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四川省成都外国语学校2011届高三9月月考(数学)


四川省成都外国语学校 2011 届高三 9 月月考 数学
满分 150 分 考试时间 120 分钟 命题人: 命题人:邓国进

第Ⅰ卷( 选择题 共 60 分 )
(本大题共 小题, 一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是 选择题: ( 符合要求的) 符合要求的) 1、设合集 U={1,2,3,4,5},若 A I B = {2}, (CU A) I B = {4}, (CU A) I (CU B ) = {1,5} 则下列结论正确的是 A. 3 ? A,3 ? B C. 3 ∈ A,3 ? B B. 3 ? A,3 ∈ B D. 3 ∈ A,3 ∈ B ( ) ( )

2、若集合 A = {1, m 2 }, B = {2,4} ,则“ m = 2 ”是“ A I B = {4} ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3、设函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数,若 f (x ) 的最小正周期为 3,且 f (1) > 1 ,

2m ? 3 则m 的取值范围是 m +1 2 A. m < 且m ≠ ?1 3 2 B. m < 3 2 C. ? 1 < m < 3 2 D. m > 或m < ?1 3 f ( 2) =
4、 lim
x→2





x?2 的值为 x ? 6x + 8
2

( ) B.1 C. ?
1 2

A.0

D.

1 3

5、将函数 f ( x) = 2 x +1 ? 1 的反函数的图象按向量 a = (1,1)平移后得到函数 g (x)的图象,则 g (x)的表达式为 ( ) A. g ( x) = log 2 ( x + 2) B. g ( x) = log 2 x
C. g ( x) = log 2 x ? 2 D. g ( x) = log 2 x + 2

6、已知函数 f ( x) = sin(ω x +

π
3

)(ω > 0) 的最小正周期为 π ,则该函数图象

(

)

A.关于直线 x = C.关于点(

π
4

对称

B.关于点(

π
3

,0)对称

π
4

,0)对称

D.关于直线 x =

π
3

对称

7 袋中有 40 个小球,其中红色球 16 个,蓝色球 12 个,白色球 8 个,黄色球 4 个,从中随 机抽取 10 个球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为( ) A.
1 3 4 C4C82C12C16 10 C40

B.

2 1 3 4 C4 C8C12C16 10 C40

C.

2 1 4 C4 C83C12C16 10 C40

D.

1 4 2 C4C83C12C16 10 C40

8、函数 y = y

cos 4 x 2x

的图象大致是 y y

( y

)

O O x

x O x O x

A
3

B

C

D

9、已知函数 f ( x) = ? x + 2 f ′( 2) x, n = f ′( 2) ,则二项式 ( x + ( ) B.第 9 项 C.第 8 项

2 x

) 展开式中常数项是
D.第 10 项 ( )

n

A.第 7 项

10、设等比数列{an } 的公比q = 2 ,前n 项和为Sn ,则

S4 = a2
17 2
D.

A. 2

B.4

C.

15 2

11、有两排座位,前排 3 个,后排 4 个,现安排 2 人就座,要求这两人不相邻(一前一后 也视为不相邻) ,那么不同的坐法种数是 ( ) A.8 种 B.28 种 C.20 种 D.32 种 12、 f ( x), g ( x)是定义在同一个区间[ a, b]上的两个函数, 若对任意的x ∈ [a, b] 都有 设

| f ( x) ? g ( x) |≤ 1, 则称f ( x)与g ( x)在[a, b] 上是“密切函数” ,[a,b]称为“密切区间” 。设
f ( x) = x 2 ? 3 x + 4与g ( x) = 2 x ? 3在区间[a, b] 上是“密切函数” ,则它的“密切区间”可
能是( ) A.[1,4] B.[2,3] C.[3,4] D.[2,4]

