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北京市六十六中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年北京市六十六中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分) 1. (4 分)设集合 A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=() A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 2. (4 分)在同一坐标系中,函数 y=2 与 y=log2

x 的图象之间的关系是() A.关于 y 轴对称 B. 关于 x 轴对称 C. 关于原点对称 D.关于直线 y=x 对称 3. (4 分)下列各组函数中,表示同一函数的是() A.y=x,y= C. y=|x|,y=( )
2 x

B. y=lgx ,y=2lgx D.y=1,y=x
0

2

4. (4 分)设(x,y)在映射 f 下的象是(2x+y,x﹣2y) ,则在 f 下,象(2,1)的原象是() A. B.(1,0) C.(1,2) D.(3,2)

5. (4 分)设 a=6 ,b=0.5 , A.a>b>c B.b>a>c
x

0.5

6

,则 a,b,c 的大小关系为() C.c>b>a D.a>c>b

6. (4 分)函数 g(x)=2 +5x 的零点所在的一个区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(﹣1,0)
a x

D.(﹣2,﹣1)

7. (4 分)已知函数 f(x)=x ,g(x)=a ,h(x)=logax(其中 a>0,a≠1)在同一坐标系中 画出其中两个函数在第一象限内的图象,其中正确的是()

A.

B.

C.

D.

8. (4 分)对实数 a 与 b,定义新运算“?”:a?b=

.设函数 f(x)=(x ﹣2)

2

?(x﹣1) ,x∈R.若函数 y=f(x)﹣c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是 () A.(﹣1,1]∪(2,+∞) B.(﹣2,﹣1]∪(1,2] C. (﹣∞,﹣2) ∪(1,2] D.

二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 9. (4 分)幂函数 y=f(x)的图象过点(2, ) ,则 f(4)=.

10. (4 分)2lg2+lg25 的值等于.

11. (4 分)已知函数

,若 f(x0)=8,则 x0=.

12. (4 分)函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上递减,则实数 a 的取值范围 是. 13. (4 分)设 f (x)是定义在 R 上的偶函数,若 f(x)在 2 (2)设函数 f(x)=lg(﹣x +ax+b) ,求最小的整数 m,使得对于任意的 x∈A,都有 f(x)≤m 成立.

2

18. (14 分)已知指数函数 y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为 R 的函数 f(x)= 是奇函数. (1)确定 y=g(x)的解析式; (2)求 m、n 的值; (3)判断 f(x) 的单调性,并证明.

2014-2015 学年北京市六十六中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分) 1. (4 分)设集合 A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=() A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 分析: 属于集合简单运算问题.此类问题只要审题清晰、做题时按部就班基本上就不会出 错. 解答: 解:∵集合 A={1,2},B={1,2,3}, ∴A∩B=A={1,2}, 又∵C={2,3,4}, ∴(A∩B)∪C={1,2,3,4} 故选 D. 点评: 考查的是集合交、并、补的简单基本运算.

2. (4 分)在同一坐标系中,函数 y=2 与 y=log2x 的图象之间的关系是() A.关于 y 轴对称 B. 关于 x 轴对称 C. 关于原点对称 D.关于直线 y=x 对称 考点: 反函数. 专题: 计算题. 分析: 结合所学知识,容易判断两个函数的关系,互为反函数,所以关于直线 y=x 对称. x 解答: 解:函数 y=2 与 y=log2x 的图象之间的关系:两者之间是互为反函数,图 象关于直 线 y=x 对称, 故选 D 点评: 本题是基础题,考查互为反函数的图象之间的关系,是常考题型. 3. (4 分)下列各组函数中,表示同一函数的是() A.y=x,y= C. y=|x|,y=( )
2

x

B. y=lgx ,y=2lgx D.y=1,y=x
0

2

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 证明题. 分析: 考查各个选项中的两个函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系,否则,便不 是同一个函数. 解答: 解:A 中的两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系,故是同一个函数. B 中的两个函数定义域不同,故不 是同一个函数. C 中的两个函数定义域不同,故不是同一个函数. D 中的两个函数定义域不同,故不是同一个函数.综上,只有 A 中的两个函数是同一个函数. 故选 A. 点评: 本题考查函数的三要素,当且仅当两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系时, 才是同一个函数. 4. (4 分)设(x,y)在映射 f 下的象是(2x+y,x﹣2y) ,则在 f 下,象(2,1)的原象是() A. B.(1,0) C.(1,2) D.(3,2)

考点: 映射. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用(x,y)在映射 f 下的象是(2x+y,x﹣2y) ,即可得出 ,解得即可.

