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高中数学必修1-总复习课件


1.集合与元素 确定性 、________ 互异性 、 (1)集合元素的三个特性:_______ 无序性 . _________ 不属于? 、 属于∈ 、________ (2) 元素与集合的关系: _______ 反映个体与整体之间的关系. 图示法 、 列举法 、_______ 描述法 、_______ (3)集合的表示法:_______ 区间法 . ________ (4)

常用数集的记法
数集 自然 数集 正整 数集 整数 有理 集 数集 实数 集 复数

记法

N

N?

Z

Q

R

C

空集 . 无限集 、______ (5)集合的分类:有限集 ______、______

2. 集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 ? B(或B__ ?A). ①对任意的x∈A,都有x∈B,则A___ ②若A?B,且在B中至少有一个元素x∈B,但x?A, ? ). 则A____ ? B(或B____A ? A;A___ ? A; A?B,B?C?A_____ ?C. ③ ?___ ④若A含有n个元素,则A的子集有___ 2n 个,A的非空 子集有______ 2n-1 个,A的非空真子集有_______ 2n-2 个.
(2)集合相等

若A?B且 B?A,则A___ ?B.

3. 集合的运算及其性质
(1)集合的交集、并集、补集的定义
集合的并集
符号 表示

集合的交集

集合的补集
全集为U,集合A的 ? UA 补集为_______

A∪B

A∩B

图形 表示

意义 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B}

?UA={x|x∈U且x?A}

(2) 集合的运算性质
1) 并集性质

3) 补集性质

(1) A ? A ? A;(2) A ? ? ? A; (1) ?UU= ? (2) ?U ? =U (3) A ? B ? B ? A; (4) A ? A ? B; A ? B ? B; (3) ?U(?UA)=A (5) A ? B ? A ? B ? A.
2) 交集性质

(4) A ? (?UA)= ?

(1) A ? A ? A; (2) A ? ? ? ?;(5) A ? (?UA)=U (3) A ? B ? B ? A; (6) ?U(A ? B)=(?UA) ? (?UB) (4) A ? B ? A, A ? B ? B; (7) ? (A ? B)=(? A)? (? B)

(5) A ? B ? A ? A ? B.

U

U

U

题 型一

集合的基本概念
2 2

例 1. (1)已知 A={a+2,(a+1) ,a +3a+3}, 且 1∈A,求实数 2 013a 的值; (2)x,x -x,x -3x 能表示一个有三个元素的集 合吗?如果能表示一个集合, 说明理由; 如果不能表 示, 则需要添加什么条件才能使它表示一个有三个元 素的集合.
变式训练 1
2 3

若集合A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则 实数a=________.

题 型二

集合间的基本关系

? ? 1 ? 【例 2】已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B= x|-2<x≤2?. ? ?

(1)若 A?B,求实数 a 的取值范围; (2)若 B?A,求实数 a 的取值范围; (3)A、B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,试说明理由.

变式训练 2

已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则 实数 a 的取值范围是 (c,+∞),其中 c=________.

题 型三

集合的基本运算

【例 3】设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m +1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________.
变式训练 3

设全集是实数集 R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}. (1)当 a=-4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围.

集合中的新定义问题 题 型四 【例 4】在集合{a,b,c,d}上定义两种运算 ? 和 ? 如下:

那么 d ? (a ? c)等于 ( A.a
变式训练 4

) D.d

B.b

C.c

已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A 时,若有x-1?A,且x+1?A,则称x为A的一个“孤立元 素”,那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有 ________ 个,其中的一个是____________.

易错警示
忽略空集致误

(1)(4 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1 =0}, 且 S?P, 则由 a 的可取值组成的集合为__________.
(2) (4 分)若集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+ 1≤x≤2m-1},且 B?A,则由 m 的可取值组成的集合 为____________.

感悟提高
失误与防范

1.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论, 防止漏解. 2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从 属关系;二是集合与集合的包含关系. 3. 解答集合题目 , 认清集合元素的属性 ( 点集、数集 或其它情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. 4.Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补 运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端 点是实心还是空心. 5.要注意A?B, A∩B=A, A∪B=B, ?UA??UB, A∩(?UB)=?这五个关系式的等价性.

4.重要结论

??A (1) A≠?

? ?? A
A? B ? A A? B ? B

(2) A ? B ? A ? A ? B
(3) A ? ( A ? B) ? A ? A ? ( A ? B)
A? B ? (4)六个关系式的等价性 (A, B?U)

(5) 易混的解集 {x| y=f(x)} {y| y=f(x)} {(x,y)| y=f(x)}

(?UB)?(?UA) A∩(?UB)= ? (?UA)∪B=U

定义域 值域 点集 方程的解集 不等式的解集

{x| f(x)=0} {x| f(x)<0}

题型一 集合的概念
例1.已知:A={x|y=x2-2x+1},B={y|y=x2-2x+1}, C={x|x2-2x+1=0}, D={x|(x-1)2<0}, E={(x, y)|y=x2-2x+1}, 则下面结论正确的有??????? ( ) A. A?B?C?D C. A=E
B. D C B A

D. A=B

练一练
(1)若A={(x, y)| |x+2|+ y ? 1 =0},B={-2,-1}, 则必有( ) ? ?B A. A? B. A? B
C. A=B

?

D. A∩B= ?

?

(2)集合A={y∈R|y=lgx,x>1},B={-2,-1,1,2},则下 列结论中正确的是( ) A.A∩B={-2,-1} B.(?RA)∪B=(-∞,0) C.A∪B=(0, +∞) D.(?RA)∩B={-2,-1}

题型二 集合的运算 例2.设A={x|x>4或 x<-2}, B={x|a≤x<a +3},

(1)若A∩B=?,求实数a的取值范围;
(2)若A∩B≠?,求实数a的取值范围; (3)若A∩B=B,求实数a的取值范围; (4)若 (?RA)∪B= ?RA ,求实数a的取值范围.

4. 已知全集 U ? R, 集合 A ? x2x ? x ? 6 ? 0 , 43. . 已知全集 U ? R, 集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , 例
2

题型三 集合间的基本关系

2 2 2 , B? x x ? 2 x ? 8 ? 0 C ? x x ? 4 ax ? 3 a ?0 , 2 2 2 , C ? x x ? 4ax ? 3a ? 0 , B若 ? ?x(A x∪ ? 2 x ? 8 ? 0 B) ? C,求实数a的取值范围。

?

?



?


U

( A ? B) ? C ,求实数 a 的取值范围. ? ( A ? B) ? C ,求实数 a 的取值范围.
U

U

?

?

? ?

?

?

? ?

? ?

(1) A={ x|-2≤x≤5}, B={x|m+1≤x≤2m-1},B?A, 则m的取值范围是_________.

(2)已知P ={x|x2– mx – 6m2=0} , Q={x|mx–1=0},且 Q P , 则由实数 a 组 成的集合是__________.

?

题型四

集合中的信息迁移题

【例4】对任意两个正整数m、n,定义某种运算⊕:
, ?m ? n, m与n奇偶性相同 则集合P= m?n? ? , ?mn, m与n奇偶性不同

{(a, b)|a⊕b=8,a , b∈N* }中元素的个数为(
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

)

补集思想
补集思想 : 对于一些比较复杂、比较抽象, 条件和结论不明确,难以从正面入手的数学问 题,在解题时要调整思路,从问题的反面入手, 探求已知与未知的关系,能起到化难为易,化 隐为显的作用,从而解决问题.这种“正难则 反”策略运用的是补集思想,即已知全集U求 子集A,若直接求A困难,可先求 ?UA,再 ?U(?UA)=A 由 ,求A.

题型五 用补集思想解决问题
例5.已知下列三个方程
x2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0;

x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0; x 2 ? 2ax ? 2a ? 0.至少有一
个方程有实数根.求a的取值范围.

? 5 ? 0的解集为M, 已知关于x的不等式 ax 3? M 【1】 2 x ?a
且5 ? M, 求实数 a 的取值范围.

【2】已知A={x|x2+x+a≤0}, B={x|x2-x+2a-1<0}, C={x|a≤x≤4a-9}, 且A、B、C中至少有一个不是空集, 求a的取值范围.

[3]. 已知集合 = x| x - 2x0} - 3[3]. ≤ 0} = {x+ |x 已知集合 A [3]. 已知集合 A=A {x |x2{ - 2 x- 3≤ , B = { x, |x2B - 2mx
(1) 若 A∩ B= [0,3] ,求实数 m 的值; (1) 若 A∩ B =[0,3] ,求实数 m 的值;

2

∈ R , ∈ R , mm ∈ }, B = {x∈ |R}. x2R}. -2mx+ m2-4≤0,x∈R,m∈R}.

(1)若 A∩B=[ (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围 . (2)若 A?? B,
R

x- 5 2 [4].已知集合 A={x| ≤0}, B={x|x -2x-m<0} x+ 1 x-5 2 2 当 m = 3 时,求 A ∩ ( ? B ) ; 0} , B= { x | x - 2 x - m <0} , R [4].已知集合 A= {x| ≤ 0}, B= {x|x - 2 x+1 若 A(1) ∩B = {x |- x<4},求实数 m 的值. 当 m = 31< 时,求 A∩ (? RB );

范围.

实数 m若 的值 . B= {x|-1<x<4},求实数 m 的值 . (2) A∩

函数的概念 ——定义——表示——列表法,解析法,图象法 ——三要素——定义域,对应关系,值域 ——值域与最值——观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、 重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 ——函数的图象 函数的基本性质 ——单调性——1.求单调区间:定义法、导数法、用已知函数的单调性. 2.复合函数单调性:同增异减. ——对称性——轴对称:f (a-x)=f(a+x); 中心对称: f (a-x)+f(a+x)=2b ——奇偶性——1.先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)=f(x)还是-f(x). 2.奇函数图象关于原点对称,若x=0有意义,则f(0)=0. 3.偶函数图象关于y轴对称,反之也成立. ——周期性——f (x+T)=f (x);周期为T的奇函数有f (T)=f (T/2)= f (0)=0. 函数常见的几种变换——平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换 基本初等函数——正(反)比例函数;一次(二次)函数;幂、指数、对数函数 (定义,图象,性质,应用) 复合函数——单调性:同增异减; 奇偶性:内偶则偶,内奇同外 抽象函数——赋值法 函数的应用 ——函数与方程——函数零点、一元二次方程根的分布 ——常见函数模型——幂、指、对函数模型;分段函数;对勾函数模型

1.函数的基本概念
(1)函数的定义 数集 ,如果按照某种确定的对应关系f, 设A,B是非空的______ 唯一确定 任意 一个数 x ,在集合 B 中都有 ________ 使对于集合 A 中的 ______ 的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一 y=f(x),x∈A . 个函数,记作______________ (2)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫 定义域 ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值 做函数的_______ 值域 .显然,值域是集合B的 的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的______ 子集. (3)函数的三要素:定义域 ________、______ 值域 和___________ 对应关系 . (4) 相等函数:如果两个函数的 _________ 定义域 和 __________ 对应关系 完 全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.

2.函数的表示法 解析法、图象法 表示函数的常用方法有:______ ______、_______. 列表法 3.映射的概念 设A, B是两个非空集合,如果按某一个确定的对应 关系f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 都有唯一 确定的元素y与之对应,那么就称对应 中_________ 一个映射 . f :A→B为从集合A到集合B的_________ 4.函数与映射的关系 由映射的定义可以看出,映射是_____ 函数 概念的推广, 函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合 A, 非空数集 B必须是__________ .

题 型一
【例 1】有以下判断:

函数的概念及应用

? ?1,?x≥0? |x| (1)f(x)= x 与 g(x)=? 表示同一函数; ?-1,?x<0? ?

(2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; (3)f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 是同一函数; (4)若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f ( f ( 1 )) ? 0 .

2

其中正确判断的序号是________.

变式训练 1

试判断以下各组函数是否表示同一函数: (1)y=1,y=x0; (3)y=x,y= t 3 ;
3

(2)y= x-2· x+2,y= x2-4; (4)y=|x|,y=( x)2.

题 型二

函数与映射

【例2】(课本改编题)下列对应关系是集合P上的函数的是_____. (1)P=Z,Q=N*,对应关系f:对集合P中的元素取绝对 值与集合Q中的元素相对应; (2)P={-1,1,-2, 2},Q={1, 4},对应关系:f:x→y=x2, x∈P,y∈Q; (3)P={三角形},Q={x|x>0},对应关系f:对P中三角形 求面积与集合Q中元素对应.

