苏教选修2-1nbsp圆锥曲线nbsp同步练习nbsp21

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圆锥曲线 同步练习
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） x2 y2 x2 y2 1．椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)离心率为 3 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 （ ） 2 a b a b 5 2 A． B． 5 C． D． 5 4 3 2 4 2．抛物线顶点在原点，焦点在 y 轴上，其上一点 P(m，1)到焦点距离为 5，则抛物线方程为 （ ） B． x 2 ? ?8 y C． x 2 ? 16y D． x 2 ? ?16 y 1 3． 圆的方程是(x－cos?)2+(y－sin?)2= ,当?从 0 变化到 2?时， 动圆所扫过的面积是 （ 2 A． 2 2? B．? C． (1 ? 2 )? D． (1 ? A． x 2 ? 8 y

）

2 2 ) ? 2 2 4．若过原点的直线与圆 x + y 2 + 4 x +3=0 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是

（

） A． y ? 3 x B． y ? ? 3 x C． y ?
3 x 3

D． y ? ?

3 x 3

x2 y2 点 P 在椭圆上， 如果线段 PF1 中点在 y 轴上， 那么|PF1| ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2， 12 3 是|PF2|的 （ ） A．7 倍 B．5 倍 C．4 倍 D．3 倍 6．以原点为圆心，且截直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 所得弦长为 8 的圆的方程是 （ ）

5． 椭圆

A． x 2 ? y 2 ? 5 7．曲线 ?

B． x 2 ? y 2 ? 25

C． x 2 ? y 2 ? 4

D． x 2 ? y 2 ? 16 （ D． 3 ）

? x ? 2 cos? （ ? 为参数）上的点到原点的最大距离为 ? y ? sin ?
B． 2 C．2

A． 1

y 2 2 8．如果实数 x、y 满足等式 ( x ? 2) ? y ? 3 ，则 最大值 （ ） x 1 3 3 A． B． C． D． 3 2 3 2 y2 9．过双曲线 x2－ =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A, B 两点，若|AB|=4，则这样的直 2
线l有 （ ） A．1 条
2

B．2 条

C．3 条

D．4 条
y A

10．如图，过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A．B，交其准线于 点 C，若 BC ? 2 BF ，且 AF ? 3 ，则此抛物线的方程为 （ ） B． y 2 ? 3 x D． y ? 9 x
2

3 x 2 9 C． y 2 ? x 2
A． y 2 ?

O

F B

x

C

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）
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11．椭圆的焦点是 F1（－3，0）F2（3，0） ，P 为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差 中项，则椭圆的方程为_____________________________． 12． 若直线 m x ? ny ? 3 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 3 没有公共点， 则 m, n 满足的关系式为 以 （ m, n) 为点 P 的坐标， 过点 P 的一条直线与椭圆 x ? y ? 1 的公共点有 7 3 13．设点 P 是双曲线 x 2 ?
2 2

． 个.

y2 ? 1 上一点，焦点 F（2，0） ，点 A（3，2） ，使|PA|+ 1 |PF|有最 3 2

小值时，则点 P 的坐标是________________________________． 14．AB 是抛物线 y=x2 的一条弦，若 AB 的中点到 x 轴的距离为 1，则弦 AB 的长度的最大值 为 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 76 分）
2 2 15．P 为椭圆 x ? y ? 1 上一点， F1 、 F2 为左右焦点，若 ?F1 PF2 ? 60? 25 9 （1） 求△ F1 PF2 的面积；

（2） 求 P 点的坐标． （12 分）

16．已知抛物线 y 2 ? 4 x ，焦点为 F，顶点为 O，点 P 在抛物线上移动，Q 是 OP 的中点， M 是 FQ 的中点，求点 M 的轨迹方程． （12 分）

17． 已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点， 且两条渐近线与以点 A(0, 2 ) 为圆心，1 为半径的圆相切，又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y ? x 对称． （1）求双曲线 C 的方程； （2）设直线 y ? m x ? 1 与双曲线 C 的左支交于 A，B 两点，另一直线 l 经过 M（－2， 0）及 AB 的中点，求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围． （12 分）

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18．如图，过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一定点 P（ x0 , y0 ） （ y0 ? 0 ） ，作两条直线分别交 抛物线于 A（ x1 , y1 ） ，B（ x2 , y2 ） ． （1）求该抛物线上纵坐标为

p 的点到其焦点 F 的距离； 2

（2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1 ? y 2 的值，并证明直线 AB 的斜 y0 y 率是非零常数.（12 分）
P O x

