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【解析版】广东省湛江二中2012-2013学年高三(上)11月月考数学试卷(理科)


20212-2013 学年广东省湛江二中高三(上)11 月月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 分) (5 (2010?揭阳一模)已知集合 A={1,2 },B={a,b},若 A. B. C.
a

,则 A∪ 为( B D.



考点: 子集与交集、并集运算的转换;并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由集合 A 与 B 的交集求出 a,b 的值,再求出集合 A、B 和它们的并集. 解答: 解:由 得, , ,

∴ A={1, },B={﹣1, }, ∴ B={1,﹣1, } A∪ 故选 D. 点评: 本题考查了集合的交集和并集的运算,先根据交集求出参数的值,再求并集. 2. 分) (5 (2007?安徽)若 a 为实数, A. B.﹣ i,则 a 等于( C.2 ) D.﹣2

=﹣

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件. 专题: 计算题. 分析: 首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,进行复数的乘法运算,化成最简形 式,根据复数相等的充要条件写出关于 a 的方程,解方程即可. 解答: 解:∵ =﹣ i, ∴ ∴ ∴ 2+ =0, ∴ a=﹣ 故选 B. 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,考查复数相等的充要条件,是一个基础题,这种题目经常出 现在高考题目的前三个题目中.

3. 分)已知 a,b∈R,则“log3a>log3b”是“( ) <( ) ”的( (5 A.充分不必要条件 C. 充要条件

a

b



B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;指数函数与对数函数的关系. 专题: 计算题. 分析: a b 根据对数函数的性质由“log3a>log3b”可得 a>b>0,然后根据指数函数的性质由“( ) <( ) , 可得 a>b,然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断. 解答: 解:∵ a,b∈R,则“log3a>log3b” ∴ a>b>0, ∵ “( ) <( ) , ∴ a>b, ∴ 3a>log3b”?“( ) <( ) , “log 反之则不成立, ∴ 3a>log3b”是“( ) <( ) 的充分不必要条件, “log 故选 A. 点评: 此题主要考查对数函数和指数函数的性质与其定义域,另外还考查了必要条件、充分条件和充要条 件的定义.
a b a b a b

4. 分) (5 (2012?宁德模拟)为了得到函数 y=sin2x 的图象,可以将函数 A. C. 向右平移 向右平移 个单位 个单位 B. D. 向左平移 向左平移 个单位 个单位

的图象 (



考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 利用逆推方法求出函数 y=sin2x 的图象,变换为函数 正确选项. 解答: 解:函数 y=sin2x 的图象,变换为函数 平移 个单位, =

的图象的方法,即可得到

的图象,只需向右

所以为了得到函数 y=sin2x 的图象,可以将函数

的图象,向左平移

个单位.

故选 D. 点评: 本题是基础题,考查三角函数图象的平移变换,注意图象变换的逆应用.注意自变量的系数与方向.

5. 5 分)2010?福建模拟) ( ( 等差数列{an}中, A.1 B.

是一个与 n 无关的常数, 则该常数的可能值的集合为 ( C. D.



考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据等差数列的通项公式计算出 an=a1+(n﹣1)d 与 a2n=a1+(2n﹣1)d,进而表达出 合题中的条件以及分式的特征可得答案. 解答: 解:由题意可得: 因为数列{an}是等差数列, 所以设数列{an}的通项公式为:an=a1+(n﹣1)d,则 a2n=a1+(2n﹣1)d, 所以 .

,再结

因为

是一个与 n 无关的常数,

所以 a1﹣d=0 或 d=0, 所以 可能是 1 或 .

故选 B. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式,以及熟练掌握分式的性质, 6. 分) (5 (2009?广东)给定下列四个命题: ① 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ② 若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④ 若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( ) A.① 和② B.② 和③ C.③ 和④ D.② 和④ 考点: 平面与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定. 专题: 综合题. 分析: 从直线与平面平行与垂直,平面与平面平行与垂直的判定与性质,考虑选项中的情况,找出其它可 能情形加以判断,推出正确结果. 解答: 解:① 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行, 那么这两个平面相互平行;如果这两条直线平行,可能得到两个平面相交,所以不正确. ② 若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;这是判定定理,正确. ③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行;可能是异面直线.不正确. ④ 若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.正确. 故选 D.

