
2 2 6

12 13

解:可求

sin ? ?

5 ?1 2

cos2 ? ? cos6 ? ? sin ? ? sin 3 ? ? sin ? ? (1 ? cos2 ? ) sin ? ? 2 sin ? ? sin 2 ? ? 3 sin ? ? 1 ? 3? 5 ?1 3 5 ?5 ?1 ? 2 2
2

分析: 本题关键时灵活地多次运用条件 sin ? ? sin ? ? 1 从而结合同角三角函数关系式达到 降次求解的目标; 小结:化简三角函数式,化简的一般要求是: (1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最 低; (2)尽量使分母不含三角函数式; (3)根式内的三角函数式尽量开出来; (4)能求得数 值的应计算出来,其次要注意在三角函数式变形时,常常将式子中的“1”作巧妙的变形, 如:1= sin ? ? cos ? ? sec ? ? tan ? ? csc ? ? cot ?
2 2 2 2 2 2

四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.运用同角三角函数关系式化简、证明。 2.常用的变形措施有:大角化小,切割化弦等。 五、课后作业:习题 4.4 第 5,7,8 题 思考:已知 sin? =2sinβ ,tan? =3tanβ ,求 cos2 ? 的值. 解:sinβ =
sin ? 2

tanβ =

t an? 3


又 1+ tan2β =

1 cos ?
1 1?
2

∴1+

tan? 9

?

sin ? 4

2

,即8 ?

1 cos ?
2

?

36 3 ? cos ?
2

即 8 cos ? ? 11cos ? ? 3 ? 0,解得 cos ? ? 1或 cos ? ? 六、板书设计:

4

2

2

2

3 8

4-1.2.2 同角三角函数的基本关系(3)
教学目的: 知识目标:根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明; 能力目标: (1)了解已知一个三角函数关系式求三角函数(式)值的方法。 (2) 灵活运用同角三角函数关系式的不同变形, 提高三角恒等变形的能力; 德育目标:训练三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:如何运用公式对三角式进行化简和证明。 授课类型:新授课

教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.同角三角函数的基本关系式。 (1)倒数关系: sin ? ? csc ? ? 1 , cos ? ? sec ? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1 . (2)商数关系:

sin ? cos ? ? tan ? , cot ? ? . cos ? sin ? 2 2 2 2 2 2 (3)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 , 1 ? tan ? ? sec ? , 1 ? cot ? ? csc ? . 4 (练习)已知 tan ? ? ,求 cos? 3
2.tanα cosα = 二、讲解新课: 例 8.已知 解:∵ ,cotα secα = , (secα +tanα ) ? ( )=1

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? ,试确定使等式成立的角 ? 的集合。 1 ? sin ? 1 ? sin ?

1 ? sin ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? )2 (1 ? sin ? )2 |1 ? sin ? | |1 ? sin ? ? = ? ? ? | cos ? | | cos ? | 1 ? sin ? 1 ? sin ? cos2 ? cos2 ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 2sin ? = = . | cos ? | | cos ? |

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? , 1 ? sin ? 1 ? sin ? 2sin ? 2 sin ? ? ? 0 , 即得 sin ? ? 0 或 | cos ? |? ? cos ? ? 0 . ∴ | cos ? | cos ? ? 3? , k ? Z }. 所以,角 ? 的集合为: {? | ? ? k? 或 2k? ? ? ? ? 2k? ? 2 2 例 9.化简 (1 ? cot ? ? csc? )(1 ? tan ? ? sec? ) . cos ? 1 sin ? 1 ? )(1 ? ? ) 解:原式= (1 ? sin ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? cos ? ? 1 cos ? ? sin ? ? 1 1 ? (sin ? ? cos ? ) 2 1 ? 1 ? 2sin ? ? cos ? ? ?2. ? ? ? sin ? ? cos ? sin ? cos ? sin ? ? cos ?
又∵ 说明:化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点: (1)所含三角函数的种类最少; (2)能求值(指准确值)尽量求值; (3)不含特殊角的三角函数值。

cos x 1 ? sin x ? . 1 ? sin x cos x 证法一:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 . cos x(1 ? sin x) cos x(1 ? sin x) 1 ? sin x ? ? 右边. ? ∴左边= cos x (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos 2 x
例 10.求证: ∴原式成立. 证法二:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 . 又∵ (1 ? sin x)(1 ? sin x) ? 1 ? sin x ? cos x ? cos x ? cos x ,
2 2



cos x 1 ? sin x ? . 1 ? sin x cos x

证法三:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 .

cos x 1 ? sin x cos x ? cos x ? (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? ? ? ? 0, 1 ? sin x cos x (1 ? sin x) cos x (1 ? sin x) cos x cos x 1 ? sin x ? ∴ . 1 ? sin x cos x
例 11.求证: sin x ? tan x ? cos x ? cot x ? 2sin x ? cos x ? tan x ? cot x .
2 2

证明:左边 ? sin x ?
2

sin x 1 ? cos 2 x ? ? 2sin x ? cos x cos x tan x sin 3 x cos x ? cos 2 x ? ? 2sin x ? cos x ? cos x sin x sin 4 x ? cos 4 x ? 2sin 2 x cos 2 x (sin 2 x ? cos 2 x) 2 1 ? ? , ? sin x ? cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin 2 x ? cos 2 x 1 ? ? ? 右边 ? . cos x sin x sin x cos x sin x cos x

所以,原式成立。 总结:证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常 用的方法有: (1)从一边开始,证明它等于另一边(如例 5 的证法一) ; (2)证明左右两边 同等于同一个式子(如例 6) ; (3)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立。

1? 3 (0 ? x ? ? ) ,求 sin x, cos x . 2 1? 3 解:由 sin x ? cos x ? (0 ? x ? ? ) 等式两边平方: 2 1? 3 2 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin x cos x ? ( ) . 2 3 ∴ sin x cos x ? ? (*) , 4 ? 1? 3 ?sin x ? cos x ? ? 2 , 即? ?sin x cos x ? ? 3 ? ? 4 1? 3 3 1 3 sin x, cos x 可看作方程 z 2 ? z? ? 0 的两个根,解得 z1 ? , z2 ? ? . 2 4 2 2 又∵ 0 ? x ? ? ,∴ sin x ? 0 .又由(*)式知 cos x ? 0 1 3 因此, sin x ? , cos x ? ? . 2 2
例 12.已知 sin x ? cos x ? 三、巩固与练习 3. 求证:

(1)ctg 2 A(tg 2 A ? sin 2 A) ? sin 2 A 1 sec ? ? csc 2 ? (3)(1 ? sin 2 A)(sec2 A ? 1) ? sin 2 A(csc2 A ? ctg 2 A) cos x 1 ? sin x (4) ? 1 ? sin x cos x (2) sin 2 ? cos2 ? ?
2

小结:化简三角函数式,化简的一般要求是: (1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最 低; (2)尽量使分母不含三角函数式; (3)根式内的三角函数式尽量开出来; (4)能求得数 值的应计算出来,其次要注意在三角函数式变形时,常常将式子中的“1”作巧妙的变形, 如:1= sin ? ? cos ? ? sec ? ? tan ? ? csc ? ? cot ?
2 2 2 2 2 2

cos? , 2、已知方程 2x 2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根分别是 sin ? ,


sin ? cos ? ? 的值。 1 ? cot ? 1 ? tan ?

解:? 原式 ?

sin 2 ? cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? ? ? sin ? ? cos? sin ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? ? cos? 3 ?1 2
(化弦法)

?由韦达定理知:原式?

3、已知 a sec ? ? c tan? ? d , b sec ? ? d tan? ? c, 求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 证:由题设: ?

? a sec ? ? c tan? ? d (1) ?b sec ? ? ?d tan? ? c (2)

(1) 2 ? (2) 2: (a 2 ? b 2 ) sec2 ? ? (c 2 ? d 2 ) tan2 ? ? c 2 ? d 2
(a 2 ? b 2 ) sec2 ? ? (c 2 ? d 2 ) sec2 ?
? a2 ? b2 ? c2 ? d 2
4、消去式子中的 ?: ?

? x ? sin ? ? cos? (1) ? y ? tan? ? cot ? (2)
? sin ? cos? ? x2 ?1 (3) 2

解:由 (1): x ? 1 ? 2 sin ? cos? 由

2

(2): y ?

sin ? cos? 1 ? ? cos? sin ? sin ? cos?

? sin ? cos? ?

1 y

(4)

将(3)代入(4): y ?