解答: 解:由题意可得

,解得



∴在 f 下,象(2,1)的原象是(1,0) . 故选 B.

点评: 本题考查了映射的意义,属于基础题. 5. (4 分)设 a=6 ,b=0.5 , A.a>b>c B.b>a>c
0.5 6

,则 a,b,c 的大小关系为() C.c>b>a D.a>c>b

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 比较大小常常利用函数的单调性进行比较,不同函数值常常寻找中间值 0 与 1 进行 比较. 解答: 解:∵a=6 =
0.5

>1,0<b=0.5 <0.5 =1,

6

0

<log61=0,

∴a>b>c. 故选:A. 点评: 本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的单调性和值域,属于基础题. 6. (4 分)函数 g(x)=2 +5x 的零点所在的一个区间是() A.(0,1) B.( 1,2) C.(﹣1,0) 考点: 专题: 分析: 解答:
x

D.(﹣2,﹣1)

函数零点的判定定理. 函数的性质及应用. 判断函数的单调性,根据函数零点的判断条件即可得到结论. 解:函数 g(x)单调递增,
﹣1

∵g(﹣1)=2 ﹣5=

,g(0)=1>0,

∴g(﹣1)g(0)<0, 即函数 g(x)在(﹣1,0)内存在唯一的零点, 故选:C. 点评: 本题主要考查函数零点区间的判断,根据函数零点存在的条件是解决本题的关键. 7. (4 分)已知函数 f(x)=x ,g(x)=a ,h(x)=logax(其中 a>0,a≠1)在同一坐标系中 画出其中两个函数在第一象限内的图象,其中正确的是()
a x

A.

B.

C.

D.

考点: 指数函数的图像与性质;对数函数的图像与性质. 专题: 数形结合. 分析: 考查题设条件,此三个函数分别为幂函数,指数函数与对数函数,由于其中的参数 是指数与对数函数的底数,故分 a>1 与 0<a<1 两类讨论验证即可. 解答: 解:幂函数 f(x)的图象一定经过(1,1) ,当 a>0 时经过原点; 指数函数 g(x)的图象经过点(0,1) ,当 a>1 时,图象递增,当 0<a<1 时,图象递减;

对数函数 h(x)的图象经过点(1,0) ,当 a>1 时,图象递增,当 0<a<1 时,图象递减, 对于 A,其中指数底数应大于 1,而幂函数的指数应小于 0,故 A 不对; 对于选项 B,其中幂函数的指数大于 1,对数函数的底数也应大于 1,故 B 对; 对于选项 C,其中指数函数图象递增,其底数应大于 1,而对数函数图象递减,其底数小于 1, 故 C 不对; 对于选项 D,其中幂函数的图象递增,递增的越来越快,指数函数的图象递减,故幂函数的指 数应大于 1,而指数函数的底数小于 1,故 D 不对. 由上,B 正确 故选 B. 点评: 本题考点是指、对、幂函数的图象,幂、指、对三函数是中学初等函数最重要的函 数,也是高考必考内容.对其图象与性质应好好掌握理解.

8. (4 分)对实数 a 与 b,定义新运算“?”:a?b=

.设函数 f(x)=(x ﹣2)

2

?(x﹣1) ,x∈R.若函数 y=f(x)﹣c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围 是() A.(﹣1,1]∪(2,+∞) B.(﹣2,﹣1]∪(1,2] C. (﹣∞,﹣2) ∪(1,2 ] D. 考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据定义的运算法则化简函数 f(x)=(x ﹣2)?(x﹣1) ,的解析式,并画出 f(x) 的图象,函数 y=f(x)﹣c 的图象与 x 轴恰有两个公共点转化为 y=f(x) ,y=c 图象的交点问 题,结合图象求得实数 c 的取值范围. 解答: 解:∵ ∴函数 f(x)=(x ﹣2)?(x﹣1) = ,
2 2



由图可知,当 c∈(﹣2,﹣1]∪(1,2] 函数 f(x) 与 y=c 的图象有两个公共点, ∴c 的取值范围是 (﹣2,﹣1]∪(1,2], 故选 B.