点评: 本题考查平面与平面垂直的判定,平面与平面平行的判定,是基础题.

7. 分)已知变量 x,y 满足 (5

,设目标函数 z=2x+y,若存在不同的三点(x,y)使目标函

数 z 的值构成等比数列,则以下不可能成为公比的数是( A. B. C.

) D.4

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 画出约束条件表示的可行域,求出目标函数的最值,然后求解出等比数列的最大公比,即可得到选 项. 解答: 解:变量 x,y 满足 ,表示的可行域如图:

目标函数经过

的交点 A(5,2)时函数取得最大值为:12,

经过

的交点 B(1,1)时目标函数取得最小值 3,
2

所以,使目标函数 z 的值构成等比数列的最大公比为:q = 故选 D.

,q=2.因为 4>2.

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于中档题. 8. 分) (5 (2012?韶关模拟)设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零实数 l 使得对于任意 x∈M(M?D) , 有 x+l∈D,且 f(x+l)≥f(x) ,则称 f(x)为 M 上的 1 高调函数.如果定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数, 2 2 当 x≥0 时,f(x)=|x﹣a |﹣a ,且 f(x)为 R 上的 4 高调函数,那么实数 a 的取值范围是( ) A.[﹣1,1] B.(﹣1,1) C.[﹣2,2] D.(﹣2,2)

考点: 函数单调性的性质. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数,当 x≥0 时,f(x)=|x﹣a2|﹣a2,画出函数图象,可得 4≥3a2﹣ 2 (﹣a )得﹣1≤a≤1. 解答: 解:定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=|x﹣a |﹣a
2 2=

,的图象如图,
2

∵ f(x)为 R 上的 4 高调函数,当 x<0 时,函数的最大值为 a ,要满足 f(x+l)≥f(x) 大于等于 ,4 2 2 区间长度 3a ﹣(﹣a ) , 2 2 ∴ 4≥3a ﹣(﹣a ) ﹣1≤a≤1, ,∴ 故选 A.

点评: 考查学生的阅读能力,应用知识分析解决问题的能力,考查数形结合的能力,用图解决问题的能力, 属中档题. 二.填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. 分)定积分 (5 = .

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 2 被积函数是绝对值函数的, 常常是将∫1 |3﹣2x|dx 转化成 和,然后利用定积分的定义进行求解即可. 解答: 解: 2 ∫1 |3﹣2x|dx = +





=(3x﹣x )|

2

+(x ﹣3x)|

2

= 故答案为: . 点评: 本题主要考查了定积分, 定积分运算是求导的逆运算, 同时考查了转化与划归的思想, , 属于基础题.

10. 分)在△ (5 ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,a=5,b=8,∠ C=60°,则

= ﹣20 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据平面向量数量积公式, 得 的值. 解答: 解:∵ABC 中,| △ ∴ |=a,|

、 的夹角为 180°﹣C, 由此结合题中的数据代入, 即可算出

|=b,



的夹角为 180°﹣C

=abcos(180°﹣C)=5×8×cos120°=﹣20

故答案为:﹣20 点评: 本题给出三角形的两条边长,求它们对应向量的数量积,着重考查了平面向量数量积的定义及其求 法等知识,属于基础题. 11. 分) (5 (2011?哈尔滨模拟) 已知一个空间几何体的三视图如图所示, 根据图中标出的尺寸 (单位: , cm) 可得这个几何体的体积是 4 cm .
3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 三视图复原的几何体是底面为直角梯形,一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥,结合三视图 的数据,求出几何体的体积. 解答: 解:三视图复原的几何体是底面为直角梯形, 一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥, 所以几何体的体积为: 故答案为:4.

点评: 本题是基础题,考查几何体的三视图,几何体的表面积的求法,准确判断几何体的形状是解题的关 键.

12. 分)设 a,b 为正数,且 a+b=1,则 (5 .

