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福建省莆田哲理中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题


2014-2015 年度上学期高二理科数学期末测试卷
命题人:高二数学组
(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确 答案的代号填在题后的括号内,每小题 5 分,共 50 分.) 1.已知 a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且 a· b=2,则 x 的值是 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 )

2. 焦点在 x 轴上的椭圆 A. 4 B.
9 4

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率是 ,则实数 m 的值是( m 3 2

C. 1 (

D.

3 4

3. 若 f(x)=sinx,则 f′(2π )等于

) ( )

A.-1 B. 1 C.0 D.cosx 2 2 4.双曲线 3mx -my =3 的一个焦点是(0,2),则 m 的值是 A.-1 B.1 10 C.- 20 10 D. 2

x2 2 5.已知双曲线a2-y =1(a>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点重合,则此双曲线 的渐近线方程是 A.y=± 5x ( ) C.y=± 3x 3 D.y=± 3 x )

5 B.y=± 5 x

x2 y2 6.已知(4,2)是直线 l 被椭圆36+ 9 =1 所截得的线段的中点,则 l 的方程是( A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y+4=0

D.x+2y-8=0 ( )

7.直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 只有一个公共点,则 k 的值为 A.1 B.0 C.1 或 0 D.1 或 3

8. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值为( 2 A. 4 2 B. 3 3 C. 3 3 D. 2 ( )

)

9.在以下命题中,不 正确的个数为 . ①|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件; ②对 a∥b,则存在唯一的实数 λ,使 a=λb;

→ =2OA → -2OB → -OC → ,则 P, ③对空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,若OP

A,B,C 四点共面; ④|(a· b)· c|=|a|· |b|· |c|. A.1 B.2 C.3 D.4

x2 y2 10.从椭圆a2+b2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭 圆与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点, 且 AB∥OP(O 是坐标原 点),则该椭圆的离心率是 3 A. 2 2 B. 2 ( ) C. 1 2 2 D. 4

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分,把正确答案填在题中横 线上.) 11.曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为________. → → 12.在△ABC 中,已知AB=(2,4,0),BC=(-1,3,0),则∠ABC=________. 13. 已知点 A( ? ,0) , 抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点为 F , 点 P 在抛物线上, 且 | AP |? 2 | PF | , 则 | OP |? ___ . 14.如右图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5 ,点 D 是 线段 AB 上的一点,且 ?CDB1 ? 90? , AA1 ? CD ,则点 A1 到平面 B1CD 的距 离为_____________ 15. 已知双曲线
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线 2 a b

1 2

分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点,若双曲线的离心率为 2, ?AOB 的面积为 3 , 则 p ? ____________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 4 16. (13 分)已知函数 f(x)=ax2-3ax+b,f(1)=2,f′(1)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在(1,2)处的切线方程.

17.(13 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC =3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中 点. 求证:(1)AC⊥BC1;(2)AC1∥平面 CDB1.

18. (13 分)已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 与直线 y ? 2 x ? 4 交于 A , B 两点. (1)求弦 AB 的长度; (2)若点 P 在抛物线 C 上,且 ?ABP 的面积为 12 , 求点 P 的坐标.

19、(13 分)已知双曲线 C1 的一个焦点是 F (4, 0) ,一条渐近线方程是 15x ? y ? 0 , 抛物线 C2 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线恰好经过双曲线 C1 的左顶点. (1)求双曲线 C1 和抛物线 C2 的标准方程; (2)经过双曲线 C1 焦点 F 的直线 l 与抛物线 C2 交于 A 、 B 两点,若 O 是坐标原 点,求证: OA ? OB .

20.(14 分)如图,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平面 ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥ 1 AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE=2AD. (1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (2)证明平面 AMD⊥平面 CDE; (3)求二面角 ACDE 的余弦值.

21.(14 分)已知椭圆

x2 y 2 6 1 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P( , , ) ,离心率为 2 a b 2 2 2

动点 M(2,t) ( t ? 0 ). (1)求椭圆的标准方程; (2)求以 OM 为直径且截直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 所得的弦长为 2 的圆的方程; (3) 设 F 是椭圆的右焦点, 过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N, 证明线段 ON 的长为定值,并求出这个定值.

2014-2015 年度上学期高二理科数学期末测试卷答案
一、选择题: 1~10:BABAD 二、填空题:
11. 1 2 2e 3π 12. 4 13.

DCCDB

5 2

14.

3

15.

2

三、解答题:
4 16、解:(1)f′(x)=2ax-3a. 4 f ′( 1 )= 2 a - ? ? 3a=1, 由已知得? 4 ? ?f(1)=a-3a+b=2. 3 ? a = ? 2, 3 解 得 ? ∴f(x) = 2 5 ? ?b=2. 5 2. …………(7 分)

x2 - 2x +

(2)函数 f(x)在(1,2)处的切线方程为 y-2=x-1, 即 x - y + 1 = 0. …………(13 分)

17.证明: ∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面三边长 AC=3, BC=4,AB=5,且 C1C 垂直底面. ∴AC、BC、C1C 两两垂直. 如图,以 C 为坐标原点,直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空 间直角坐标系. 则 C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4), 3 D(2,

2,0). → =(-3,0,0), BC → =(0,-4,4), (1)AC 1 →· → =0,∴AC⊥BC . ∴AC BC 1 1

…………(3 分)

…………(7 分)

