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2016届高考数学二轮复习 第二部分 思想方法专题部分专题跟踪训练30 文


专题跟踪训练(三十)
一、选择题 1.(2014?温州十校联考)已知全集 U=R,M={x|x<0 或 x>2},N={x|x -4x+3<0}, 则图中阴影部分所表示的集合是( )
2

A.{x|0≤x<1} C.{x|1<x≤2}

B.{x|0≤x≤2} D.{x|x<2}

[解析] 由已知?UM={x|0≤x≤2},N={x|1<x<3},(?UM)∩N={x|1<x≤2},故阴影为 (1,2],故选 C. [答案] C 2.函数 f(x)=cos 2x+2sin x 的最小值和最大值分别为( A.-3,1 3 C.-3, 2 [解析] cos 2x=1-2sin x, ∴f(x)=1-2sin x+2sin x=-2sin x+2sin x+1. 设 t=sin x,则 t∈[-1,1],∴y=-2t +2t+1 3 易得 ymax= ,ymin=-3.故选 C. 2 [答案] C
2 2 2 2

)

B.-2,2 3 D.-2, 2

x2 y 2 3.过双曲线 2- 2=1 上任意一点 P,引与实轴平行的直线,交两渐近线于 R、Q 两点, a b
→ → 则PR?PQ的值为( A.a
2

) B.b
2

C.2ab → [答案] A

D.a +b →

2

2

[解析] 当直线 PQ 与 x 轴重合时,|PR|=|RQ|=a,故选 A.

4.在△ABC 中,三边长 a,b,c 满足 a+c=3b,则 tan tan 的值为( 2 2

A

C

)

1

A. C.

1 5 1 2

B. D.

1 4 2 3

[解析] 令 a=4,c=5,b=3,则符合题意.

C 4 A 1 则由∠C=90°,得 tan =1,由 tan A= ,得 tan = . 2 3 2 2 A C 1 1 ∴tan ?tan = ?1= ,选 C. 2 2 2 2
[答案] C

? π π? 5.若 α 、β ∈?- , ?,且 α sin α -β sin β >0,则下面结论正确的是( ? 2 2?
A.α >β C.α <β B.α +β >0 D.α >β
2 2

)

[解析] 令 f(x)=xsin x,则 f′(x)=sin x+x?cos x.

? π π? ? π? ∵x∈?- , ?,f(x)为偶函数,且当 x∈?0, ?时,f′(x)≥0, 2? ? 2 2? ? ? π? ? π ? ∴f(x)在?0, ?上为增函数,在?- ,0?上为减函数. 2? ? ? 2 ?
∴α sin α -β sin β >0?f(|α |)>f(|β |)? |α |>|β |? α >β
2 2

,故选 D.

[答案] D → → 6.如图,在圆 O 中,若弦 AB=3,弦 AC=5,则AO?BC的值是( )

A.-8 C.1

B.-1 D.8 →

→ → → → → → → 1 [解析] 取 BC 的中点 D, 连接 AD、 OD, 则有 OD⊥BC, AD= (AB+AC), BC=AC-AB, AO?BC 2

2

→ → → → → → 1 1 1 2 2 2 =(AD+DO)?BC=AD?BC+DO?BC=AD?BC= (AB+AC)?(AC-AB)= (AC -AB )= ?(5 2 2 2 -3 )=8,选 D. [答案] D 二、填空题 7.已知 P 是椭圆 + =1 上任意一点,EF 是圆 M:x +(y-2) =1 的直径,则PE?PF 16 8 的最大值为________. [解析] 设圆心为 M,P(x,y),则 M(0,2). → → → → → → → →
2





→ →











x2

y2

→ →
2 2

PE?PF=(PM+ME)?(PM+MF)
→ → →
2

=(PM+ME)?(PM-ME) →
2 2 2

=PM -ME =x +(y-2) -1, 由点 P 在椭圆上,所以 + =1,即 16 8

x2

y2

x2=16-2y2(-2 2≤y≤2 2).
→ [答案] 23 8.(2015?银川模拟)函数 f(x)= x+ 1-x的值域为________. [解析] ∵f(x)的定义域为 x∈[0,1], π? ? 2 ∴设 x=sin α ?0≤α ≤ ?, 2? ? π? ? 则 y=sin α +cos α = 2sin?α + ?∈[1, 2]. 4? ? [答案] [1, 2] 9.已知函数 f(x)=x +2x+aln x,若函数 f(x)在区间(0,1]上为单调增函数,则实数
2


2

由此可得PE?PF=-y -4y+19,当 y=-2 时,取得最大值为 23.

