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江苏省海门中学高二数学国庆假期作业4


高二数学国庆假期作业四(10 月 4 日完成)
(时间:60 分钟) 命题人:吴燕梅 审核人:曹卫民 班级 姓名 .

1.过点(3, -2)且与椭圆 4x2+9y2=36 有相同焦点的椭圆的方程是

a 2 2.若椭圆 a2x2- y =1 的一个焦点是(-2, 0),则 a= . 2 x2 y 2 ? ? 1 上的一点,F1 和 F2 是其焦点,若∠F1PF2=60° 3.P 为椭圆 ,则△F1PF2 的面 100 64
积为 . 4.设 F1(-c, 0), F2(c, 0)是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的两个焦点,P 是以|F1F2|为直径的圆与 a2 b2
.

椭圆的一个交点,且∠PF1F2=5∠PF2F1,则该椭圆的离心率为

5 若动点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) 分别在直线 l1 :x ? y ? 7 ? 0 和 l 2 :x ? y ? 5 ? 0 上移动, 则 AB 中点 M 到原点距离的最小值为 . 6.在△OAB 中,O 为坐标原点, A(1, cos ? ), B (sin ? ,1), ? ? (0, 最大值时, ? ? .

?

2

] ,则当△OAB 的面积达

7.已知 A(-4,0),B(2,0),以 AB 为直径的圆与 y 轴的负半轴交于 C,则过 C 点所作的圆的切线方 程是 . 8.若圆 x 2 ? y 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4my ? 4m 2 ? 8 ? 0 相切, 则实数

m 的取值集合是

.

9. 已知定点 A(0,1) ,B(0,-1) ,C(1,0) .动点 P 满足: AP ? BP ? k | PC |2 . (1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型; (2)当 k ? 2 时,求 | 2 AP ? BP | 的最大、最小值.

10.设椭圆方程为

x2 y 2 ?? ? ? 2 ? 1? m ? 0, n ? 0 ? ,过原点且倾斜角为 ? 和 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 2 m n 2? ?

的两条直线分别交椭圆于 A、C 和 B、D 四点 (1)用 ?、m、n 表示四边形 ABCD 的面积 S

(0, ] 时,求 S 的最大值 u (2)若 m、n 为定植,当 ? ? 4

?

11.已知圆 C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直 径的圆过原点.若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

高二数学国庆假期作业四参考答案
1.

x2 y 2 ? ?1 15 10

2.

5. 3 2

6. ? ?

? 2

1? 5 4

1 6 3 12 5 7. x-2 2 y-8=0 8. {? , ? , 0, 2} 5 2
3. 4.

64 3 3

9. (1)设动点坐标为 P( x, y) ,则 AP ? ( x ,y ? 1 ) , BP ? ( x, y ? 1) , PC ? (1 ? x, y) .因 为 AP ? BP ? k | PC |2 ,所以

x2 ? y 2 ?1 ? k[( x ?1)2 ? y 2 ] . (1 ? k ) x2 ? (1 ? k ) y 2 ? 2kx ? k ?1 ? 0 . 若 k ? 1 ,则方程为 x ? 1 ,表示过点(1,0)且平行于 y 轴的直线. k 2 1 2 k 1 ) ? y2 ? ( ) . , 0) 为圆心, 若 k ? 1, 则方程化为 ( x ? 表示以 ( 以 1? k 1? k k ?1 |1 ? k |
为半径的圆. (2)当 k ? 2 时,方程化为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1,
2 2 因为 2 AP ? BP ? (3x,3 y ?1) ,所以 | 2 AP ? BP |? 9 x ? 9 y ? 6 y ? 1 .

又 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ,所以 | 2 AP ? BP |? 36x ? 6 y ? 26 . 因为 ( x ? 2) ? y ? 1,所以令 x ? 2 ? cos ? , y ? sin ? ,
2 2

则 36x ? 6 y ? 26 ? 6 37 cos(? ? ?) ? 46 ?[46 ? 6 37, 46 ? 6 37] . 所以 | 2 AP ? BP | 的最大值为 46 ? 6 37 ? 3 ? 37 , 最小值为 46 ? 6 37 ? 37 ? 3 . 10. (1) S ? 4 xy ?

4m2 n 2 tan ? n 2 ? m2 tan ?

(2) u1 ? 2mn ? 0 ? n ? m?

u2 ?

4m 2 n 2 ?0 ? m ? n? n 2 ? m2

11. 解: 假设存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点.设 l 的方程 为 y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2). 由 OA⊥OB 知,kOA·kOB=-1,即

y1 y2 ? =-1,∴y1y2=-x1x2. x1 x2

? y ? x ? b, 由? ,得 2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0, 2 2 ?x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0

b2 ∴x1+x2=-(b+1),x1·x2= +2b-2,y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2 2
= b +2b-2-b(b+1)+b2= b +b-2
2

2

2

2

∵y1y2=-x1x2

∴ b +b-2=-( b +2b-2) 即 b2+3b-4=0.∴b=-4 或 b=1.
2 2

2

2

又Δ =4(b+1)2-8(b2+4b-4)=-4b2-24b+36=-4(b2+6b-9) 当 b=-4 时,Δ =-4×(16-24-9)>0; =1 时,Δ =-4×(1+6-9)>0 故存在这样的直线 l,它的方程是 y=x-4 或 y=x+1,即 x-y-4=0 或 x-y+1=0


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