点评: 本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用,及数形结合的思想.属于 基础题. 二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 9. (4 分)幂函数 y=f(x)的图象过点(2, ) ,则 f(4)= .

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用幂函数的定义即可求出. 解答: 解:设幂函数 f(x)=x , ∵幂函数 y=f(x)的图象过点(2, ∴ =2 , ,
a α

) ,

解得 a= ∴f(x)= ∴f(4)=

, = ,

故答案为: . 点评: 熟练掌握幂函数的定义是解题的关键 10. (4 分)2lg2+lg25 的值等于 2. 考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题.

分析: 由对数的运算性质对所给的对数式 lg25+2lg2 进行化简求值. 解答: 解:lg25+2lg2=2lg5+2lg2 =2(lg5+lg2)=2 故答案为:2. 点评: 本题考查对数的运算性质,解题的关键是熟练掌握对数的运算性质,并能用运算性 质进行化简运算.

11. (4 分)已知函数

,若 f(x0)=8,则 x0=



考点: 函数的值;函数的零点. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数的值域,判断方程的表达式,求解即可. 解答: 解:∵ 当 x≤2 时 f(x)≤4, 当 x>2 时 f(x)>6, ∵f(x0)=8, ∴ , ,

解得 x0= . 故答案为: . 点评: 本题考查函数值的求法与应用,方程的解法,考查分析问题解决问题的能力. 12. (4 分)函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上递减,则实数 a 的取值范围是 (﹣∞,﹣3]. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: f(x)是二次函数,所以对称轴为 x=1﹣a,所以要使 f(x)在区间(﹣∞,4]上递减, a 应满足:4≤1﹣a,解不等式即得 a 的取值范围. 解答: 解:函数 f(x)的对称轴为 x=1﹣a; ∵f(x)在区间(﹣∞,4]上递减; ∴4≤1﹣a,a≤﹣3; ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣3]. 故答案为: (﹣∞,﹣3]. 点评: 考查递减函数图象的特点,以及二次函数的单调性和对称轴的关系. 13. (4 分)设 f (x)是定义在 R 上的偶函数,若 f(x)在上的单调性,根据单调性的定义 即可求得. 解答: 解:由题意,x+1>2 或 x+1<﹣2,解得 x>1 或 x<﹣3, 故答案为: (﹣∞,﹣3)∪(1,+∞) .
2

点评: 本题考查的知识点是函数单调性的应用,其中利用偶函数在对称区间上单调性相反, 判断 f(x)在(﹣∞,0]上的单调性是解答本题的关键. 14. (4 分)对于任意定义在 R 上的函数 f(x) ,若实数 x0 满足 f(x0)=x0,则称 x0 是函数 f 2 (x)的一个不动点.若二次函数 f(x)=x ﹣ax+1 没有不动点,则实数 a 的取值范围是﹣3< a<1. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 不动点实际上就是方程 f(x0)=x0 的实数根.二次函数 f(x)=x ﹣ax+1 没有不动点, 2 是指方程 x=x ﹣ax +1 无实根.然后根据根的判别式△ <0 解答即可. 2 解答: 解:根据题意,得 x=x ﹣ax+1 无实数根, 2 即 x +(﹣a﹣1)x+1=0 无实数根, 2 ∴△=(﹣a﹣1) ﹣4<0, 解得:﹣3<a<1; 故答案是:﹣3<a<1. 点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用.解答该题时, 借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点. 三、计算题(本题共 4 小题,共 44 分) 15. (10 分)设全集为 R,集合 A={x|x≤3 或 x≥6},B={x|﹣2<x<9}. (1)求 A∪B, (?UA)∩B; (2)已知 C={x|a<x<a+1},若 C?B,求实数 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: (1)根据集合的基本运算即可求 A∪B, (?UA)∩B; (2)根据 C?B,建立条件关系即可求实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)∵={x|x≤3 或 x≥6},B={x|﹣2<x<9}. ∴A∪B=R, (?UA)∩B={x|3<x<6}∩{x|﹣2<x<9}={x|3<x<6}; (2)若 C?B,则 ,解得﹣2≤a≤8.