2 x ?1
2

(平方消去法)

四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.运用同角三角函数关系式化简、证明。 2.常用的变形措施有:大角化小,切割化弦等。 五、课后作业: 六、板书设计:

4-1.3 三角函数的诱导公式
一、教材分析 (一)教材的地位与作用: 1、本节课教学内容“诱导公式(二) 、 (三) 、 (四) ”是人教版数学 4,第一章 1、3 节 内容,是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式(一)等知识 的延续和拓展,又是推导诱导公式(五)的理论依据。 2、 求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。 诱导公式是求三角函数值的基本方法。 诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求 0°~90°角的三角函数值 问题。诱导公式的推导过程,体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法,反映了从特殊到 一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力,掌握数学的思 想方法具有重大的意义。 (二)教学重点与难点: 1、教学重点:诱导公式的推导及应用。 2、教学难点:相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。 二、目标分析 根据教学内容的结构特征, 依据学生学习的心理规律和新课程标准的要求, 结合学生的 实际水平,本节课的教学目标为: 1、知识目标: (1)识记诱导公式。 (2)理解和掌握公式的内涵及结构特征,会初步运用诱导公式求三角 函数的值,并进行简单三角函数式的化简和证明。 2、能力目标: (1)通过诱导公式的推导,培养学生的观察力、分析归纳能力,领会数 学的归纳转化思想方法。 (2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征,使学生体验和理解 从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。 (3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习,提高学生分析问题和

解决问题的实践能力。 3、情感目标: (1)通过诱导公式的推导,培养学生主动探索、勇于发现的科学精神, 培养学生的创新意识和创新精神。 (2)通过归纳思维的训练,培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯, 渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。 三、过程分析 (一)创设问题情景,引导学生观察、联想,导入课题 I 重现已有相关知识,为学习新知识作铺垫。 1、提问:试叙述三角函数定义 2、提问:试写出诱导公式(一) 3、提问:试说出诱导公式的结构特征 4、板书诱导公式(一)及结构特征: 诱导公式(一) sin(k?2π + ? )=sin ? tg(k?2π + ? )=tg ? (k∈Z) 结构特征:①终边相同的角的同一三角函数值相等 ②把求任意角的三角函数值问题转化为求 0°~360°角的三角函数值问 题。 5、问题:试求下列三角函数的值 (1)sin1110° (2)sin1290° cos(k?2π + ? )=cos ?

学生: (1)sin1110°=sin(3?2π °+30°)=sin30°= (2)sin1290°=sin(3?π °+210°)=sin210°

1 2

(至此,大多数学生无法再运算,从已有知识导出新问题) 6、引导学生观察演示(一) ,并思考下列问题一: 2100

300

х

演示(一) (1)210°能否用(180°+ ? )的形式表达?

(0°< ? <90°=(210°=180°+30°) (2)210°角的终边与 30°的终边关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称) (3) 设 210°、 30°角的终边分别交单位圆于点 p、 p' , 则点 p 与 p' 的位置关系如何? (关于原点对称) (4)设点 p(x,y) ,则点 p’怎样表示? (5)sin210°与 sin30°的值关系如何? 7、师生共同分析: 在求 sin210°的过程中,我们把 210°表示成(180°+30°)后,利用 210°与 30°角 的终边及其与单位圆交点 p 与 p′关于原点对称, 借助三角函数定义, 把 180°~270°角的 三角函数值转化为求 0°~90°角的三角函数值。 8、导入课题:对于任意角 ? ,sin ? 与 sin(180+ ? )的关系如何呢?试说出你的猜想。 (二)运用迁移规律,引导学生联想类比、归纳、推导公式 (I)1、引导学生观察演示(二) ,并思考下列问题二: [p' (-x,-y)]

1800

300

1800
χ χ χ

180

0

1800

χ

设 ? 为任意角

演示(二)

(1)角 ? 与(180°+ ? )的终边关系如何?(互为反向延长线或关于原点对称) (2)设 ? 与(180°+ ? )的终边分别交单位圆于 p,p′,则点 p 与 p′具有什么关系? (关于原点对称) [p′(-x,-y)]

(3)设点 p(x,y) ,那么点 p′坐标怎样表示?

(4)sin ? 与 sin(180°+ ? ) 、cos ? 与 cos(180°+ ? )关系如何? (5)tg ? 与 tg(180°+ ? ) (6)经过探索,你能把上述结论归纳成公式吗?其公式特征如何? 2、教师针对学生思考中存在的问题,适时点拨、引导,师生共同归纳推导公式。 (1)板书诱导公式(二) sin(180°+ ? )=-sin ? tg(180°+ ? )=tg ? (2)结构特征:①函数名不变,符号看象限(把 ? 看作锐角时) cos(180°+ ? )=-cos ?

②把求(180°+ ? )的三角函数值转化为求 ? 的三角函数值。 3、基础训练题组一:求下列各三角函数值(可查表) ①cos225° ②tg-π ③sin

11 π 10

4、用相同的方法归纳出公式: sin(π - ? )=sin ? cos(π - ? )=-cos ? tg(π - ? )=-tg ? 5、引导学生观察演示(三) ,并思考下列问题三:

3000 30

演示(三) (1)30°与(-30°)角的终边关系如何? (关于 x 轴对称)

(2)设 30°与(-30°)的终边分别交单位圆于点 p、p′,则点 p 与 p′的关系如何? (3)设点 p(x,y) ,则点 p′的坐标怎样表示? (4)sin(-30°)与 sin30°的值关系如何? 6、师生共同分析:在求 sin(-30°)值的过程中,我们利用(-30°)与 30°角的 终边及其与单位圆交点 p 与 p′关于原点对称的关系,借助三角函数定义求 sin(-30°) 的值。 (Ⅱ)导入新问题:对于任意角 ? sin ? 与 sin(- ? )的关系如何呢?试说出你的猜 想? 1、引导学生观察演示(四) ,并思考下列问题四: [p′(x,-y)]

O

χ

χ

χ

χ

设 ? 为任意角

演示(四) (关于 x 轴对称)

(1) ? 与(- ? )角的终边位置关系如何?

(2) 设? 与 (- ? ) 角的终边分别交单位圆于点 p、 p′, 则点 p 与 p′位置关系如何?

(关于 x 轴对称) (3)设点 p(x,y),那么点 p′的坐标怎样表示? [p′(x,-y)]

(4)sin ? 与 sin(- ? ) 、 cos ? 与 cos(- ? )关系如何? (5)tg ? 与 tg(- ? ) (6)经过探索,你能把上述结论归纳成公式吗?其公式结构特征如何? 2、学生分组讨论,尝试推导公式,教师巡视及时反馈、矫正、讲评 3、板书诱导公式(三) sin(- ? )=-sin ? tg(- ? )=-tg ? 结构特征:①函数名不变,符号看象限(把 ? 看作锐角) ②把求(- ? )的三角函数值转化为求 ? 的三角函数值 4、基础训练题组二:求下列各三角函数值(可查表) ① sin(- cos(- ? )=cos ?

? ) ②tg(-210°) ③cos(-240°12′) 3

(三)构建知识系统、掌握方法、强化能力 I、课堂小结: (以填空形式让学生自己完成) 1、诱导公式(一) 、 (二) 、 (三) sin(k?2π + ? )=sin ? tg(k?2π + ? )=tg ? (k∈Z) cos(k?2π + ? )=cos ?

sin(π + ? )=-sin ? tg(π + ? )=tg ? sin(- ? )=-sin ? tg(- ? )=-tg ? 用相同的方法,归纳出公式 Sin(π -α )=Sin ? Cos(π -α )=-cosα Ten(π -α )=-tanα

cos(π + ? )=-cos ? cos(- ? )=cos ?