变式训练 2

(1)已知 a,b 为两个不相等的实数,集合 M={a2-4a,- 1},N={b2-4b+1,-2},f:x→x 表示把 M 中的元素 x 映射 到集合 N 中仍为 x, 则 a+b 等于 A.1 B.2 C.3 D .4 ( )

变式训练 2

(2)已知映射f:A→B.其中A=B=R,对应关系f: x→y=-x2+2x,对于实数k∈B,在集合A中不存在 元素与之对应,则k的取值范围是( ) A.k>1 B.k≥1 C.k<1 D.k≤1

题 型三

函数的表示方法

【例3】如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一 棵树与两墙的距离分别是 a m (0<a<12) 、 4 m, 不考虑树的粗 细.现在想用 16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃 ABCD. 设此矩形花圃的面积为 S m2 , S的最大值为 f(a) ,若将 这棵树围在花圃内,则函数u=f(a)的图象大致是 ( )

变式训练 3

― 龟兔赛跑 ‖ 讲述了这样的故事:领先的兔子看着 慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时, 发现乌龟快到达终点了,于是急忙追赶,但为时已晚, 乌龟还是先到达了终点 ……,用s1,s2分别表示乌龟和 兔子所行的路程, t 为时间,则下图与故事情节相吻 合的是 ( )

题 型四

分段函数及其应用

【例 4】(典题新编)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ?log2?1-x?, x≤0, 则 f(2013)的值为______. ? ?f?x-1?-f?x-2?,x>0,
变式训练 4
(2011· 北京)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单

? ? 位:分钟)为 f(x)=? c ,x≥A ? ? A
别是( ) A.75, 25 B.75, 16

c ,x<A, x

(A,c 为常数).已知工人组装第 4

件产品用时 30 分钟, 组装第 A 件产品用时 15 分钟, 那么 c 和 A 的值分 C.60, 25 D.60, 16

易错警示
忽略分段函数中自变量的限制条件致误
? x 2 ? bx ? c, x ≤ 0 (14分)设函数 f ( x ) ? ? , x?0 ? 2,

若 f(-2)=f(0), f(-1)=-3, 求关于

x的方程f(x)=x 的解. 2 2 2 解 : 当 x ≤ 0 时, f ( x ) = x +bx bx+ +c c,因为 ,因为 f f( (- -2) 2)= =f f(0) (0), , 2 2+ 解 : 当 x ≤ 0 时, f ( x ) = x + 解 : 当 x ≤ 0 时, f ( x ) = x bx + c ,因为 f ( - 2) = f (0) , 解: 当 x≤0 时,f(x)=x +bx 2 +c,因为 f(-2)=f(0), 2 2 2 ?- -2 22 ? -2 2b b+ +c c= =c c b = 2 , ? ? 2- ? ? b = 2 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -2 2?? - -2 2b b+ +c c= =c c b= =2 2, , ? ? ? ? ??- b ? ? =-3,∴ ,解得 [4分 分 ? ? ? ? f ( - 1) ,解得 [4 ]] ? ? =- 2 2 ? ? 2 2 f ( - 1) =- 3 , ∴ ,解得 [4 分 ] ? ? f(-1)=-3,∴ ? ?- -1 12 ? -b b+ +c c=- =-3 3 ,解得 ? c =- 2 , [4 分] 2- ? ? ? ? c =- 2 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 1 ? - b + c =- 3 c =- 2 , ? ? ? ? ?-1? -b+c=-3 c=-2, ? ? 2 2 2 x +2 2x x- -2 2? ?x x≤ ≤0 0? ? ? 2+ ?x 2 ? ? x + 2 x - 2 ? x ≤ 0 ? ? ? x +2x-2?x≤0? ? ? ∴f f( (x x) )= = [6 分 分] ] ? ∴ [6 ? ∴ f ( x ) = [6 分 ] ∴f(x)=?? [6 分] ?2 2 ? x >0 ? ? ? x >0 ? ? ? 2 ??x x>0 >0?? ? ? 2 ? 2 2 2 当 x ≤ 0 时,由 f ( x ) = x 得, x +2 2x x- -2 2= =x x, , 2 2+ 当 x ≤ 0 时,由 f ( x ) = x 得, x + 当 x ≤ 0 时,由 f ( x ) = x 得, x 2 x - 2 = x , 当 x≤0 时,由 f(x)=x 得,x +2x-2=x, 得x x=- =-2 2或 或x x= =1. 1.由 由x x= =1>0 1>0,所以舍去. ,所以舍去. [10 分 ] 得 [8 分 ] 得 x =- 2 或 x = 1. 由 x = 1>0 ,所以舍去. [8 分 ] 得 x=-2 或 x=1.由 x=1>0,所以舍去. [8 分] 当x x>0 >0 时,由 时,由 f f( (x x) )= =x x得 得x x= =2 2, , [10 分 分]] [12 当 [10 当x x>0 >0 时,由 时,由 ff((x x))= =x x得 得x x= =2 2, , [10 分 分]] 当 [10 所以方程 f f( (x x) )= =x x 的解为- 的解为-2, 2, 2. 2. [12 分 分]] [14 所以方程 [12 所以方程 f ( x ) = x 的解为- 2, 2. [12 分 所以方程 f(x)=x 的解为-2, 2. [12 分]]

感悟提高
方法与技巧

1 .在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣 两点:一是定义域相同;二是对应关系相同. 2 .定义域优先原则:函数定义域是研究函数的 基础依据,对函数性质的讨论,必须在定义域上进 行,坚持定义域优先的原则,之所以要做到这一点, 不仅是为了防止出现错误,有时还会为解题带来很 大的方便.

感悟提高
失误与防范

1.判断对应是否为映射,即看A中元素是否满足 “每元有象”和“且象惟一”.但要注意: (1)A 中不同元素可有相同的象,即允许多对一, 但不允许一对多; (2)B中元素可无原象,即B中元素可有剩余. 2.求分段函数应注意的问题 在求分段函数的值 f(x0) 时,一定要首先判断 x0 属 于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式;分 段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的 取值范围的并集.

三、解答题
7. 甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距 离与乙从家到公园的距离都是2 km,甲10时出发前往乙家.如

图所示,表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程 y(km) 与时
间x(分)的关系.试写出y=f(x)的函数解析式.

f?x?+|f?x?| 8.已知 f(x)=x +2x-3,用图象法表示函数 g(x)= , 2
2

并写出 g(x)的解析式.

三、解答题
8.规定[t]为不超过 t 的最大整数,例如[12.6]=12,[-3.5]=-4,对任 意实数 x,令 f1(x)=[4x],g(x)=4x-[4x],进一步令 f2(x)=f1[g(x)]. (1) 7 若 x= ,分别求 f1(x)和 f2(x); 16 (2)若 f1(x)=1,f2(x)=3 同时满足,求 x 的取值范围.

7? 7 ?7? 3 ? ∴f1(x)=? ?=1,g(x)= -? ?= . 4 ?4? 4 ?4? 3? ? ∴f2(x)=f1[g(x)]=f1?4?=[3]=3. ? ? (2)∵f1(x)=[4x]=1,g(x)=4x-1, ∴f2(x)=f1(4x-1)=[16x-4]=3. ?1≤4x<2, 7 1 ∴? ∴ ≤x< . 16 2 ?3≤16x-4<4.

1.函数与映射的概念的异同
函数 映射

设A、B是两个非空 数集 ______ 如果按照某种确定 的对应关系f,使对 任意 对应关系 于集合A中的____ 数 x 在集合B f:A→B 一个____ 唯一确定 的 中都有________ 数f(x)和它对应 两集合 A、B
名称 记法

设A、B是两个非空 集合 _______ 如果按某一个确定 的对应关系f,使对 任意 于集合A中的____ 一个元素x在集合B 中都有唯一确定的 元素y与之对应

f:A→B 称对应:_________ f : A → B 称_________为从集合 为从集合A到集合B的 A到集合B的一个函数 一个映射 对应f:A→B是一个映 y=f(x),x∈A 射

考点一

课堂互动讲练

函数的三种表示方法

? 用解析法表示函数关系的优点是:函数关系清楚, 容易根据自变量的值求出对应的函数值,便于用解析 式来研究函数的性质.
?用图象法表示函数关系的优点是:能直观形象地 表示出函数值的变化情况. ?用列表法表示函数关系的优点是:不必通过计算 就知道自变量取某些值时函数的对应值.

考点一 函数的三种表示方法 例1 已知某人在2009 年 课堂互动讲练 1月份至6月份的月经济 【解】图象法: 收入如下:1月份为 1000元,从2月份起每 月的月经济收入是其上 一个月的2倍,用列表、 图象、解析式三种不同 形式来表示该人1月份 至6月份的月经济收入 y(元)与月份序号x的函 数关系,并指出该函数 的定义域、值域和对应 法则.

x 1 2 3 4 5 6 [解]列表法: y 1000 2000 4000 8000 16000 32000

考点一

函数的三种表示方法

【解】解析法: 解析式:y=1000×2x-1 (x∈{1,2,3,4,5,6}). 其中定义域为{1,2,3,4,5,6}, 值域为{1000,2000,4000,8000,16000,32000}. 对应法则f:x→y=1000×2x-1. 【规律小结】列表法、图象法和解析式法是表示函数 的三种方法,其实质是一样的,只是形式上的区别, 列表和图象更加直观,解析式更适合计算和应用.在 对待不同题目时,选择不同的表示方法,因为有的函 数根本写不出其解析式.

考点二

函数与映射

1.判断对应是否为映射,即看A中元素是 否满足―每元有象‖和―象唯一‖,即可以是―一对 一‖或者―多对一‖. 2.f:A→B形成函数时,A即函数的定义域, 但B不一定是值域.如果B中的元素都有原象, 则B才是值域,即函数就是从定义域到值域的映 射.
例2

已知函数f(x),g(x)分别由下表给出 x 1 f(x) 1 2 3 3 1 x 1 g(x) 3 2 2 3 1

则f[g(1)]的值为________;满足 f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________.

变式

【1】设集合A={a,b},B={c,d,e},则从A到

B的映射共有________个.

a b a b c a d b e

c d e c d e a b

a b c d e

c d e a b c d e a b

a b

c d e c d e

c a d b e

【总结】 (1)函数的定义中应注意 A,B是两个非空的数集,函 数的值域C与B的关系是C?B. (2)在映射中,集合A与B的地位是 不对等的,在集合B中不要求每个元素在集合A中都有元素与之 对应,即集合B中可以有空闲的元素.

变式

2.设集合 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的 4 个图 形中,能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有 ( )

A.①②③④ C.②③

B.①②③ D.②

由映射的定义,要使函数在定义域上都有图象,并且一个 x 对应 着一个 y,据此排除①④,③中值域为{y|0≤y≤3}不合题意.

走进高考
1.(2008·山东)设函数
则f ( 1 ) f ( 2)

?1 ? x 2 , f ( x) ? ? 2 ? x ? x ? 2,

x ≤ 1, x ? 1,

的值为(
27 B.? 16


8 C. 9 D .18

15 A. 16

1 1 15 f ( 2) ? 4, f ( ) ? 1 ? ? . 4 ?6 16

2.(2008· 陕西)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)= f(x)+f(y)+2xy(x, y∈R), f(1)=2, 则f(-3)等于( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

1.函数的定义域
使函数有意义的自变量的取 (1)函数的定义域是指__________________________ 值范围 . ________ (2)求定义域的步骤 ①写出使函数式有意义的不等式(组); ②解不等式组; ③写出函数定义域.

(3)常见基本初等函数的定义域
①分式函数中分母不等于零. ②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为___. R ④y=ax (a>0且a≠1),y=sin x, y=cos x,定义域均为__. R π { x | x ? R且x ? k π ? , k ? Z} ⑤y=tan x的定义域为________________________. 2 0 ⑥函数f(x)=x 的定义域为_________________ {x|x∈R且x≠0} .

2.函数的值域 (1)在函数y=f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫 函数值的集合 叫函数的值域. 函数值 ,_____________ ________ (2)基本初等函数的值域 基本初等函数 值域
①y=kx+b (k≠0)

②y=ax2+bx+c
③ y ? k (k ? 0)
x

(a≠0)

2 2 4 ac ? b 4 ac ? b a ? 0时,[ , ?? ); a ? 0时,( ??, ] 4a 4a

R

{ y | y ? R且y ? 0}

④y=ax (a>0且a≠1) ⑤y=logax (a>0且a≠1) ⑥y=sin x, y=cos x ⑦ y=tan x

(0, ?? ) R [?1, 1] R

3.函数解析式的求法
(1) 换元法:若已知 f(g(x)) 的表达式,求 f(x) 的解析式 , 通常是令g(x)=t,从中解出x=φ(t),再将g(x)、x代入已知 解析式求得 f(t)的解析式,即得函数f(x)的解析式,这种方 法叫做换元法,需注意新设变量“t‖的范围. (2)待定系数法:若已知函数类型,可设出所求函数的 解析式,然后利用已知条件列方程(组),再求系数. ) (3)消去法:若所给解析式中含有f(x), f ( 1 x 或 f(x), f(-x) 等形式,可构造另一个方程,通过解方程组得到f(x). (4)配凑法或赋值法:依据题目特征,能够由一般到特 殊或由特殊到一般寻求普遍规律,求出解析式.

题 型一

3x 【例 1】(1)函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域为_____________. 1- x ln?x+1?
2

2

求函数的定义域

(2)函数 y=

的定义域为 ____________. -x -3x+4 变式训练 1

(1)(2011· 江西)若 f(x)=

1 , 则 f(x)的定义域为( log 1 (2 x ? 1)
2

)

1 1 1 ? ? ? ? ? ? D.(0,+∞) A.?- ,0? B.?- ,0? C.?- ,+∞? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? x- 4 (2)若函数 f(x)= 2 的定义域为 R,则实数m mx + 4mx+ 3

的取值范围是 _______ .

探究提高
(1)求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有 意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集, 其准则一般是:

①分式中,分母不为零;
②偶次根式,被开方数非负; ③对于y=x0,要求x≠0; ④对数式中,真数大于0,底数大于0且不等于1; ⑤由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束.

(2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系.

题 型二

抽象函数的定义域

【例2】若函数f(2x)的定义域是[-1, 1],求f(log2x)的定义域.

变式训练 2

已知 f(x)的定义域是[0,4],求: (1)f(x )的定义域; (2)f(x+1)+f(x-1)的定义域.
2

题 型三

求函数的值域

【例 3】求下列函数的值域. (1)y=x +2x (x∈[0,3]); (3) y ? x ? 1 ? 2 x
变式训练 3
2

x-3 (2)y= ; x+1

3x (4) y ? 2 x ?4

求下列函数的值域: x2-x (1)y= 2 ; (2)y=2x-1- 13-4x. x -x+1 1?2 3 1 2 ? 解: (1)方法一 (配方法) ∵y=1- 2 , 又 x -x+1= x-2 + ? ? 4 x -x+1 1 4 1

探究提高
(1)当所给函数是分式的形式,且分子、分母是同次的,可 考虑用分离常数法; (2)若与二次函数有关,可用配方法;

(3)若函数解析式中含有根式,可考虑用换元法或单调性法;
(4)当函数解析式结构与基本不等式有关,可考虑用基本不 等式求解; (5)分段函数宜分段求解; (6)当函数的图象易画出时,还可借助于图象求解.

题 型四

求函数的解析式

1 2 1 【例 4】(1)已知 f ( x ? ) =x + 2,求 f(x)的解析式; x x (2)已知 f ( 2 ? 1) =lg x,求 f(x)的解析式; x (3)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求 f(x)的解析式; (4)已知 f(x)满足 2f(x)+ f ( 1 ) =3x,求 f(x)的解析式.
变式训练 4

x

给出下列两个条件: (1)f( x+1)=x+2 x;

(2)f(x)为二次函数且 f(0)=3, f(x+2)-f(x)=4x+2. 试分 别求出 f(x)的解析式.