第Ⅱ卷( 非选择题 共 90 分 )
(本大题共 小题, 二、填空题: 本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 填空题: ( 那么 2x-y 的最大值为_______. 13、 若实数 x,y 满足条件 x ? y + 1 ≥ 0, y + 1 ≥ 0, x + y + 1 ≤ 0 ,

14、 同室 A,B,C,D 四位同学准备从三门选修课中各选一门, 若要求每门选修课至少有一人选 修,且 A,B 不选修同一门课,则不同的选法有________种。 15、把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 m,第二次出现的点数记为 n,方程组

?mx + ny = 3 只有一组解的概率是 ? ?2 x + 3 y = 2
16,设函数 f (x ) 的定义域为 D, 如果对于任意 x1 ∈ D, 存在唯一的x 2 ∈ D, 使 (c 为常数)成立,则称函数在 D 上均值为 c,给出下列五个函数: ① y = 4 cos x ,② y = x 3 ,③ y = lg x ,④ y = 2 x ,⑤ y = x ? 1 满足在其定义域上均值为 2 的所有函数的序号是 (本大题共 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 解答题: ( 17. 本小题满分 10 分) . ( 已知 A、B 均为钝角,且 sin A = 18. 本小题满分 12 分) . ( 已知平面向量 a = (

f ( x1 ) + f ( x 2 ) =c 2

5 10 ,求 A+B。 , sin B = 5 10

3 1 1 3 ,? ), b = ( , ). 2 2 2 2

(1)证明: a ⊥ b ; (2)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 x = a + (t ? k )b, y = ? s a + t b, 且 x ⊥ y ,试求
2

s = f (t ) 的函数关系式;
(3)若 s = f (t )在[1,+∞ ) 上是增函数,试求 k 的取值范围。 19. 本小题满分 12 分) . ( 某班植树小组栽培甲、乙两种松树,已知小组中每位成员甲、乙两种至少要栽培一种, 已知栽培甲品种的有 2 人,栽培乙品种的有 6 人,现从中选 2 人,设选出的人中既栽培 甲品种又栽培乙品种的人数为 ξ ,且 P (ξ = 0) = (1)植树小组的人数; (2)随机变量 ξ 的数学期望。 20(本小题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x) =

2 ,求: 5

1 3 (k + 1) 2 1 x ? x , g ( x) = ? kx ,且 f (x) 在区间 (2,+∞) 上为增函数. 3 2 3

(1) 求实数 k 的取值范围;

(2)若函数 f (x) 与 g (x ) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围

21. 本小题满分 12 分) . (本小题满分 ( 已知函数 f ( x ) = a ln x +

1 。 x

(1)当 a > 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (2)当 a > 0 时,若对任意 x > 0 ,均有 ax ( 2 ? ln x) ≤ 1 ,求实数 a 的取值范围; (3) a < 0 , 若 对任意 x1 、x 2 ∈ (0,+∞) , x1 ≠ x 2 , 且 试比较 f ( 的大小。

x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) )与 2 2

22. 本小题满分 12 分) . ( 已 知 正 项 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 3a n 为 方 程 x + 2 x ? 12 S n = 0 的 一 根
2

(n ∈ N * ) 。
(1)求数列 {a n } 通项公式 a n ; (2)求证:当 n ≥ 2 时,

1 an
2

+

1 a n +1
2

+L+

1 a 2n
2

<

21 22

参考答案
一.CACC 二. 13、 1
三.解答题: 17( 17(本小题满分 10 分) 解: ∵A、B 均为钝角,且 sin A =

BBAA

BDDB
15、

14、 30

17 18

16、2 3

5

5 10 , , sin B = 5 10

∴ cos A = ? 1 ? sin 2 A = ?

