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黑龙江省鹤岗市第一中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(文)试题Word版含答案.doc


2015—2016 年度高二下学期期末考试数学试题 (文科)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 2 x ? 1 , B ? x x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,则 A ? B ? ( A. x x ? 0

?

?

?

?



?

?
2

B. x x ? ?1或x ? 0

?

?

C. )

? x x ? 4?
2

D. x ? 1 ? x ? 4

?

?

2.命题“ ?x >0, x 2 ? x ≤0”的否定是( A、 ?x >0, x ? x ≤0 C、 ?x >0, x
2

B、 ?x >0, x ? x >0 D、 ?x ≤0, x ? x >0
2

? x >0

3.已知 sin ? cos ? ?

1 ? ,且 ? ? (0, ) ,则 sin ? ? cos ? 等于 ( 4 4
B. ?



A.

1 2

1 2

C.

2 2


D. ?

2 2

4.函数 f ( x) ? log2 x ? 2 x ? 1 的零点必落在区间(
1 1? A. ? ? , ? ?8 4? ? B. ? ? ,1? 1 ?2 ? 1 1? C. ? ? , ? ? 4 2?

D.(1,2)

? ax (x ? 1) ? 5.若函数 f ( x) ? ? 是 R 上的增函数,则实数 a 的范围为 ( a (4 ? ) x ? 2 ( x ≤ 1) ? ? 2
A. (1, ??) B. (1,8)

)

C. (4,8) D. [4,8) )

6.若点 P(cos? , sin ? ) 在直线 y ? 2 x 上,则 sin 2? 的值等于( A. ?

4 5

B.

4 5

C. ?

3 5

D.

3 5
?
4 ] 上的取值

7.若函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0) 为偶函数,则函数 f ( x) 在区间 [0, 范围为( A. [?1,0] ) B. [ ?

2 ,0 ] 2

C. [0,

2 ] 2

D. [0,1]

8. 已 知 函 数 y ? f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 当 x ? ? ??,0? 时 , f ? x ? 为 减 函 数 , 若

a ? f ? 20.3 ? , b ? f ? log 1 4 ? , c ? f ? log2 5? ,则 a , b , c 的大小关系是(

? ?

? ?

) D. a ? c ? b

2

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

C. c ? a ? b

9 . 函 数 f ( x) ? A s i n ? ( x ?? ( ) 其 中 A ? 0,| ? |?

?
2

)的图象如图所示,为了得到

g ( x) ? cos 2 x 的图象,则只要将 f ( x) 的图象(



? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移 10.已知 sin ? ?

? 个单位长度 12 ? D.向左平移 个单位长度 12
B.向右平移

3 ? 且 ? ? ( , ? ) ,函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0) 的图像的相邻两条对 5 2

称轴之间的距离等于

?
2

,则 f ( ) 的值为(

?

4



A.

?

3 5

B.

4 5

C.

3 5

D. ?

4 5

11.函数 f ( x) = ln x + 是( A. ) B.

1 2 x + ax 存在与直线 3x ? y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围 2

(0, ??)

(??, 2)

C.

(2, ??)

D.

(??,1]

12.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ?1, g ? x ? ? kx .若方程 f ? x? ? g ? x? 有两个不相等的实根,则 实数 k 的取值范围是( A. ? 0, ? ) B. ?

? ?

1? 2?

?1 ? ,1? ?2 ?

C. ?1, 2 ?

D. ? 2, ???

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f ? x ? ? ?

?log 2 x,x ? 0 ,则 x ? 3 ,x ? 0

? ? 1 ?? f? ? f ? 4 ?? ? 的值是 ? ? ??

14.已知 tan ? ?-

? ?

??

3 ?? ? 2 ? = 7 ,tan ? +? ? = 5 ,则 tan(α +β )=________. 6? ?6 ?

1 15.已知函数 y ? sin ?x(? ? 0) 在 (0, ? ) 内是增函数,则 ? 的取值范围是 2



16.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且在[﹣1,0]上是增函数,给出下列 关于 f ( x ) 的判断: ① f ( x ) 是周期函数;② f ( x ) 关于直线 x ? 1 对称;③ f ( x ) 在[0,1]上是增函数;④ f ( x ) 在[1,2]上是减函数;⑤ f (2) ? f (0) ,其中正确的序号是 .