2、公式的结构特征:函数名不变,符号看象限(把 ? 看作锐角时) (Ⅱ)能力训练题组: (检测学生综合运用知识能力)

1、已知 sin(π + ? )=

4 ( ? 为第四象限角) ,求 cos(π + ? )+tg(- ? )的值。 5

2、求下列各三角函数值 53 11 (1)tg(- π ) (2)sin(=- π ) 6 3 17 0 1 (3)cos(-510 15 ) (4)sin(- ) 3

(III)方法及步骤: 任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数 00~3600 间角 的三角函数 00~900 间角 的三角函数 查表 求值

(IV)作业与课外思考题 通过上述两题的探索,你能推导出新的公式吗? 四、教法分析 根据教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律,本节课彩了“问题、类比、发现、归 纳”探究式思维训练教学方法。 (1)利用已有知识导出新的问题,创设问题情境,引起学生学习兴趣,激发学生的求 知欲,达到以旧拓新的目的。 π π (2)由(1800+300)与 300、 (-300)与 300 终π - 与 )边对称关系的特殊例子, 6 6 利多媒体动态演示。 学生对“α 为任意角” 的认识更具完备性, 通过联想、 引导学生进行导, 问题类比、方法迁移,发现任意角α 与(1800+α ) 、-α 终边的对称关系,进行寅,从特 殊到一般的归纳推理训练,学生的归纳思维更具客观性、严密性和深刻性,培养学生的创新 能力。 (3)采用问题设疑,观察演示,步步深入,层层引发,引导联想、类比,进而发现、 归纳的探究式思维训练教学方法。 旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程。 在教 师适时的启发点拨下, 学生在类比、 归纳的过程中积极主动地去探索、 发现数学规律 (公式) , 培养学生的创新意识和创新精神。培养学生的思维能力。 (4)通过能力训练题组和课外思考题,把诱导公式(一) 、 (二) 、 (三) 、四的应用进 一步拓广,把归纳推理和演绎推理有机结合起来,发展学生的思维能力。

4-1.4.1 正弦、余弦函数的图象(1)
教学目的: 知识目标: (1)利用单位圆中的三角函数线作出 y ? sin x, x ? R 的图象,明确图象的 形状;

(2)根据关系 cos x ? sin( x ? ? ) ,作出 y ? cos x, x ? R 的图象;
2

(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些 有关问题; 能力目标: (1)理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法; (2)理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法; 德育目标:通过作正弦函数和余弦函数图象,培养学生认真负责,一丝不苟的学习和工 作精神; 教学重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象; 教学难点:作余弦函数的图象,周期性; 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1. 弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。 2.正、余弦函数定义:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P (x,y) P 与原点的距离 r( r ? 则比值

x ? y ? x2 ? y2 ? 0 )
记作: 记作:

2

2

P (x, y)
r

y 叫做 ? 的正弦 r x 比值 叫做 ? 的余弦 r

y r x cos ? ? r sin ? ?

?

3.正弦线、余弦线:设任意角 α 的终边与单位圆相交于点 P(x,y),过 P 作 x 轴的垂 线,垂足为 M,则有

sin ? ?

y x ? MP , cos ? ? ? OM r r

向线段 MP 叫做角α 的正弦线,有向线段 OM 叫做角α 的余弦线. 二、讲解新课: 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法) : 为了作三角函数的图象, 三角函数的自变量要用弧度制来度量, 使自变量与 函数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的 形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识. (1)函数 y=sinx 的图象 第一步:在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单位圆,从这个圆与 x 轴 的交点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 n(这里 n=12)等份. (预备:取自变量 x 值—弧度制下角与实数的对应). 第二步: 在单位圆中画出对应于角 0,

?
6



? ? , ,?, 2π 的正弦线正弦线 (等价于 “列 3 2

表” ).把角 x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正 弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点” ). 第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数 y=sinx,x

∈[0,2π ]的图象.

根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移 动,每次移动的距离为 2π ,就得到 y=sinx,x∈R 的图象. 把角 x ( x ? R ) 的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正 弦线的终点的轨迹就是正弦函数 y=sinx 的图象.

(2)余弦函数 y=cosx 的图象 用几何法作余弦函数的图象,可以用“反射法”将角 x 的余弦线“竖立”[把坐标轴向 下平移,过 O1 作与 x 轴的正半轴成

? 角的直线,又过余弦线 O1 A 的终点 A 作 x 轴的垂线, 4

它与前面所作的直线交于 A′, 那么 O1 A 与 AA′ 长度相等且方向同时为正, 我们就把余弦线 O1 A “竖立”起来成为 AA′,用同样的方法,将其 它的余弦线也都“竖立”起来.再将它们平移, 使起点与 x 轴上相应的点 x 重合, 则终点就是余 弦函数图象上的点.] 也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立” (把角 x 的余弦线 O1M 按逆时针方向旋转

? 到 2

O1M1 位置,则 O1M1 与 O1M 长度相等,方向相同.)根据诱导公式 cos x ? sin( x ? 正弦函数 x=sinx 的图象向左平移 移曲线” )

?
2

) ,还可以把

? 单位即得余弦函数 y=cosx 的图象. (课件第三页“平 2

y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1

y=sinx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:
? 3? ,1) (?,0) ( ,-1) (2?,0) 2 2 余弦函数 y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是

(0,0) (

? 3? ,0) (?,-1) ( ,0) (2?,1) 2 2 只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点 法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握. 优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以 3、讲解范例: 例 1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π ], (2) y=|sinx|, (3)y=sin|x|

(0,1) (

例 2 用五点法作函数 y ? 2 cos( x ? 例3

?
3

), x ? [0, 2? ] 的简图.

分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的 x 的集合:

1 (1) sin x ? ; 2
三、巩固与练习 四、小

1 5? (2) cos x ? , (0 ? x ? ). 2 2

结:本节课学习了以下内容: 1.正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系 五、课后作业:作业: 补充:1.分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出 y=sinx 的图象 2.分别在[-4?,4?]内作出 y=sinx 和 y=cosx 的图象 3.用五点法作出 y=cosx,x?[0,2?]的图象 六、板书设计:

4-1.4.1 正弦、余弦函数的图象(2)
1、 教学目标: 2、 使学生学会用“五点(画图)法”作正弦函数、余弦函数的图象。

3、 通过组织学生观察、猜想、验证与归纳,培养学生的数学能力。 4、 通过营造开放的课堂教学氛围,培养学生积极探索、勇于创新的精神。 5、 教学重点和难点: 6、 重点:用“五点(画图)法”作正弦函数、余弦函数的图象。 7、 难点:确定五个关键点。 8、 教学过程: 9、 思考探究 10、 复习 (1) 关于作函数,x∈〔0,2π 〕的图象,你学过哪几种方法? (2) 观察我们上一节课用几何法作出的函数y=sinx,x∈〔0,2π 〕的图象,你发 现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用?为什么? (用几何画板显示通过平移正弦线作正弦函数图像的过程) 2、 “五点(画图)法” 在精确度要求不高时,先作出函数y=sinx的五个关键点,再用平滑的曲线将它们顺 次连结起来,就得到函数的简图。这种作图法叫做“五点(画图)法” 。 (1) 、请你用“五点(画图)法” 作函数y=sinx,x∈〔0,2π 〕的图象。 解:按五个关键点列表: 描 点 、 连 线 , 画出简图。

x

0

π 2


π

3 π 2

Sin x

0

0

-1

(用几何画板画出 Y=sinx 的图像,显示动画) (2) 、试用“五点(画图)法”作函数y=cosx, x∈〔0,2π 〕的图象。 解:按五个关键点列表:

x

0

π 2
0

π

3 π 2

Cos x 描 点、连线,画出简图。

1

-1

0

1.5

f?x? = cos?x?

1

0.5

O
-0.5 -1

1

? 2

2

3

4

5

6

π

3 π 2



一、 自主学习 例1. 画出下列函数的简图: (1) y=1+sinx ,x∈〔0,2π 〕 (2) y=-cosx ,x∈〔0,2π 〕 解: (1) 按五个关键点列表:

x

0

π 2


π

3 π 2

Sin x 描 点、 连 线, 画出 简 图。 1+ S i n x

0

0

-1

1

2

1

0

f ? x? = 1+sin? x?
2

g? x? = s in ? x?

O
-2

? 2

π

3 2

5

π



(2)按五个关键点列表:

x

0

π 2
0 0

π

3 π 2

Cosx C

1 -1

-1 1

0 0

o s x

描点、连线,画出简图。
2

f? x? = -cos ? x?
g? x? = cos? x?

O
-2

? 2

π

3 2

5

π



10

二、 合作学习 ●探究 1 如何利用 y=sinx,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到(1)y =1+sinx ,x∈〔0,2π 〕的图象; (2)y=sin(x- π /3)的图象? 小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。 ●探究 2 如何利用 y=cos x, x∈ 〔0, 2π 〕 的图象, 通过图形变换 (平移、 翻转等) 来得到 y=-cosx , x∈〔0,2π 〕的图象? 小结:这两个图像关于 X 轴对称。 ●探究 3 如何利用 y=cos x, x∈ 〔0, 2π 〕 的图象, 通过图形变换 (平移、 翻转等) 来得到 y=2-cosx , x∈〔0,2π 〕的图象? 小结:先作 y=cos x 图象关于 x 轴对称的图形,得到 y=-cosx 的图象, 再将 y=-cosx 的图象向上平移 2 个单位,得到 y=2-cosx 的图象。 ●探究 4 不用作图,你能判断函数 y=sin( x - 3π /2 )和 y=cosx 的图象有何关系吗?请在同一坐标 系中画出它们的简图,以验证你的猜想。 小结:sin( x - 3π /2 )= sin[( x - 3π /2 ) +2 π ] =sin(x+π /2)=cosx 这两个函数相等,图象重合。 三、 归纳小结 1、五点(画图)法 (1)作法 先作出五个关键点,再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。 (2)用途 只有在精确度要求不高时,才能使用“五点法”作图。 (3)关键点 横坐标:0 π /2 π 3π /2 2π 2、图形变换 平移、翻转等

四、

布置作业 P53:A 组 1

P54:B 组 1

4-1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)
教学目的: 知识目标:要求学生能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义; 能力目标:掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周 期。 德育目标: 让学生自己根据函数图像而导出周期性, 领会从特殊推广到一般的数学思想, 体会三角函数图像所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。 教学重点:正、余弦函数的周期性 教学难点:正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.问题: (1)今天是星期二,则过了七天是星期几?过了十四天呢??? (2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢? 2.观察正(余)弦函数的图象总结规律: 自变量

x

?2?
0

?