的最小值是

考点: 基本不等式;平均值不等式. 专题: 整体思想. 分析: 因为 a+b=1,所以 可变形为( 解答: 解:∵ a,b 为正数,且 a+b=1, ∴ =( ) (a+b)= +1+ ,即 b= . a 时取等号.

) (a+b) ,展开后即可利用均值不等式求解.

+2

=



当且仅当 故答案为

点评: 本题考查了利用均值不等式求最值,灵活运用了“1”的代换,是高考考查的重点内容. 13. 分) (5 (2012?赣州模拟)如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动.设顶点 P(x,y)的轨迹 方程是 y=f(x) ,则 y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积为 π+1 .

考点: 函数的零点. 专题: 计算题. 分析: 不妨考查沿 x 轴正方向滚动,先以顶点 A 为中心顺时针旋转,当顶点 B 落在 x 轴上时,再以顶点 B 为中心顺时针旋转,如此继续,得出函数的图象,即可得到结论. 解答: 解:考查 P 点的运动轨迹,不妨考查正方形向右滚动,P 点从 x 轴上开始运动的时候,首先是围绕 A 点运动 个圆,该圆半径为 1,然后以 B 点为中心,滚动到 C 点落地,其间是以 BP 为半径,旋转

90°,再以 C 为圆心,再旋转 90°,这时候以 CP 为半径,因此最终构成图象如下: S=2× ×π+2× ×1×1+ ×2π=π+1 故答案为:π+1.

点评: 本题考查的知识点是函数图象的变化,其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象, 利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键. 14. 分) (5 (2011?普宁市模拟) (坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为 ,则点 A 到这条直线的距离为 .

考点: 简单曲线的极坐标方程;点到直线的距离公式. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 把极坐标方程化为普通方程,把点 A 的极坐标化为直角坐标,利用点到直线的距离公式求出点 A 到 这条直线的距离. 解答: 解:直线 ,可化为 x+y﹣1=0, 点A 可化为 , ,

根据点到直线的距离公式 故答案为 .

点评: 本题考查把极坐标方程化为普通方程的方法,两角和的正弦公式,以及点到直线的距离公式的应用. 15.如图,点 P 在圆 O 的直径 AB 的延长线上,且 PB=BO=2,PC 切圆 O 于 C,CD⊥ 于 D 点,则 CD= AB .

考点: 圆的切线的性质定理的证明;与圆有关的比例线段. 专题: 计算题.

分析: 在圆中线段利用由切线定理求得∠ PCO=90°,进而利用直角三角形 PCO 中的线段,结合解三角形求 得 CD 即可. 解答: 解:∵ 是圆 O 的切线, PC ∴PCO=90°, ∠ 在直角三角形 PCO 中,PB=BO, ∴ PO=2OC, 从而∠ POC=60°, 在直角三角形 OCD 中,CO=2, ∴ CD= . 故填: . 点评: 此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、与圆有关的比例线段,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分) (2009?中山市模拟)已知向量 =(cosx,sinx) =(﹣cosx,cosx) =(﹣1,0) , , . (Ⅰ )若 (Ⅱ )当 ,求向量 、 的夹角; 时,求函数 的最大值.

考点: 数量积表示两个向量的夹角;三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )先求出向量 、 的坐标,及向量的模,代入两个向量的夹角公式进行运算. (Ⅱ )利用两个向量的数量积公式及三角公式,把函数的解析式化为某个角三角函数的形式,根据角 的范围,结合 三角函数的单调性求出函数的值域. 解答: 解: )当 (Ⅰ 时,

=

= (Ⅱ ) = ∵ ∴ 当 即

,∵

,∴

. =2sinxcosx﹣(2cos x﹣1)
2

, ,∴ , 时,f(x)max =1. ,故 ,

点评: 本意考查两个向量的夹角公式,两个向量的数量积运算以及三角公式的应用,利用三角函数的单调 性、有界性求其值域.