探究提高
函数解析式的求法 (1)凑配法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式;

(2) 待定系数法:若已知函数的类型 ( 如一次函数、二次函
数),可用待定系数法; (3) 换元法:已知复合函数 f(g(x)) 的解析式,可用换元法,

此时要注意新元的取值范围;
) 或f(-x)的表达式,可根 (4)方程思想:已知关于f(x)与 f ( 1 x 据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组

求出f(x).

答题规范
函数问题首先要考虑定义域

3 解:∵f(x)=2+log3 3x 的定义域为[1,9], 解 ∵ x =2 2 + log33x x 的定义域为[1,9] [1,9], , 2 2 2 解 :: ∵ ff [( x ]) = + log 的定义域为 2 2 2 2 2 2 要使 ( f ( x )) + f ( x ) 有意义 , 必有 1 ≤ x ≤ 9 且 1 ≤ x ≤ 9 , 2+ f(x2)有意义 ,必有 1≤x≤ 9 且 1≤ x2 要使 ( f ( x )) ≤ 9 , 要使 ( f ( x )) + f ( x ) 有意义 , 必有 1 ≤ x ≤ 9 且 1 ≤ x ≤ 9 , 2 2 2 解:∵ f ( x ) = 2 + log x 的定义域为 [1,9] , 2 2 2 3 要使 [ f ( x )] + f ( x ) 有意义 , 必有 1 ≤ x ≤ 9 且 1 ≤ x ≤ 9 要使(f(x)) +f(x )有意义,必有 1≤x≤9 且 1≤x ≤9, , 2 2 2 ∴ 1 ≤ ≤ , [3 分 ]] [3 分 要使 (fx (x ))3 + , ∴ x ≤ 3 , [3 分 ∴1 1≤ ≤ x ≤ 3 ,f(x )有意义,必有 1≤x≤9 且 1≤x ≤9 [3 分] ] [4 ∴1≤x≤32 , 2 [3 分] 2 2 2 2+f(x2 2)的定义域为[1,3]. ∴ x ≤ , [3 分 ]] 2 ∴1 y≤ =[ (f f (x x3 )) [4 分 ] )] 的定义域为 [1,3] . [5 分 ∴ y = ( ( )) + f ( x ) 的定义域为 [1,3] . [4 分 ] 2 2 2 +f(x 2 ∴ = ( fx (+ x )) [4分 分 ] 2 )的定义域为 2 [1,3]. 2 2 2 2 ∴ yy = (f ( )) +f ( x ) 的定义域为 [1,3] . [4 ] 又 y = (2 log x ) + 2 + log x = (log x + 3) - 3. [6 分 ] 2 3x)2 3x2 3x+3) 2+ 2+ log3 2=(log3 2- 3. 又y y= =(2 (2+ +log log3 [8 分 分]] ] 3 又 x ) + 2 + log x = (log x + 3) - 3. [6 x + 3) - 3. [6 分 3 3 2 3 22 3 22 3 2 又x = (2 + log x ) + 2 + log x = (log x + 3) - 3. [6 [6 分 ] 又 yy = (2 + log x ) + 2 + log x = (log x + 3) - 3. 分 ]] 3 3 3 ∵ ∈ [1,3] , ∴ log x ∈ [0,1], [8 分 3 3 3 3 ∵ x ∈ [1,3] , ∴ log x ∈ [0,1], [8 分 ]] 3x ∵x x∈ ∈[1,3] [1,3], ,∴ ∴2 log3 x∈ ∈[0,1], [0,1], [10 分 2 [8 分 ] ∵ log [8 分 ] 3 ∴ y = (1 + 3) -3 3 = 13 ,ymin=(0+3) -3=6. [8 [10 分 ] ∵ x ∈ [1,3] , ∴ log x ∈ [0,1], 分 ]] max ∵ x ∈ [1,3] , ∴ log x ∈ [0,1], [8 分 3 2 2 2- 2- 3=6. 2 2 2 2 ∴ y = (1 + 3) 3 = 13 , y = (0 + 3) [10 分 ] 2 2 2 2 max min ∴ y = (1 + 3) - 3 = 13 , y = (0 + 3) - 3 = 6. [10 分 ]] [12 max min ∴y 函数 y = ( f ( x )) + f ( x ) 的值域为 [6, 13] . [12 分 2 2 ∴ = (1 + 3) - 3 = 13 , y = (0 + 3) - 3 = 6. [10 分 ] max min - 3 = 13 , y = (0 + 3) - 3 = 6. [10 分 ] max min max min ∴ymax=(1+3) 2 -3=13 ,ymin=(0+3) -3=6. [10 分] 2 2 2 2 2+ f(x 2)的值域为 [6, 13]. ∴ 函数 y = x )) [12 分 2 2 ∴函数 函数 y y= =[( (ff f(( (x x)] ))2 + f ( x ) 的值域为[6, [6,13] 13] . [12分 分 ] ∴ + f ( x ) 的值域为 . [14 ]] 2 2 ∴ 函数 = (( ff (( x )) ff (( xx)) 的值域为 [6, . [12 ]] ∴ 函数yy = x )) + + 的值域为 [6,13] 13] . [12分 分

(14分)已知f(x)=2+log3x,x∈[1, 9],试求函数y= 2+f(x2)的值域. [ f ( x )] 解 : ∵ f ( 解:∵f(x x) )= =2 2+ +log log3x x 的定义域为 的定义域为[1,9] [1,9], ,

批阅笔记

(1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求 法,是函数的重点知识. (2)本题易错原因是忽略对定义域的研究,致使 函数y=[f(x)]2+f(x2)的讨论范围扩大. (3)解答有关函数的问题要规范,研究函数问题, 首先研究其定义域,这是解答的规范,也是思维 的规范.

感悟提高
方法与技巧

1.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并 且它是研究函数性质的基础.因此,我们一定要树立函数定义 域优先意识. 求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或 不等式(组);对于含有字母参数的函数定义域,应注意对参数取 值的讨论;对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义. 2.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变 化范围.利用函数几何意义,数形结合可求某些函数的值域. 3.函数的值域与最值有密切关系,某些连续函数可借助函 数的最值求值域,利用配方法、判别式法、基本不等式求值域 时,一定注意等号是否成立,必要时注明“=”成立的条件.

感悟提高
失误与防范

1.求函数的值域,不但要重视对应关系的作用,
而且还要特别注意定义域对值域的制约作用. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题,要重视 函数单调性在确定函数最值过程中的作用.特别要 重视实际问题的最值的求法.

2 .对于定义域、值域的应用问题,首先要用
“定义域优先”的原则,同时结合不等式的性质.

三、解答题 1.已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x -2)的值域.
1 2 2.若函数 f(x)= x -x+a 的定义域和值域均为[1,b](b>1),求 2 a, b 的值. 1 1 2 解: ∵f(x)= (x-1) +a- . 2 2
2 3.已知函数 f ( x ) = x - 4ax+ a+ 6 (f a R). ∴其对称轴为 x= 1,即 [12 , b]为 (∈ x)的单调递增区间.
2

1 (1)若函数的值域为 [0 ,+∞ ∴f(x)min=f(1)=a- =1①),求 a 的值; f(x)max=f(b)= b -b+a=b② 2 [0,+∞), 解: (1)∵函数的值域为 3

(2)若函数的值域为非负数,求函数 g(a)=2-a|a+3|的值域. 1 2

2

考点一 求函数的定义域
1.给定函数的解析式,求函数的定义域的依据是以 函数的解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或 不等式组,然后求出它们的解集,其准则一般是: ①分式中,分母不等于零, ②偶次根式中,被开方数 为非负数, ③对于y=x0,要求x≠0,④对数式中,真数 大于0,且底数为不等于1的正数,⑤正切函数等.

2.由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题
的约束.
3.抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系.

考点一 求函数的定义域
例1 求下列函数的定义域: 1 (1)y= + x2-1; 2-|x| x2 (2)y= +(5x-4)0. lg(4x+3) (3)已知y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域;

(4)已知f(x)的定义域为[0,2],求f(2x)的定义域.

变式

【1】(08·湖北)函数 f ( x) ? 1 1n( x 2 ? 3 x ? 2 ? ? x 2 ? 3 x ? 4)
x

的定义域为(

)
B.(-4, 0) ∪(0, 1)

A.(-∞, -4]∪[2, +∞)

C.[-4, 0)∩(0, 1]

D.[-4, 0)∪(0, 1)

课堂互动讲练
例1
已知函数 y=f(x2)的定义域是[0,2], 那么 f(x) g(x)= 的定义域是________. 1+lg(x+1)

考点二 求函数的解析式
例2 【1】f(x) 为二次函数,且满足f(0)=0,f(x+1)-

f(x)=x+1,求f(x).

3 f ( x) ? 2 f (? x) ? 2x ? 2, 求 【2】已知函数f(x)满足 f(x)的解析式.

解:由题意 3 f ( x ) ? 2 f ( ? x ) ? 2 x ? 2, 3 f (? x ) ? 2 f ( x ) ? 2 ? 2 x.
(1) ? 3 ? (2) ? 2, 得

?

(1) (2)

f ( x) ? 2 x ? 2 . 5

考点二 求函数的解析式
例2

(3)已知f(x)是R上的函数,且f(0)=1,对任意x, y∈R

恒有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 求f(x).
(4)方法一: ∵ f(x-y) =f(x)-y(2x-y+1), 令y=x,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1),

∵f(0)=1,∴f(x)=x2+x+1.
方法二 令x=0,得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,

再令y=-x, 得 f(x)=x2+x+1.

变式

考点二 求函数的解析式

【1】设定义在R上的函数f(x) 对任意实数 x, y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y), 且满足f(1)=1, 求 f(0)及 f(x)的表达式.

考点二 求函数的解析式
(4) 如图是函数f(x)的图象,OC段是射线,而OBA 是抛物线的一部分,试写出f(x)的表达式. y 解:(1)当x≤0时, ∵直线OC经过(-2,-2), ∴直线方程为y=x;
例2

(2)当x≥0时, 抛物线过B(1,-1),A(2,0) C

-2

o 1
-1 -2

A
2

B

x

易求得抛物线的解析式为:y=x2-2x. ∴解析式为
x ≤ 0, ? x, y?? 2 ? x ? 2 x , x ? 0.

1.函数的单调性
(1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义 域I内某个区间D上的任意两个自变量x1, x2 定 当x1<x2时,都有 当 x 1< x 2时 , 都 有 义 f(x1) < f(x2),那么函数 ____________ f(x1) > f(x2) , 那么函数f(x) __________ f(x)在区间D上是增函数 在区间D上是减函数 图 象 描 上升的 自左向右看图象是下降的 _____ 述 自左向右看图象是______

(2)单调区间的定义 增函数 或________, 减函数 则称函 若函数f(x)在区间D上是_______ 数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,________ 区间D 叫做 y =f(x)的单调区间.

2.函数的最值
前 提

设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(3)对于任意x∈I,都有 f(x)≥M ; __________ (4)存在x0∈I, 使得 f(x0)=M . __________ M为最小值

(1)对于任意x∈I,都有 f(x)≤M ; _________ 条 件 (2)存在x0∈I, 使得 f(x0)=M . _________ 结 M为最大值 论

题 型一

函数单调性的判断及应用

【例 1】已知函数 f(x)= x2+1-ax,其中 a>0. (1)若 2f(1)=f(-1),求 a 的值; (2)证明:当 a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为单调 减函数; (3)若函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求 a 的取值 范围.

x 已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1, +∞)内单调递减, 求 a 的取值范围.

变式训练 1

探究提高
(1) 证明函数的单调性用定义法的步骤是 : 值—作差—变形—确定符号—下结论. (2) 利用导数证明的一般步骤为:求导,判断导 函数在区间上的符号,下结论.导数法是比较常用 的一种方法. 取

题 型二
2

求函数的单调区间

【例 2】求函数 y ? log 1 ( x 2 ? 3 x ? 2) 的单调区间.
变式训练 2

求函数 y= x +x-6的单调区间.
探究提高
求函数的单调区间与确定单调性的方法一致. (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差 或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象 易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. (5)本题的易错点是忽视函数的定义域.

2

题 型三

抽象函数的单调性及最值

【例 3】已知函数 f(x)对于任意 x, y∈R, 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), 2 且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3, 3]上的最大值和最小值.

探究提高
对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的 定义,结合题目所给性质和相应的条件,对任意x1, x2在 f (x x1 1) f ( ) 与1的大小. 所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小,或 f (x x2 2) x1 有时根据需要,需作适当的变形:如 x1=x2·x 或x1=x2 2 +(x1-x2)等.

变式训练 3

函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切 x>0,y>0 都有

f ( x ) =f(x)-f(y),当 x>1 时,有 f(x)>0. y
(1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并加以证明. (3)若 f(4)=2,求 f(x)在[1,16]上的值域.

答题模板
函数的单调性与不等式
(14 分)函数 f(x)对任意的 m, n∈R, 都有 f(m+n)=f(m) +f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.

审题视角

(1)对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义.应 该构造出f(x2)-f(x1)并与0比较大小. (2) 将函数不等式中的抽象函数符号“ f‖ 运用单调性 “去掉”, 是本小题的切入点. 要构造出f(M)<f(N)的形式.