3? 2
1

??
0

?

? 2

0
0

? 2
1

?
0

3? 2
?1

2?
0

函数值

sin x

?1 y – 1

?5?

?2?

??

?

?
2

O ?1 –

?
2

?

2?

5?

x

正弦函数 f ( x) ? sin x 性质如下: (观察图象) 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的; 2?规律是:每隔 2?重复出现一次(或者说每隔 2k?,k?Z 重复出现) 3?这个规律由诱导公式 sin(2k?+x)=sinx 可以说明 结论:象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得; 符号语言: 当 x 增加 2k? ( k ? Z ) 时, 总有 f ( x ? 2k? ) ? sin( x ? 2k? ) ? sin x ? f ( x) . 也即: (1)当自变量 x 增加 2k? 时,正弦函数的值又重复出现; (2)对于定义域内的任意 x , sin( x ? 2k? ) ? sin x 恒成立。 余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课: 1.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一 个值时,都有:f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函 数的周期。

问题: (1)对于函数 y ? sin x , x ? R 有 sin(

2? ? 2? ) ? sin ,能否说 是它的周期? 3 6 3 6 x ? R 是不是周期函数, k ?Z (2) 正弦函数 y ? sin x , 如果是, 周期是多少? ( 2k? , 且k ? 0) * (3)若函数 f ( x ) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z 也是 f ( x ) 的周期吗?为什么? (是,其原因为: f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ? ? f ( x ? kT ) ) ?

?

2、说明:1?周期函数 x?定义域 M,则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上界;T<0 则定义 域无下界; 2?“每一个值”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) 3?T 往往是多值的(如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期)周期 T 中最小 的正数叫做 f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2? (一般称为周期) 从图象上可以看出 y ? sin x , x ? R ; y ? cos x , x ? R 的最小正周期为 2? ; 判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期? ( f ( x) ? c 没有最小正周期) 3、例题讲解 例 1 求下列三角函数的周期: ① y ? 3 cos x ② y ? sin 2 x (3) y ? 2 sin( x ?

1 2

?
6

),

x? R.

解: (1)∵ 3cos( x ? 2? ) ? 3cos x ,

x ? R 的值才能重复出现, ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? 2? , 函数 y ? 3cos x ,
所以,函数 y ? 3cos x , x ? R 的周期是 2? . (2)∵ sin(2 x ? 2? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x , ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? ,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的值才能重复出现, 所以,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的周期是 ? . (3)∵ 2sin( x ?

1 ? 1 ? ? 2? ) ? 2sin[ ( x ? ? ) ? ] ? 2sin( x ? ) , 6 2 6 2 6 x ? R ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? , 函数 y ? sin 2 x , 的值才能重复出现, x ? R 所以,函数 y ? sin 2 x , 的周期是 ? . x?R 说明: (1) 一般结论: 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , (其中 A, ? , ? 2? 为常数,且 A ? 0 , ? ? 0 )的周期 T ? ; 1 2
(2)若 ? ? 0 ,例如:① y ? 3cos(? x) , x ? R ;② y ? sin(?2 x) , x ? R ; ③ y ? 2sin( ?

?

?

1 ? x? ), x? R. 2 6

则这三个函数的周期又是什么? 一般结论:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x ? R 的周期 T ? 例 2 先化简,再求函数的周期 ① y ? sin x ? cos x ② y ? cos2 x ? 2 3 cos x sin x ? sin 2 x ③证明函数 f ( x) ?| sin x | ? | cos x | 的一个周期为 例 3 求下列三角函数的周期:

2? |? |

? ,并求函数的值域; 2

1? y=sin(x+

x ? ? ) 2? y=cos2x 3? y=3sin( + ) 2 5 3

解:1? 令 z= x+

? 而 sin(2?+z)=sinz 3 ? ? ]=f (x+ ) 3 3

即:f (2?+z)=f (z) ∴周期 T=2?

f [(x+2)?+

2?令 z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x+2?)=cos[2(x+?)] 即:f (x+?)=f (x) ∴T=? 3?令 z=
x ? x ? + 则:f (x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin( + +2?) 2 5 2 5

=3sin( 小结:形如 y=Asin(ω x+φ )

x ? 4? ? ? )=f (x+4?) 2 5

∴T=4?
2?

(A,ω ,φ 为常数,A?0, x?R) 周期 T=

?

y=Acos(ω x+φ )也可同法求之 例 4 求下列函数的周期: 1?y=sin(2x+ 2? y=|sinx| 解:1? y1=sin(2x+ y2=2cos(3x? ? )+2cos(3x- ) 4 6
2

3? y=2 3 sinxcosx+2cos x-1
? ) 4

最小正周期 T1=?

? 2? ) 最小正周期 T2= 6 3

∴T 为 T1 ,T2 的最小公倍数 2? ∴T=2? 2? T=? 作图

y 1 ? -? o 注意小结这两种类型的解题规律
??

2?

3?

x

3? y= 3 sin2x+cos2x 三、巩固与练习 1. y=2cos(

1

∴T=?

? x ? ? )-3sin( x ? ) 4 4 3
? ? )+sin(4x- ) 2 3

2. y=-cos(3x+ 3. y=|sin(2x+ 4. y=cos

? )| 6

? ? 2? sin +1-2sin 2 2 2 四、小 结:本节课学习了以下内容: 周期函数的定义,周期,最小正周期 五、课后作业:P56 练习 5、6 P58 习题 4.8

3

补充: 1.求下列函数的周期: 1?y=sin(2x+
? ? )+2cos(3x- ) 4 6

2? y=|sinx| 1? y=sin(3x+

3? y=2 3 sinxcosx+2cos2x-1 2? y=sin2x-4sinx+5 3? y=
3 ? cos x 3 ? cos x

2. 求下列函数的最值:

? )-1 4

3.函数 y=ksinx+b 的最大值为 2, 最小值为-4,求 k,b 的值。 六、板书设计: 课题 一、知识点 (一) (二) 例题: 1. 2.

七、课后反思: 题选 求下列函数的周期: (1) y ? sin(

?
3

?

?
2

x) ;

(2) y ? cos

(3) y ? sin x ? cos x ; 解: (1) T ?

2? |?

3x x 3x x cos ? sin sin ; 2 2 2 2 x x 2 ? sin 2 ; (4) y ? cos (5) y ? cos2 x . 2 2

?
2

? 4 ,∴周期为 4 ; |

(2) y ? cos

3x x 3x x 3x x cos ? sin sin ? cos( ? ) ? cos x ,∴周期为 2? ; 2 2 2 2 2 2 2 sin( ? x) 4

(3) y ? cos x ? sin x ? (4) y ? sin
2

?

∴周期为 2? ;

x x ? cos 2 ? ? cos x ,∴周期为 2? ; 2 2 1 1 1 2 (5) y ? cos x ? (1 ? cos 2 x) ? ? cos 2 x ? ,∴周期为 ? . 2 2 2 说明:求函数周期的一般方法是:先将函数转化为 y ? A sin(? x ? ? ) 的形式,再利用公式 2? T? 进行求解。

?

4-1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
教学目的: 知识目标:要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性; 能力目标:掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断,并能求出正、余弦函数的单调区间。 德育目标:激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,培养学生坚忍不拔的 意志, 实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 教学重点:正、余弦函数的奇、偶性和单调性;

教学难点:正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 二、讲解新课: 1. 奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形,说出函数图象有怎样的对称性?其特点是什么? (1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时,函数 y 取同一值。 例如: f(-

? 1 ? 1 ? ? )= ,f( )= ,即 f(- )=f( );?? 3 2 3 2 3 3
∴f(-x)= f(x).