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分)

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 17.(12 分)已知 ? 为第三象限角, f ?? ? ? , tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? )
(1)化简 f

?? ? ;
3? 1 ) ? ,求 f ?? ? 的值. 2 5
1 相切. 2

(2)若 cos(? ?

18. (12 分)函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 , a, b ? R , f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? (1)求 a , b 的值;

1 (2)求 f ( x) 在 [ , e ] 上的最大值. e
19. (12 分)函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) . (1)求 f (

5? ) 的值; 4

(2)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间. 20. (12 分)设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围.

a c cos C ? ? 1. b 2b

21. (12 分)已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 1(a ? 0) , ( e 为自然对数的底数)
x

(1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)若 f ( x) ? 0 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值;

(3)在(2)的条件下,证明: 1 ? 三选一

1 1 1 ? ? ... ? ? ln( n ? 1)( n ? N ? ) 2 3 n

22.(10 分) 如图,A ,B 是⊙ O 上的两点,P 为⊙ O 外一点, 连结 PA , PB 分别交⊙ O 于点 C , D ,且 AB ? AD ,连 结 BC 并延长至 E ,使∠ PEB ? ∠ PAB . (Ⅰ)求证: PE ? PD ; (Ⅱ)若 AB ? EP ? 1 ,且 ?BAD ? 120? ,求 AP . 23. (10 分) 在直角坐标系 xoy 中,以原点 o 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 已知曲线

C1
4

的极坐标方程为

?2 ?

2 ,直线 l 的极坐标方程为 2 1 ? sin ?

??

2 sin ? ? cos ?
1

.

(Ⅰ)写出曲线 C 与直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 Q 为曲线 C 上一动点,求 Q 点到直线 l 距离的最小值.
1

24.(10 分)设函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 4 . (I)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的最小值; (II)如果对 ?x ? R, f ( x) ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

高二期末文数试题答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1-5:CBDBD 6-10:AABDD 11-12:DB

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分)

13、

1 9

15. (0,1] 14、 1

16.① ② ⑤

三、解答题: 17.(12 分) 解: (1) f (? ) ?

(? cos ? )(sin ? )(? tan ? ) ? ? cos ? ; (? tan ? )sin ?

( 2 ) ∵ cos(? ?

3? 1 1 1 ) ? , ∴ ? sin ? ? 即 sin ? ? ? , 又 ? 为 第 三 象 限 角 ∴ 2 5 5 5

cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?

2 6 , 5

∴ f (? ) =

2 6 . 5

18. (12 分) 解: (1) f ?( x ) ?

a 1 ? 2bx .由函数 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切, x 2

? f ?(1) ? 0 ?a ? 1 ? 得? ,解得: ? ? 1 1 f (1) ? ? b? ? ? 2 2 ? ?

1 1? x2 1 2 , x ,定义域为 (0,??) .此时, f ?( x) ? ? x ? 2 x x 1 令 f ?( x) ? 0 , 解得 0 ? x ? 1 , 令 f ?( x) ? 0 , 得 x ? 1 ,所以 f ( x) 在 ( ,1) 上单调递增, 在 (1, e) e 1 1 上单调递减,所以 f ( x) 在 [ , e ] 上的最大值为 f (1) ? e 2.
(2)由(1)得: f ( x) ? ln x ?

19. (12 分) 解: (1) f (

5? 5? 5? 5? ? ? ? ) ? 2 cos (sin ? cos ) ? ?2 cos ( ? sin ? cos ) ? 2 , 4 4 4 4 4 4 4

2 (2)因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ?

所以 T ?

2? ? ? ? ? ? , 由 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? , k ? Z , 2 2 4 2 3? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 所 以 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 为 得 k? ? 8 8

2 sin(2 x ? ) ? 1 . 4

?

3? ?? ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . ? 8 8? ?

20. (12 分)
1 解 : ( Ⅰ ) 由 已 知 得 a cos C ? c ? b , 即 s i An 2
s i Bn ? sAi? n C( ? )A s i C ?n

1 c C ?o s 2

, ? C s i n B 又s i n

1 c∴ A o ss i C c o s iC ns i n Cn? cA o s s . 2

∵sin C ? 0, ∴cos A ?

π 1 .又∵A ? (0,π) ,∴ A ? . 3 2

(Ⅱ)由正弦定理得 b ?
∴l ? a ? b ? c ? 1 ? 2 3

a sin B 2 2 ? sin B,c ? sin C , sin A 3 3 2 3 [sin B ? sin( A ? B )]

(sin B ? sin C ) ? 1 ?