A B

19．如图，给出定点 A( a , 0) ( a >0)和直线: x = –1 . B 是直线 l 上的动点，?BOA 的角平分线 交 AB 于点 C. 求点 C 的轨迹方程， 并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系（ . 14 分） l y

B

C A

O

x

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20．椭圆 C1：

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x2 y2 x2 y2 ? ? =1( a >b>0) 的左右顶点分别为 A 、 B. 点 P 双曲线 C ： =1 在 2 a2 b2 a2 b2

第一象限内的图象上一点， 直线 AP、 BP 与椭圆 C1 分别交于 C、 D 点.若△ACD 与△PCD 的面积相等． （1）求 P 点的坐标； （2）能否使直线 CD 过椭圆 C1 的右焦点，若能，求出此时双曲线 C2 的离心率，若不 能，请说明理由.（14 分）

参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 A 6 B 7 C 8 D 9 C 10 B

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分） 11．

x2 y2 ? ?1 36 27

12． 0 ?

m2 ? n 2 ? 3, 2

13． (

21 , 2) 3

14．

5 2

三、解答题（本大题共 6 题，共 76 分） 15． （12 分） [解析]：∵a＝5，b＝3? c＝4 （1）设 |
2 t12 ? t 2 ? 2t1t 2 ? cos60? ? 82

PF1 |?t 1 ， | PF2 |? t 2 ，则 t1 ? t 2 ? 10 ②，由①2－②得 t1t 2 ? 12

①

? S ?F1PF2 ?

1 1 3 t1t 2 ? sin 60? ? ? 12 ? ?3 3 2 2 2 （ 2 ） 设 P ( x, y ) ， 由 S ?F PF ? 1 ? 2c? | y |? 4? | y | 得 1 2 2
y?? 3 3 4

3 3 3 3 ，将 4 | y |? 3 3 ? ? y?? | y |? 4 4
4 4
4 4

代入椭圆方程解得 x ? ? 5 13 ， ? P( 5 13 , 3 3 ) 或 P( 5 13 ,? 3 3 ) 或 P(? 5 13 , 3 3 ) 或
4
4 4

5 13 3 3 P( ? ,? ) 4 4

16． （12 分）[解析]：设 M（ x, y ） ，P（ x1 , y1 ） ，Q（ x2 , y 2 ） ，易求 第 4 页 共 6 页

y 2 ? 4 x 的焦点 F 的坐标为（1，

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0） ∵M 是 FQ 的中点，∴ x ?
1 ? x2 2 y2 y? 2

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x 2 ? 2 x ? 1 ，又 Q 是 OP 的中点∴ x ? x1 2 2 y2 ? 2 y
y2 ?

?

? x1 ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 ，
y1 ? 2 y 2 ? 4 y

y1 2

∵P 在抛物线 17． （12 分）

y 2 ? 4 x 上，∴ (4 y) 2 ? 4(4 x ? 2) ，所以 M 点的轨迹方程为 y 2 ? x ? 1 .
2
1 4
a
2

[解析]： （1） 当 a ? 1时，y 2 ? x, 表示焦点为 ( ,0) 的抛物线； （2 ） 当 0 ? a ? 1 时，( x ? 1 ? a )
a 2 ( ) 1? a

?

y2 a
2

?1

，

1? a 2

表示焦点在 x 轴上的椭圆； （3）当 a>1 时，

(x ?

a 2 ) 2 ，表示焦点在 x 轴上的双曲线. （1 1? a ? y ?1 2 a 2 a ( ) 1? a a2 ? 1

设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx，则 kx-y=0∵该直线与圆 x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1 相切，∴双曲线 C 的
2 2 两条渐近线方程为 y=±x．故设双曲线 C 的方程为 x ? y ? 1 ． 2 2

a

a

又双曲线 C 的一个焦点为 ( 2 ,0) ，∴ 2a 2 ? 2 ， a 2 ? 1 ．∴双曲线 C 的方程为: x 2 ? y 2 ? 1 . （2）由 ? y ? mx ? 1 得 (1 ? m2 ) x 2 ? 2mx ? 2 ? 0 ．令 f ( x) ? (1 ? m 2 ) x 2 ? 2mx ? 2
? 2 2 ?x ? y ? 1

∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 f(x)=0 在 (??,0) 上有两个不等实根． 因此 ?
?? ? 0 ，解得 1 ? ?2 ? 2m ? 0且 ?0 ? 2 2 1? m ?1 ? m
2

m ? 2 ．又 AB 中点为 ( m 2 ,
1? m

1 )， 1 ? m2

1 2 2 ． ( x ? 2) ． 令 x=0，得 b ? ? ? 2m ? m ? 2 ? 2m 2 ? m ? 2 ? 2(m ? 1 ) 2 ? 17 4 8 1 17 ∵ m ? (1, 2 ) ，∴ ? 2(m ? ) 2 ? ? (?2 ? 2 ,1) ，∴ b ? (??,?2 ? 2 ) ? (2,??) ． 4 8
∴直线 l 的方程为： y ? 18． （12 分）[解析]： （I）当

p p 时， x ? 2 8 p 2 又抛物线 y ? 2 px 的准线方程为 x ? ? 2 y?
由抛物线定义得，所求距离为 p ? ( ? p ) ? 5 p

y P O x

8

2

8

（2）设直线 PA 的斜率为 k PA ，直线 PB 的斜率为 k PB 由 y1
2

A B
2p ( x1 ? x0 ) y1 ? y0

? 2 px1 ， y0 ? 2 px0
2

相减得 ( y1

? y0 )( y1 ? y0 ) ? 2 p( x1 ? x0 ) ,故 k PA ? y1 ? y0 ?
x1 ? x0

2p ( x2 ? x0 ) ,由 PA，PB 倾斜角互补知 k PA ? ? k PB y2 ? y0 2p 2 p ,所以 y ? y ? ?2 y , 故 y1 ? y2 即 ?? ? ?2 1 2 0 y1 ? y0 y2 ? y0 y0
同理可得 k PB ? 设直线 AB 的斜率为 k AB ,由 y2 ? 2 px2 ， y1
2

2

所以 k

AB

?

y2 ? y1 2p ? ( x1 ? x2 ) , 将 y1 ? y2 ? ?2 y0 ( y0 ? 0) 代入得 x2 ? x1 y1 ? y2

? 2 px1 ,相减得 ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 2 p( x2 ? x1 )

k AB ?

2p p ? ? ，所以 k AB 是非零常数. y1 ? y2 y0

19． （14 分）[解析]：设 B（－1，b） ，l OA ：y=0, l OB :y=－bx,设 C（x,y） ，则有 0 ? x <a，由 OC 平分?BOA， 第 5 页 共 6 页

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知点 C 到 OA， OB 距离相等， ?y ? 得，得 y (1 ? a) x ? 2ax ? (1 ? a) y
2 2

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y ? bx 1? b
2

?

2

?? 0

①及 C 在直线 AB: y ? ? b ?x ? a? ②上， 由①②及 x ? a 1? a 若 y=0,则 b=0 满足 (1 ? a) x 2 ? 2ax ? (1 ? a) y 2 ? 0 .

20． （14 分）[解析]： （1）设 P(x0,y0)(x0>0,y0>0)，又有点 A(－a,0),B(a,0). ? S ?ACD ? S ?PCD ,
2 2 x0 ? a y 0 , 得 ( x 0 ? a) ? y 0 ? 4 ， , ). 将C点坐标代入椭圆方程 2 2 a2 b2 2 2 ( x 0 ? a) x x2 y2 ? 0 ? 5 ，? x0 ? 2a( x0 ? ?a舍去),? y 0 ? 3b ，? P(2a, 3b) . 又 0 ? 0 ?1 ? 2 2 2 a a2 a b

? C为AP的中点,? C (

（2）? K PD ? K PB ?

3b 2 2 x2 y2 y0 3b 直线PD : y? ( x ? a ) 代入 ? ? 1 ? 2 x ? 3ax ? a ? 0 ? , a x0 ? a a a2 b2

a x ? a y0 a 3 ( x D ? a舍去) ， ? C( 0 , ),即C( , b) ∴CD 垂直于 x 轴.若 CD 过椭圆 C1 的右焦点， 2 2 2 2 2 2 2 则 a ? a 2 ? b 2 ,? b ? 3 a,? e ? a ? b ? 7 . 故可使 CD 过椭圆 C1 的右焦点， 此时 C2 的离心率为 7 . 2 2 a 2 2 ? xD ?

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