由于 cos(-x)=cosx

以上情况反映在图象上就是:如果点(x,y)是函数 y=cosx 的图象上的任一点,那么, 与它关于 y 轴的对称点(-x,y)也在函数 y=cosx 的图象上, 这时, 我们说函数 y=cosx 是偶函 数。 定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= f(x),那么函 数 f(x)就叫做偶函数。 例如:函数 f(x)=x +1, f(x)=x -2 等都是偶函数。
2 4

(2)正弦函数的图形 观察函数 y=sinx 的图象,当自变量取一对相反数时,它们对应的函数值有什么关系? 这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关于原点对 称。 也就是说,如果点(x,y)是函数 y=sinx 的图象上任一点,那么与它关于原点对称的点 (-x,-y)也在函数 y=sinx 的图象上,这时,我们说函数 y=sinx 是奇函数。 定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么 函数 f(x)就叫做奇函数。 例如:函数 y=x, y=

1 x

都是奇函数。

如果函数 f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性。 注意:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数: (1)其定义域关于原点对称; (2)f(-x)= f(x)或 f(-x)=- f(x)必有一成立。因此,判断某一函数的奇偶性时。

首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算 f(-x),看是等于 f(x)还是等于- f(x), 然后下结论;若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。 2.单调性 从 y=sinx,x∈[- 当 x∈[-

? 3?
2 , 2

]的图象上可看出:

? ? , ]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1. 2 2 ? 3? 当 x∈[ , ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1. 2 2
结合上述周期性可知:

? ? +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 2 2 ? 3? 增大到 1;在每一个闭区间[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小 2 2
正弦函数在每一个闭区间[- 到-1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增 加到 1;在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 3.有关对称轴 观察正、余弦函数的图形,可知 y=sinx 的对称轴为 x= k? ? y=cosx 的对称轴为 x= k?

?
2
k∈Z

k∈Z

(1)写出函数 y ? 3 sin 2 x 的对称轴; (2) y ? sin( x ? (A) x 轴,

?
4

) 的一条对称轴是( C )

(B) y 轴, (C) 直线 x ?

?
4



(D) 直线 x ? ?

?
4

4.例题讲解 例 1 判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ?

1 ? sin x ? cos x ; 1 ? sin x ? cos x
4 4

(2)f(x)=sin x-cos x+cos2x; (3) f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x );

lg(1 ? x 2 ) | x ? 2 | ?2 2 ? ?x ? x (5) f ( x) ? ? 2 ? ?? x ? x
(4) f ( x) ?

( x ? 0) ( x ? 0)

; ;对称中心是 . ;对称中心是 .

例 2 (1)函数 f(x)=sinx 图象的对称轴是

(2)函数 f ( x) ? 3sin x ? cos x 图象的对称轴是 例3

已知 f(x)=ax+bsin3x+1(a、b 为常数),且 f(5)=7,求 f(-5).

例 4 已知已知f ( x) ? log 1

1 ? sin x . 2 1 ? sin x

(1) 求 f(x)的定义域和值域; (2) 判断它的奇偶性、周期性; (3) 判断 f(x)的单调性. 例 5 (1)θ 是三角形的一个内角,且关于 x 的函数 f(x)=sain(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数,求 θ 的值. (2)若函数 f(x)=sin2x+bcos2x 的图象关于直线 x ? ? 例 6 已知 f ( x) ? log a (sin 4. 有关奇偶性 (1) f ( x) ? sin | x | ? | sin x | (2) ( x ) ?
2

?
8

对称,求 b 的值.

x x ? sin 4 )(a ? 0, a ? 1) ,试确定函数的奇偶性、单调性. 2 2

1 ? sin x ? cos x 1 ? sin x ? cos x

有关单调性 (1)利用公式 sin ? ? sin ? ? 2 cos

???
2

sin

???
2

,求证 f ( x) ? sin x 在 [ ?

? ?

, ] 上是 2 2

增函数; (2)不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0; ① sin( ?

); 18 10 23 17 ② cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) 5 4
(3)比较 sin 1, sin 2, sin 3 大小; sin(? ? 3) ? sin 1 ? sin(? ? 2) (4)求函数 y ? 2 sin( 3 x ? 二、巩固与练习 练习讲评 (1)化简: 2 ? sin 2 2 ? cos4

?

) ? sin( ?

?

?
4

) 的单调递增区间;

a sin
(2)已知非零常数 a , b 满足

5 ? tan 8? ,求 b 的值; ? ? a 15 a cos ? b sin 5 5 5

?

? b cos

?

(3)已知 8 sin ? ? 10cos ? ? 5,8 cos? ? 10sin ? ? 5 3 求值: (1) sin(? ? ? ) ; (2) sin( 解: (1) 2 ? sin 2 2 ? cos4

?
3

??)

? 2 ? sin 2 2 ? 1 ? 2 sin 2 2 ? 3(1 ? sin 2 2) ? 3 cos 2 2 ? 3 | cos 2 |? ? 3 cos 2
(2)

a ? ? 8? sin ? cos sin b 5 5 ? 15 a ? ? 8? cos ? sin cos b 5 5 15 8? ? 8? ? 8? ? sin cos ? cos sin sin( ? ) a 15 5 15 5 ? 15 5 ? tan ? ? 3 ? ? 8? ? 8? ? 8? ? b 3 cos cos ? sin sin cos( ? ) 15 5 15 5 15 5 2 (3)两式平方相加得 164 ? 160sin(? ? ? ) ? 100 ? sin(? ? ? ) ? ; 5

10cos ? ? 5 ? 8 sin ? 10sin ? ? 5 3 ? 8 cos?
两式平方相加得 100 ? 164? 80sin ? ? 80 3 cos?



1 3 2 ? 2 sin ? ? cos? ? ,? sin( ? ? ) ? 2 2 5 3 5

四、小

结:本节课学习了以下内容: 1. 2. 3. 五、课后作业:见教材 六、板书设计:

4-1.4.3 正切函数的性质与图象(1)
教学目的: 知识目标:1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象; 2.用正切函数图象解决函数有关的性质; 能力目标:1.理解并掌握作正切函数图象的方法; 2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法; 德育目标:培养认真学习的精神; 教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象; 教学难点:正切函数的性质。 授课类型:新授课 教学模式: 启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 问题:正弦曲线是怎样画的? 正切线? 练习正切线,画出下列各角的正切线:

. 下面我们来作正切函数和余切函数的图象. 二、讲解新课: 1.正切函数 y ? tan x 的定义域是什么? 2.正切函数是不是周期函数?

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?
? ? ,k ? , z ?

? ? ?t a n n ? R 且, ? x ?k ? ? x ? ? ? ? t ax ? x 2 ?
∴ ? 是 y ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ?

? ?

?

? , k ? z ? 的一个周期。 2 ?

? 是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判断。
3.作 y ? tan x , x ? ? ?

? ? ?? , ? 的图象 ? 2 2?

说明: (1)正切函数的最小正周期不能比 ? 小,正切函数的最小正周期是 ? ; (2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数

y ? tan x x ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线” 。
y
y

3 ? ? 2

?? ?

?
2

O
0

? 2

?

x 3 ? x 2

(3)由图象可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线 x ? k? ? 无穷多支曲线组成的。 4.正切函数的性质 引导学生观察,共同获得: (1)定义域: ? x | x ? (2)值域:R 观察:当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于

?
2

? k ? Z ? 所隔开的

? ?

?

? ? k? , k ? z ? ; 2 ?
?
2
? ??? ?k ? z ?, x ? ?? k? ? 时, tan x ?? 2

?

2 T ? ? (3)周期性: ;

?? ? k? ?k ? z ? , x ?

?
2

?? ?? 。 ? k? 时, tan x ?

(4)奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数;

? ? ? (5)单调性:在开区间 ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 2 ? 2 ? 5.余切函数 y=cotx 的图象及其性质(要求学生了解) :

? ?? ?? ? ? 向左平移 个 y ? cot x ? tan? ? x ? ? ? tan? x ? ? ——即将 y ? tan x 的图象, 2 2? ?2 ? ?
单位,再以 x 轴为对称轴上下翻折,即得 y ? cot x 的图象
王新敞
奎屯 新疆

定义域: x ? R且x ? k? , k ? z 值域:R,

当 x ? ? k? , k? ? 周期: T ? ? 奇偶性:奇函数

? ?

??

? ? ? ?k ? z 时 y ? 0 ,当 x ? ? k? ? , k? ?k ? z 时 y ? 0 2? 2 ? ?

单调性:在区间 ?k? , ?k ? 1?? ? 上函数单调递减 6.讲解范例: 例 1 比较 tan? ?

王新敞
奎屯

新疆

? 13? ? ? 17? ? 与 tan? ? ? 4 ? ? 5

? ? 的大小 ?

王新敞
奎屯

新疆

解:? tan? ?