? 3 ? 1 π? π ? π 5π ? π ? ? 2π ? ? 1? 2? B ? ? . ∵A ? , ∴ B ? ? 0, ?,B ? ? ? , ? , ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? ? 1 ? 2sin ? 3 ? 6 ?6 6 ? 6? 3 ? ? ? ?
π? ?1 ? ? ∴sin ? B ? ? ? ? , 1? .故 ?ABC 的周长 l 的取值范围是 (2,3] . 6? ?2 ? ?

21. (12 分)
x x 解: (1)由题意 a ? 0, f ?( x) ? e ? a , 由 f ?( x) ? e ? a ? 0 得 x ? ln a .

当 x ? (??, ln a) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (ln a,??) 时, f ?( x) ? 0 . ∴ f ( x) 在 (??, ln a) 单调递减,在 (ln a,??) 单调递增 即 f ( x) 在 x ? ln a 处取得极小值,且为最小值, 其最小值为

f ( x) min ? f (ln a ) ? eln a ? a ln a ? 1 ? a ? a ln a ? 1

(2) f ( x) ? 0 对任意的 x ? R 恒成立,即在 x ? R 上, f ( x) min ? 0 .

由( 1 ) ,设 g (a) ? a ? a ln a ? 1 ,所以 g (a) ? 0 .由 g ?(a) ? 1 ? ln a ? 1 ? ? ln a ? 0 得

a ? 1 .易知 g (a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1,??) 上单调递减,
∴ g (a ) 在 a ? 1 处取得最大值,而 g (1) ? 0 .因此 g (a) ? 0 的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1

(3) 由 (2) 得 ex ? x ?1, 即 ln( x ? 1) ? x , 当且仅当 x ? 0 时, 等号成立, 令x ?

1 1 1 1? k 1 ? ln(1 ? )即 ? ln( ) ,所以 ? ln(1 ? k ) ? ln k (1,2,...n) k k k k k 1 1 1 累加得 1 ? ? ... ? ? ln(n ? 1)(n ? N * ) 2 3 n


1 (k ? N * ) k

22. (10 分) 解: (1)证明:连结 DC , 因为 ?PCE ? ?ACB ? ?ADB ,

?PCD ? ?ABD , 又因为 AB ? AD ,
所以 ?ABD ? ?ADB , 所以 ?PCE ? ?PCD . 由已知 ?PEB ? ?PAB , ?PDC ? ?PAB , 所以 ?PEC ? ?PDC , 且 PC ? PC , 所以 ?PEC ? ?PDC , 所以

PE ? PD .

(2)解: 因为 ?ACB ? ?PBA , ?BAC ? ?PAB 所以 ?ABC ∽ ?APB , 则 AB 所以 AP ? AB
2 2 2

? AP ? AC ? AP ( AP ? PC),

? AP ? PC ? PD ? PB ? PD (PD ? BD) 3,

2 2 又因为 PD ? AB , AB ? 1 , 所以 AP ? 2 AB ? AB ? BD ?

所以 AP

2

? 2?

3 . 所以 AP ?

2 ? 2

6

.

23. (10 分) 解: (Ⅰ) C1 : x ? 2 y ? 2 , l : 2 y ? x ? 4
2 2

(Ⅱ)设 Q

?

2 cos ? ,sin ? ,则点 Q 到直线 l 的距离
2 sin(? ? ?

?

d?

2 sin ? ? 2 cos ? ? 4 3

?
4

)?4 ?

3

2 3

当且仅当 ? ? ? ? 2k? ? ? ,即 ? ? 2k? ? ? ( k ? Z )时, 4 4 2 Q 点到直线 l 距离的最小值为

2 3 。 3

24. (10 分) 解: (I)根据题意将绝对值符号去掉得分段函数:

?5 ? 2 x( x ? 1), ? f ( x) ? ?3(1 ? x ? 4), 作出函数的图象如图, ?2 x ? 5( x ? 4). ?
由图象可知,函数 f ( x) 的最小值为 3

(II)∵对 ?x ? R , f ( x) ? 1 ,∴ x ? a ? x ? 4 ? 1对一切实数 x 恒成立. ∵

x ? a ? x ? 4 ? a ? x ? ( x ? 4) ? a ? 4

∴ a ? 4 ? 1 ,∴ a ? 5 或 a ? 3 ,

∴ a 的取值范围为 (??,3] ? [5,??) .


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