17. (12 分)某公司有 10 万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析知道:一年后可能获利 10%, 可能损失 10%,可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分别为 , , ;如果投资乙项目,一年后可能获 利 20%,也可能损失 20%,这两种情况发生的概率分别为 α 和 β(α+β=1) . (1)如果把 10 万元投资甲项目,用 ξ 表示投资收益(收益=回收资金﹣投资资金) ,求 ξ 的概率分布及 Eξ; (2)若把 10 万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,求 α 的取值范围. 考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: (1)依题意,ξ 的可能取值为 1,0,﹣1,分别求出 P(ξ=1) ,P(ξ=0) ,P(ξ=﹣1) ,由此能求出 ξ 的分布列和 Eξ. (2)设 η 表示 10 万元投资乙项目的收益,则 η 的可能取值为 2,﹣2,分别求出 P(η=2) ,P(η= ﹣2) ,求出 Eη,由把 10 万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,能求出 α 的取 值范围. 解答: 解: (1)依题意,ξ 的可能取值为 1,0,﹣1, P(ξ=1)= , P(ξ=0)= , P(ξ=﹣1)= , ∴ 的分布列为: ξ ξ 1 p Eξ= ﹣ = .…(6 分) (2)设 η 表示 10 万元投资乙项目的收益, 则 η 的可能取值为 2,﹣2, P(η=2)=α, P(η=﹣2)=β, η 的分布列为 η 2 ﹣2 α β p ∴ Eη=2α﹣2β=4α﹣2, ∵ 10 万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益, 把 ∴ 4α﹣2≥ , 解得 .…(12 分)

0

﹣1

点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,是历年高考的必考题型之一.解题时要认真审题, 仔细解答,注意合理地进行等价转化. 18. (14 分) (2010?福建)如图,圆柱 OO1 内有一个三棱柱 ABC﹣A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的 内接三角形,且 AB 是圆 O 的直径. (1)证明:平面 A1ACC1⊥ 平面 B1BCC1;

(2)设 AB=AA1,在圆柱 OO1 内随机选取一点,记该点取自于三棱柱 ABC﹣A1B1C1 内的概率为 p.当点 C 在圆周上运动时,记平面 A1ACC1 与平面 B1OC 所成的角为 θ(0°<θ≤90°) ,当 p 取最大值时,求 cosθ 的值.

考点: 平面与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题;平面与圆柱面的截线. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)欲证平面 A1ACC1⊥ 平面 B1BCC1,关键是找线面垂直,根据直线与平面垂直的判定定理可知 BC⊥ 平面 A1ACC1; (2)根据 AC +BC =AB 为定值可求出 V1 的最大值,从而得到 p=
2 2 2

的最大值,p 取最大值时,

OC⊥ AB,于是以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O﹣xyz,求出平面 A1ACC1 的一个法向量与 平面 B1OC 的一个法向量,然后求出两法向量的夹角从而得到二面角的余弦值. 解答: 解: )因为 AA1⊥ (Ⅰ 平面 ABC,BC?平面 ABC,所以 AA1⊥ BC, 因为 AB 是圆 O 直径,所以 BC⊥ AC,又 AC∩ 1=A,所以 BC⊥ AA 平面 A1ACC1, 而 BC?平面 B1BCC1,所以平面 A1ACC1⊥ 平面 B1BCC1. (Ⅱ )设圆柱的底面半径为 r,则 AB=AA1=2r,故三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积为 =AC?BC?r,又因为 AC +BC =AB =4r , 所以
3 2 2 2 2

=2r ,当且仅当
2 3

2

时等号成立,

从而 V1≤2r ,而圆柱的体积 V=πr ?2r=2πr , 故 p= ,当且仅当 ,即 OC⊥ 时等号成立, AB

所以 p 的最大值是



p 取最大值时,OC⊥ AB,于是以 O 为坐标原点, 建立空间直角坐标系 O﹣xyz,则 C(r,0,0) ,B(0,r,0) 1(0,r,2r) ,B , 因为 BC⊥ 平面 A1ACC1,所以 是平面 A1ACC1 的一个法向量,