? 2? ? 13? ? ? 17? ? ? ? ? tan , tan? ? ? ? ? tan , 4 5 ? 4 ? ? 5 ?
? 2? ? ?? , y ? tan x在? 0, ? 内单调递增, 5 ? 2? 2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ? ? ?

又: 0 ?

?
4

? tan

?
4

? tan

王新敞
奎屯

新疆

例 2 讨论函数 y ? tan? x ?

??

? 的性质 4?

王新敞
奎屯

新疆

略解:定义域: ? x | x ? R且x ? k? ? 值域:R 单调性:在 ? k? ?

? ?

?

? , k ? z? 4 ?

奇偶性:非奇非偶函数

? ?

3? ?? , k? ? ? 上是增函数 4 4?

王新敞
奎屯

新疆

图象:可看作是 y ? tan x 的图象向左平移 例 3 求函数 y=tan2x 的定义域 解:由 2x≠kπ+
王新敞
奎屯 新疆

? 单位 4

王新敞
奎屯

新疆

? ,(k∈ Z) 2 k? ? 得 x≠ + ,(k∈ Z) 2 4
∴ y=tan2x 的定义域为: {x|x∈ R 且 x≠

k? ? + ,k∈ Z} 2 4

例 4 观察正切曲线写出满足下列条件的 x 的值的范围:tanx>0 解:画出 y=tanx 在(- 为:0<x<

? 2

? ? , )上的图象,不难看出在此区间上满足 tanx>0 的 x 的范围 2 2

结合周期性,可知在 x∈ R,且 x≠kπ+

? ? 上满足的 x 的取值范围为(kπ,kπ+ )(k∈ Z) 2 2
王新敞
奎屯 新疆

例 5 不通过求值,比较 tan135°与 tan138°的大小 解:∵ 90°<135°<138°<270° 又∵ y=tanx 在 x∈ (90°,270°)上是增函数 ∴ tan135°<tan138° 三、巩固与练习 P.71.练习 2,3,6 求函数 y=tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间[-π,π]内的图象 解: (1)要使函数 y=tan2x 有意义,必须且只须 2x≠ 即 x≠

王新敞
奎屯

新疆

?
2

+kπ,k∈Z

?
4



k? ,k∈Z 2

∴函数 y=tan2x 的定义域为{x∈R|,x≠ (2)设t=2x,由 x≠

?
4

?

k? ,k∈Z} 2

?
4

?

? k? ,k∈Z}知t≠ + 2 2

kπ,k∈Z
∴y=tant的值域为(-∞,+∞) 即 y=tan2x 的值域为(-∞,+∞) (3)由 tan2(x+

?
2

)=tan(2x+π)=tan2x

∴y=tan2x 的周期为

?
2



(4)函数 y=tan2x 在区间[-π,π]的图象如图 四、小 结:本节课学习了以下内容:

1. 因为正切函数 y ? tan x 的定义域是 {x | x ? R, x ? k? ?

?
2

, k ? Z } ,所以它的图象被

x??

?

3 ,? ? ,......等相互平行的直线所隔开,而在相邻平行线间的图象是连续的。 2 2

2.作出正切函数的图象,也是先作出长度为一个周期(-π /2,π /2)的区间内的函数的图 象,然后再将它沿 x 轴向左或向右移动,每次移动的距离是π 个单位,就可以得到整个正切 函数的图象。 讨 论函 数的单 调性 应借助 图象 或相关 的函 数的单 调性 ;形如 y = tan(ωx) ,

x≠

k?

?

?

? ? (k∈ Z)的周期 T= ;注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的 2? ?

王新敞
奎屯

新疆

五、课后作业: 六、板书设计:

4-1.4.3 正切函数的性质与图象(2)
教学目的: 知识目标:熟练掌握正切函数的图象和性质,并能用之解题;

能力目标:渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。 德育目标:培养认真学习的精神; 教学重点:正切函数的图象和性质的运用。 教学难点:灵活应用正切函数的性质解决相关问题. 授课类型:新授课 教学模式:讲练结合 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.作正切曲线的简图,说明正切曲线的特征。 2.回忆正切函数的性质:定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。 二、讲解新课: 例 1:求下列函数的周期:

? 5? ?? ? (2) y ? tan ? 3x ? ? 6? ?

(1) y ? 3tan ? x ?

? ?

??

答: T ? ? 。 答: T ?

?
3



说明:函数 y ? A tan ?? x ? ? ?? A ? 0,? ? 0? 的周期 T ? 例 2:求函数 y ? tan? 3x ?

? . ?

? ?

??
?

? 的定义域、值域,指出它的周期性、奇偶性、单调性,并说 3?
得x ?

明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。

k? 5? ? , 3 2 3 18 ? k? 5? ? ? ∴所求定义域为 ? x | x ? R, 且x ? ? , k ? z ? ,值域为 R,周期 T ? ,是非奇非偶 3 3 18 ? ? ? k? ? k? 5? ? 函数,在区间 ? ? , ? ??k ? z ? 上是增函数。 ? 3 18 3 18 ?
解:由 3 x ?

?

? k? ?

将 y ? tan x 图象向右平移

? ?? ? 个单位,得到 y ? tan ? x ? ? 的图象;再将 3 3? ? 1 ?? ? ,就得到函数 y ? tan ? x ? ? 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) 3 3? ? ?? ? y ? tan? 3x ? ? 的图象。 3? ?
tan x ? 3 的定义域。

例 3:用图象求函数 y ?

解:由 tan x ? 3 ? 0 得 tan x ? 3 , 利用图象知,所求定义域为 ? k? ? 亦可利用单位圆求解。

? ?

?
3

, k? ?

??

??k ? Z ? , 2?

y

3
0

y
T

3
x
0 ? ?

A

x

三、巩固与练习 n t x 0? ”是“ x ? 0 ”的 既不充分也不必要 条件。 1. “a 2.与函数 y ? tan ? 2 x ?

? ?

??

? 的图象不相交的一条直线是( D ) 4?

? A? x ?

?
2

? B? x ? ?

?
2

?C ? x ?

?
4

? D? x ?

?
8

3.函数 y ? 1 ? tan x 的定义域是

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? . 2 4? ?
?
? , k ? Z ? 的值域是 2 ? ?3 ? , ?? ? . ? ?4 ?

4.函数 y ? tan x ? tan x ? 1? x ? k? ?
2

? ?

5.函数 y ? tan x ? cot x 的奇偶性是 奇函数 ,周期是 四、小 结:本节课学习了以下内容: 正切函数的性质。 五、课后作业: 以下函数中,不是 奇函数的是( ) .. A.y=sinx+tanx B.y=xtanx-1 C.y= 3.下列命题中正确的是( ) A.y=cosx 在第二象限是减函数 C.y=|cos(2x+ 六、板书设计:

? . 2

sin x ? tan x 1 ? cos x

D.y=lg

? tan x 1 ? tan x

B.y=tanx 在定义域内是增函数

?
3

)|的周期是

?
2

D.y=sin|x|是周期为 2π 的偶函数

4-1.5 函数 y=Asin(wx+?)(A>0,w>0 的图象
教学目标: 1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数 图像各种变换的实质和内在规律。 2. 通过对函数 y = Asin(wx+4)(A>0,w>0)图象的探讨,让学生进一步掌握三角函数图

像各种变换的内在联系。 3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。 教学重点: 函数 y = Asin(wx+?)的图像的画法和设图像与函数 y=sinx 图像的关系,以及对各种变 换内在联系的揭示。 教学难点: 各种变换内在联系的揭示。 教学过程: 一、 复习旧知 1.“五点法”作函数 y=sinx 简图的步骤,其中“五点”是指什么? 2. 函数 y = sin(x?k)(k>0)的图象和函数 y = sinx 图像的关系是什么? 生答:函数 y = sin(x ?k)(k>0)的图像可由函数 y = sinx 的图像向左(或右)平移 k 个 单位而得到,学生回答后,教师应用多媒体演示变化过程,并要求同学观察图像上点坐标的 变化,然后进一步总结出这种变换实际上是纵坐标不变,横坐标增加(或减少)k 个单位,这 种变换称为平移变换。 3. 函数 y = sinwx (w>0)的图像和函数 y = sinx 图像的关系是什么? 学生答:函数 y = sinwx(w>0)的图像可由函数 y = sinx 的图像沿 x 轴伸长(w<1)或缩 短(w>1)到原来的

1 倍而得到,称为周期变换。 ?