2 2 5 3 10 =? , cos B = ? 1 ? sin 2 B = ? 5 5 10 2 ∴ cos( A + B) = cos A cos B ? sin A sin B = 2 5分 又Q

π

2

< A <π,

π

2

< B <π, 7π . 4
10 分

∴ π < A + B < 2π ,∴ A + B =

18( 18(本小题满分 12 分) 解: (1)证明:由题知 | a |=| b |= 1, 且a ? b =
2

3 1 1 3 × ? × = 0, 所以a ⊥ b. 2 2 2 2
2 2 2

4分

(2)由于 x ⊥ y, 则x ? y = 0, 从而 ? s | a | +(t + sk ? st )a ? b + t (t ? k ) | b | = 0. 故 s = f (t ) = t 3 ? kt. 8分

3 2 (3)设 t1 > t 2 ≥ 1, 则f (t1 ) ? f (t 2 ) = t13 ? kt1 ? (t 2 ? kt 2 ) = (t1 ? t 2 )(t12 + t1t 2 + t 2 ? k )
2 因为s = f (t )在[1,+∞ )上是增函数, 所以t12 + t1t 2 + t 2 ? k > 0, 2 即k < t12 + t1t 2 + t 2 , 在[1,+∞ )上恒成立, 2 1 2 2

12 分

又t + t1t 2 + t > 3, 所以只需k ≤ 3即可.
19. 本小题满分 12 分) . ( 解 (1)设植树小组共有 x 人,两品种均栽培的有 (8 ? x ) 人, 则恰栽一品种的人数为 ( 2 x ? 8) 人………………………………………………2 分 ∵ P (ξ = 0) =

2 5



2 C 2 x ?8 2 = …………………………………………4 分 5 C x2

整理为: 3 x ? 28 x + 60 = 0
2

∴x =6

即植树小组有 6 人………………6 分

(2)依(1)有:恰栽一品种的有 4 人,两品种均栽培的有 2 人

P(ξ = 1) =

1 1 C2C4 8 = ……………………………………………………8 分 2 15 C6

2 C2 1 P(ξ = 2) = 2 = ……………………………………………………10 分 C 6 15

Eξ = 0 ×

2 8 1 2 + 1 × + 2 × = …………………………………………………12 分 5 15 15 3

20. 本小题满分 12 分) . ( 解: (1)由题意 f ′( x ) = x 2 ? ( k + 1) x ………………………1 分 ∵ f (x) 在区间 ( 2,+∞) 上为增函数, ∴ f ′( x ) = x 2 ? ( k + 1) x > 0 在区间 ( 2,+∞) 上恒成立………………………3 分 即 k + 1 < x 恒成立,又 x > 2 ,∴ k + 1 ≤ 2 ,故 k ≤ 1 ………………………5 分 ∴ k 的取值范围为 k ≤ 1 ………………………6 分 (2)设 h( x ) = f ( x) ? g ( x ) =

x 3 (k + 1) 2 1 ? x + kx ? , 3 2 3

h ′( x) = x 2 ? (k + 1) x + k = ( x ? k )( x ? 1)
令 h ′( x ) = 0 得 x = k 或 x = 1 ………………………8 分 由(1)知 k ≤ 1 , ①当 k = 1 时, h ′( x ) = ( x ? 1) 2 ≥ 0 , h(x ) 在 R 上递增,显然不合题意……………9 分 ②当 k < 1 时, h(x ) , h ′(x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
h ′( x) h( x )

(?∞, k )

k
0
极大值

(k ,1)
— ↘

1 0
极小值

(1,+∞)

+


+


k3 k2 1 ? + ? 6 2 3

k ?1 2

………………………………………10 分

k ?1 < 0 ,欲使 f ( x) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点,即方程 h( x) = 0 有三个 由于 2

不同的实根,故需 ? 解得 k < 1 ?