(1) 证明 : 设 x < x , ∴ x - x >0 , (1) 证明 : 设 x < x , ∴ x - x >0 , (1) 证明 x < x , ∴ x x >0 , 1 2 2 1 (1) 证明 :设 x < x , ∴ x - x >0 , 1 2 2 1 1 2 1 : 设 - 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 当 x >0 时, f ( x )>1 , ∴ f ( x - x )>1. x x >0 时, f ( x )>1 , ∴ f ( x - x )>1. x >0 时, f ( x )>1 , ∴ f ( x )>1. 2 1 当 x >0 时, f ( x )>1 , ∴ f ( x - x )>1. 当 2 1 2 1 当 - 2 1 2 1 2 1 ( x ) f [( x - x + x ] = f ( x - x ) + f ( x ) - 1 f ff = ) , ( x ) = f [( x - x ) + x ] = f ( x - x ) + f ( x ) - 1 , ( x ) f [( x - x + x ] = f ( x - x ) + f ( x ) - 1 2 2 1 1 2 1 1 f ( x ) = f [( x - x ) + x ] = f ( x - x ) + f ( x ) - 1 , = ) , 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 x f x ) = f x - x ) - 1>0 ? f ( x )< f ( x ) ∴ f ( x ) - f ( x ) = f ( x - x ) - 1>0 ? f ( x )< f ( x ) , ∴ ff ( x ) - f ( x ) = f ( x - x ) - 1>0 ? f ( x )< f ( x ) , 2 1 2 1 1 2 ∴ f ( x ) - f ( x ) = f ( x - x ) - 1>0 ? f ( x )< f ( x ) , ∴ ( ) - ( ( , 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 ∴ f ( x ) 在 R 上为增函数. ∴ f ( x ) 在 R 上为增函数. x R 上为增函数. ∴ f ( x )在 R 上为增函数. ∴ f ( ) 在 (2) 解 :: ∵ m , n ∈ R ,不妨设 m = n = 1 , (2) 解 : ∵ m , n ∈ R ,不妨设 m = n = 1 , n (2) 解 n ∈ R ,不妨设 m = = 1 , (2) 解 ∵ m , n ∈ R ,不妨设 m = n = 1 , : ∵ m ,

[2 分 ]] [2 分 ] [2 ] [2 分 分 [4 分 ]] 分 [4 分 ] [4 ] [4 分 [6 分 ]] [6 分 ] [6 ] [6 分 分

∴ f (1 + 1) = f (1) + f (1) - 1 ? f (2) = 2 f (1) - 1 , [8 分 ]] f (1 + 1) = f (1) + f (1) - 1 ? f (2) = 2 f (1) - 1 , [8 分 ] (1 1) f (1) + (1) 1 ? f (2) = 2 f (1) - 1 , [8 ] ∴ f (1 + 1) = f (1) + f (1) - 1 ? f (2) = 2 f (1) - 1 , [8 分 ∴ ∴ f + = f - 分 f (3) = 4 ? f (2 + 1) = 4 ? f (2) + f (1) - 1 = 4 ? 3 f (1) - 2 = 4 , (3) = 4 ? f (2 + 1) = 4 ? f (2) + f (1) - 1 = 4 ? 3 f (1) - 2 = 4 , (3) = 1) = 4 f (2) + (1) 1 4 ? 3 (1) 2 4 , f (3) = 4 ? f (2 + 1) = 4 ? f (2) + f (1) - 1 = 4 ? 3 f (1) - 2 = 4 , f f 4 ? f (2 + ? f - = f - = f (2) = 2 × 2 1 = 3 , ∴ f (1) = 2 , f (2) = 2 × 2 - 1 = 3 , ∴ ff (1) = 2 , - f (2) = 2 × 2 1 = 3 , ∴ f (1) = 2 , f (2) = 2 × 2 - 1 = 3 , ∴ (1) = 2 , -
22 2 2 2 2 a + 5)<2 (1) , ∴ f ( a + a - 5)<2 = f (1) , ∴ f ( a + a - 5)<2 = ff (1) , ∴ + a - 5)<2 = f (1) , ∴ ff ((a a - =

[10 分 ]] [10 分 ] [10 分 ] [12 [10 分

22 2 2 2 2 ∵ f ( x ) 在 R 上为增函数, ∴ a + a - 5<1 ? - 3< a <2 , ∵ f ( x ) 在 R 上为增函数, ∴ a + a - 5<1 ? - 3< a <2 , a ∴ aa + - 5<1 3< a <2 ∵ fx (x )在R R上为增函数, 上为增函数, ∴ + a - 5<1 ? - 3< a <2 , ∵ f( )在 ? - , 即 a ∈ ( - 3,2) . [14 分 ]] 即 a ∈ ( - 3,2) . [12 分 ] a 3,2) [12 分 ] [12 即 a ∈ (- 3,2) . [12 分 即 ∈ ( - .

答题模板

解函数不等式的问题的一般步骤: 第一步:确定函数f(x)在给定区间上的单调性; 第二步:将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式; 第三步:运用函数的单调性“去掉”函数的抽象 符号“f ‖,转化成一般的不等式或不等式组; 第四步:解不等式或不等式组确定解集; 第五步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题 规范.

感悟提高
方法与技巧
1. 根据函数的单调性的定义,证明(判定)函数f(x)在其区间上的 单调性,其步骤是: (1)设x1, x2是该区间上的任意两个值,且x1<x2(或x1>x2); (2)作差f(x1)-f(x2),然后变形; (3)判定f(x1)-f(x2)的符号; (4)根据定义得出结论. 2. 求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域,函数的单调区间都是其定义域 的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调 区间.常用方法:根据定义,利用图象和单调函数的性质,还 可以利用导数的性质. 3. 复合函数的单调性 对于复合函数 y = f(g(x)) ,若 t = g(x) 在区间 (a , b) 上是单调 函数,且 y = f(t) 在区间 (g(a) , g(b)) 或者 (g(b) , g(a)) 上是单调函 数,若 t = g(x) 与 y = f(t) 的单调性相同 ( 同时为增或减 ) ,则 y = f(g(x))为增函数;若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y=f(g(x)) 为减函数.简称为:同增异减.

感悟提高
失误与防范

1 .函数的单调区间是指函数在定义域内的某 个区间上单调递增或单调递减.单调区间要分开写, 即使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集表 示. 2.两函数f(x), g(x)在x∈(a,b)上都是增(减)函 数,则f(x)+g(x)也为增(减)函数, 但f(x)· g(x),
1 f ( x)



的单调性与其正负有关,切不可盲目类比.

三、解答题 1 1 1.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0), a x
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; (2)若 f(x)在 [ 1 , 2] 上的值域是 [ 1 , 2] ,求 a 的值.

2

2

(1)证明:设 x2>x1>0,设 x2-x1>0,x1x2>0, 1 1 x2-x1 1 1 1 1 ) ? ( ? )= - = ∵f(x2)-f(x1)= ( ? >0, x x x x 1 2 1 2 a x2 a x1 ∴f(x2)>f(x1),∴f(x ) 在 (0 ,+ ∞ ) 上是单调递增的. ax 8.试讨论函数 f(x )= 2 ,x∈(-1,1) 的单调性(其中 a≠0). 1 1 x 上的值域是 -1 (2)解: ∵f(x)在 [ , 2] [ , 2] , 2 2 解:设-1<x1<x2<1, 又 f(x)在 [ 1 , 2] 上单调递增, a? x2-x1??x1x2+1? ax1 ax2 22)= 2 - 2 = 2 则 f(x1)-f(x . x1-1 x2-1 ?x1-1??x2 - 1 ? 2

2.已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[- f?a?+f?b? 1, 1],a+b≠0 时,有 >0 成立. a+b (1)判断 f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明它; 1 1 (2)解不等式:f(x+ )<f( ); 2 x-1

1.函数单调性的定义
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域 I内的 某个区间D内的任意两个自变量x1、x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数. 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内 的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2, 当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2) , 那么就说f(x)在区间D上是增函数.

2. 函数的单调性的判定方法: (1)利用单调性定义(证明函数f(x)在给定的区间 (先判断定义域)D上的单调性的一般步骤) ①任取x1, x2∈D,且x1<x2; ②作差f(x1)-f(x2); ③变形; ④判号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ⑤定论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性).

(2)常见函数的单调性规律总结 若函数f(x),g(x)在给定的区间D上具有单调性,

①k > 0 时 , 函数 y=f(x) 与 y=kf(x)+b 具有相 同的单调性; ②若 f(x) 恒为正或恒为负时 , 函数 f(x) 与 1/f(x)具有相反的单调性. ③ 若 函 数 f(x),g(x) 都 是 增 ( 减 ) 函 数 , 则 f(x)+g(x)仍是增(减)函数. ④奇函数在对称的区间上有相同的单调性, 偶函数在对称的区间上有相反的单调性. ⑤复合函数f[g(x)]的单调性由f(x)和g(x)的 单调性共同决定(同则增异则减) .

⑤复合函数单调性的判断 复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
u ? g ( x)

增↗ 增↗

减↘ 增↗ 减↘ 减↘ 减↘ 增↗ 减↘

y ? f (u )
y ? f [ g ( x)]

增↗

?以上规律还可总结为:“同增异减”. 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间

2. 函数的单调性的判定方法: (3)导数法 ①若f(x)在某个区间内可导,当f '(x)>0 时, f(x)为增函数;当 f '(x) < 0时,f(x)为减 函数. ②若f(x)在某个区间内可导,当f(x)在 该区间上递增时,则f '(x)≥ 0;当f(x)在该 区间上递减时,则f '(x)≤0.

一、抽象函数的单调性与最值
例1. 已知定义在R上的函数y=f(x)满足, f(0)≠0 , 且当 x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R, f(a+b)= f(a) · f(b). (1)求f(0)的值;? (2)判断f(x)的单调性.

【1】若对一切实数x, y 都有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ). (1)求f(0)的值; (2)判定f(x)的奇数偶性. 【 2 】 若 函 数 f(x) 对 任 意 a, b∈ R 都 有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当x>0 时, 有 f(x)>1. 求证: f(x) 是 R 上 的增函数. 【3】已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y) 且 f (0)≠0. 求证: f (x) 是偶函数.

二、函数单调性的判定及证明
x f ( x ) ? 例2.判断函数 x 2 ? 1 在区间(-1,1)上的单调性.

(1)求b的值; (2)判断函数f(x)的单调性; 2 2 f ( t ? 2 t ) ? f (2 t ? k) ? 0 (3)若对于任意t ∈ R, 不等式 恒成立,求实数k的取值范围.

x ? 2 ?b f ( x ) ? 例3. 设 2 x ?1 ? 2 为奇函数,且定义域为R.

【1】

走进高考
【 2 】 (09 湖 南 ) 变 式 2. 设 函 数 y ? f ( x) 在
(??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K ,定义函数

? f ( x), f ( x) ? K , f K ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K .

1 取函数 f ( x) ? 2 .当 K = 2
?x

时,函数 f K ( x) 的单调递增区间为( A. (??, 0)



B. (0, ??) C. (??, ?1) D. (1, ??)

二、高考热点聚焦
热点一:函数概念与抽象函数 【例 1】 函数 f ( x) 对于任意实数 x 满足条件

f ( x ? 2) ? 1 ,若 f (1) ? ?5 ,则 f ( f (5)) ? _______. f ( x)

【例 2】 已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上 的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? 5 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是( ) 2 1 5 A. 0 B. C. 1 D. 2 2

【例 3】函数 f ( x) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与
f ( x ? 1) 都是奇函数,则(

) (B) f ( x) 是奇函数 (D) f ( x ? 3) 是奇函数

(A) f ( x) 是偶函数 (C) f ( x) ? f ( x ? 2)

走进高考
(09山东)

【 16 】 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) , 满 足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且 在 区 间 [0,2] 上 是 增 函 数 , 若 方 程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.

y

w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

1.奇、偶函数的概念

一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x , f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数. 都有_______________ 一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x , f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数. 都有______________ 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称.

2.奇、偶函数的性质

相同 ,偶 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_____ 函数在关于原点对称的区间上的单调性_____ 相反 . (2)在公共定义域内,①两个奇函数的和是 ______,两 奇函数 个奇函数的积是偶函数; 偶函数 ; ②两个偶函数的和、积都是_________ 奇函数 . ③一个奇函数,一个偶函数的积是________

3.周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一 个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时, f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周 都有f(x+T)=______ 期函数,称T为这个函数的周期. (2) 最小正周期:如果在周期函数 f(x) 的所有 存在一个最小 的正数,那么这个最小正 周期中 _____________ 数就叫做f(x)的最小正周期.

题 型一

函数奇偶性的判断

【例 1】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 9-x2+ x2-9; (2)f(x)=(x+1) 4-x (3)f(x)= . |x+3|-3
变式训练 1
2

1 -x ; 1+x

判断下列函数的奇偶性. 1-x 2+x (1)f(x)=lg ;(2)f(x)=(x-1) ; 1+x 2-x 2 ? x ? +x ?x>0?, lg?1-x2? (3)f(x)=? 2 (4)f(x)= 2 . |x -2|-2 ? ?x -x ?x<0?;

探究提高
判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充 分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是有利的; (2)判断f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运 算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 (f(x)+f(-x)= 0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数, 分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等式f(-x)= f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关 系时,分段函数才具有确定的奇偶性.

题 型二

函数的单调性与奇偶性

【例 2】定义在(-1, 1)上的函数 f(x).

x? y ); (ⅰ)对任意 x,y∈(-1, 1)都有:f(x)+f(y)= f ( 1 ? xy
(ⅱ)当 x∈(-∞,0)时,f(x)>0,回答下列问题. (1)判断 f(x)在(-1, 1)上的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数 f(x)在(0, 1)上的单调性,并说明理由; 1 1 (3)若 f ( ) = ,试求 f ( 1 ) ? f ( 1 ) ? f ( 1 ) 的值. 5 2 2 11 19
变式训练 2
函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数, 且当 x∈(0, +∞)时是增函数, 若 f(1)=0, 1 求不等式 f[x(x- )]<0 的解集. 2 解:∵y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,

题 型三

函数的奇偶性与周期性

【例 3】 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x, 恒有 f(x +2)=-f(x).当 x∈[0, 2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2, 4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 011).

变式训练 3

1 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- , f?x? 当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5)=________. 答案 2.5

答题规范
等价转换要规范

(14 分)函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0}, 且满足对于任意 x1, x2∈D.有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1, f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 且 f(x)在(0, +∞) 上是增函数,求 x 的取值范围.
审题视角 (1)从f(1)联想自变量的值为1,进而想到赋值x1=x2=1. (2)判断f(x)的奇偶性, 就是研究f(x), f(-x)的关系. 从而想到 赋值x1=-1,x2=x. 即f(-x)=f(-1)+f(x). (3)就是要出现f(M)<f(N)的形式,再结合单调性转化为M<N 或M>N的形式求解.