点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 16. (10 分)已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y) ,f (2)=1. (1)求证:f(8)=3. (2)求不等式 f(x)﹣f(x﹣2)>3 的解集. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)由已知利用赋值法及已知 f(2)=1 可求证明 f(8) (2)原不等式可化为 f(x)>f(8x﹣16) ,结合 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数可求

解答: 证明: (1)由题意可得 f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=3f(2) =3 解: (2)原不等式可化为 f(x)>f(x﹣2)+3=f(x﹣2)+f(8)=f(8x﹣16) ∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数 ∴

解得: 点评: 本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值及利用函数的单调性求解不等 式,解题的关键是熟练应用函数的性质 17. (10 分)已知关于 x 的不等式﹣x +ax+b>0 的解集为 A={x|﹣1<x<3,x∈R} (1)求 a、b 的值 2 (2)设函数 f(x )=lg(﹣x +ax+b) ,求最小的整数 m,使得对于任意的 x∈A,都有 f(x)≤m 成立. 考点: 一元二次不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 计算题. 2 分析: (1) 根据题中条件:“x 的不等式﹣x +ax+b>0 的解集为 A={x|﹣1<x<3,x∈R}” 得﹣1 和 3 是相应方程的根,结合方程根的定义即可求得 a 值. 2 2 (2) 由 (1) 得: 函数 f (x) =lg (﹣x +2x+3) , x∈A={x|﹣1<x<3, x∈R}得出 0<﹣x +2x+3≤4, 2 根据对于任意的 x∈A,都有 f(x)≤m 成立,得出 m 要大于等于 lg(﹣x +2x+3)的最大值即 可,从而 m≥lg4,最后得出 m 最小的整数. 解答: 解: (1)∵关于 x 的不等式﹣x +ax+b>0 的解集为 A={x|﹣1<x<3,x∈R} 2 ∴当 x=﹣1 或 3 时,﹣x +ax+b>0, 即 ∴a=2,b=3. (2)由(1)得:函数 f(x)=lg(﹣x +2x+3) , ∵x∈A={x|﹣1<x<3,x∈R} 2 ∴0<﹣x +2x+3≤4 2 ∴lg(﹣x +2x+3)≤lg4, 从而 m≥lg4, 故最小的整数 m=1. 点评: 本小题主要考查一元二次不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识,考查运算求 解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想.属于基础题.
2 2 2

18. (14 分)已知指数函数 y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为 R 的函数 f(x)= 是奇函数. (1)确定 y=g(x)的解析式;

(2)求 m、n 的值; (3)判断 f(x) 的单调性,并证明. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据条件即可确定 y=g(x)的解析式; (2)建立方程关系即可求 m、n 的值; (3)根据函数单调性的定义和性质即可判 断 f(x) 的单调性,并证明. x 解答: 解: (1)设 g(x)=a , ∵g(3)=8,∴解得 a=2, x 即 g(x)=2 …(3 分) (2)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,∴ =0,∴n=1.…(5 分) =
x x+1

由 f(﹣x)=﹣f(x) ,得 ∴ =

, ,

,∴2+m?2 =m+2

即 m=2.…(8 分) (3)函数 f(x)在 R 上是减函数. 证明:由(1)知 f(x)= =﹣ + .…(10 分) =

…(9 分)

设任意 x1∈R,x2∈R,且 x1<x2, 则 f(x2)﹣f(x1)= ,

∵x1<x2, ∴f(x2)﹣f(x1)<0, 即 f(x2)<f(x1) , 则 f(x)单调递减. .…(13 分) 点评: 本题主要考查函数解析式的求解,以 及函数单调性的判断,要求熟练掌握函数的综 合性质.


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