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矩阵与行列式初步


考点 185 矩阵与行列式初步
1.(13 上海 T3)若

x x x2 y 2 ? ,则 x ? y ? ______ . y ?y ?1 1

【测量目标】行列式的初步运算. 【难易程度】容易 【参考答案】0 【试题解析】 x ? y ? ?2 xy ? x ? y ? 0 .
2 2

2.(

13 福建 T21(1) )已知直线 l : ax ? y ? 1 在矩阵 A ? ?

?1 2 ? ? 对应的变换作用下变为直线 ?0 1 ?

l ' : x ? by ? 1 .
(Ⅰ)求实数 a, b 的值; (Ⅱ)若点 p ( x0 , y0 ) 在直线上,且 A ?

? x0 ? ? x0 ? ? ? ? ? ,求点 p 的坐标. ? y0 ? ? y0 ?

【测量目标】矩阵与行列式初步. 【难易程度】容易 【试题解析】 (I)设直线 l:ax+y=1 上任意点 M(x,y)在矩阵 A 对应的变换作用下的象是 M′(x′,y′).

? x? ? ?1 2 ?? x ? ? x ? 2 y ? ??? ?? ? ? ? ?, ? y? ? ? 0 1?? y ? ? y ? ? x? ? x ? 2 y, 得? (步骤 1) ? y? ? y.
由? 又点 M′(x′,y′)在 l′上,所以 x′+by′=1,即 x+(b+2)y=1, 依题意得 ?

?a=1, ?a =1, 解得 ? (步骤 2) ?b ? 2=1, ?b ? ?1.
? x0 ? x0 ? 2 y0 , ? x0 ? ? x0 ? 解得 y0=0.(步骤 3) ? ? ? ? ,得 ? y ? y , 0 ? 0 ? y0 ? ? y0 ?

(II)由 A ?

又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=1. 故点 P 的坐标为(1,0). (步骤 4) 3.(13 江苏 T21.B) 已知矩阵 A = ?

??1 0? ?1 2 ? ? ,B= ? , 求矩阵 A B . ? ? ? 0 2? ?0 6 ?

【测量目标】矩阵与行列式初步. 【难易程度】中等

【试题解析】设矩阵 A 的逆矩阵为 ?

?a b ? ? ?1 0? ? a b ? ?1 0? ,则 ? (步骤 1)即 ? ??? ??? ?, ? 0 2? ? c d ? ?0 1 ? ?c d ?

??a ?b ? ?1 0? 1 (步骤 2) ? 2c 2d ? ? ?0 1? ,故 a ? ?1, b ? 0, c ? 0, d ? 2 , ? ? ? ?
? ?1 0 ? ? ?1 0 ? ? ? ,所以 A B = ? ? ?1 2 ? ? ? ?1 ?2 ? .(步骤 3) 从而 A 的逆矩阵为 A = ? 1 1 ? ? ? ?0 ? ?0 ?? ?0 6 ? ? 0 3 ? ? 2? ? 2?
?

? 1 3 ? ?? 4 4 ? 4.(12 江苏 T21.B)已知矩阵 A 的逆矩阵 A?1 ? ? ? ,求矩阵 A 的特征值. ? 1 ?1? ? ? 2? ? 2
【测量目标】矩阵与行列式初步. 【考查方式】给出矩阵的逆矩阵,应用公式 A A ? E 求出 A 的值,再根据求特征多项式 的公式求解. 【难易程度】容易 【试题解析】? A A ? E ? A ? ( A?1 )?1 . (步骤 1)
?1 ?1

? 1 3 ? ?? 4 4 ? ? 2 3? ?1 ?1 ?1 (步骤 2) ? A ?? ? ,? A ? ( A ) ? ? ?, 2 1? ? 1 ?1? ? ? ? 2? ? 2
于是矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?2
?2

?3 (步骤 3) =? 2 ? 3? ? 4 , ? ?1

令 f (? ) ? 0 ,解得 A 的特征值 ?1 ? ?1, ?2 ? 4 . (步骤 4) 5.(12 福建 T21(1) )设曲线 2 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 1在矩阵 A ? ? 用下得到的曲线为 x ? y ? 1.
2 2

? a 0? ? ? a > 0 ? 对应的变换作 ?b 1?

(Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)求 A 的逆矩阵. 【测量目标】二次函数与圆的互化,矩阵与行列式初步. 【难易程度】较难
2

【试题解析】 (Ⅰ)设曲线 2 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 1上任一点 P ? x, y ? , 在矩阵 A 对应变换下的象是 P? ? x?, y?? , 则?

? x? ? ? a 0 ?? x ? ? ax ? ? x? ? ax 2 2 ? ? ?? ? ? ax ? ? ? bx ? y ? ? 1 .(步骤 1) ? ? ?? ? ? ? ? y? ? ? b 1 ?? y ? ? bx ? y ? ? y? ? bx ? y

? ? a 2 ? b 2 ? x 2 ? 2bxy ? y 2 ? 1 ? a2 ? b2 ? 2, 2b ? 2 , ? a ? 1, b ? 1 .(步骤 2)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得: A ? ?

?1 0 ? ?1 0 ??1 0 ? ? 1 0 ? 2 ?? A ?? ?? ??? ?, ?1 1 ? ?1 1 ??1 1 ? ? 2 1 ?

?1 ? 1 0? A ? 1 ? ? A2 ? ? ? ? .(步骤 3) ? ?2 1 ?

6.(11 福建 T21(1) )设矩阵 M ? ?

? a 0? . ? (其中 a ? 0 , b ? 0 ) ? 0 b?
?1

(Ⅰ)若 a ? 2, b ? 3 ,求矩阵 M 的逆矩阵 M



( Ⅱ ) 若 曲 线 C : x2 ? y 2 ? 1 在 矩 阵 M 所 对 应 的 线 性 变 换 作 用 下 得 到 曲 线

C? :

x2 ? y 2 ? 1 ,求 a , b 的值. 4

【测量目标】矩阵与行列式初步. 【难易程度】中等 【试题解析】 (Ⅰ)设矩阵 M 的逆矩阵 M
?1

?x ?? 1 ? x2

y1 ? ?1 0? ?1 (步骤 1) ? ,则 MM ? ? ?, y2 ? ?0 1?

因为 M ? ?

? 2 0? ? 2 0 ? ? x1 ? ,所以 ? ?? ? 0 3? ? 0 3 ? ? x2

y1 ? ? 1 0 ? (步骤 2) ?? ?, y2 ? ? ?0 1?

所以 2 x1 ? 1 , 2 y1 ? 0 , 3x2 ? 0 , 3 y2 ? 1, 即 x1 ?

1 1 , y1 ? 0 , x2 ? 0 . y2 ? , (步骤 3) 2 3

?1 ?2 ?1 所以 M ? ? ?0 ? ?

? 0? (步骤 4) ?. 1? ? 3?

(Ⅱ)设曲线 C 上的任意一点为 P ? x, y ? ,在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点

P? ? x?, y?? .
则?

? a 0 ?? x ? ? x? ? ? ax ? x? , (步骤 5) ?? ? ? ? ? ? ,即 ? ? 0 b ?? y ? ? y ? ?by ? y?
x2 x? 2 ? y 2 ? 1 上,所以 ? y ?2 ? 1 , (步骤 6) 4 4

又点 P? ? x?, y?? 在曲线 C ? :

a2 x2 ? b 2 y 2 ? 1 为曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 的方程,则 a 2 ? 4 , b2 ? 1 , 即 (步骤 7) 4
又因为 a ? 0, b ? 0 ,则 a ? 2, b ? 1 . (步骤 8) 7.(11 江苏 T21.B)已知矩阵 A ? ? 【测量目标】矩阵与行列式初步. 【难易程度】中等 【参考答案】 ? ? ? 【试题解析】 设 ? ? ? ? ,由 A2? ? ? 得: ?

?1 1? ?1 ? ,向量 ? ? ? ? ,求向量 ? ,使得 A2? ? ? . ? ?2 1? ? 2?

? ?1? ? ?2? ? 3 2? ? x ? ?1 ? , ? ? ? ? ? ? (步骤 1) ? 4 3? ? y ? ? 2?

? x? ? y?

? 3x ? 2 y ? 1 ? x ? ?1 ??1? ?? ?? ,?? ? ? ? (步骤 2) ?4 x ? 3 y ? 2 ? y ? 2 ?2?
8. ( 11 上 海 T10 ) 行 列 式 是 .

a b ( a, b, c, d ?{?1,1, 2} ) 的 所 有 可 能 值 中 , 最 大 的 c d

【测量目标】矩阵与行列式. 【难易程度】容易 【参考答案】6 【试题解析】

a b ? ad ? bc , c d

∵ a, b, c, d ?{?1,1, 2} ∴ ad 的最大值是:2 ? 2=4, bc 的最小值是: ?1? 2 ? ?2 , ∴ ad ? bc 的最大值是 6. 9.(10 江苏 T21.B)在平面直角坐标 xOy 中,已知点 A(0,0),B( ? 2,0),C( ? 2,1).设 k 为非零

实数,矩阵 M= ?

?0 1 ? ? k 0? ,N= ? ? ,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 ? ? 0 1? ?1 0 ?

A1、B1、C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值. 【测量目标】矩阵与行列式初步. 【难易程度】中等 【试题解析】由题设得 MN ? ?

? k 0? ?0 1 ? ?0 k ? ?? ??? ? (步骤 1) ? 0 1 ? ?1 0 ? ?1 0 ?

由?

?0 k ? ?0 ?2 ?2? ?0 0 k ? 、B1(0, ? 2) 、C1( k , ? 2). ?? ??? ? ,可知 A1(0,0) ?1 0 ? ?0 0 1 ? ?0 ?2 ?2?

