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数列求和


数列求和 测试题 1.数列{1+2n-1}的前 n 项和 Sn=________. 2.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+…+a10=________. 1 1 1 1 3.数列 12,34,58,716,…的前 n 项和 Sn=________. 4.已知数列{an}的通项公式是 an= ________. 5.数列{an},{bn}都是

等差数列,a1=5,b1=7,且 a20+b20=60.则{an+bn}的 前 20 项的和为________.
2 2 6.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a2 1+a2+…+an=________.

1 n+ n+1

,若前 n 项和为 10,则项数 n=

? ? 1 ? ? 7. 已知等比数列{an}中, a1=3, a4=81, 若数列{bn}满足 bn=log3an, 则数列?b b ? ? n n+1? ? ?

的前 n 项和 Sn=________. 二、解答题(每小题 15 分,共 45 分) 8.已知{an}为等差数列,且 a3=-6,a6=0. (1)求{an}的通项公式; (2)若等比数列{bn}满足 b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前 n 项和公式.

9.设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn.

4.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1,a3+b5

=21,a5+b3=13. (1)求{an},{bn}的通项公式;
?an? (2)求数列?b ?的前 n 项和 Sn. ? n?

5.在各项均为正数的等比数列{an}中,已知 a2=2a1+3,且 3a2,a4,5a3 成等差 数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log3an,求数列{anbn}的前 n 项和 Sn.

参考答案

A组 1. 解析 1-2n Sn=n+ =n+2n-1. 1-2

答案 n+2n-1 2. 解析 设 bn=3n-2,则数列{bn}是以 1 为首项,3 为公差的等差数列,所以

a1 + a2 + … + a9 + a10 = ( - b1) + b2 +… + ( - b9) + b10 = (b2 - b1) + (b4 - b3) + … + (b10-b9)=5×3=15. 答案 15 3. 解析 n?1+2n-1? 1 由题意知已知数列的通项为 an = 2n- 1+ 2n,则 Sn = + 2

1? 1? ?1-2n? 2? ? 1 =n2+1- n. 1 2 1-2 1 答案 n2+1-2n 4. 解析 ∵an= 1 n+ n+1 = n+1- n,∴Sn=a1+a2+…+an=( 2-1)+

( 3- 2)+…+( n+1- n)= n+1-1.令 n+1-1=10,得 n=120. 答案 120 5. 解析 由题意知{an+bn}也为等差数列,所以{an+bn}的前 20 项和为:

20?a1+b1+a20+b20? 20×?5+7+60? S20= = =720. 2 2 答案 720 6. 解析 当 n=1 时,a1=S1=1,

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,
2 又∵a1=1 适合上式.∴an=2n 1,∴an =4n 1.
- -

2 ∴数列{a2 n}是以 a1=1 为首项,以 4 为公比的等比数列.

?1-4 2 2 1· ∴a2 1+a2+…+an= 1-4 1 答案 3(4n-1) 7. 解析

n

? 1 n =3(4 -1).

a4 设等比数列{an}的公比为 q,则a =q3=27,解得 q=3.所以 an=a1qn-1
1

=3×3n-1=3n,故 bn=log3an=n, 1 1 1 1 所以 = =n- . bnbn+1 n?n+1? n+1
? ? 1 ? ? 1 1 1 1 1 1 n 则数列?b b ?的前 n 项和为 1-2+2-3+…+n- =1- = . n+1 n+1 n+1 ? n n+1? ? ?

答案 8. 解

n n+1 (1)设等差数列{an}的公差为 d.

因为 a3=-6,a6=0, ?a1+2d=-6, 所以? 解得 a1=-10,d=2. ?a1+5d=0. 所以 an=-10+(n-1)· 2=2n-12. (2)设等比数列{bn}的公比为 q. 因为 b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8, 所以-8q=-24,即 q=3. b1?1-qn? 所以{bn}的前 n 项和公式为 Sn= =4(1-3n). 1-q 9. 解 (1)设 q 为等比数列{an}的公比,则由 a1=2,a3=a2+4 得 2q2=2q+4,

即 q2-q-2=0,解得 q=2 或 q=-1(舍去),因此 q=2. 所以{an}的通项为 an=2· 2n-1=2n(n∈N*) 2?1-2n? n?n-1? (2)Sn= +n×1+ 2 ×2=2n+1+n2-2. 1-2 10. 解 (1){an}是等差数列.