答题规范
等价转换要规范

解 :(1) 令 x x2=1, 1= 解 :(1) 令 x 1=x2=1, 解:(1) :(1)令 令x x1 =x x2 =1 1, , 1= 2= 解 解 :(1) 令 x = x = 1 , 1 2 有 f (1 × 1) = f (1)+ +f f(1) (1),解得 ,解得 f f(1) (1)= =0. 0. [2 分 分] ] 有 f (1 × 1) = f (1) [2 有f f(1 (1× ×1) 1)= =f f(1) (1)+ +f f(1) (1),解得 ,解得 f f(1) (1)= =0. 0. [2 分 分] ] 有 [2 有 f (1 × 1) = f (1) + f (1) ,解得 f (1) = 0. [2 分 ] (2) f ( x ) 为偶函数,证明如下: [4 分 分] ] 2=1, (2) f ( x ) 为偶函数,证明如下: [4 (2)f f( (x x) )为偶函数,证明如下: 为偶函数,证明如下: [4 分 分] ] (2) [4 (2) f (1 x )为偶函数,证明如下: [4 分] f(1)+ f(1) ,解得 f(1) =0. [2 分] 令 x = x =- 1 , 2 令 x 1=x2=-1, 令x x1 =x x2 =-1 1, , 1= 2=- 令 令 x = x =- 1 , 函数,证明如下: 分 ],解得 f(-1)=0. 1 -1)× 2 (-1)]=f(-1)+f[4 有 f [( ( - 1) 有 f [( - 1)× ( - 1)] = f ( - 1) + f ( - 1) ,解得 f ( - 1) = 0. 有 f [( - 1)× ( - 1)] = f ( - 1) + f ( - 1) ,解得 f ( - 1) = 0. 有 f [( - 1)× ( - 1)] = f ( - 1) + f ( - 1) ,解得 f ( - 1) = 0. 有 f [( - 1)× ( - 1)] = f ( - 1) + f ( - 1) ,解得 f ( - 1) = 0. -1, 令 x 1 , x2= =x x,有 ,有 f f( (- -x x) )= =f f( (- -1) 1)+ +f f( (x x) ), , 1=- 令 x =- 1 , x 1 2 令 x =- 1 , x =x x,有 ,有 f f( (- -x x) )= =f f( (- -1) 1)+ +f f( (x x) ), , 1 2= 令 x =- 1 , x 1 2 令 x =- 1 , x = x ,有 f ( - x ) = f ( - 1) + f ( x ) , 1 x 2 -1)]∴ =f(- 1) +f(x - 1)∴ ,解得 f(-1)=0. ) = ) . f( (x x) )为偶函数. 为偶函数. [7 分 分] ] ∴ f ( - x ) = f ( x ) . ∴ f [7 ∴f f( (- -x x) )= =f f( (x x) ). .∴ ∴f f( (x x) )为偶函数. 为偶函数. [7 分 分] ] ∴ [7 ∴ f ( - x ) = f ( x ) . ∴ f ( x ) 为偶函数. [7 分 ] ,x2= x,有 f4) (- xf )(4) =f (- 1)+ f (, x), (3) f (4 × = + f (4) = 2 (3) f (4 × 4) = f (4) + f (4) = 2 , (3) f (4 × 4) = f (4) + f (4) = 2 , (3) f (4 × 4) = f (4) + f (4) = 2 , (3) f (4 × 4) = f (4) + f (4) = 2 , x).∴ f(x )为偶函数. [7 分] f (16 × 4) = f (16) + f (4) = 3. [8 分 分] ] f (16 × 4) = f (16) + f (4) = 3. [8 f(16 (16× ×4) 4)= =f f(16) (16)+ +f f(4) (4)= =3. 3. [8 分 分] ] f [8 f (16 × 4) = f (16) + f (4) = 3. [8 分 ] f(4)+f(4)=2,

∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数.
(3) f(4 × = f(4) + f(4) = 2, (3) f(4 × 4)4) = f(4) + f(4) = 2,

[7 分]

f(16 × = f(16) + f(4) = 分 f(16 × 4)4) = f(16) + f(4) = 3.3. [8[8 分 ]] 由 f (3 x + 1) + f (2 x - 6) ≤ 3 , 由 f (3 x + 1) + f (2 x - 6) ≤ 3 , 由 f (3 x + 1) + f (2 x - 6) ≤ 3 , 由 f (3 x + 1) + f (2 x - 6) ≤ 3 , 由 (3 x + 1) + (2 x - 6) ≤ 3 , 由 ff (3 x + 1) + ff (2 x - 6) ≤ 3 , 由 f (3 x + 1) + f (2 x - 6) ≤ 3 , 变形为 f [(3 x + 1)(2 x - 6)] ≤ f (64) . (*) 变形为 f [(3 x + 1)(2 x - 6)] ≤ f (64) . (*) 变形为 f [(3 x + 1)(2 x - 6)] ≤ f (64) . (*) 变形为 f [(3 x + 1)(2 x - 6)] ≤ f (64) . (*) 变形为 [(3 x + 1)(2 x - 6)] ≤ (64) . (*) 变形为 ff [(3 x + 1)(2 x - 6)] ≤ ff (64) . (*) 变形为 f [(3 x + 1)(2 x - 6)] ≤ f (64) . (*) ∵ f ( x ) 为偶函数, ∴ f ( - x ) = f ( x ) = f (| x |) . ∵ f ( x ) 为偶函数, ∴ f ( - x ) = f ( x ) = f (| x |) . ∵ f ( x ) 为偶函数, ∴ f ( - x ) = f ( x ) = f (| x |) . ∵ f ( x ) 为偶函数, ∴ f ( - x ) = f ( x ) = f (| x |) . ∵ x 为偶函数, ∴ - x = x = (| x |) . ∵ ff (( x )) 为偶函数, ∴ ff (( - x )) = ff (( x )) = ff (| x |) . ∵ f ( x ) 为偶函数, ∴ f ( - x ) = f ( x ) = f (| x |) . ∴ 不等式 (*) 等价于 f (|(3 x + 1)(2 x - 6)|) ≤ f (64) . [9 分 ] ∴ 不等式 (*) 等价于 f (|(3 x + 1)(2 x - 6)|) ≤ f (64) . [9 分 ] ∴ 不等式 (*) 等价于 f (|(3 x + 1)(2 x - 6)|) ≤ f (64) . [10 分 ] ∴ 不等式 (*) 等价于 f (|(3 x + 1)(2 x - 6)|) ≤ f (64) . [9 分 ] ∴ 不等式 (*) 等价于 (|(3 x + 1)(2 x - 6)|) ≤ (64) . [9 分 ∴ 不等式 (*) 等价于 ff (|(3 x + 1)(2 x - 6)|) ≤ ff (64) . [9 分 ]] ∴ 不等式 (*) 等价于 f (|(3 x + 1)(2 x - 6)|) ≤ f (64) . [9 分 ] 又 ∵ f ( x ) 在 (0 ,+ ∞ ) 上是增函数, 又∵ ∵f f( (x x) )在 在(0 (0,+ ,+∞ ∞) )上是增函数, 上是增函数, 又 又 ∵ f ( x ) 在 (0 ,+ ∞ ) 上是增函数, 又 ∵ x 在 (0 ,+ ∞ 上是增函数, 又 ∵ ff (( x )) 在 (0 ,+ ∞ )) 上是增函数, 又 ∵ f ( x ) 在 (0 ,+ ∞ ) 上是增函数, ∴ |(3 x + 1)(2 x - 6)| ≤ 64 ,且 (3 x + 1)(2 x - 6) ≠ 0. ∴ |(3 x + 1)(2 x - 6)| ≤ 64 ,且 (3 x + 1)(2 x - 6) ≠ 0. ∴ |(3x + 1)(2x x- -6)| ≤ 64 ,且 (3x x+ 1)(2x x- -6) 6)≠ ≠0. 0. ∴ |(3 x + 1)(2 6)| ≤ 64 ,且 (3 + 1)(2 ∴ |(3 x + 1)(2 x - 6)| ≤ 64 ,且 (3 x + 1)(2 x - 6) ≠ 0. ∴ |(3 x + 1)(2 x - 6)| ≤ 64 ,且 (3 x + 1)(2 x - 6) ≠ 0. 7 1 1 ∴ |(3 x + 1)(2 x - 6)| ≤ 64 ,且 (3 x + 1)(2 x - 6) ≠ 0. 7 1 1 7 1 1 解得- ≤ x < - 或- < x <3 或 3< x ≤ 5. 7 1 1 解得-3 ≤x x< <- -3 或-3 <x x<3 <3 或 或 3< 3<x x≤ ≤5. 5. 7 1 1 7 1 1 解得- ≤ 或- < 7 1 1 3≤ 3或- 3< 解得- x < - x <3 或 3< x ≤ 5. 解得- ≤ x < - 或- < x <3 或 3< x ≤ 5. 3 3 3 解得- ≤ x < - 或- < x <3 或 3< x ≤ 5. 解得- ≤ x < - 或- < x <3 或 3< x ≤ 5. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 1 1 3 3 {x|- 37 7≤x<- 1 1或-1 1<x<3 或 3<x≤5}.[12 分] ∴ x 的取值范围是 7 1 1 ∴x x 的取值范围是 的取值范围是{ {x x||- -3 ≤x x< <- -3 或-3 <x x<3 <3 或 或 3< 3<x x≤ ≤5}.[12 5}.[12 分 分] ] 7 1 1 7 1 1 ∴ ≤ 或- < 7 1 1 3 3 3 ∴ x { x | ≤ x < - 或- x <3 或 3< x ≤ 5}.[12 分 ] ∴ x 的取值范围是 { x ≤ x < - 或- < x <3 或 3< x ≤ 5}.[14 分 3 3 3< ∴ x 的取值范围是 { x ||- - ≤ x < - 或- < x <3 或 3< x ≤ 5}.[12 分 ]] ∴ x的取值范围是 的取值范围是 { x |- - ≤ x < - 或- < x <3 或 3< x ≤ 5}.[12 分 ] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

批阅笔记
数学解题的过程就是一个转换的过程.解题质量的高 低,取决于每步等价转换的规范程度.如果每一步等价转 换都是正确的、规范的,那么这个解题过程就一定是规范 的.等价转化要做到规范,应注意以下几点: (1)要有明确的语言表示.如“M‖等价于“N‖,“M‖ 变形为“N‖. (2) 要写明转化的条件.如本例中:∵f(x) 为偶函数, ∴不等式(*)等价于f(|(3x+1)(2x-6)|)≤f(64). (3) 转化的结果要等价.如本例:由于 f(|(3x + 1)(2x - 6)|)≤f(64)?|(3x + 1)(2x - 6)|≤64 ,且 (3x + 1)(2x - 6)≠0. 若漏 掉(3x+1)(2x-6)≠0,则这个转化就不等价了.

感悟提高
方法与技巧 1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两 个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数 或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依 据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行 化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)?f(-x)±f(x) f (? x ) =0? f ( x ) =±1(f(x)≠0). 3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y轴对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象 的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.

感悟提高
失误与防范

1 .判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定 义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函 数具有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数 f(x)是奇函数,必须对定义域内的 每一个 x ,均有 f( - x) =- f(x) ,而不能说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0).对于偶函数的判断以此类推. 3 .分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点 进行判断,不可以利用函数在定义域某一区间上不 是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.

a 1.已知函数 f(x)=x + (x≠0). x
2

(1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 f(1)=2,试判断 f(x)在[2,+∞)上的单调性.

解: (1)当 a=0 时,f(x)=x2,f(-x)=f(x) ,函数是偶函数. 2 a 当 a≠0 时,f(x)=x + (x≠0,常数 a∈R), 2.已知函数 f(x)是定义在 R x 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=取 1 对称. x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0; (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; f(-1)-f(1)=-2a≠0, (2)若 f(x)= x (0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解 ∴ f ( - 1) ≠ - f (1) , f ( - 1) ≠ f (1) . 析式. ∴函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (1)证明 :由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,

3.函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1, x2∈D, 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1, f(x-1)<2, 且 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 求 x 的取值范围. 解: (1)∵对于任意 x1,x2∈D, 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1), ∴f(1)=0.

1.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一 f(-x)= f(x) ,那么函数f(x)就叫 个x,都 有_______________ 做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一 f(-x)=-f(x) 个x,都 有_______________ ,那么函数f(x)就叫 做奇函数.

2. 函数奇偶性的判定

?定义法 ①考查函数定义域是否关于原点对称; ②判断f(-x)=±f(x)之一是否成立; ③作出结论.
f ( x) f ( x ) ? f (? x ) ? 0, ? ?1. f (? x )

?图象法:画出函数图象

?利用性质

3.性质: (1)奇函数、偶函数的图象特点 ?一个函数为奇函数?它的图象关于原点对称. ?一个函数为偶函数?它的图象关于y 轴对称. (2)在定义域的关于原点对称的公共区间内 ?奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶. ?偶×偶=偶;奇×奇=偶;偶×奇=奇. (3)奇偶性与单调性的关系 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同 的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有 相反的单调性.

4.任意一个定义域关于原点对称的函数,总可以表 示成一个奇函数与一个偶函数的和. ( 1 )设函数 f(x) 的定义域关于原点对称 , 判断 下列函数的奇偶性:
f ( x ) ? f (? x ) f ( x ) ? f (? x ) ② G( x ) ? ① F ( x) ? 2 2 f ( x) ? f (? x ) f ( x) ? f (? x) (2) f ( x ) ? ? 2 2

0 5. 对于奇函数f(x),若x能取到零,则f(0)=__. 6. 若f(x)为偶函数,则 f ( ? x ) ? f ( x ) ? f (| x |).

【 例 3 】 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) , 满 足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且 在 区 间 [0,2] 上 是 增 函 数 , 若 方 程 f(x)=m (m >0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.

w.w .w.k .s. 5 .u .c.o.m

y

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

(

)

例1.判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1

解:函数的定义域为{-1, 1}, ? f (?1) ? f (1) ? ? f (1) ? 0.

∴ f(x)既是偶函数, 又是奇函数.
(2)f(x)=|x+1|-|x-1|
解 : ? f (? x )

? ? f ( x). 所以函数 f(x) 为奇函数.

