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大学生数学竞赛教程勘误表


大学生数学竞赛教程“勘误表” 页码
P6 倒数第 4 行

原文
1 ? xi 1 lim ? lim x ?1 1 ? x t ?1 1 ? t ? ? ? t i ?1
n??

修改为
lim
x ?1 1 1? xi

1? x
n??

? lim

t ?1 1 ? t

1 ? ? ? t i ?1

P8 第 10 行 P16 倒数第 2 行 P23 第 6 行 P29 倒数第 8 行 P33 第 12 行 P33 倒数第 6 行 P39 倒数第二行 P41 倒数第 5 行

lim( xn ? n?) ?

? 2

lim( xn ? n?) ?
lim

? 1 ,○ 2

t ?t0

lim

f (? (t )) ? f ?(a ) ? (t )
n ??

t ? t0

f (? (t )) ? f ?( a ) ? (t ) ? a

若 lim xn 或为 ? 振荡间断点 否则必有大于 0 的点,从而只需 证明还有小于 0 的点, 从而构造函数序列
f ?? (0) ? ? ? 1
? ? f (bn ) ? f ( x0 ) ? (bn ? x0 ) ? f ?( x0 )? ? ? f (an ) ? f ( x0 ) ? (an ? x0 ) f ?( x0 )?
x ? x0

若 lim xn 存在或为 ?
n ??

振荡间断点 否则必有 f ( x) 大于 0 的点, 从而只需 证明还有 f ( x) 小于 0 的点, 构造数列
f ?? (0) ? ? ? ?1
x ? x0

lim f ( x), 不存在(=?)

lim f ( x)不存在( ? ?)

? ? f (bn ) ? f ( x0 ) ? (bn ? x0 ) f ?( x0 )? ? ? f (an ) ? f ( x0 ) ? (an ? x0 ) f ?( x0 )?

P42 倒数第 4 行 P51 第 3 行 P51 倒数第 3 行 P52 倒数第 8 行 P56 倒数第 13 行 P74 倒数第 10 行

? a sin kx | ≤ sin x , ? a
k k ?1 j ?1

n

n

n ? j ?1 sin

jx|≤ sin x

? a sin kx ≤ sin x , ? a
k k ?1 j ?1

n

n

n ? j ?1 sin

jx

≤ sin x

? x? y ? f ( x) ? f ( y ) ? f ? ? ? 1 ? xy ?
? ?? ( x), f ( x) ? ? 2 ? ?a( x ? x0 ) ? b( x ? x0 ) ? c, x ≤ 0, x ? 0.

f ( x) ? ? 2 ? ?a( x ? x0 ) ? b( x ? x0 ) ? c,

? x? y ? f ( x) ? f ( y ) ? f ? ? ? 1 ? xy ? x ≤ x0 , ? ?? ( x),
x ? x0 .

f ( x) ? C[a, b] ? D(a, b)
a b ? a?b ? ? f (? ) f (? )

f ( x) ? C[a, b] ? D(a, b) , f (a) ? f (b)
a b ? ? a?b ? ? f (? ) f (? )

6 hu 2 2 x0



g h

6hu 2 2 x0



g 10

P77 第 3 行 P77 第 8 行 P79 倒数第 6 行 P86 第 4 行 P89 倒数第 4 行
3

y ? f ( x) ? x

y ? 3 f ( x) ? x

? f ( x) ?

2 ?x x
4

1? 2 ? ? f ( x) ? ? ? x ? 3? x ?
f (a) ? f (b) ? g(a) ? g(b) ? 0
3

f (a) ? f (b) ? g(a) ? f (b) ? 0

? x ?1 ? 2 ( x ? 1)2 ( x ? 1)4 ? 3 ? ? ? ( x ? 1) 令 ? x ?1?
1 ? sin x d ex e x sin x ?? ? dx 1 ? cos x 1 ? cos x (1 ? cos x) 2

? x ?1 ? 2 ( x ? 1)2 ( x ? 1)4 ? 3 ? ? ? ( x ? 1) , 令 ? x ?1?

4

ex ?