设平面 B1OC 的法向量 取 z=1 得平面 B1OC 的一个法向量为

,由

,故



,因为 0°<θ≤90°,

所以

=

=

=



点评: 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及几何体的体积、几何概型 等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化

思想、必然与或然思想. 19. (14 分)设函数 f(x)=﹣x +3x+2 分别在 x1、x2 处取得极小值、极大值.xOy 平面上点 A、B 的坐标 分别为 1,(x1)、 2,(x2), (x f ) (x f ) 该平面上动点 P (x, , (mx, , y) Q 2y) (1)求点 A、B 的坐标; (2)求动点 P 的轨迹方程,并判断轨迹的形状. 考点: 函数在某点取得极值的条件;平面向量数量积的运算;轨迹方程. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)令 f′ (x)=0 求出 x 的解,确定函数的增减性得到函数的极值,从而得到 A、B 的坐标; (2)利用向量的数量积运算,可得动点 P 的轨迹方程,分类讨论,可得轨迹的形状. 3 2 解答: 解: (1)令 f'(x)=(﹣x +3x+2)'=﹣3x +3=0 解得 x=1 或 x=﹣1 当 x<﹣1 时,f'(x)<0;当﹣1<x<1 时,f'(x)>0;当 x>1 时,f'(x)<0 所以,函数在 x=﹣1 处取得极小值,在 x=1 取得极大值, 故 x1=﹣1,x2=1,f(﹣1)=0,f(1)=4 所以点 A、B 的坐标为 A(﹣1,0) ,B(1,4) ; (2)由题意, ∵ ∴ (1+x) (mx﹣m)+2y =1﹣m 2 2 ∴ +2y =1 mx ① m=0 时,y=±
2 2 2 3

满足



,表示两条平行直线; 的圆;

② m=2 时,x +y = ,表示原点为圆心,半径为 ③ m<0 时,

,表示焦点在 y 轴上的双曲线;

④ m>0 时,

,若 0<m<2,表示焦点在 x 轴上的椭圆;若 m>2,表示焦点在 y 轴上的椭

圆. 点评: 本题考查学生利用导数研究函数极值的能力,会用平面内两个向量数量积的运算,以及会求动点的 轨迹方程的能力. 20. 分) (14 (文) 已知数列{an}的相邻两项 an, n+1 是关于 x 的方程 x ﹣2 x+bn=0 a (n∈N ) 的两根, a1=1. 且 (1)求数列和{bn}的通项公式; * (2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,问是否存在常数 λ,使得 bn﹣λSn>0 对任意 n∈N 都成立,若存在,求 出 λ 的取值范围; 若不存在,请说明理由. 考 数列与不等式的综合. 点: 专 综合题;方程思想;转化思想. 题:
2 n *

分 (1)由题意,可利用根与系数的关系得出 an+an+1=2n,法一:观察发现 析: ,由此方程可以得出数列 ,公比为﹣1 的等比数列,由此数列的性质求出它的通项,再求出 an,
n n+1

是首项为

法二:n+an+1=2 , a 两边同除以 (﹣1) , 得
n

, 令



则 cn+1﹣cn=﹣(﹣2) .得到新数列的递推公式,再由累加法求出 cn,即可求出 an, * (2)由(1)的结论,先求出数列{an}的前 n 项和,代入 bn﹣λSn>0,此不等式对任意 n∈N 都成立,可 用分离常数法的技巧,将不等式变为 对任意正偶数 n 都成立,求出

的最小值即可得到参数的取值范围,若此范围是空集则说明不存在,否则,存在 解 解: (1)∵n,an+1 是关于 x 的方程 x ﹣2 x+bn=0(n∈N )的两根, a 答: ∴ 求数列{an}的通项公式,给出如下二种解法: 解法 1:由 an+an+1=2 ,得 故数列 ∴ 是首项为 ,即
n 2 n *

, ,公比为﹣1 的等比数列. .

解法 2:由 an+an+1=2 ,两边同除以(﹣1)

n

n+1

,得





,则 cn+1﹣cn=﹣(﹣2) .
2 3 n﹣

n

故 cn=c1+(c2﹣c1)+(c3﹣c2)+…+(cn﹣cn﹣1)=﹣1﹣(﹣2)﹣(﹣2) ﹣(﹣2) ﹣…﹣(﹣2)
1

=

=

(n≥2) .