?k < 1 k3 k2 1 + ? > 0 ,即 (k ? 1)(k 2 ? 2k ? 2) < 0 ∴ ? 2 , 6 2 3 ?k ? 2 k ? 2 > 0

3 3 ……………………………12 分

综上,所求 k 的取值范围为 k < 1 ? 21. 本小题满分 12 分) . ( 解 由题意 x > 0 , f ′( x ) =

a 1 ? x x2 a 1 1 ? 2 > 0 ,解得 x > ,即函数 f (x) 的单调增区间是 x x a

(1)当 a > 0 时, f ′( x ) > 0 得

1 ( ,+∞) ; a
由 f ′( x ) < 0 得 ∴当 x =

a 1 1 1 ? 2 < 0 ,解得 x < ,即函数 f (x) 的单调减区间是 (0, ) x x a a

1 1 1 时,函数 f (x) 有极小值,为 f ( ) = a ln + a = a ? a ln a ………………4 分 a a a 1 (2) a > 0 时, 当 ∵对任意 x > 0 , 均有 ax ( 2 ? ln x) ≤ 1 , 即有对任意 x > 0 , a ≤ a ln x + 2 x

恒成立, ∴对任意 x > 0 ,只须 2a ≤ f ( x) min ………………………………………………6 分 由 (1) 可知, 函数 f (x) 的极小值, 即为最小值, 2a ≤ f ( x) min = a ? a ln a , ∴ 解得 0 < a ≤ 即 a 的取值范围为 0 < a ≤ (3) f (

1 e

1 ………………………………………………8 分 e

x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) x + x2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 )? = a ln 1 + 2 2 2 x1 x 2 2 x1 x 2 ( x1 + x 2 )
x1 + x 2 2 x1 x 2 >1,

∵ x1 > 0 , x 2 > 0 且 x1 ≠ x 2 , a < 0 ,∴ x1 + x 2 > 2 x1 x 2 ,∴

a ln

x1 + x 2 2 x1 x 2

< 0 ………………………………………………10 分



? ( x1 ? x 2 ) 2 x + x2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 < 0 ,∴ a ln 1 + <0 2 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) 2 x1 x 2 2 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) x + x2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) )? < 0 ,即 f ( 1 )< ……………12 分 2 2 2 2

∴ f(

22. 本小题满分 12 分) . ( 解: (1)∵原方程 x + 2 x ? 12 S n = 0 有一根为 3a n
2

∴ 9a n +6a n ? 12 S n = 0 即 4 S n = 3a n + 2a n ………①……………………………1 分
2 2

令 n = 1 , 4a1 = 3a1 + 2a1
2

∴ a1 =

2 或 a1 = 0 3

∵ a n > 0 ∴ a1 =

2 ………2 分 3

当 n ≥ 2 时, 4 S n ?1 = 3a n ?1 + 2a n ?1 ………②
2

① -②得: 4a n = 3a n ? 3a n ?1 + 2a n ? 2a n ?1
2 2

即 (a n + a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? ) = 0

2 3 2 2 2 ∴ a n = + ( n ? 1) × = n 3 3 3

∵ an > 0

∴ a n ? a n ?1 = ∴ an =

2 ……………………5 分 3

满足 a1 =

2 3

2 n(n ∈ N * ) ……………………6 分 3

(2)记 C n =

1 1 1 1 1 1 + +L+ 则 C n +1 ? C n = + ? 2 2 2 2 2 2 n (n + 1) ( 2n ) (2n + 1) ( 2 n + 2) n
∴ C n > C n +1 …………………9 分

=[

1 1 1 1 ? 2 ]+[ ? 2]<0 2 2 (2n + 1) 2n ( 2 n + 2) 2n

∴ C n < C n ?1 < C n ? 2 < L < C 2 即 C n ≤ C 2 = ∴

1 1 1 61 + + = ……………………11 分 4 9 16 144

1 an
2

+

1 a n +1
2

+L+

1 a 2n
2

9 1 1 1 = [ 2 + +L+ ] 2 4 n (n + 1) ( 2n ) 2

=

9 9 61 61 63 21 Cn ≤ × = < = ……………………………………………………12 分 4 4 144 64 66 22


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