(2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE,则 E(0,2,2), → =(-3,0,2),AC → =(-3,0,4), ∵DE 1 2 → =1AC → ∴DE 2 1.∴DE∥AC1. ∵DE?平面 CDB1,AC1?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. 18. 解(1)设 A(x1,y1)、B(x2,y2), …………(13 分)

? y ? 2x ? 4 由? 2 得 x2-5x+4=0,Δ>0. ? y ? 4x
法一:又由韦达定理有 x1+x2=5,x1x2= 4 , ∴|AB|= 1 ? 22 | x1 ? x2 | = 1 ? 22 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 ? 25 ? 16 ? 3 5, 法二:解方程得: x=1 或 4,∴A、B 两点的坐标为(1,-2)、 (4,4) ∴|AB|= (4 ? 1) 2 ? (4 ? 2) 2 ? 3 5, ………(6 分)

yo 2 (2)设点 P( , yo ) ,设点 P 到 AB 的距离为 d,则 4

d?

yo 2 ? yo ? 4 2 5

1 ,∴S△PAB= ·3 5 · 2

yo 2 ? yo ? 4 2 5

=12,



yo 2 ? yo ? 4 ? 8 . 2



yo 2 ? yo ? 4 ? ?8 ,解得 yo ? 6 或 yo ? ?4 2
………(13 分)

∴P 点为(9,6)或(4,-4) . 19 解:(I)设 C1 :
x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , 2 a b
2 2

?b ? ?a ? 1 ? ? 15 则 ?a ,解得 ? , ? ?b ? 15 ?42 ? a 2 ? b 2 ?

…………(2 分)

y2 ? 1, ∴双曲线 C1 的标准方程是 x ? 15
2

…………(4 分)

∵双曲线 C1 的左顶点是 (?1, 0) ,∴ ∴抛物线 C2 的标准方程 y 2 ? 4x ;

p ? 1, p ? 2 , 2

…………(6 分)

(II)方法 1:设直线 l : x ? ky ? 4 , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 把 x ? ky ? 4 代入 y 2 ? 4x 得 y 2 ? 4ky ?16 ? 0 ,
y12 y2 2 ? 16 , 4 4 ??? ? ??? ? ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 OA ? OB ? 0 ,∴ OA ? OB .

∴ y1 y2 ? ?16 , x1 x2 ?

………… (13 分)

方法 2:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l : x ? 4 代入 y 2 ? 4x , 得 A(4, 4) , B(4, ?4) ,∴ OA ? OB .
y2 当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? k ( x ? 4) , x ? 代入得 4 k 2 y2 y 2 y ? y ? 4k ? 0 ,∴ y1 y2 ? ?16 , x1 x2 ? 1 2 ? 16 , 4 4 4 ??? ? ??? ? ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 OA ? OB ? 0 ,∴ OA ? OB .

………… (13 分)

20 解:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点. 设 AB=1,依题意得 B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0), 1? ?1 E(0,1,1),F(0,0,1),M?2,1,2?. ? ? → → (1)BF=(-1,0,1),DE=(0,-1,1), → → → → BF· DE 0+0+1 1 于是 cos〈BF,DE〉= = = . → → 2× 2 2 |BF||DE| ∴异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60° . → → 1? ?1 (2)证明:由AM=?2,1,2?,CE=(-1,0,1), ? ? → → → → → AD=(0,2,0),可得CE· AM=0,CE· AD=0. 因此,CE⊥AM,CE⊥AD. ……… (4 分)

又 AM∩AD=A,故 CE⊥平面 AMD. 而 CE?平面 CDE,所以平面 AMD⊥平面 CDE. → ? ?u· CE=0, (3)设平面 CDE 的法向量为 u=(x,y,z),则? → ? ?u· DE=0. ?-x+z=0, 于是? 令 z=1,可得 u=(1,1,1). ?-y+z=0. 又∵由题设,平面 ACD 的一个法向量为 v=(0,0,1). u· v 0+0+1 3 ∴cos〈u,v〉=|u|· |v|= 3×1 = 3 . ∵二面角 ACDE 为锐角, 3 ∴其余弦值为 3 . 21.解:
6 1 ( )2 ( )2 c 2 (1)由题意得 ? ,又由椭圆经过点 P,得 2 2 ? 22 ? 1 ,又 a 2 ? b2 ? c2 联 a b a 2

……… (8 分)

……… (14 分)

立解得 a2 ? 2, b ? c ? 1 ,所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1; 2

…………(4 分)

t t2 (2)以 OM 为直径的圆的圆心为 (1, ) ,半径 r ? ? 1 ,所以圆 M 的方程为 2 4 | 3 ? 2t ? 5 | t t t2 ? ,解得 t ? 4. ( x ? 1)2 ? ( y ? )2 ? ? 1 。依题意 5 2 2 4

所以所求圆的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ;

…………(8 分)

(3)过点 F 作 OM 的垂线,垂足设为 K,由平面几何知识知 ON 2 ? OK ? OM ,直线
2 ? y ? ? ( x ? 1) ? t 2 ? t OM 的方程为 y ? x ,则直线 FN 的方程为 y ? ? ( x ? 1), 由 ? , 2 t t ?y ? x ? ? 2

4 t2 4 ? t2 4 2 2 得 xK ? 2 ,故 ON ? xK 1 ? 4?t ? ? ? 2, t ?4 4 2 4 ? t2

所以线段 ON 的长为定值 2.

…………(14 分)

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