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福建省龙岩市2013届高三临考适应性检测 文科数学卷4


福建省龙岩市 2013 届高三临考适应性检测文科数学卷 4
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动,某学校举 办了一次以班级为单位的广播操比赛,9 位评委给高三.1 班打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分 和

一个最低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时, 发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清,若记分员计 算无误,则数字 x 应该是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |?

π )的图 2

象如图所示为了得到 f ( x ) 的图象, 则只要将 g ( x ) ? sin 2 x 的 图像( )

π 个单位长度 12 π C. 向左平移 个单位长度 12
A. 向右平移
2

π 个单位长度 6 π D. 向左平移 个单位长度 6
B. 向右平移

3. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2bx 的图象在点 A(0, f (0)) 处的切线 L 与直线 x ? y ? 3 ? 0 平行,若数列

? 1 ? ? ? 的前 n 项和为 Sn ,则 S2011 的值为( ? f (n) ?
A.



2012 2011

B.

2010 2011

C.

2013 2012

D. )

2011 2012

4.已知集合 U={1,2,3,4},A={1},B={2,4},则 (CU A) ? B =( A. {1} 5.复数 z ? B. {2,4} C. {2,3,4} )

D. {1,2,3,4}

i 在复平面内对应点位于( 1? i

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左 面、右面”表示,如图是一个正方体的表面展开图,若图中“努” 在正方体的后面,那么这个正方体的前面是( ) A. 定 B. 有 C. 收 D. 获 7. 已知 f ( x ) ? x ? 4 x ,则 f (sin x ) 的最小值为(
2

) D. 0

A. -5

B. -4

C. -3
·1·

? x2 ? y2 ? 1 ??? ??? ? ? ? 8. 设 O 为坐标原点,A(1,1) ,若点 B(x,y)满足 ?0 ? x ? 1 ,则 OA ? OB 取得最小值时,点 B ?0 ? y ? 1 ?
的个数是( A. 1 ) B. 2 C. 3 D. 无数个

9. 某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物费 y2 与到 车站的距离成正比, 如果在距离车站 12 公里处建仓库, 这两项费用 y1 和 y2 分别为 3 万元和 12 万元, 那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( ) A. 5 公里处 B. 6 公里处 C. 7 公里处
x

D. 8 公里处 )

10. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? e ? 2 ,则 f ( x ) 的零点个数是( A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

x2 y2 11. 设 双 曲 线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的 离 心 率 为 e ? 2 , 右 焦 点 为 f ( c, 0) , 方 程 a b
( ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个实根分别为 x1 和 x2 ,则点 P( x1 , x2 ) A. 在圆 x ? y ? 8 外
2 2



B. 在圆 x ? y ? 8 上
2 2

C. 在圆 x ? y ? 8 内
2 2

D. 不在圆 x ? y ? 8 内
2 2

12.已知函数 y ? f ( x ) 的定义域是 R,若对于任意的正数 a,函数 g(x)=f(x)-f(x-a)都是其定义 域 上 的 减 函 数 , 则 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 可 能 是 ( )

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在答 题纸的相应位置. 13.已知 f ( x ) ? ?

x?0 ?sin πx 5 ,则 f ( ) 的值为 6 ? f (x -1)+1 x >0
.
·2·

.

14.按右图所示的程序框图运算,则输出 S 的值是

15. 如图,矩形的长为 6,宽为 3,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在影阴部分的黄豆为 125 颗,则我们可以估计出影阴部分的面积约为 . 16. 下列命题中: ①命题“ ?x ? R, x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? 0 ”;
2 2

②线性相关系数 r 的绝对值越接近于 1,表明两个变量线性相关程度越强; ③若 n ? a , m // n, 则m // a; ④ “a ?

2 ”是“直线 ax ? 2 y ? 3a ? 0 与直线 3x ? ( a ? 1) y ? 7 ? a ? 0 相互垂直”的充要条 5

件.其中真命题的序号是 .(请填上所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 17. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ?

3 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 1

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和最小值; (Ⅱ)设 ? ABC 的内角 A, B, C 对边分别为 a , b, c, 且c ?

?? 3, f (C ) ? 3, 若m ? (sin A, ?1) 与

? n ? (2,sin B ) 垂直,求 a, b 的值.

18. (本题满分 12 分) 为迎接建党 91 周年,某班开展了一次“党史知识 竞赛”,竞赛分初赛和决赛两个阶段进行,在初赛 后,把成绩(满分为 100 分,分数均匀整数)进 行统计,制成如右图的频率分布表: (Ⅰ)求 a , b, c, d 的值; (Ⅱ)若得分在之间的有机会进入决赛, 已知其中男女比例为 2∶3,如果一等奖只有两名, 求获得一等奖的全部为女生的概率.
·3·

19. (本题满分 12 分) 如图所示,在矩形 ABCD 中, AB ? 4, AD ? 2, E是CD 的中点,O 为 AE 的中点,以 AE 为折痕 将 ? ADE 向上折起,使 D 到 P 点位置,且 PC ? PB, F 是 BP 的中点. (Ⅰ)求证:CF//面 APE; (Ⅱ)求证: PO ? 面ABCE .