演示:教师运用多媒体演示变化过程,并要求学生观察图像上点坐标的变化,然后进一 步总结这种变化的实质是纵坐标不变,横坐标伸长(0<w<1)或缩短(w>1)到原来的 4. 函数 y = Asinx(A>0)的图像和函数 y = sinx 图像的关系是什么? 学生答:函数 y = Asinx 的图像可由函数 y = sinx 的图像沿 y 轴伸长(A>1)或缩短(x<1) 到原来的 A 倍而得到的,称为振幅变换。 演示:教师利用多媒体,运用制好的课件将变化过程演示给学生看,并要求学生具体观 察图像上点坐标的变化,然后归纳出这种变换的实质是:横坐标不变,纵坐标伸长(A> | ) 或缩小(0<A<1)到原来的 A 倍。 二、创设情境 上面我们学习和复习了三种函数 y = sin(x ?k),y = sinwx,y = Asinx 的图像和函数

1 倍。 ?

y = sinx 图像的关系,那么函数 y = Asin(wx+?)(a>0,w>0) 的图像和函数 y = sinx 的图 像有何关系呢?三、尝试探究 1. 函数 y = Asin(wx+?)的图像的画法。 为了探讨函数 y = Asin(wx+?)的图像和函数 y = sinx 图像的关系,我们先来用“五点法” 作函数 y = Asin(wx+?)的图像。

? )的简图。 3 z ? z? ? ? ? ? 3 解:⑴设 Z= 2x + ,那么 3xin(2x+ )= 3sin?,x= = ? ,分别取 z = 0, , 2 2 3 3 2 6
例:作函数 y = 3sin(2x+ ?,

? ? ? 7 ? 5? 3? ? ,2?,则得 x 为 ? , , , , ,所对应的五点为函数 y=3sin(x ? ) 2 3 6 12 3 12 6 ? 5? , ]图象上起关键作用的点。 6 6

在一个周期[ ? ⑵列表 x 2x+

?

? 6

? 12
? 2
1 3

? 3
? 0 0

7? 12
3? 2
?1 ?3

5? 6
2? 0 0

? 3

0 0 0

? ) 3 ? 3 sin(2x+ ) 3
sin(2x+

⑶描点作图,运用制好的课件演示作图过程。(图略) 2. 函数 y=Asin(wx+?)(A>0,w>0)图像和函数 y=sinx 图像的关系。 利用制作好的课件,运用多媒体教学手段向学生展示由函数 y=sinx 的图像是怎样经过 平移变化→周期变换→振幅变换而得到函数 y=Asin (wx+?)图像的。 归纳 1:先把函数 y = sinx 的图像上的所有点向左平行移动 的图像,再把 y = sin(x + 得到 y = sin(2x +

? ? 3 个单位,得到 y = sin(x + ) 3 3

? ? )的图像,再把 y = sin(2x + )的图像上所有的点的纵坐标伸长到原 3 3
? )图像。 3

1 ? )的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变), 3 2

来的 3 倍(横坐标不变),从而得到 y = 3sin(2x +

归纳 2:函数 y = Asin(wx+?),(A>0,w>0)的图像可以看作是先把 y = sinx 的图像上 所有的点向左(?>0)或向右(?>1)平移|?|个单位,再把所得各点的横坐标缩短(w>1)或伸长

(0<w<1)到原来的

1 倍(纵坐标不变), 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原 ?

来的 A 倍,(横坐标不变)。即:平移变换→周期变换→振幅变换。三、尝试探究 1. 函数 y = Asin(wx+?)的图像的画法。 为了探讨函数 y = Asin(wx+?)的图像和函数 y = sinx 图像的关系,我们先来用“五点 法”作函数 y = Asin(wx+?)的图像。

?,

? ? ? 7 ? 5? 3? ? ,2?,则得 x 为 ? , , , , ,所对应的五点为函数 y=3sin(x ? ) 2 3 6 12 3 12 6

? )的简图。 3 z ? z? ? ? ? ? 3 解:⑴设 Z= 2x + ,那么 3xin(2x+ )= 3sin?,x= = ? ,分别取 z = 0, , 2 2 3 3 2 6
例:作函数 y = 3sin(2x+

在一个周期[ ? ⑵列表 x 2x+

? 5? , ]图象上起关键作用的点。 6 6

?

? 6

? 12
? 2
1 3

? 3
? 0 0

7? 12
3? 2
?1 ?3

5? 6
2? 0 0

? 3

0 0 0

? ) 3 ? 3 sin(2x+ ) 3
sin(2x+

⑶描点作图,运用制好的课件演示作图过程。(图略) 2. 函数 y=Asin(wx+?)(A>0,w>0)图像和函数 y=sinx 图像的关系。 利用制作好的课件,运用多媒体教学手段向学生展示由函数 y=sinx 的图像是怎样经过 平移变化→周期变换→振幅变换而得到函数 y=Asin (wx+?)图像的。四、指导创新 上面我们学习了函数 y = Asin(wx+?)的图像可由 y = sinx 图像平移变换→周期变换→ 振幅变换的顺序而得到,若按下列顺序得到 y = Asin(wx+?)的图象吗? ⑴周期变换→平移变换→振幅变换 ⑵振幅变换→平移变换→周期变换 ⑶平移变换→振幅变换→周期变换 教师利用制作好的课件, 运用多媒体逐一演示验证, 让学生发现规律: 若周期变换在前, 平移变换在后,则得到的函数图像不是函数 y = Asin(wx+?)的图像,振幅变换出现在前或

后不会影响得到函数 y = Asin(wx+?)的图像。 教师指导学生探讨⑴的变换顺序不能得到函数 y = Asin(wx+?) (A>0,w>0)图像的原因, 并通过在平移变换过程中的单位变换而调整到函数 y = Asin(wx+?)图像的一般公式。 周期变换 平移变换 ?? y =Asinwx ?? ? ? ? ?? 原因:y = sinx ?????? 1 平移 ? 个单位 伸长或缩短 倍 ? 振幅变换 y = sinw(x+?) = sin(wx+w?) ??????? y = Asin(wx+w?) 伸长或缩短 A倍 一般公式:将平移变换单位改为: 五、归纳小结 本节课我们进一步探讨了三角函数各种变换的实质和函数 y = Asin(wx+?)(A>0,w>0) 的图像的画法。并通过改变各种变换的顺序而发现:平移变换应在周期变换之前,否则得到 的函数图像不是函数 y =Asin(wx+?)的图像由 y = sinx 图像的得到。 六、变式练习 1. 作下列函数在一个周期的闭区间上的简图,并指出它的图像是如何由函数 y = sinx 的图像而得到的。 ⑴y = 5sin(

? w

即可。

? 1 1 ? x+ );⑵y = sin(3x ? ) 2 6 4 2

2. 完成下列填空

5? 个单位所得图像的函数表达式为 12 ? ? ⑵函数 y = 3cos(x+ )图像向左平移 个单位所得图像的函数表达式为 4 3
⑴函数 y = sin2x 图像向右平移 ⑶函数 y = 2loga2x 图像向左平移 3 个单位所得图像的函数表达式 ⑷函数 y = 2tg(2x+ 七、布置作业(略)

? ? ? ?

? )图像向右平移 3 个单位所得图像的函数表达式为 3

4-1.6 三角函数模型的简单应用
【知识与技能】 1. 掌握三角函数模型应用基本步骤 :(1) 根据图象建立解析式 ; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2.利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型. 【过程与方法】 (2) 根据解析式作出图象 ;

例 1 是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线, 要求这一天的最大温差,并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别 注意自变量的变化范围. 例 2 利用函数图象的直观性, 通过观察图象而获得对函数性质的认识, 这是研究数学问 题的常用方法.显然,函数 y ? sin x 与正弦函数有紧密的联系. 例 3 是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题, 是将实际问题直接抽象为与三角函数 有关的简单函数模型,然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的 数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题。 例 4 本题的解答中,给出货船的进、出港时间,一方面要注意利用周期性以及问题的条 件,另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第 73 页的 “思考”问题,实际上,在货船 的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的, 因为这样不能保 证船有足够的时间发动螺旋桨。 补充例题 例题:一根为 Lcm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,组成一个单摆,小球摆动时, 离 开 平 衡 位 置 的 位 移 s( 单 位 : cm) 与 时 间 t( 单 位 : s) 的 函 数 关 系 是
? g ?? , (1)求小球摆动的周期和频率; (2)已知 g=980cm/s2,要 ? s ? 3 sin ? ? l t ? 6 ?, t ? [0,??) ? ?

使小球摆动的周期恰好是 1 秒,线的长度 l 应当是多少? 解: (1)?? ? 【情态与价值】 一、选择题 1. 初速度 v0,发射角为 ? ,则炮弹上升的高度 y 与 v0 之间的关系式为( A. y ? v0t B. y ? v 0 ? sin ? ? t ? )
g 2? ?T ? ? 2? l ? l 1 ,f ? g 2?

g g ; (2) 若T ? 1,即 l ? ? 24.8cm . 4? 2 l

1 g ?t2 2

C. y ? v0 ? sin ? ? t

D. y ? v0 ? cos? ? t )

2. 当两人提重为 G 的书包时,夹角为 ? ,用力为 F ,则 ? 为____时, F 最小( A.

