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高中数学选修4-4坐标系


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根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则: (1)如果图形有对称中心,可以选择对称中心为坐标原点;

(2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴;
(3)使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。

二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考:

(1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?

y=sin2x ?

2?
x

O

y=sinx

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不变, 1 将横坐标x缩为原来的 ,就得到正弦曲线y=sin2x. 2 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即: 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标 不变,将横坐标x缩为原来 1 ,得到点 p? ? x?, y? ? 2 坐标对应关系为:

? ? 1 ?x ? x 2 ? ? y? ? y ?

1

通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。 y y=3sinx
y=sinx 2? x

O

?

(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出 其坐标变换。 在正弦曲线上任取一点P(x,y),保持横坐标x不变, 将纵坐标伸长为原来的3倍,就得到曲线y=3sinx。 设点P(x,y)经变换得到点为 p? ? x?, y? ?

? x? ? x ? ? y? ? 3 y

2

通常把 2 长变换。

叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸

(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。 y y=3sin2x y=sinx 2? x

O

?

(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐 1 标不变,将横坐标x缩为原来的 2 ,在此基础上, 将纵坐标变为原来的3倍,就得到正弦曲线 y=3sin2x. 设点P(x,y)经变换得到点为

? ? 1 ?x ? x 2 ? ? y? ? 3 y ?

3

通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。

定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点, 在变换 (? ? 0) ?x' ? ? x ? :? 4 ( ? ? 0) ? y' ? ? y 的作用下,点P(x,y)对应 p? ? x?, y? ? 称

? 为平面直角坐标系中的伸缩变换。

注 (1) ? ? 0, ? ? 0 (2)把图形看成点的运动轨迹,平面图 形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到; (3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不 变,在同一直角坐标系下进行伸缩变换。

例2:在直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过 伸缩变换 ? x? ? 2 x

? ? y? ? 3 y

后的图形。 (1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1 1 ? ? x? ? 2 x ? x ? 2 x? ? 解: ?由伸缩变换 ? ?1 得? ? y? ? 3 y ? y ? 1 y? ? 3 ? 代入2x+3y=0
1 ? ? x ? 2 x? ? x? ? 2 x ? 2 ?由伸缩变换 ? 得? ? ? y? ? 3 y ? y ? 1 y? ? 3 ? x?2 y?2 代入x2 +y2 =1得 4 + 9 =1

得x?+y?=0

1.在同一直角坐标系下,求满足下列图形的伸缩变换: 曲线4x2+9y2=36变为曲线

x? ? y ? ? 1
2 2

? x? ? ? x 1解:设伸缩变换 ? ? ?,? ? 0 ? ? y? ? ? y

代入x? +y? =1得 ? x ? ? y ? 1
2 2
2 2 2 2

1 ? ?? ? 3 ? 2 2 又4 x ? 9 y ? 36 则 ? ?? ? 1 ? ? 2

? ? 1 ?x ? 3 x ? 得? ? y? ? 1 y ? ? 2

? x? ? 3 x 后, 2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换 ? ? y? ? y

曲线C变为 x?2 ? 9 y?2 ? 9 ,求曲线C的方程并画出 图形。

? x? ? 3 x 2.解:将 ? 代入 ? y? ? y
2 2

x? -9y? =9
2 2

得9x -9y =9 即x -y =1
2 2

课堂小结:
(1)体会坐标法的思想,应用坐标 法解决几何问题; (2)掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。

请问:去省实验 从这里向东北走 中学怎么走? 500米就到了

好心人

问路人

请认真分析好心人的回答:“从这 里向东北走500米就到了”,他是从 哪些方面确定省实验中学位置的?

出发点、方向、距离
在我们日常生活中人们经常用方 向和距离来确定一点的位置,这种用 方向和距离确定平面上一点位置的思 想,就是极坐标的基本思想。

试一试? 请大家回忆直角坐标系的建立过 程,试着建立一个用距离与角度 确定平面上一点位置的坐标系.

一、极坐标系的建立:
在平面内取一个定点 O ,叫做极点; 引一条射线 OX ,叫做极轴; 再选定一个长度单位和角度单位(通 常取弧度)及它的正方向(通常取逆 时针方向),
O X

这样就建立了一个极坐标系。

想一想? 如图:极坐标系OX,对比直角坐标 系想一想平面上任意一点M的极 坐标该如何表示?
M.
? O ? X

记:M(?,?)

?表示线段OM的长度,叫做点M的极径;
?表示以OX为始边,射线OM为终边的 角,叫做点M的极角; 有序数对(?,?)就叫做点M的极坐标. M.
? O ? X

强调:不做特殊说明时,?≥0,?∈R 当?=0时,表示极点。

思考?
1.在极坐标平面上点与坐标的对应 关系是怎样的? 2.极坐标平面上一个定点M(?,?)的 极坐标是否可以写出统一的表达 式? 3.若使极坐标平面上点与坐标也为 一一对应关系需增加什么条件?

例1:说出图中点A、B、C的极 坐 ? 5? 5? 标,并标出点 D(2, ), E (4, ), F ( 3.5, ) 4 6 3 所在的位置.

例2:下图是某校园的平面示意图,点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当 的极坐标系,写出各点的极坐标。
D C

A(0,0)

E

120m 50m
45o 60o B A O 60m

C (120, ) D(60 3 , ) 3 2 3? E (50, ) 4
X

?

B(60,0)

?

思考? 平面内一点P的直角坐标是( 3 ,1), 其极坐标如何表示?点Q的极坐标 2? 为 (5, ),其直角坐标如何表示?
3

5 5 3 答案: P ( 2, ) Q(? , ), 2 2 6

?

三、极坐标与直角坐标的互化 公式
y 直化极: ? x ? y , tan ? ? ( x ? 0) ? x
2 2 2

极化直: ? ? cos ? , y ? ? sin? x

例3:互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 ( 2 3 ,2) ? 极坐标
(4, ) 6
(0,?1)

(?3,0)
(3,?? )
(5,0)

? (1,? ) 2
(? 3 ,?1)

直角坐标 (?3, 3 ) 极坐标
5? (2 3 , ) 6

7? ( 2, ) 6

(5,0)

探索?
1、极坐标系中点的对称关系?
Q 2、已知极坐标系中两点 P (3,? ), ( 2, ), 2 6 如何求线段|PQ|的长? | PQ |? 19

?

?

P 推广:极坐标系内两点 ( ?1 ,?1 ), Q( ? 2 ,? 2 ) 的距离公式: |? ?12 ? ? 2 2 ? 2?1 ? 2 cos(?1 ? ? 2 ) | PQ

四、课堂练习
4? 1.已知极坐标 M (5, 3 ),下列所给出的

不能表示点M的坐标的是( C )
?

10? ? 2? A、5, ( ) B、5,? ) C、5,? ) ( ( 3 3 3

8? D ( 5, ? ) 3

3? 2.已知三点的极坐标为 A(2, ), B( 2 , ), 2 4

O(0,0) ,则 ?ABO 为( D ) A、正三角形 B、直角三角形 C、锐角等腰三角形 D、等腰直角三角形





1、极坐标系的四要素 极点;极轴;长度单位;角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 ? ? 0,? ? [0,2? ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 ? ? x ? y , tan ? ? ( x ? 0) x

x ? ? cos? , y ? ? sin?

思考题:
? 1.极坐标方程? ? ( ? ? 0) 表示什么图形? 4
2.极坐标方程 ? ? 4 表示什么图形? ? ? 4 cos ? 呢?


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