?| ? x ? 1| ? | ? x ? 1| ?| x ? 1| ? | x ? 1|

y
2 -1

o
-2

1

x

2 ? ? ?1 ≤ x ≤ 1, ? 1 ? x ≥ 0, 解:(1)由 ? ?? ? ?1 ≤ x ≤ 1, 且x ? 0. ? ? x ? 2 ? 2 ? 0. ? x ? 0, 且x ? ?4.

lg(1 ? x 2 ) (3) f ( x ) ? | x ? 2 | ?2

∴定义域为[-1,0)∪(0,1].
2 2 1 ? x 1 ? x (2) ? f ( x ) ? ? , ( x ? 2) ? 2 x
2 1 ? ( ? x )2 1 ? x 又 ? f (? x ) ? ?? , ?x x

即f(-x)= - f(x). 所以函数 f(x) 为奇函数. 点评:判断函数是否具有奇偶性,先看定义域是 否关于原点对称,其次要对解析式进行化简.

例2.定义在[-1,1]上的函数f(x) 是奇函数,并且在[1,1] 上f(x)是增函数,求满足条件f(1-a)+f(1-a2)≤0 的 a 的取值范围.

[变式练习] 【1】定义在[-2,2]上的偶函数f(x), 当
x≥0时, f(x)单调递减,若 f(1-m)<f(m) 成立,求 m 的取值范围.

【2】若函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,
且在区间(-∞,0]上是减函数,又f(2a-1) > f(3-a), 则a的取值范围是______________.

例4.已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x, 求当 x<0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x) 的图象.
[练习]【1】已知 f(x) 是定义在R上的奇函数,

当x>0时, f(x)=x2+x-1, 求函数f(x)的表 达式.
【 2 】已知 f (x) 是偶函数 ,g(x) 是奇函数, f ( x) x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式 g( x) ? 0

的解集是_______________.

【3】f(x)是R上偶函数, 且在[0,+∞)上是 [练习] 增函数, f(0.5)=0,则不等式 f (log 4 x ) ? 0 的解 集为__________.
【1】

1. 二次函数的定义与解析式
(1)二次函数的定义 形如:f(x)=ax2+bx+c (a≠0)的函数叫做二次函数.

(2)二次函数解析式的三种形式
y=ax2+bx+c (a≠0) ①一般式:__________________. ②顶点式:__________________, (m, n) y=a(x-m)2+n(a≠0) 顶点为______. x1, x2 是 ③零点式:____________________, y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 其中_______ 方程ax2+bx+c=0的两根.

2.二次函数的图象和性质
图象
定义域 值域 奇偶性 a>0

函数性质
x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定) a<0 2 2 4 ac ? b 4 ac ? b ( ??, ] [ , ?? ) 4a 4a b=0时为偶函数, b≠0时既非奇函数也非偶函数 a>0 单调性
( ??, ? b ] 上递减 2a [? b , ?? ) 上递增 2a

a<0 ( ??, ? b ] 上递增 2a ( ? b , ??] 上递减 2a

图象

2 b b 4 ac ? b x?? (? , ) ①对称轴 : ______ ②顶点 :_________ 2 a 4 a 2a 特点

3.二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)与轴两交点的距离 当Δ=b2-4ac>0时,图象与x轴有 两个交点M1(x1, 0) , M2(x2, 0), | M1 M 2 |?| x2 ? x1 |? ? |a| 4. 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m, n]上的最值
(1)若 x0 ? ? b ∈[m, n], 则
2 4 ac ? b ; f ( x )max ? max{ f (m ), f (n)}. f(x)min= f(x0)= ? 4a (2)若 x0 ? ? b ?[m, n], 则 2a

2a

①当 x0<m 时, f(x)min=f(m), f(x)max=f(n); ②当 x0>n 时, f(x)min=f(n), f(x)max=f(m).

求二次函数的解析式 题 型一 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1, 且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数.

探究提高
二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c (a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k (a≠0); (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 已知函数的类型(模型),求其解析式,用待定系数法,根据 题设恰当选用二次函数解析式的形式,可使解法简捷.

变式训练 1
设f (x)是定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x,当 x>2 时,y=f (x)的图象 是顶点为 P (3,4) ,且过点 A (2,2) 的抛物线的一部分.

(1)求函数 f (x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数 f (x)的草图; (3)写出函数 f (x)的值域.

二次函数的图象与性质 题 型二 【例2 】已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4, 6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4, 6]上是单 调 函数; (3)当a=1时, 求f(|x|)的单调区间.

变式训练 2

已知函数f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0, 1] 内有一个最大值-5,求a的值.

题 型 三 二次函数的综合应用 【例3】 若二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0) 满足 f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)若在区间[-1, 1]上,不等式 f(x)>2x+m恒成立, 求实数m的取值范围.
变式训练 3 已知函数 f(x)=x2+mx+n 的图象过点(1, 3),且 f(-1+x)=f(-1- x)对任意实数都成立,函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于原点对称.
(1)求 f(x)与 g(x)的解析式; (2)若 F (x)=g(x)-λ f (x)在(-1,1]上是增函数, 求实数λ 的取值范围.

思想与方法
分类讨论在二次函数中的应用

(14 分)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出 演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解集.

审题视角

(1)求 a的取值范围,是寻求关于 a的不等式, 解不等式即可; (2)求f(x)的最小值,由于f(x)可化为分段函数, 分段函数的最值分段求,然后综合在一起. (3)对a讨论时,要找到恰当的分类标准.

分类讨论在二次函数中的应用
批阅笔记

分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法 之一.本题充分体现了分类讨论的思想方法.在解答本题 时有两点容易造成失分 : 一是求实数 a 的值时,讨论的 过程中没注意a自身的取值范围,易出错;二是求函数 最值时,分类讨论的结果不能写在一起,不能得出最 后的结论.除此外,解决函数问题时,以下几点容易造成 失分: 1.含绝对值问题,去绝对值符号,易出现计算错误; 2.分段函数求最值时要分段求,最后写在一起时, 没有比较大小或不会比较出大小关系; 3.解一元二次不等式时,不能与一元二次函数、一元 二次方程联系在一起,思路受阻.

感悟提高
方法与技巧
1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法. 特别是涉及二 次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路. 2. 含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨 论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,又例 如涉及二次不等式需讨论根的大小等. 3.关于二次函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x1)= x1+x2 f(x2),那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x= . 2 (2)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(a+x)= f(a-x)成立,那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a 为 常数).

感悟提高
方法与技巧

(3)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x+ 2a)=f(x),那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a 为 常数).注意:(2)(3)中, f(a+x)=f(a-x)与 f(x+2a)=f(x) 是等价的. 2 (4)利用配方法求二次函数 y=ax +bx+c (a≠0)对称轴 b 方程为 x=- ; 2a (5)利用方程根法求对称轴方程.若二次函数 y=f(x)对 应方程为 f(x)=0 两根为 x1, x2,那么函数 y=f(x)图象的对 x1+x2 称轴方程为 x= . 2

感悟提高
失误与防范
1.求二次函数的单调区间时要用配方法,要熟练准确利用配方法. 2.对于函数 y=ax2+bx+c 要认为它是二次函数,就必须认定 a≠0, 当题目条件中未说明 a≠0 时,就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况. 3.对于二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)给定了定义域为一个区间[k1, 4ac-b2 k2]时,利用配方法求函数的最值 是极其危险的,一般要讨论函数 4a b 图象的对称轴在区间外、内的情况,有时要讨论下列四种情况:①- 2a k1+k2 b k1+k2 b b <k1;②k1≤- < ;③ ≤- <k2;④- ≥k2. 2a 2 2 2a 2a 对于这种情况,也可以利用导数法求函数在闭区间的最值方法求最值. 这两种方法运算量相当. 4.注意判别式作用,正确利用判别式.

三、解答题
1.是否存在实数 a,使函数 f(x)=x2-2ax+a 的定义域为 [-1, 1]时, 值域为[-2, 2]?若存在, 求 a 的值; 若不存在, 说明理由.
2.已知二次函数 f(x)=ax2+bx (a,b 为常数,且 a≠0),满足条件 f(1+x)=f(1-x) ,且方程 f(x)=x 有等根.(1)求 f(x)的解析式;(2)是否 存在实数 m,n(m<n), 使 f (x )的定义域和值域分别为[ m,n]和 [3m,3n],如果存在,求出 m、n 的值,如果不存在,说明理由.
3.已知关于 x 的二次函数 f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.

(1)求证:对于任意 t∈R,方程 f(x)=1 必有实数根; 1 3 (2)若 <t< , 求证:方程 f(x)=0 在区间(-1,0)及 (0, 1 ) 上各有一个实根. 2 4 2

1. 二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 实根分布问题
涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题, 一般情况下要从四个方面考虑:

① f(x) 图象的开口方向;
②方程 f(x)=0的判别式; ③ f(x) 图象的对称轴与区间的关系; ④区间端点处函数值的符号.

? x ? x ? ? b ? 0, 2 ? 1 a ①方程 f(x)=0 有两正根 ?? c ? 0, x x ? ? ? 1 2 a ?? ≥ 0 ? ?

1. 二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 实根分布问题 记 f(x)=ax2+bx+c(a>0)

? ? ≥ 0, ? ? b ? ? 2a ? 0 ? ? ? f (0) ? 0

? x ? x ? ? b ? 0, 2 ②方程 f(x)=0 有两负根 ?? 1 a ? c ? 0, x x ? ? ? 1 2 a ?? ≥ 0 ? ?
③方程 f(x)=0 有一正根一负根 ?

? ? ≥ 0, ? ? b ? ? 2a ? 0 ? ? ? f (0) ? 0

c ?0 a

?c?0

根的分布

图象
y

充要条件

x1 ? x2 ? k
y

o

k x

?? ? 0 ? b ? ? 2a ? k ? f (k ) ? 0 ?

k ? x1 ? x2 x1 ? k ? x2

o k

x

?? ? 0 ? b ? ? 2a ? k ? f (k ) ? 0 ?

y o k x

f (k ) ? 0

根的分布

图象

充要条件

y

k1 ? x1 ? x2 ? k2

k1

o

k2 x

?? ? 0 ? ? k1 ? ? b ? k2 2a ? ? f ( k1 ) ? 0 ? ? f ( k2 ) ? 0

m?n? p?q m ? x1 ? n p ? x2 ? q

? f (m ) ? 0 ? f ( n) ? 0 p n ? f ( p) ? 0 m o q x ? ? f (q ) ? 0

y

根的分布

y

图象

充要条件

o x1

k1

x2

k2

x

f (k1 ) ? f (k2 ) ? 0

两个实根有 且仅有一根 在区间 [k1 , k2 ] 内

y
x1
1

ok
y

f ( k1 ) ? 0 ? ? k ? k ? b 1 2 k2 k ? ? ? 1 ? 2a 2 ? x2 x
f ( k2 ) ? 0 ? ? ? k1 ? k2 k2 b ?k ? ? x2 x ? 2a 2 ? 2

o k1

x1

2. 二次函数图象和性质 2 2 b 4 ac ? b 2 二次函数 y=ax +bx+c (a≠0) ? a( x ? ) ? . 2a 4a 向上 a<0时,开口_____ 向下 . (1)开口方向: a>0时,开口____, (2)顶点、对称轴: 2 b b 4 ac ? b x ? ? (? , ) ;对称轴方程为________ 2a . 顶点坐标为_____________ 2a 4a (3)与坐标轴的交点 (0, c) ①与y轴的交点是________; ②当Δ>0时,与x轴两交点的横坐标x1、x2分别是 ? 2 方程ax + bx+c=0的两根.且|x1-x2|=______; |a| b ,0) ( ? ③当Δ=0时,与x轴切于一点________; 2a 不相交. ④当Δ<0时,与x轴_______ (4)在对称轴的两侧单调性相反. (5)当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数.

3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式 三者之间的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 Δ=b2-4ac
y

二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 方程ax2+bx +c=0的根

y

y

x1 o

x2 x

2

o

x1

x

o

1

x

有两不等实 根x1, x2

有两相等 实根x1=x2

无实根

ax2+bx+c>0 {x|x<x , x>x } {x|x≠x } 2 1 1 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 {x|x1<x<x2} ? (a>0)的解集

R ?

4. 不等式 ax2+bx+c>0 恒成立问题
① ax2+bx+c>0在R上恒成立

?a ? b ? 0 ?a ? 0 或? ?? 2 ? b ? 4ac ? 0 ?c ? 0 a?0 ?a ? b ? 0 或 ② ax2+bx+c<0在R上恒成立 ? ? ?c ? 0 ? 2 ? b ? 4ac ? 0 ? ③ f(x)=ax2+bx+c>0(a>0) 在 [m, n] 上恒成立
? ? ? ?? b ? n ?m ≤ ? b ≤ n ?? b ? m 或 ? 2a 2a 或? ? ? 2a 2 ? ? ? b ? 4ac ? 0 f ( m ) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0 ? ? ? f(x)min>0(x∈[m, n])

④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0) 在 [m,

? f (m ) ? 0 n] 上恒成立? ? f ( n) ? 0 ?

【例1】 已知函数 上的最大值是2,求实数 a 的值.

y ? ? x 2 ? ax ? a ? 1 在区间[0, 4 2

1]

[练一练]已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间 [t, t+1] 上的最大值h(t).

例2.设不等式 mx2-2x- m+1<0 对于满足|m|≤2的一切 值都恒成立,求实数 x 的取值范围. 解:设 f(m)=mx2-2x-m+1, 则 f(m)是一个以m为自变量的一次函数,其图象 是直线,由题意知该直线当-2≤m≤2时,线段在x轴下 方,
?

?

2 ? ? 2 x ? 2 x ? 3 ? 0, f ( ?2) ? 0, 即 ? 2 f (2) ? 0, ? 2 x ? 2 x ? 1 ? 0,

【点评】解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量, 谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁 的范围,谁就是参数.

解得 ?1 ? 17 ? x ? ?1 ? 3 . 2 2 ?1 ? 17 ? x ? ?1 ? 3 }. { x | 所以实数 x 的取值范围是 2 2

练一练

1 ≤ x ≤ 2时,不等式ax 2 ? 2 x ? 2 ? 0恒成立, 当 【1 】 2 则实数a的取值范围是________.