20. (本题满分 12 分) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 的 和 Sn ? n 2 ? 2 n , 数 列 {bn } 是 正 项 等 比 数 列 , 且 满 足
·4·

a1 ? 2b1 , b3 ( a3 ? a1 ) ? b1 .
(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项的和.

21. (本题满分 12 分) 已知函数: f ( x ) ? ln x ? ax ? 3( a ? 0) (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若对于任意的 a ? [1, 2] ,若函数 g ( x ) ? x ?
3

x2 [m ? 2 f ?( x )] 在区间(a,3)上有最值, 2

求实数 m 的取值范围.

22.(本题满分 14 分)直线 l : y ? k ( x ? 1) 过已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 经过点(0, 3 ) ,离心率为 a 2 b2

1 ,经过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 x=4 上的射影依次为点 2
·5·

D、K、E. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若直线 l 交 y 轴于点 M, MA ? ? AF , MB ? ? BF , 且 当直线 l 的倾斜角变化时, 探求 ? ? ? 的值是否为定值?若是,求出 ? ? ? 的值,否则,说明理由; (Ⅲ)连接 AE、BD,试探索当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点?若是, 请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由.

????

??? ???? ?

??? ?

参 一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 A

考 答 案 6 B 7 C 8 B 9 B 10 D 11 C 12 B

二、填空题 13.

1 2

14. 63

15.

15 2

16. ②④

三、解答题 17. 解: (Ⅰ)? f ( x ) ?

π 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2sin(2 x ? ) ? 2 ????????2 分 6 π π π π π 令 ? ? 2kπ ? 2 x ? ? ? 2kπ,得 ? ? kπ ? x ? ? kπ , 2 6 2 3 6 π π ? 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [ ? ? kπ, ? kπ], k ? z, ?????????4 分 3 6
·6·

(Ⅱ)由题意可知, f (C ) ? 2sin(2C ?

π π 1 ) ? 2 ? 3,? sin(2C ? ) ? , 6 6 2 π π π 5π π ? 0 ? C ? π, ? 2C+ ? 或2C+ ? , 即C ? 0 (舍)或 C ? ??????6 分 6 6 6 6 3 ?? ? ? m ? (sin A, ?1)与n ? (2,sin B ) 垂直,? 2sin A ? sin B ? 0, 即2a ? b ????8 分 ? c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos

π ②???????????10 分 ? a 2 ? b 2 ? ab ? 3 3 由①②解得, a ? 1, b ? 2. ????????????????????????12 分 25 18.(Ⅰ) a ? 50 ? 0.1 ? 5, b ? ? 0.5, c ? 5, d ? 0.1 ?????????????4 分 50
(Ⅱ)把得分在之间的五名学生分别计为“男甲,男乙,女甲,女乙,女丙”,则事 件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男甲,男乙)(男甲,女甲)(男甲,女 , , 乙)(男甲,女丙)(男乙,女甲)(男乙,女乙)(男乙,女丙)(女甲,女乙) , , , , , , (女甲,女丙)(女乙,女丙) , ,共 10 个基本事件,??????????8 分 事件“获得一等奖的全部为女生”包含的所有事件为(女甲,女乙)(女甲,女丙) , , (女乙,女丙) ,共 3 个基本事件,?????????????????10 分 获得一等奖的全部为女生的概率 P ?

3 ???????????????12 分 10

19.解: (Ⅰ)取 AB 中点 G ,连接 GF,GC, ? EC // AB, EC ? AB,? 四边形 AECG 为平行四边形, ? AE // GC , ???????????????????????????2 分 在 ? ABP 中,GF//AP???????3 分 又 GF ? GC ? G , AE ? AP ? A 所以平面 APE//平面 FGC??????5 分 又 FC ? 平面FGC 所以,CF//面 APE????????6 分 (Ⅱ) PA ? PE , OA ? OE ? PO ? AE 取 BC 的中点 H,连 OH,PH,

? OH // AB,? OH ? BC 因为 PB ? PC ? BC ? PH , 所以 BC ? 面POH 从而 BC ? PO ???????????????????????????10 分 又 BC 与 PO 相交,可得 PO ? 面ABCE ????????????????12 分
20. 解(1)数列 {an } 前 n 项的和 Sn ? n 2 ? 2n

? an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ? 1(n ? N, n ? 2) ??????????????2 分
又 an ? S1 ? 3, 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1( n ? N * ) ????????????3 分
·7·

因为数列 {bn } 是正项等比数列,

b1 ?