证明如下: Sr ?r? Sn 因为 a1=S1≠0,令 t=1,r=n,则由S =? t ?2,得S =n2,即 Sn=a1n2, ? ? t 1 所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)a1,且 n=1 时此式也成立,所以 an+1- an=2a1(n∈N*), 即{an}是以 a1 为首项,2a1 为公差的等差数列. (2)当 a1=1 时,由(1)知 an=a1(2n-1)=2n-1, 依题意,当 n≥2 时,bn=abn-1=2bn-1-1, 所以 bn-1=2(bn-1-1),又 b1-1=2,

所以{bn-1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,所以 bn-1 =2· 2n-1,即 bn=2n+1. (3)因为 anbn=(2n-1)(2n+1)=(2n-1)· 2n+(2n-1) Tn=[1· 2+3· 22+…+(2n-1)· 2n]+[1+3+…+(2n-1)],即 Tn=[1· 2+3· 22+… +(2n-1)· 2n]+n2,① 2Tn=[1· 22+3· 23+…+(2n-1)· 2n+1]+2n2,② ②-①,得 Tn=(2n-3)· 2n+1+n2+6.

B组 1. 解析 设数列{an}的公比为 q.由题意可知 q≠1,且 9?1-q3? 1-q6 = ,解得 q 1-q 1-q

?1? 1 31 =2,所以数列?a ?是以 1 为首项,2为公比的等比数列,由求和公式可得 S5=16. ? n?

31 答案 16 2. 解析 1 1 ?1? ?1? an=2n-1, 设 bn= =?2?2n-1, 则 Tn=b1+b2+…+bn=2+?2?3+… ? ? anan+1 ? ?

1? 1? ?1-4n? 2? ? 2? 1? ?1? ?1-4n?. +?2?2n-1= = 1 3? ? ? ? 1-4 1? 2? 答案 3?1-4n? ? ? 3. 解析 1 ? 1 2 ?1 由于数列的通项 an= = =2?n-n+1?, 1+2+3+…+n n?n+1? ? ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ∴Sn=2?1-2+2-3+3-4+…+n-n+1?= ? ? 1 ? 2n ? 2?1-n+1?= . ? ? n+1 答案 2n n+1 1 n 2?1-2 ? n-1 1 a4 3 ∵a =q =-8,∴q=-2.∴|a1|+|a2|+…+|an|= =2 -2. 1-2 1

4. 解析

答案 -2 5. 解析

1 - 2n 1-2 11×10 6×5 因 S11=35+S6,得 11a1+ 2 d=35+6a1+ 2 d,即 a1+8d=7,

17×16 所以 S17=17a1+ 2 d=17(a1+8d)=17×7=119. 答案 119 6. 解析 设{an}的公差为 d≠0,由 a1,a2,a5 成等比数列,得 a2 2=a1a5,即(7

-2d)2=(7-3d)(7+d) 所以 d=2 或 d=0(舍去). 所以 an=7+(n-4)×2=2n-1. 又 a2n=2· 2n-1=2n+1-1, 故 Tn=(22-1)+(23-1)+(24-1)+…+(2n+1-1) =(22+23+…+2n+1)-n =2n+2-n-4. 答案 2n+2-n-4 7. 解 (1) 设 {an} 的 公 差 为 d , {bn} 的 公 比 为 q , 则 依 题 意 有 q > 0 且

4 ?1+2d+q =21, ?d=2, ? ? 解得 2 ?1+4d+q =13, ?q=2.

所以 an=1+(n-1)d=2n-1,bn=qn-1=2n-1. an 2n-1 (2)b = n-1 , 2 n 2n-3 2n-1 3 5 Sn=1+21+22+…+ n-2 + n-1 ,① 2 2 2n-3 2n-1 5 2Sn=2+3+2+…+ n-3 + n-2 .② 2 2 2n-1 2 2 2 ②-①,得 Sn=2+2+2+22+…+ n-2- n-1 2 2 1 1 1 ? 2n-1 ? =2+2×?1+2+22+…+2n-2?- n-1 ? ? 2

1- =2+2×

1 2
n-1

2n-1 2n+3 - n-1 =6- n-1 . 1 2 2 1-2

8. 解

?a2=2a1+3, (1) 设 {an} 公 比 为 q , 由 题 意 , 得 q > 0 , 且 ? 即 ?3a2+5a3=2a4,

?a1?q-2?=3, ? 2 ?2q -5q-3=0. ?a1=3, 解得? ?q=3 6 a =- ? 1 ? 5, 或? 1 q =- ? ? 2

(舍去).

所以数列{an}的通项公式为 an=3· 3n-1=3n,n∈N*. (2)由(1)可得 bn=log3an=n,所以 anbn=n· 3n. 所以 Sn=1· 3+2· 32+3· 33+…+n· 3n . 所以 3Sn=1· 32+2· 33+3· 34+…+n· 3n+1 两式相减,得 2Sn=-3-(32+33+…+3n)+n· 3n+1 =-(3+32+33+…+3n)+n· 3n+1 3?1-3n? =- +n· 3n + 1 1-3 3+?2n-1?· 3n+1 = . 2 3+?2n-1?· 3n+1 所以数列{anbn}的前 n 项和为 Sn= . 4


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