【2】若方程x2-2x=k在区间[-1,1]上有解,则实数 k的取值范围为_____________.
【3】方程x2-mx+1=0的两根为α,β且 则实数m的取值范围是____________. 例3.已知函数f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合M={m|使方程f(x)=mx有四个不相等的实根}.

? ? 0, 1 ? ? ? 2,

不等式恒成立问题 2 例4. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, 3] m≤9 上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
解:m≤-2x2+9x在区间[2,3]上恒成立,

记 g ( x) ? ?2 x2 ? 9 x, x ?[2,3],
? gmin ( x) ? g(3) ? 9, ? m ≤ 9. (1)变量分离法(分离参数)
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题,如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离,即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边,然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题.

则问题转化为 m≤g(x)min

不等式恒成立问题 2 例4. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, 3] 上恒成立,则实数m的取值范围是_______. m≤9 2 解:构造函数 f ( x ) ? 2 x ? 9 x ? m, x ? [2, 3],
问题等价于f(x)max≤0,
2 9 ? f ( x ) ? 2( x ? ) ? m ? 81 , x ? [2,3], 4 8

y

? fmax ( x) ? f (3) ? m ? 9 ≤ 0,

o

2

? m ≤ 9.
(2)转换求函数的最值

.

.

3

x

不等式恒成立问题 2 例4. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, 3] m≤9 上恒成立,则实数m的取值范围是_______. 2 解:构造函数 f ( x) ? 2 x ? 9 x ? m, x ?[2,3],


? f (2) ≤ 0 ? ? f (3) ≤ 0
o

y

? ?10 ? m ≤ 0 ? m ≤ 9. ?? ? ?9 ? m ≤ 0

2

.

.

3

x

(3)数形结合思想

不等式恒成立问题 2 例4. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, 3] 上恒成立,则实数m的取值范围是_______. m≤9 解:据题意, ? ? 81 ? 8m ≥ 0,
不等式解集为:[ 9 ? 81 ? 8m , 9 ? 81 ? 8m ]
A 2

4

4

? 9 ? 81 ? 8 m ≥3 ? ? 4 由已知得: ? ? 9 ? 81 ? 8m ≤ 2 ? ? 4

3

? m ≤ 9.

(4)不等式解集法

22.(14分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c. (1)若f(-1)=0,试判断函数f(x)零点个数; (2)是否存在a,b,c∈R,使f(x)同时满足以下条件: i.对 x∈R, f(x-4)= f(2-x), 且f(x)≥0,1 ii. 对 x∈R,都有 0 ≤ f(x)- x ≤ (x-1)2, 2 若存在,求出a,b,c的值;若不存在,请说明理由。

付价格 S 是多少?(净收入=获赔金额-经济损失) . (本小题满分 14 分) 2 已知二次函数 f ( x14 ) ?分 ax 22 . (本小题满分 ) ? bx ? c . 2 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx . ? c 2 f ( x) ? ax f? ?c . (bx x) 零点个数; (I)若 已知二次函数 f ? ?1? ? 0 ,试判断函数

(I)若 f ? ?1? ? 0 ,试判断函数 f ( x ) 零点个数; ( x) 零点个数; (I)若 f ? ?a ,试判断函数 1, ? 0? ?b ,c R ,使 f ( x) f (Ⅱ)是否存在 同时满足以下条件

走进高考 ? x ≥ 1, ?x , (2007 · 浙江,理 , g(x f (? x) f ? (2 f) 是二次函数,若 ( x) ≥ 0 , f ( g ( x)) ? x? R, f (10 x)设 ? 4) ①对 ? ? x) ,且 xf 1 1,且 f 2(,若存在, x) ≥ 0 , ? ?x ?,都有 R, f (0 x≤ ? 4) ?x (2x? x) ①对 ? ?x ? R ②对 fx, ( )?? ≤ ( x ? 1) 2 2 1 g ( x ) 的值域是 ,则 的值域是( ) 0 ,∞ ? ? ? ②对 ?x ? R ,都有 0 ≤ f ( x) ? x ≤ ( x ? 1) ,若存在,求 2 1 2 ? x ? R 请说明理由 . ?1 , 都有 ,若存 0 ≤ f ( x ) ? x ≤ ( x ? 1) ?∞, ? 1 ,∞ ? ? ∞, ? 1 ? 0 ,∞ ? A. ?②对 B . ? ? ? ? ? ? 2?
? ? D. ?1,∞

(Ⅱ)是否存在 a, b, c ? R ,使 f ( x ) 同时满足以下条件 b,? c? R?,使 f ( xf)(同时满足以下条 (Ⅱ )x 是否存在 x ) ≥ 0, ? ? R, f ( x a ?,4) f (2 x ) ①对 ,且 2

C. ?0,∞ 说明理由 .? ?

1. 根式的概念
根式的概念
如果xn=a,那么 x 叫做 a 的n 次方根.

符号表示

备注 n>1,且 n∈N*.

n为奇数时,正数的奇次方根是 n 零的n次方根是零 a 正数;负数的奇次方根是负数. n为偶数时,正数的偶次方 ? n a (a ? 0) 负数没有偶次方根 根有两个且互为相反数.

2. 两个重要公式 公式 (1) (n a )n ? a 适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R. 公式 (2)
? n ? 2 k ? 1, k ? N , a , ? n n a =? ? | a |, n ? 2k , k ? N . ?

②当n为大于1的偶数时, a≥0.

3. 幂的有关概念 幂指数 正整数 指数

a ? a ? a ?? ? a ? ? ?? ?
n

定义

条件

零指数 负整数 指数 正分数 指数 负分数 指数

a ?1
0
m n

n个a

n? N ,a ? R

?

a?0
n? N ,a ? 0
?
m

a ? 1n a
?n

a
a
?m n

?

n

a
n

a>0,m,n?N*,n>1
a>0,m,n?N*,n>1

?

1 ? m an

1 am

规定: 0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质: (a>0, b>0, r, s?Q )

(1) a a ? a
r s
r s

r?s
rs

;
r

(2) (a ) ? a ;

(3) (ab) ? a b .
r r

5.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质: 当x>0时, 当x<0时, a >1 y>1. y 当x<0时,

0< a <1

0<y<1.

y

图 0<y<1. (0,1) y=1 象 y=1 (0,1) o x o x 1.定义域: (??, ??) 当x>0时, 性 2. 值域: (0, ??) y>1. 3.过点 (0,1) ,即x= 0 时,y= 1 质 4.在R上是 增函数 在R上是 减 函数

6.第一象限中,指数函数底数与图象的关系
y ? bx y ? ax

y

y ? cx y ? dx

o

x=1

x

0? b ? a ?1? d ? c
图象从下到上,底数逐渐变大.

题 型 一 指数式与根式的计算问题 【例 1】计算下列各式的值.
-1 27 (1) ( ? ) + (0.002) -10( 5-2) +( 2- 3)0; 8

?2 3

?1 2

1 (2) -( 3-1)0- 9-4 5; 5+ 2
变式训练 1

(3)

ab

3 23 1 2 4

ab
?1 3

2 1 3

计算下列各式: 计算下列各式:
11 ?? 33

(a b ) a b

1 4

(a ? 0, b ? 0) .
22 33

00 0.25 6 2) ; 7 0.25 4 3 2 ? 3)6 4 2 ?( 3 2 7 ? ( (1) 1.5 ? ( ? ) ? 8 ? (1) 1.5 ? (? ) ? 8 ? 2 ? ( ) ;

6 6

3 3

(2) (2)

ab? ?4 4 b aa ??22 ab b
33

22 33

aa ? a ?8 8 ab b

44 33

11 33

22 33

3 b ) ? 3 a ( a ? 0, ? 0,b b? ? 0) 0). . ?(1 (1? ?2 23 a

题 型 二 指数函数的图象及应用 x xa 【例 2】(1)函数 y= (0<a<1)图象的大致形状是 ( |x|

)

(2)若函数 y=ax+b-1 (a>0 且 a≠1)的图象经过第 二、 三、 四象限,则 a, b 的取值范围是__________________.
x

(3)方程 2 =2-x 的解的个数是________.

变式训练 2

e +e (1)(2009 山东)函数 y= x -x的图象大致为( A ) e -e

x

-x

(2)k为何值时,方程|3x-1|=k无解?有一解?有两解?

题 型三

指数函数的性质及应用

【例3】设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1, 1]上 的最大值为14,求a的值.

(2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m

1 已知定义在 R 上的函数 f (x)=2x. 3 | x| 2 (1)若 f (x)= 2 ,求 x 的值;

变式训练 3

思想与方法
方程思想及转化思想在求参数中的应用
-2x+b (14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

批阅笔记
(1) 根据 f(x) 的奇偶性,构建方程求参数体现了方程的 思想;在构建方程时,利用了特殊值的方法,在这里要注 意的是:有时利用两个特殊值确定的参数,并不能保证对

所有的x都成立.所以还要注意检验.
(2)数学解题的核心是转化,本题的关键是将f(t2-2t)+ f(2t2-k)<0等价转化为:t2-2t>-2t2+k恒成立.这个转化

考生易出错.其次,不等式 t2- 2t>- 2t2+ k恒成立,即对
一切t∈R有3t2-2t-k>0,也可以这样做:k<3t2-2t, t∈R, 只要k比3t2-2t的最小值小即可,而3t2-2t的最小值为-1/3, 所以k<-1/3.

感悟提高
方法与技巧

1 .单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图 象的无限伸展性, x 轴是函数图象的渐近线.当 0<a<1 时, x→+∞,y→0;当a>1时,x→-∞,y→0;当a>1时,a的 值越大,图象越靠近 y 轴,递增的速度越快;当 0<a<1 时, a的值越小,图象越靠近y轴,递减的速度越快. 2 .画指数函数 y = ax(a>0 , a≠1) 的图象,应抓住三 个关键点:(1,a), (0, 1), ( ?1, 1 ) . a 3 .在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中, 要注意运用方程的观点处理问题,通过解方程(组)来求值, 或用换元法转化为方程来求解.

感悟提高
失误与防范

1.指数函数y=ax (a>0,a≠1)的图象和性质跟a 的 取 值 有 关 , 要 特 别 注 意 区 分 a>1 与 0<a<1 来 研 究. 2 .对可化为 a2x + b· ax + c = 0 或 a2x + b· ax + c≥0 (≤0)的指数方程或不等式,常借助换元法解决,但 应注意换元后“新元”的范围.

三、解答题
2
2 1 1

? ? ? 0.5 3 4 3 3 1.(1)计算:[ (3 ) - (5 9 ) + (0.008) ÷(0.02) 2 × (0.32) 2 ] 8

÷ 0.062 5
(2)化简:
4 3 2 3 3

0.25
1 3


2 3

a ? 8a b 4b ? 2 ab ? a

? (a

?2 3

3 2 ? b )? a

a 3 a2
5

a3 a

(式中字母都是正数).

2.已知函数f(x)=3x,f(a+2)=18,g(x)=λ· 3ax-4x的 定义域为[0, 1]. (1)求a的值. (2)若函数g(x)在区间[0, 1]上是单调递减函数,求 实数λ的取值范围.

a - 3.已知函数 f(x)= 2 (ax-a x) (a>0,且 a≠1). a -1 (1)判断 f(x)的单调性; (2)验证性质 f(-x)=-f(x),当 x∈(-1,1)时,并应用该性质求 f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的范围.

【01】

例2.讨论函数 其值域.

x2 ? 2 x 1 f ( x) ? ( ) 5

的单调性,并求

x a ? 2 ? a ? 2 为奇函数.求: 【例3】(12分)设函数 f ( x ) ? 2x ? 1

(1)实数a的值; (2)用定义法判断f(x)在其定义域上的单调性.

x 10 例4.求证函数 f ( x ) ? x ? 1 是奇函数,并求其值域. 10 ? 1
?x e 知能迁移2 设 f ( x ) ? a ? a ? x 是定义在R上的函数. e

(1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若f(x)是偶函数,试研究其单调性.

练一练
(2)

? 0 ?2 3 1 (1) (2 ) ? 2 ? (2 ) 2 ? (0.01)0.5 ? _________; 5 4

1

3

a ? a ? a ? a ?5 ? _______ .
3 10

?6

3

5 2

(3)函数f(x)=a-2x的图象经过原点,则不等式
f ( x ) ? 3 的解集是 4

.

变式训练
1 )| x ?1| y ? ( 【1】作出函数 的图象,求定义域、值域. 2

变式训练

(1) y ? 2
y

【2】说出下列函数的图象与指数函数 y=2x 的图 象的关系,并画出它们的示意图. ?x
?x

(2) y ? ?2
y

x

(3) y ? ?2
y

o o x (x,y)和(-x,y) 关于y轴对称!

x

o

x

( x ,y ) 和 ( x ,- y ) 关 于x轴对称!

( x ,y ) 和 ( - x ,- y ) 关 于原点对称!

(1) y ? 2
y
(0,1)

?x

(2) y ? ?2
y
(0,1)

x

(3) y ? ?2
y
(0,1)

?x

o

x

o

x

o

x

(1) y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y 轴 对称;

(2) y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x 轴 对称;
(3) y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原 点 对称.

变式训练
【3】说出下列函数的图象与指数函数 y=2x 的图 象的关系,并画出它们的示意图.

(4) y ? 2 与 y ? 2
x

| x|

y

o

x

由 y=f(x) 的图象作 y=f(|x|) 的图象:保留y=f(x)中y 轴右侧部分,再加上这部分关于y轴对称的图形.

变式训练 x 2 【4】方程 2 ? x y 的解有_____ 3 个.

x 【点评】当判断方程 f (x) = g (x)的实根个数时, 我们可转化为判断函数y = f (x) 与函数 y = g (x)的 图像的交点的个数.

o

变式训练
【5】函数y=ax+2011+2011(a>0,且a≠1)的 (?2011,2012) 图象恒过定点___________. 点评:函数y=ax+2011+2012的图象恒过定点 (-2011,2012),实际上就是将定点(0,1)向右平移 2011个单位,向上平移2011个单位得到. 由于函数y=ax(a>0,且a≠1)恒经过定 点 (0,1), 因此指数函数与其它函数复合会产生 一些丰富多彩的图象过定点问题.