也适合上式,∴

=

,即



∴n=anan+1= b (2) Sn=a1+a2+a3+…+an=

×

=

=

. 要使 bn﹣λSn>0 对任意 n∈N 都成立,
*

即 1 当 n2 为正奇数时,由(*)式得 即 ∵ 2
n+1

(*)对任意 n∈N 都成立.

*

3 ,

4,

﹣1>0,∴

对任意正奇数 n 都成立. 有最小值 1.

当且仅当 n=1 时, ∴ λ<1.

② n 为正偶数时,由(*)式得 当 即 ∵ ﹣1>0,∴ 2 当且仅当 n=2 时, ∴ λ< .
n

, , 对任意正偶数 n 都成立. 有最小值 .

综上所述,存在常数 λ,使得 bn﹣λSn>0 对任意 n∈N 都成立,λ 的取值范围是(﹣∞,1) . 点 本是考查数列与不等式的综合,此类题一般难度较大,解题的关键是熟练掌握不等式证明的技巧与数列 评: 通项求和的技巧,本题中用构造法求数列的通项,是递推关系知道的情况下求数列通项的常用方法,对 于不等式恒成立求参数的问题,本题采用了分离常数法的思想将参数独立出来,通过求关于 n 的代数式 的最小值求出参数的取值范围,本题考查了转化化归的思想,方程的思想,构造法的技巧,综合性强, 技巧性强,题后应注意总结本题解法上的规律 21. (14 分)对于定义域为[0,1]的函数 f(x) ,如果同时满足以下三条:① 对任意的 x∈[0,1],总有 f(x) ≥0;② f(1)③ x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数 f(x)为理想函 若 数. (1)若函数 f(x)为理想函数,求 f(0)的值; x (2)判断函数 g(x)=2 ﹣1(x∈[0,1])是否为理想函数,并予以证明; (3)若函数 f(x)为理想函数,假定?x0∈[0,1],使得 f(x0)∈[0,1],且 f(f(x0) )=x0,求证 f(x0) =x0. 考 点 : 专 题 : 分 析 : 函数的值;抽象函数及其应用.

*

计算题.

(1)取 x1=x2=0 可得 f(0)≥f(0)+f(0)?f(0)≤0,由此可求出 f(0)的值. x (2)g(x)=2 ﹣1 在[0,1]满足条件① g(x)≥0,也满足条件② g(1)=1.若 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,满 足条件③ ,收此知故 g(x)理想函数. (3)由条件③ 知,任给 m、n∈[0,1],当 m<n 时,由 m<n 知 n﹣m∈[0,1],f(n)=f(n﹣m+m)≥f

(n﹣m)+f(m)≥f(m) .由此能够推导出 f(x0)=x0. 解 解: (1)取 x1=x2=0 可得 f(0)≥f(0)+f(0)?f(0)≤0. 分) (1 答 又由条件① f(0)≥0,故 f(0)=0. 分) (3 : (2)显然 g(x)=2x﹣1 在[0,1]满足条件① g(x)≥0; 分) (4 也满足条件② g(1)=1. 分) (5 若 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1, 则 = ,即满足条件③(8 分) , 故 g(x)理想函数. 分) (9 (3)由条件③ 知,任给 m、n∈[0,1],当 m<n 时,由 m<n 知 n﹣m∈[0,1], ∴ f(n)=f(n﹣m+m)≥f(n﹣m)+f(m)≥f(m)(11 分) . 若 x0<f(x0) ,则 f(x0)≤f[f(x0)]=x0,前后矛盾; (13 分) 若 x0>f(x0) ,则 f(x0)≥f[f(x0)]=x0,前后矛盾. (15 分) 故 x0=f(x0)(16 分) . 点 本题考查函数值的求法,解题时要认真审题,注意挖掘题设的中的隐含条件,注意性质的灵活运用. 评 :


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