? 2

B. 0

C. ?
?

D.

2 ? 3

3.某人向正东方向走 x 千米后向右转 150 , 然后朝新的方向走 3 千米, 结果他离出发点恰好

3 千米,那么 x 的值为
A. 3 二、填空题 B. 2 3 C. 2 3或 3



) D. 3

4. 甲、乙两楼相距 60 米,从乙楼底望甲楼顶仰角为 45 ,从甲楼顶望乙楼顶俯角为 30 ,

0

?

则甲、乙两楼的高度分别为_______ 5.一树干被台风吹断折成 60 角,树干底部与树尖着地处相距 20 米,树干原来的高度是 _____. 三、解答题 6. 三个力 F1 .F2 .F3 同时作用于 O 点且处于平衡,已知 F1与F2的夹角为 135? ,
?

F2与F3的夹角为 120? , F2 ? 2牛顿 ,求 F1 和 F3

7、有一长为? 的斜坡,它的倾斜角为? ,现在要倾斜角改为 ,则坡底要伸长多少?

? 2

三角函数小结和复习
【知识与技能】 理解本章知识结构体系(如下图) ,了解本章知识之间的内在联系。

终边相同角 象 区 限 角 间 角

任意角的概念

角度制与弧度制 诱 导 公 式 任意角的三角函数 符号法则 三角函数线 三角函数图象与性质

弧长与扇形面积公式

同角函数关系 函数

第三章:三角恒等变换

【过程与方法】 三角函数值的符号是由对应的三角函数线的方向确定的; 具有相同性质的角可以用集合 或区间表示,是一种对应关系;弧度制的任意角是实数,这些实数可以用三角函数线进行图 形表示,因此,复习的目的就是要进一步了解符号确定方法,了解集合与对应,数与形结合

的数学思想与方法。另外,正弦函数的图象与性质的得出,要通过简谐运动引入,分析、确 定三角函数图象的关键点画图象,观察得出其性质,通过类比、归纳得出余弦函数、正切函 数的图象与性质,所以,复习本章时要在式子和图形的变化中,学会分析、观察、探索、类 比、归纳、平移、伸缩等基本方法。 例题 例 1 判断下列函数的奇偶性 ①y=-3sin2x ②y=-2cos3x-1 ③y=-3sin2x+1 ④y=sinx+cosx ⑤y=1-cos(-3x-5π ) 分析:根据函数的奇偶性的概念判断 f(-x)=±f(x)是否成立;若成立,函数具有奇偶性(定 义域关于原点对称) ;若不成立,函数为非奇非偶函数 解: (过程略)①奇函数 ②偶函数 ③④非奇非偶函数 ⑤偶函数 例 2 求函数 y=-3cos(2x-

1 π )的最大值,并求此时角 x 的值。 3 1 2 π =2 kπ + π 得 x= kπ + π , (k∈Z) 3 3

分析:求三角函数的最值时要注意系数的变化。 解:函数的最大值为:y max =|-3|=3,此时由 2x例3 求函数 y ?

1 的定义域。 1 ? tan x

1 解:要使函数 y ? 有意义,则有 ? 1 ? tan x ?
即 x ? k? ?

?

1? tan x ? 0 x ? kx ?

?
2

( k ?Z )

?
4

, 且x ? k? ?

?
2

, (k ? Z )

所以,函数的定义域为{χ ︱χ ∈R 且 x ? k? ? 【情态与价值】 一、选择题 1.已知 cos240 约等于 0.92 ,则 sin660 约等于( A.0.92 B.0.85 C.0.88

?
4

, x ? k? ?

?
2

,k ? Z }



D.0.95 ) 。

2.已知 tanx=2,则 A.

1 15

sin 2 x ? 2 cos 2 x 的值是( 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 2 2 2 B. C.D. 5 3 15
) 。 B. [2k? ? D. [2k? ?

3.不等式 tanx≤-1 的解集是( A. ( 2k? ? C. ( k? ?

?

?

,2k? ? ] (k∈Z) 2 4

?

?
4

,2k? ?

, k? ? ] (k∈Z) 2 4

?

?
2

,2k? ?

3? ] (k∈Z) 4

3? ] (k∈Z) 2

4. 有以下四种变换方式: ①向左平移

1 1 ? ? ,再将横坐标变为原来的 ;②将横坐标变为原来的 ,再向左平移 ; 2 2 4 8

③将横坐标变为原来的

1 ? 1 ? ,再向左平移 ;④向左平移 ,再将横坐标变为原来的 。 2 2 4 8

其中,能将正弦函数 y=sinx 的图象变为 y=sin(2x+ A.①② 二、填空题 5. tan(B.①③ C.②③

? )的图象的是( 4
D.②④



? 2? ≤x≤ )的值域是 。 3 6 1 3 7.若函数 y=a+bsinx 的值域为[- , ],则此函数的解析式是 。 2 2 8.对于函数 y=Asin(ω x+ ? ) (A、ω 、 ? 均为不等于零的常数)有下列说法:
6.函数 y=sinx( ①最大值为 A; ②最小正周期为 ④由 2k? ?

7? )= 6

.

? ;③在[0,2π ]λ ο 上至少存在一个 x,使 y=0; |? |
2
(k∈Z)解得 x 的范围即为单调递增区间, 。

?
2

≤ω x+ ? ≤ 2 k? ?

?

其中正确的结论的序号是 三、解答题 9. (1)已知 sinθ -cosθ =

? 2 ( 0<θ < ) ,求 sinθ +cosθ 的值; 2 3

(2)求函数 y=2 3 cosx+2sin2x-3 的值域及取得最值是时的 x 的值。

10.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离 S(厘米)和时间 t(秒)的函数关系 为 y= 6sin(2π t+

? )) 。 6

(1) 作出它的图象; (2) 单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置多少厘米? (3) 单摆摆动到最右边时,离开平衡位置多少厘米? (4) 单摆来回摆动一次需要多少时间?


赞助商链接
相关文章:
高中数学必修4第一章三角函数完整教案
高中数学必修4第一章三角函数完整教案_数学_高中教育_教育专区。第一章 三角函数 4-1.1.1 任意角(1)教学目标:要求学生掌握用“旋转”定义角的概念,理解任意角...
最新人教版高中数学必修4第一章《第一章三角函数复习》...
最新人教版高中数学必修4第一章第一章三角函数复习》示范教案 - 第一章三角函数复习 整体设计 本章网络结构 1.任意角的概念是本章的基础,推广了角,扩大了...
人教版高一数学必修4第一章三角函数小结和复习教案
人教版高一数学必修4第一章三角函数小结和复习教案_数学_高中教育_教育专区。人教版高一数学必修4第一章三角函数小结和复习教案 三角函数小结和复习【知识与技能】 ...
最新人教版高中数学必修4第一章《任意角的三角函数》示...
最新人教版高中数学必修4第一章《任意角的三角函数》示范教案(第1课时) - 第一章第二节任意角的三角函数第一课时 整体设计 教学分析 学生已经学过锐角三角函数,...
最新人教版高中数学必修4第一章《三角函数的诱导公式》...
最新人教版高中数学必修4第一章三角函数的诱导公式》教案4 - 1.3 三角函数的诱导公式 学习目标 1.识记诱导公式; 2.理解和掌握公式的内涵及结构特征,会初步...
最新人教版高中数学必修4第一章《三角函数的图象与性质...
最新人教版高中数学必修4第一章三角函数的图象与性质》示范教案(第3课时) - 第一章第四三角函数的图象与性质第三课时 导入新课 思路 1.(类比导入)我们在...
2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数教案 新人教A版...
2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数教案 新人教A版必修4_高考_高中教育_教育专区。三角函数模块专题复习 ——任意角的三角函数及诱导公式 一、教学分析 三角...
...年高中数学 第一章 三角函数教案 新人教A版必修4
【名师堂】2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数教案 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。三角函数模块专题复习 ——任意角的三角函数及诱导公式一、教学...
高一数学必修四第一章三角函数复习
高一数学必修四第一章三角函数复习_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修四第一章三角函数复习 1、 sin 2 1200 等于( A. ? )· 3 2 B. 3 2 C. ? 3...
人教A版高中数学必修四 第一章 1.4《三角函数的图像与...
人教A版高中数学必修四 第一章 1.4《三角函数的图像与性质》(第一课时)教学设计_教学案例/设计_教学研究_教育专区。数学必修 4 第一章教学设计:1.4 三角函数的...
更多相关标签: