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高一数学三角函数单元测试题


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[新课标版] 命题范围

(三角函数)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,用时 120 分钟。

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5

分,共 60 分.在每小题给 出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项. 1.将分针拨快 10 分钟,则分针转过的弧度数是 ( A.
? 3

) B. ?
?
6

?
3

C



? 6

D. ?

2.已知 ? 是第二象限角,那么 是 ( ) A.第一象限角 二象限角 C.第二或第四象限角 一或第三象限角 3.已知 sin? ? 0, tan? ? 0 ,则 1 ? sin 2 ? 化简的结果为 ( ) A. cos? B .
? cos?

? 2

B.第

D.第

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C. ? cos?
?
2

D.以上都不对

4.函数 y ? cos(2 x ? ) 的图象的一条对称轴方程是 ( )
?
2

A. x ? ? C. x ?
?
8

B D. x ? ?



x??

?
4

5.已知 x ? (? ,0) , sin x ? ? ,则当 k ? Z 时, tan( x ? k? ) ?
2

?

3 5

( A.

) B. ?
3 4

3 4 4 D. ? 3

C.

4 3

6.已知 y ? sin( ? x) 的图象向左平移 m 个单位,所得图象关于 y 轴对称,
6

?


m

的 最 小 值 为 ( A.
? 6

B.

7.函数 f ( x) ? ( ) A.1

cos x ? sin x 的最小正周期为 cos x ? sin x

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

B.

? 2

C. 2?

D. ?

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8.函数 y ? ? cos( ? ) 的单调递增区间是
3

x 2

?




4 2 ? B. ? ?4k? ? 3 ? ,4k? ? 3 ? ? (k ? Z ) ? ? 4 2 2 8 ? ? 2 k ? ? ? , 2 k ? ? ? (k ? Z ) ? 3 3 ? ? ?

? A. ? ?2k? ? 3 ? ,2k? ? 3 ? ? (k ? Z ) ? ?

C
2 8



? D. ? ?4k? ? 3 ? ,4k? ? 3 ? ? (k ? Z ) ? ?

9.函数 y ? 2sin( x ? ) ? 1 , x ? [? , ] 的最大值为
6 2 2

?

? ?

( A.3

) B.2 C. 3 D. ?
3 ?1 2
3

10.以下三个命题: (1)对任意实数 a ,在 ? a, a ? ? ? 上函数 y ? sin( x ? ? ) 都 能取到最大值 1; (2)若存在非零实数 a ,使 f ( x ? a) ? ? f ( x) 对任意实数 x 恒成立,则
f ( x) 是周期函数;

(3)存在 x ? (?

7? 3? , ? ), 使 sin x ? cos x . 4 4

其中正确命题的个数为 ( A.0 D.3 11.函数 y ? 2sin x cos ( )
2
2

) B.1 C.2

x

1 ? sin x

的值域是

A. (?4, 1 ]

B. [?4, 1 ]
2

C



1 [?4, ) 2

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D. (?4, 1 )
2

12.若 ?、? 均为锐角,且 2sin ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ,则 ?与? 的大小 关系为( A. ? ? ? 确定 ) B. ? ? ? C. ? ? ? D.不

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。请把正确答 案填在题中的横线上) 13.把函数 y ? sin(2 x ? ) 先向右平移 个单位,然后向下平移 2 个单
3

?

? 2

位后所得的函数解析式为_________________________. 14.已知 tan ? ? 2 ,则1 ? 3 sin ? ? cos? ? 2 cos2 ? =_______________. 15.函数 y ? 2 sin 3x( ? x ?
6

?

5? ) 与函数 y=2 6

的图像围成一个封闭图形,这个封闭图形的 面积是_____________________. 16.给出下列命题: ①存在实数 ? ,使 sin? ? cos? ? 1 ②存在实数 ? ,使 sin ? ? cos? ? ③函数 y ? sin( ? ? x) 是偶函数 ④x ?
?
8 3 2 3 2

是函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的一条对称轴方程
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5 4

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⑤若 ?、? 是第一象限的角,且 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? ⑥若 ?、? ? ( , ? ) ,且 tan? ? cot ? ,则 ? ? ? ?
2

?

3? 2

其中正确命题的序号是___________________________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知角 ? 终边上一点
cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) 2 P(-4,3) ,求 的值. 11? 9? cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2

?

18. (本小题满分 12 分) 判断下列函数的奇偶性: (I) f ( x) ? cos(2? ? x) ? x3 sin x ; (II) f ( x) ? lg
tan x ? 1 . tan x ? 1

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19. (本小题满分 12 分) 求函数 y ? 2 ? log 1 x ? tan x 的定义域.
2

20. (本小题满分 12 分) 已知 sin x ? cos x ? ? (0 ? x ? ? ) ,求 tan x 的值.
1 5

21. (本小题满分 12 分) 已知 sin 3 ? ? cos3 ? ? 1,求 sin? ? cos? 的值和 sin 4 ? ? cos4 ? 的值.
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22. (本小题满分 14 分) 如下图为函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? c( A ? 0, ? ? 0,? ? 0) 图像的一部分.

(I)求此函数的周期及最大值和最小值; (II)求与这个函数图像关于直线 x ? 2 对称的函数解析式.

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参考答案

一、选择题(每小题 5 分) 1.选 B.分针每分钟转过的弧度数为 ? 度数为 ? .
3 2? ? ? ? ,所以 10 分钟转过的弧 60 30

?

2.选 D.? ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z ,? ? k? ?
2

?

?

?
2

当 k 为偶数时, 在是第一象限角,当 k 为奇数时, 角. 3.选 B.? 是第三象限角,所以, 4.选 B.由 2 x ?
?
? k? , k ? Z 得 x ?

? 2

4

?

?
2

? k? , k ? Z .

? 在是第三象限 2

1 ? sin 2 ? ? cos ? ? ? cos ? .

k? ? ? ? , k ? Z .当 k ? 0 时, x ? ? . 2 2 4 4 4 3 5.选 B. cos x ? , tan( x ? k? ) ? tan x ? ? 5 4 ? ? ? 2? ? 6.选 C. y ? sin( ? x) ? ? sin( x ? ) , ? sin( x ? ? ) ? ? sin( x ? ) ? ? cos x . 6 6 6 3 2 cos x ? sin x 1 ? tan x 7.选 D. f ( x) ? . ? cos x ? sin x 1 ? tan x x ? 2 8 8.选 D.由 2k? ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ,得 4k? ? ? ? x ? 4k? ? ? , (k ? Z ) 2 3 3 3

9.选 D. ? ? x ? ,?? ? x ?
2 2 3

?

?

?

?
6

?

3 ? 2? , ? ? 1 ? 2sin( x ? ) ? 1 ? 2 2 6 3

10.选 C.对于(1), y ? sin( x ? ) 的周期为 2? ,在其半个周期上不一定有
3

?

最大值 ; 对于 (2), 由于 f ( x ? 2a) ? ? f ( x ? a) ? f ( x), 所以 , 2a 是其周期 ; 对于(3),由三角函数线或正余弦函数的图象可知正确.
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11.选 A. y ?

2sin x cos 2 x 1 1 ? 2sin x(1 ? sin x) ? ?2(sin x ? ) 2 ? , 1 ? sin x 2 2

1 ? ?1 ? sin x ? 1,? y ? (?4, ] . 2

12. 选 A.由由已知, sin ? ? sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ,而 sin ? ? sin ? cos ? ,
?sin ? ? cos ? sin ? ,?sin ? ? sin ? .由于 ?、? 均为锐角,所以, ? ? ? .

二、填空题(每小题 4 分)
2? ? ? 个单位,得 ) ? 2 . y ? sin(2 x ? ) 向 右 平 移 3 3 2 ? ? 2? y ? sin[2( x ? ) ? ] , 即 y ? sin(2 x ? ) , 再 向 下 平 移 2 个 单 位 , 得 2 3 3 2? y ? sin(2 x ? ) ? 2 . 3 9 14.填 . 1 ? 3sin ? ? cos? ? 2cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 3sin ? ? cos ? ? 2cos 2 ? . 5

13 . 填 y ? s i n 2x (?

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 3sin ? cos ? tan 2 ? ? 1 ? 3tan ? 9 ? sin ? ? cos ? ? 3sin ? cos ? ? ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 5
2 2

15. 填

4? .将 x 轴下方的部分平分为二,填补到 x 轴上方,构成一个矩形, 3

求矩形的面积即可. 16.填③④⑥. 三、解答题: 17. ∵n a t ?? 分 ∴
cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 2 ----------------------------------10 分 ? 11? 9? ? sin ? ? cos ? cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2 3 ? tan ? ? ? -------------------------------------------------------------------4
y 3 ? ? ---------------------------------------------------------------3 x 4

?

--------12 分
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18 . ( I )

f ( x)

的 定 义 域 为

R, 关 于 原 点 对

称.------------------------------------------2 分 又 f ( x) ? cos x ? x3 sin x, ------------------------------------------3 分
? f (? x) ? cos(? x) ? (? x)3 sin(? x) ? cos x ? x3 sin x ------------------5 分

? f ( x)





,

f ( x)







数.--------------------------------------------------------------------6 分 (II)由
(k? ? tan x ? 1 ? 0 得 tan x ? 1 或 tan x ? ?1 .故函数的定义域为 tan x ? 1

?

, k? ? ) ? (k? ? , k? ? ), k ? Z ------------------------------------2 4 4 2

?

?

?

8分 又
f (? x) ? lg tan(? x) ? 1 tan x ? 1 ---------------------------------------------10 分 ? lg tan(? x) ? 1 tan x ? 1

? lg(

tan x ? 1 ?1 tan x ? 1 ) ? ? lg ? ? f ( x) . tan x ? 1 tan x ? 1





,

f ( x)







数.-------------------------------------------------------------------12 分 19.由 ? ?
?2 ? log 1 x ? 0
2

? ? tan x ? 0

,-------------------------------------------2 分

0? x?4 ? ? 得? ,--------------------------------------7 分 ? k? ? x ? k? ? (k ? Z ) ? ? 2

即 0 ? x ? , 或 ? ? x ? 4 .---------------------------------------11 分
2 2 1 20.∵ sin x ? cos x ? ? (0 ? x ? ? ) 故 cos x ? 0 ------------------------1 分 5
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?

所以函数的定义域为 (0, ) ? ?? , 4? .--------------------------------12 分

?

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2 sin x cos x ? ?











24 -------------------------------------------------3 分 25


(sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? 49 ---------------------------------------5 分 25

而 sin x ? cos x ? 0 ∴
sin x ? cos x ? 7 5

--------------------------------------------------------------------7

分 与 sin x ? cos x ? ? 联立解得
1 5 3 4 sin x ? , cos x ? ? -----------------------------------------------------------5 5

-------10 分 ∴
tan x ? sin x 3 ? ? -----------------------------------------------------------------12 cos x 4

分 21.设 sin ? ? cos? ? t , 则 ? sin ? ? cos ? ?
2

t 2 ?1 ? t , ? sin ? cos ? ? .----------3 分 2
2

?sin 3 ? ? cos3 ? ? (sin ? ? cos? )(1 ? sin ? cos? )

? t (1 ?

t 2 ?1 ) ? 1 .---------------------------------------------------------5 分 2

?t 3 ? 3t ? 2 ? 0,? (t ? 2)(t ? 1) 2 ? 0

.





t ?2? ? 0t ? ,

.

即 1

sin? ? cos? ? 1 .-----8 分
? sin ? cos ? ? t 2 ?1 ? 0 .---------------------------------------------------10 分 2

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? sin 4 ? ? cos4 ? ? (sin 2 ? ? cos2 ? )2 ? 2sin 2 ? cos 2 ?

? 1 ? 0 ? 1 .---------------------------------------------------------------12 分

22 .( I ) 由 图 可 知 , 从 4 ~ 12 的 的 图 像 是 函 数
y ? As i ? nx ? ( ? ) ? c( A ? 0, ? ? 0, ? ? 0) 的 三 分 之 二 个 周 期 的 图 像 ,

------------------------------------------------------------2 分
1 ( 4 ? 2) ? 3 2 1 c ? ( 4 ? 2) ? 1 2 A?







------------------------------------------------------------4 分 故 函 数 的 最 大 值 为 3 , 最 小 值 为 -

3-----------------------------------------------6 分 ∵
2 2? ? ?8 3 ?

--------------------------------------------------------------------------6

分 ∴ ?? ∴
T ? 12 ------------------------------------------------------------------------------8

?
6

分 把
?? ?
2

x=12,y=4













-------------------------------------------------9 分
?
6

所以,函数的解析式为: y ? 3 cos x ? 1 (II)设所求函数的图像上任一点(x,y)关于直线 x ? 2 的对称点
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为( x ?, y ? ) ,则
x? ? 4 ? x, y ? ? y -------------------------------------------------------------11

分 代入 y ? 3 cos x ? 1 中得
2? ?x y ? 3 cos( ? ) ? 1 -----------------------------------------------------13 分 3 6 6

?

∴ 与函数 y ? 3 cos x ? 1 的图像关于直线 x ? 2 对称的函数解析式
6

?

为:
2? ?x y ? 3 cos( ? ) ? 1 ----------------------------------------------------14 分 3 6

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