?

?

ex ?

1 ? sin x d ex e x sin x ? ? dx 1 ? cos x 1 ? cos x (1 ? cos x)2

?

?

P109 第 7 行 P117 第 8 行 P118 第 11 行 P124 第 3 行 P153 倒数第 4, 倒数第 6 行 P157 倒数第 3 行 P161 倒数第 4 行 P164 倒数第 2 行

?
?
1 0

1 xb 0

? xa dx ? ln x

? ?
0

1

dx

b a

x y dx
1 0

?
?
1 0

1 xb 0

? xa dx ? ln x

? ?
0

1

dx

b a

x y dy

? f ( x) dx ≤ max ? ?

?

1 0

f ?( x) dx

?

? f ( x)dx ? ?

? f ( x) dx ≤ max ? ?

?

1 0

f ?( x) dx,

?

1 0

? f ( x)dx ? ?

? ? f (?2 ) ? f (?1 )?

(b ? a)2 2

≥0

? ? f (?2 ) ? f (?1 )?

(b ? a)2 ≥0 8

试求极限 lim xn
x ??

试求极限 lim xn
n ??

x2

?z ?z ? y2 ? z2. ?x ?y

x2

?z ?z ? y2 ? z2. ?x ?y

f (1,2) ? fu (1,2)( x ? sin x) ? fv (1,2)( 1 ? x3 ?1) ? ?( ?) \

f (1, 2) ? fu (1, 2)( x ? sin x) ? fv (1, 2)( 1 ? x3 ?1) ? ? (? )

单位元
x2 y 2 (a ? b ) x y a 2 b2 ? a 4 y 2 ? b4 x2 x2 y2 b2 2 ? a 2 2 a b
2 2 2 2

单位圆
x2 y 2 (a ? b ) x y a 2 b2 ? a 4 y 2 ? b4 x2 x2 y2 b2 2 ? a 2 2 a b
2 2 2 2 2

(a 2 ? b 2 )

(a 2 ? b 2 )2

P238 倒数第 3 行 末 P249 倒数第 5 行 P252 第 2 行 P268 第 2 行 P270 倒数第 11 行 P270 倒数第 9 行 P299 倒数第 13 行末 P303 倒数第 12 行末 P341 第 2 行 且满足初值答件, 设曲线积 (C 为欧拉常数,见 1.2 例 4) 必有 a ? b ? ?1
n ?? 3 4 n ? 2 ? ?1 3 lim ln ? ? ? ?? ? ? ? n ?? ? 2 2 n ? 1 ?? 2 3 n ? 1 ?
b

增加: 由 f (0) ? 0 得 C ? 0. 即 f ( x) ? xe x . 且满足初值条件, 设曲线积分 (C 为欧拉常数,见 1.2 例 24) 必有 a ? b ? ?1 (*)
b

n ?? 3 4 n ? 2 ? ?1 2 lim ln ? ? ? ?? ? ? ? n ?? ? 2 3 n ? 1 ?? 2 3 n ? 1 ?

增加: 但该 3 阶微分方程更容易建立. 增加:特别, ?(n ? 1) ? n !.

?
k ?1

2n

1 n ?1
n ?1

?n?k
k ?1

2n

1

P395 第 1 行

?

1 2 ? ? ? arctan ? arctan ? k k ?1? k ?1 ?

n ?1

? ? arctan ? arctan ? ?? k k ?2? ? 1 1
k ?1

P395 倒数第 4 行 P431 第 3 行
? 原式 ? ? ? ? ???

? ? ln k

? ? ? ln k
? 原式 ? ? ? ? ? ???
0

? ?? ? ??
0

???0

? ? x 2 dydz ? y 2 dzdx ? z 2 dxdy ? ?

? ?? ? ??
?0

? ? x 2 dydz ? y 2 dzdx ? z 2 dxdy ? ?

P454 倒数第 1 行 P487 倒数第 6 行

构造矩阵 m ? n 阶矩阵 (见 6.2 节例 5)

构造 m ? n 阶矩阵 (见 6.2 节例 4)


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