计算得△ABC 面积的面积是 1,△A1B1C1 的面积是 | k | ,则由题设知: | k |? 2 ?1 ? 2 . (步骤 2) 所以 k 的值为 2 或 ? 2. (步骤 3) 10.(10 福建 T21(1) )已知矩阵 M = ?

?1 a? ?c 2? ? 2 0? ? ,且 MN ? ? ?,N ?? ?, ?0 d ? ?b 1? ? ?2 0 ?

(Ⅰ)求实数 a, b, c, d 的值; (Ⅱ)求直线 y ? 3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的直线的 方程. 【测量目标】矩阵与变换等基础知识. 【难易程度】中等

?c ? 0 ? 2 ?a ? ?1 ? 2 ? ad ? 0 ?b ? ?1 ? ? 【试题解析】 (Ⅰ)由题设得 ? ,解得 ? ; (步骤 1) bc ? 0 ? ? 2 c ? 2 ? ? ? ? 2 b ? d ? 0 ? ?d ? 2
(Ⅱ)因为矩阵 M 所对应的线性变换将直线变成直线(或点) ,所以可取直线 y ? 3x 上的 两(0,0) , (1,3) , (步骤 2) 由?

? 1 ?1?? 0 ? ? 0 ? ? 1 ?1?? 1 ? ? ?2 ? , (1,3)在矩阵 M 所对应 ?? ? ? ? ? , ? ?? ? ? ? ? 得:点(0,0) ? ?1 1 ?? 0 ? ? 0 ? ? ?1 1 ?? 3 ? ? 2 ?

的线性变换下的象是(0,0) , (-2,2) ,从而直线 y ? 3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的 直线的方程为 y ? ? x .(步骤 3)

π π sin 3 6 11.(10 上海 T4)行列式 的值是 π π sin cos 3 6 cos
【测量目标】行列式. 【难易程度】容易 【参考答案】 0

.

π π sin π π π π π 3 6 【试题解析】 = cos cos ? sin sin ? cos ? 0 π π 3 6 3 6 2 sin cos 3 6 cos
n ? ? 1 2 3 ??? n ? 2 n ? 1 ? ? n 1 ? ? 2 3 4 ??? n ? 1 n 1 2 ? 中,记位于第 i 12.(10 上海 T10)在 n 行 n 列矩阵 ? 3 4 5 ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? n 1 2 ??? n ? 3 n ? 2 n ? 1? ? ?
行第 j 列的数 为 aij (i, j ? 1, 2 ???, n) .当 n ? 9 时, a11 ? a22 ? a33 ? ??? ? a99 ? 【测量目标】矩阵与行列式初步. 【难易程度】容易 【参考答案】 45 【试题解析】 a11 ? a22 ? a33 ???? ? a99 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 45 . 13.(09 福建 T21(1) )已知矩阵 M ? .

? 2 ?3 ? ? 所对应的线性变换把点 A(x,y)变成点 A(13, ? 1 ?1 ?

5),试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标. 【测量目标】矩阵与行列式初步 【难易程度】中等 【试题解析】 (1)由 M ? ?

?2 ?1

? 3? ? ?1 ?1 ? , 得 M ? 1,故 M ? ? ?1 ? ? ?1

3? ?, 2?

从而由 ?

?2 ?1

? 3 ?? x ? ?13 ? ? x ? ? ?1 ?? ? ? ? ? 得 ? ? ? ? ? 1 ?? y ? ? 5 ? ? y ? ? ?1

3 ??13 ? ? ?1?13 ? 3 ? 5 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ??? ? 2 ?? 5 ? ? ?1?13 ? 2 ? 5 ? ? ?3 ?

故?

? x ? 2, ,即 A(2, ?3) 为所求. ? y ? ?3

14.(09 江苏 T21.B)求矩阵 A ? ? 【测量目标】矩阵初步. 【难易程度】容易

? 3 2? ? 的逆矩阵. ?2 1?

【试题解析】设矩阵 A 的逆矩阵为 ?

? x y ? ? 3 2 ? ? x y ? ?1 0 ? ?则? ?? ??? ? , (步骤 1) ? z w? ?2 1 ? ? z w? ?0 1?

即?

?3x ? 2 z 3 y ? 2w? ?1 0? ?3x ? 2 z ? 1 ?3 y ? 2w ? 0 (步骤 2) ,? ??? ? 故? ? 2 x ? z 2 y ? w ? ? 0 1 ? ? 2 x ? z ? 0 ?2 y ? w ? 1 ? ?1 2 ? ? .(步骤 4) ? 2 ?3?
4 5 x

解得: x ? ?1, z ? 2, w ? ?2, , (步骤 3) 从而 A 的逆矩阵为 A?1 ? ?

15.(09 上海 T3)若行列式 1

x 3 中,元素 4 的代数余子式大于 0,则 x 满足的条件是 7 8 9

_________. 【测量目标】矩阵初步. 【难易程度】中等 【参考答案】x>

8 3 8 8 ,故答案为:x> . 3 3

【试题解析】依题意,得: ( ? 1)2 ? (9x ? 24)>0,解得: x ?


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