1 3 b 1 1 a1 ? , a3 ? a1 ? 4,? 3 ? ? , ??????????????4 分 2 2 b1 a3 ? a1 4

1 ,?????????????????????????????5 分 2 3 1 1 数列 {bn } 的通项公式为 bn ? ? n ?1 ? 3 ? ( ) n ( n ? N * ) ???????????6 分 2 2 2 1 n (2)所以 cn ? 3(2n ? 1)( ) , 设数列 {cn } 的前 n 项的和为 Tn 2 1 1 1 Tn ? 3[3 ? ? 5 ? ( ) 2 ? ? ?(2n ? 1) ? ( ) n ] 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 3[3 ? ( ) 2 ? 5 ? ( )3 +?+ (2n ? 1) ? ( ) n ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 ] 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 (1 ? )Tn ? 3{3 ? ? 2[( ) 2 ? ( )3 ? ?+ ( ) n ] ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1} 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 (1 ? ( ) n ?1 ) 1 1 1 2 Tn ? 3{3 ? ? 2[ 2 ] ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1} 1 2 2 2 1? 2 1 ? Tn ? 15 ? (6n ? 15) ? ( ) n ??????????????????????12 分 2 1 21. (Ⅰ)由已知得 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,且 f ?( x ) ? ? a ,????????2 分 x 1 1 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (0, ) ,减区间为 ( , ??) ; a a
公比为 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (0, ??) ,无减区间;??????????6 分 (Ⅱ) g ( x ) ? x ?
3

x2 m [m ? 2 f ?( x )] ? x 3 ? ( ? a ) x 2 ? x, 2 2

? g ?( x ) ? 3x 2 ? ( m ? 2a ) x ? 1,
? g ( x ) 在区间 ( a,3) 上有最值,? g ( x ) 在区间 ( a,3) 上总不是单调函数,
又 g ?(0) ? ?1? ?

? g ?( a ) ? 0 ??????????????????????9 分 ? g ?(3) ? 0
2 2

由题意知:对任意 a ? [1, 2], g ?( a ) ? 3a ? ( m ? 2a ) ? a ? 1 ? 5a ? ma ? 1 ? 0 恒成立,

·8·

?m ?

1 ? 5a 2 1 19 ? ? 5a, 因为 a ? [1, 2] ,所以? m ? ? , a a 2
32 3

对任意恒成立,? m ? ?

32 19 ? m ? ? ????????????12 分 3 2 c 1 22. 解: (Ⅰ)易知 b ? 3, e ? ? , 因为 a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ??

a 2 ? 4, c 2 ? 1,?椭圆 C 的方程

x2 y2 ? ? 1 ????????????3 分 4 3

(Ⅱ)易知直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程 y ? k ( x ? 1), 且 l 与 y 轴交于 M(0,-1) ,设直线 l 交椭圆于 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y2 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ? 4 ? 3 ?1 ?

? x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 ????????????6 分 , x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

又由 MA ? ? AF ,? ( x1 , y1 ) ? ? (1 ? x1 , ? y1 ),

????

??? ?

?? ?

x1 x , 同理? ? ? 2 ????????????????8 分 1 ? x1 1 ? x2
x1 x x1 ? x2 ? 2 x1 ? x2 8 ? 2 ? ?? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 3

?? ? ? ?

8 3 (Ⅲ)当直线 l 斜率不存在时,直线 l ? X 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相交
所以当直线 l 的倾斜角变化时, ? ? ? 的值为定值 ? ;??????????10 分 FK 的中点 N ?

?5 ? ,0 ? , ?2 ? ?5 ?2 ? ?

猜想,当直线 l 的倾斜角变化时,AE 与 BD 相交于定点 N ? ,0 ? ?????11 分 证明:由(Ⅱ)知 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,? D (4, y1 ), E (4, y2 )
·9·

当直线 l 的倾斜角变化时,首先证直线 AE 过定点 N ?

?5 ? ,0 ? , ?2 ?

? l AE : y ? y2 ?

y2 ? y1 ? ( x ? 4) 4 ? x1

当x?

y ? y1 ? 3 ? 2(4 ? x1 ) ? y2 ? 3( y2 ? y1 ) 5 时, y ? y2 ? 2 ? ? ?? 4 ? x1 ? 2 ? 2(4 ? x1 ) 2 ?

?

2(4 ? x1 ) ? k ( x2 ? 1) ? 3k ( x2 ? x1 ) 2(4 ? x1 ) ? k ( x2 ? 1) ? 3k ( x2 ? x1 ) ? 2(4 ? x1 ) 2(4 ? x1 ) ?8k ? 2kx2 x1 ? 5k ( x2 ? x1 ) ?0 2(4 ? x1 )

?

?5 ? ?5 ? ? 点 N ? ,0 ? 在直线 l AE 上,同理可证,点 N ? ,0 ? 也在直线 lBD 上; ?2 ? ?2 ? ?5 ? ? 当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 ? ,0 ? ???????? ?2 ?

·10·


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