1. 对数的概念 (1)对数的定义 如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底 x=logaN 其中____ a 叫做对数的底 N的对数, 记作_________, N 叫做真数. 数 ,____ (2) 几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为a(a>0且a≠1) 10 底数为____ 底数为____ e 记法 loga N _______ lg N ______ ln N ______

2. 对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①负数和零没有对数; ② logaa = 1; ③ loga1 = 0. (2) 积、商、幂的对数运算法则: ( a > 0,且 a ? 1,M > 0, N > 0) ① loga ( M ? N ) ? loga M ? log a N ; ② loga M ? loga M ? loga N ; N ③ loga M n ? nloga M (n ? R);
④ log a n M ? 1 log a M . n

2. 对数的性质与运算法则 (3)对数的重要公式 1) 对数的换底公式
log b log b ? (a, c ? (0,1) ? (1, ??), b ? 0) log a
c a c

2) 对数恒等式

a

loga N

? N (a ? 0且a ? 1,N ? 0)

3) 四个重要推论
lg b ln b n ? ; ② logam N ? n loga N ; m lg a ln a ③ loga b ? 1 ; ④ loga b ? logb c ? loga c. logb a ① log a b ?

3. 对数函数图象与性质
函 数

y = logax ( a>0 且 a≠1 )





定义域 值 域

单调性
过定点 趋 势

(0, +∞) R 增函数 (1,0)
底数越大,图象越靠近 x 轴

(0, +∞) R 减函数 (1,0)
底数越小,图象越靠近 x 轴

取值范围

0<x<1时, y<0 x>1时, y>0

0<x<1时, y>0 x>1时, y<0

4. 反函数 y=logax 互为反 指数函数y=ax与对数函数_________ 函数,它们的图象关于直线_________ y=x 对称.

5. 第一象限中,对数函数底数与图象的关系

y
y=1

o

x

图象从左 到右,底数逐渐 变大.

题 型一

对数式的化简与求值

【例 1】计算下列各式. (1)lg 25+lg 2· lg 50+(lg 2)2; 2 ?lg 3? -lg 9+1· ?lg 27+lg 8-lg 1 000? (2) ; lg 0.3· lg 1.2 (3)(log32+log92)· (log43+log83).
变式训练 1

3 (1)化简 lg +lg 70-lg 3- lg23-lg 9+1; 7

(2)已知 f(3x)=4xlog23+233,求 f(2)+f(4)+f(8)+?+f(28)的值. 3 ×70

题 型二

对数函数的图象与性质

【例 2】作出函数 y=log2|x+1|的图象,由图象指出函数的 单调区间, 并说明它的图象可由函数 y=log2x 的图象经过怎 样的变换而得到.
作出函数y=log2x的图象,将其关于y轴对 称得到函数y=log2|x|的图象,再将图象 向左平移1个单位长度就得到函数 y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,

函数 y=log2|x+1|的递减区间为(-∞, -1), 递增区间为(-1,+∞). 探究提高

作一些复杂函数的图象 ,首先应分析它可以从哪一个基 本函数的图象变换过来 .一般是先作出基本函数的图象 , 通 过平移、对称、翻折等方法,得出所求函数的图象.

|lg x|, 0<x≤10, ? ? 已知函数 f(x)=? 1 若 a,b,c 互不相等, - x+6, x>10, ? ? 2 且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围是__________.

变式训练 2

A.(1,10)

B.(5,6)

C.(10,12)

D.(20,24)

题 型三 对数函数的综合应用 【例 3】已知函数 f(x)=loga(8-2x) (a>0 且 a≠1).
(1)若 f(2)=2,求 a 的值; (2)当 a>1 时,求函数 y=f(x)+f(-x)的最大值.
变式训练 3

已知函数f(x)=loga(x+1) (a>1),若函数y=g(x)图象上任 意一点P关于原点对称的点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x) 的图象. (1)写出函数g(x)的解析式; (2)当x∈[0,1)时总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范围.

思想与方法
数形结合思想在对数函数中的应用

(14分)已知函数f(x)=loga(ax-1) (a>0且a≠1). 求证:(1)函数f(x)的图象总在y轴的一侧; (2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0. x x-1>0,得 ax x>1, 证明 : (1) 由 a x x x x>1, 证明 : (1) 由 a - 1>0 ,得 a x x x x 证明 : (1) 由 a - 1>0 ,得 a >1 , 证明 : (1) 由 a - 1>0 ,得 a >1 , 证明:(1)由 a -1>0,得 a >1, ∴ 当 a >1 时 ,, x >0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 (0, + ∞ ), ∴ 当 a >1 时 x >0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 (0, + ∞ ), ∴ 当 a >1 时 , x >0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 (0, + ∞ ), ∴ 当 a >1 时 , x >0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 (0, + ∞ ), ∴当 a>1 时, x>0,即函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 此时函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的右侧; 此时函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的右侧; 此时函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的右侧; 此时函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的右侧; 此时函数 f(x)的图象在 y 轴的右侧; 当 0< a <1 时 ,,x <0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 ( - ∞ ,0), 当 0< a <1 时 x <0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 ( - ∞ ,0), 当 0< a <1 时 , x <0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 ( - ∞ ,0), 当 0< a <1 时 , x <0, 即函数 f ( x ) 的定义域为 ( - ∞ ,0), 当 0<a<1 时,x<0,即函数 f(x)的定义域为(-∞,0), 此时函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的左侧. 此时函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的左侧. 此时函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的左侧. 此时函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的左侧. 此时函数 f(x)的图象总在 y 轴的左侧. ∴ 函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的一侧. ∴ 函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的一侧. ∴ 函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的一侧. ∴ 函数 f ( x ) 的图象总在 y 轴的一侧. ∴函数 f(x)的图象总在 y 轴的一侧.

[1 分 ] [1 分 ] [1 分 ] [1 分 ] [1 分] [3 分 ] [3 分 ] [3 分 ] [3 分 ] [3 分] [5 分 ] [5 分 ] [5 分 ] [5 分 ] [5 分] [6 分 ] [6 分 ] [6 分 ] [6 分 ] [6 分]

(2)设 A(x1, y1), B(x2, y2)是函数 f(x)图象上的任意两点, 且 x1<x2, y1 - y2 则直线 AB 的斜率 k= . [7 分] x1-x2 x1 x1 x2 a y1 ? y2 ? log a (a ? 1) ? log a (a ? 1) ? log a x2 ? 1 , [8分] a ?1
x x 1 2 x x x1 x2 1 2 ? 1. x x ? 0 ? a ? 1 ? a 1 ? 0 ? a 1 ? 1 ? a 22 ? 1. x x 1 x1 1 ?1 x a 1 1 a ?1 ? 0 ? ? 1 ∴ , ∴ y -y2 <0. 1 x 1 1-y2 2<0. 1 ∴ 0 ? ax , ∴ y 2 x2 1 2 2 ?1 x2 2 a ?1

x 1 x 1 x1 1 x >1 当 a 时,由 (1) 知 0< x < x , ? 1 ? a 1 1 2 1 当 a >1 时,由 (1) 知 0< x < x , 1 2 1 2 当 a>1 时,由(1)知 0<x1<x2, ?1 ? a

x

x 2 x 2 x2 2, x ? a 2 2 ?a ,

[9 分 ] 又 - <0 [11 分 1 2 又 x1 -x x2 <0, ,∴ ∴k k>0. >0. [9 分 分 ]] 1- 2<0 又x x x , ∴ k >0. [9 ] 1 2 x x x x 1 2 x x 1 2 x x2 1 1 2 x x a 当 0< <1 时,由 (1) 知 x < x <0 , ∴ a ? a x x 1 2 1 2 1 2 ? 1, a<1 时,由(1)知 x1 2 1 2 当 0<a < x <0 , ∴ a ? a ? 1, 1 2 x x 1 2 x x x1 x2 1 2 ? 1 >0. a ? 1 ? a x x ∴ [10 分 ] 1 2 1 2 ∴ >0. [10 分 ] ∴ a ? 1 ? a ? 1 >0. [10 分 [13 ]

a ? 1 ? 1 ,∴y -y <0. 又 x -x <0,∴k>0. ∴ 1-y2 2<0. 又 x1 1-x2 2<0,∴k>0. ∴ x , ∴ y x2 1 2
x1 x 1

a ?1

∴函数 函数 f (x x) 0. [12 [14 分 分] ] ∴ f( )图象上任意两点连线的斜率都大于 图象上任意两点连线的斜率都大于 0.
批阅笔记

说到数形结合思想,我们更多的会想到以 “形”助“数”来解决问题.事实上,本题是以 “数”来说明“形”的问题,同样体现着数形结 合的思想.本题的易错点是: ①找不到证明问题的切入口.如第(1)问,很 多考生不知道求其定义域. ②不能正确进行分类讨论.若对数或指数的 底数中含有参数,一般要进行分类讨论.

感悟提高
方法与技巧

1 .指数式 ab = N 与对数式 logaN = b 的关系以及
这两种形式的互化是对数运算法则的关键. 2 .指数运算的实质是指数式的积、商、幂的 运算,对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和 乘法公式;对数运算的实质是把积、商、幂的对数

转化为对数的和、差、积.
3.注意对数恒等式、对 数 换 底 公 式 及 等式 logam bn ? n loga b , logab= 1 在解题中的灵活应用. log b a m

感悟提高
失误与防范

1.在运算性质logaMn=nlogaM时,要特别注意 条 件 , 在 无 M > 0 的 条 件 下 应 为 logaMn = nloga|M|(n∈N*,且n为偶数). 2.指数函数y=ax (a>0,且a≠1)与对数函数y= logax(a>0 ,且 a≠1) 互为反函数,应从概念、图象和 性质三个方面理解它们之间的联系与区别. 3.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数 的性质,要记忆函数的性质可借助于函数的图象 .因 此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指 数函数和对数函数的图象.

1.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)若 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集. 2 x 2 x 8 . (2011· 深圳模拟 ) 已知函数 f ( x ) = . log ( a ? 3 a ? 3) 2.已知函数 f(x)= log (a ? 3a ? 3) . 1
1 2

2

2 ? 3a ? 3) x 的定义域为 R. log 1 (a 解 :(1) 函数f(fx (x )= x x 解 :(1) 函数 ) = 的定义域为 log ( a ? 3 a ? 3) 1 lg(a -b ) (a>1> 3. 已知函数f(x)= b>0).R.

(1) 判断函数的奇偶性; (1) 判断函数的奇偶性; (2) 若 y= (x )在 (-∞,+∞ )上为减函数,求aa 的取值范围. (2) 若 y= f(fx )在 (-∞,+∞ )上为减函数,求 的取值范围.
2 x 2 2 2 2

?x 2 x (1) 求 y = f= (x) 的定义域; ? x 2 x log ( a ? 3 a ? 3) ? log ( a ? 3 a ? 3) 又 f ( - x ) = =- fx (x ), 又 f(-x)= log 1 1 = ? log 1 1 =- f( ), ( a ? 3 a ? 3) ( a ? 3 a ? 3) 2 x) 的图象上是否存在不同的两点 2 (2)在函数y=2 f( ,使得过这 2 所以函数 fx (x )是奇函数. 两点的直线平行于 x轴; 所以函数 f( )是奇函数. 2 x 2 ? 3a ? 3) x f(在 (3) 当 a , b 满足什么条件时, x() 在 (1 ,+ ∞) 上恒取正值. log ( a (2) 函数 f ( x ) = ( - ∞ ,+ ∞ )上为减函数, (2)函数 f(x)= log 1 - ∞ ,+ ∞ )上为减函数, (a ? 3a ? 3) 在
12 2

【1】比较大小

log7 12 ____ log8 12.

A

解析

1,

3个. 例4.方程 | x ? 2 |?| log 2 x | 的解有__
y

图象应用问题

y

o o
1 2 x

x

【1】方程 lg 0.5 ( x ? 1) ? x 2 ? 2 的解有__ 2 个.
【2】函数 y ? loga ( x ? 2) ? 1(a ? 0, 且a ? 1) 的 ( ?1,1) 图象恒过点_______.

练一练

练一练 2 个. 个数是_______
【3】已知0<a<1,方程a |x| = |log a x|的实根

y
1

o

x

【点评】当判断方程 f (x) = g (x)的实根个数时, 我们可转化为判断函数y = f (x) 与函数 y = g (x)的图 像的交点的个数.

练一练
【4】已知函数
? ?? 3a ? 1? x ? 4a x ? 1 f ? x? ? ? 是 x ≥1 ? ?log a x

(-∞, +∞)上的减函数 , 则实数 a 的取值范围 是________.
【5】函数y=loga|x+b| (a>0,a≠1,ab=1)的图象只可能是( )

练一练 【1】(07上海)方程 9 x ? 6 ? 3 x ? 7 ? 0 的解是
_________.
【2】不等式 2
x2 ?5 x ? 5

? 1 的解集是______________. 2

【3】不等式 log2 ( x2 ? 3x ? 4) ? log2 (2x ?10) 的解集是 ____________________.

【4】函数 y=log3 x 的反函数为 g(x), 则

g(? log9 2) ? _______ .
【5】函数 f ( x ) ? log ( ? x 2 ? 2 x ? 3) 的单调 2

增区间是________,值域是________.

b 【6】设f ( x ) ? lg(10 ? 1) ? ax是偶函数,g( x ) ? 4 ? x 2 是奇函数,那么a ? b的值是( ) A. 1 B. -1 C. 1 D. ? 1
x x

练一练

x ?1 ? 2e , x ? 2, ? 【7】(06山东)设函数 f ( x ) ? ? 2 log ( x ? 1), x ≥ 2, ? 3 ? 则f[f(2)]= .

2

2

【8】计算 lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ).
9.(09· 辽宁)已知函数f(x)满足:当x≥4时, f ( x ) ? ( 1 ) x ; 2 当x<4时,f(x)=f(x+1).则f(2+log23)=( ) 1 3 1 1 A. B. 12 C. 8 D. 8
24


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