a 的取值范围是________.
[解析] ∵f(x)=x +2x+aln x,∴f′(x)=2x+2+ . ∵f(x)在(0,1]上为单调增函数, ∴2x+2+ ≥0 在(0,1]上恒成立, 即 a≥-2x -2x 在(0,1]上恒成立.
3
2 2

a x

a x

∵0<x≤1 时,-2x -2x<0, ∴a≥0.即 a 的取值范围是[0,+∞). [答案] [0,+∞) 三、解答题

2

? π? 10.(2015?辽宁沈阳质量监测一)已知函数 f(x)=2sin xsin?x+ ?. 6? ?
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间;

? π? (2)当 x∈?0, ?时,求函数 f(x)的值域. 2? ?
[解] (1)f(x)=2sin x? = 3? 1 ? 3 ? sin x+ cos x? 2 ?2 ?

1-cos 2x 1 + sin 2x 2 2

π? 3 ? =sin?2x- ?+ . 3? 2 ? 函数 f(x)的最小正周期为 T=π . π π π 由- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 解得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 12 12 5π ? π ? 所以函数 f(x)的单调递增区间是?- +kπ , +kπ ?,k∈Z. 12 ? 12 ? π ? π 2π ? ? π? (2)当 x∈?0, ?时,2x- ∈?- , ?, 2 3 ? 3 ? 3 ? ? π? ? 3 ? 3? ? ? sin?2x- ?∈?- ,1?,f(x)∈?0,1+ ?. 3 ? ? ? 2 2? ? ? 11.(2015?山西质量监测)在数列{an}中,a1=1,an+1?an=an-an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=lg

an+2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an
1

[解] (1)由题意得

an+1 an

1 1 - =1,又 a1=1,所以 =1.

a1

?1? 所以数列? ?是首项、公差均为 1 的等差数列, ?an?

1 1 所以 =n,即 an= .

an

n

1 所以数列{an}的通项公式为 an= .

n

4

(2)由(1)得 bn=lg n-ln(n+2), 所以 Sn=lg 1-lg 3+lg 2-lg 4+lg 3-lg 5+…+lg(n-2)-lg n+lg(n-1)-lg(n +1)+lg n-lg(n+2) =lg 1+lg 2-lg(n+1)-lg(n+2) 2 =lg . ?n+1??n+2? 12.(2015?广西南宁第二次测试)已知抛物线 C:y=2x ,直线 l:y=kx+2 交 C 于 A,
2

B 两点,M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N.
(1)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (2)是否存在实数 k,使以 AB 为直径的圆 M 经过点 N?若存在,求 k 的值;若不存在, 说明理由. [解] (1)证法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),把 y=kx+2 代入 y=2x 中,得 2x -kx -2=0, ∴x1+x2= . 2
2 2

k

?k k ? ∵xN=xM= = ,∴N 点的坐标为? , ?. 2 4 ?4 8 ?
x1+x2 k
∵(2x )′=4x,∴(2x )′|x= =k, 4 即抛物线在点 N 处的切线的斜率为 k. ∵直线 l:y=kx+2 的斜率为 k,∴切线平行于 AB. 证法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),把 y=kx+2 代入 y=2x 中得 2x -kx-2=0, ∴x1+x2= . 2
2 2 2 2

2

k

k

?k k ? ∵xN=xM= = ,∴N 点的坐标为? , ?. 2 4 ?4 8 ?
x1+x2 k
设抛物线在点 N 处的切线 l1 的方程为 y- =m?x- ?, 8 ? 4? 将 y=2x 代入上式得 2x -mx+ - =0, 4 8 ∵直线 l1 与抛物线 C 相切,
2 2

2

k2

?

k?

mk k2

? ? 2 2 2 2 ∴Δ =m -8? - ?=m -2mk+k =(m-k) =0, ? 4 8?
∴m=k,即 l1∥AB. (2)假设存在实数 k,使以 AB 为直径的圆 M 经过点 N. 1 ∵M 是 AB 的中点,∴|MN|= |AB|. 2
5

mk k2

1 1 由(1)知 yM= (y1+y2)= (kx1+2+kx2+2) 2 2 1 1?k ? k = [k(x1+x2)+4]= ? +4?= +2, 2 2? 2 ? 4 ∵MN⊥x 轴, ∴|MN|=|yM-yN|= +2- = 4 8
2 2 2

k2

k2 k2+16
8
2

.

∵|AB|= 1+k ? ?x1+x2? -4x1x2 = 1+k ?
2

?k?2-4??-1? ?2? ? ?

1 2 2 = k +1? k +16. 2 ∴

k2+16 1
8 = 4

k2+1? k2+16,∴k=±2,

∴存在实数 k=±2,使以 AB 为直径的圆 M 经过点 N.

6


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