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2.2.1-2.2.2直线与平面-平面与平面平行的判定


复习引入

空间中线与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

?
a

a 直线与平面无公共点
直线与平面平行 直线与平面有一个公 共点直线与平面相交 直线上所有的点都在 平面内直线在平面内

a∥?

? ?

A

/>
a ?? ? A

a

a ??

空间中面与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

?
?
β α

两个平面无公共点 两个平面平行 两个平面有一公共直线 两个平面相交

α∥β

? ?? ?l

2.2.1-2.2.2 直线与平面平行、 平面与平面平行的判定

探究:如图,将一本书平放在桌面上,翻动书 的封面,封面边缘AB所在直线与桌面所在平面 具有什么样的位置关系?

讲授新课
如图,平面?外的直线a平行于平面?内 的直线b.

(1) 这两条直线共面吗? a

?

b

讲授新课
如图,平面?外的直线a平行于平面?内 的直线b. (1) 这两条直线共面吗? (2) 直线 a与平面?相交吗?

?

a
b

?

直线与平面平行的判定定理: 平面外的一条直线与此平面内的一 条直线平行,则该直线与此平面平行. (线线平行?线面平行) 符号表示: a

a ? ?? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

?

b

P55练习 1. 如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)与直线AB平行的平面是: 平面A1C1和平面DC1 (2)与直线AA1平行的平面是:
平面BC1和平面DC1 (3)与直线AD 平行的 D1 平面是: A1
C1 B1 B

平面BC1和平面A1C1
A

D

C

定理的应用
例1. 求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行 于经过另外两边所在的平面. 已知:如图,空间四边形ABCD中,E、F分别是 AB,AD的中点.求证:EF∥平面BCD. A F

E
B

D C

课后练习P56 2

探要点、究所 跟踪训练 1 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、 然
F 分别是棱 BC、C1D1 的中点,求证:EF∥平面 BDD1B1.
证明 取 D1B1 的中点 O,连接 OF,OB.

1 1 ∵OF// B1C1,BE// B1C1, 2 2

∴OF//BE.

∴四边形 OFEB 是平行四边形,∴EF∥BO. ∵EF?平面 BDD1B1, BO?平面 BDD1B1,

∴EF∥平面 BDD1B1.

2.2.2 平面与平面平行的判定

定义:如果两个平面没有公共点,那么这

两个平面互相平行,也叫做平行平面.
平面?平行于平面? ,记作?∥?.

?
?

思考
(1)若平面?内有一条直线与平面?平行, 那么? ,?平行吗?
如图,平面AA1D1D中AA1//平面DCC1D1, 但平面AA1D1D∩平面DCC1D1=D1D.
D1 A1 A D C1 B1 B

C

思考
(2)若平面? 内有两条直线与平面? 平行, 那么? ,?平行吗? 不一定
A1 A E F B D1 D C1 B1 C

思考:
若平面? 内有两条相交直线与平面? 平行, 那么? ,?平行吗? 如图,平面ABCD//平面A1B1C1D1.
D1 C1 B1 B C

A1
A

D

平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个 平面平行,则这两个平面平行. 符号:a ? ?,b ? ?,a ? b ? P,
a / /?,b / /?, ? ? / /? .

?

P

a b

?

例2. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,

求证:平面AB1D1∥平面C1BD.
D1 A1 D A B B1 C1

C

练习.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、E、 F分别为棱A1B1、A1D1、 B1C1 、 C1D1的中点. 求证:面AMN∥面EFDB.
D1 A1 F C1

N
M B1 D

E

C B

A

练习.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、E、 F分别为棱A1B1、A1D1、 B1C1 、 C1D1的中点. 求证:面AMN∥面EFDB. 证明: ∵M、N、E、F分别为棱A1B1、A1D1、 B1C1 、 C1D1的中点. 连接NE, F D 1 C1 则 NE//A1 B1 , NE=A1B1 , N 又 AB//A1 B1 , AB=A1B1 , E A1 ∴ NE//AB , NE=AB , M B1 ∴ ABEN为平行四边形. ∴ AN//BE. D C 又 AN ? / 平面EFDB, BE ? 平面EFDB, A B ∴ AN//平面EFDB. 同理 AM//平面EFDB. 又 AM∩AN=A, ∴ 面AMN∥面EFDB.

1.若 A 是直线 m 外一点,过 A 且与 m 平行的平面 A.存在无数个 C.存在但只有一个 B.不存在 D.只存在两个

(

A

)

解析

过 A 点作直线 m 的平行线 a,过 a 的平行面有无数多个,

当 m 不在这些平面内时,m 就平行这些平面.

2.直线 a,b 为异面直线,过直线 a 与直线 b 平行的平面 ( A.有且只有一个 C.至多一个 B.有无数多个 D.不存在

A)

解析

在直线 a 上任选一点 A,过点 A 作 b′∥b,则 b′是唯一

的,因 a∩b′=A,所以 a 与 b′确定一平面并且只有一个平面, 故选 A.

3.下列说法中正确的是

(

)

①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行; ②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行; ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行; ④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行. A.①③ C.②③④ B.②④ D.③④

解析 对于①:一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,如果这两条直 线不相交,而是平行,那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在.

对于②:一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,同①.

对于③:一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.这 是两个平面平行的定义.
对于④:一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平 行.这是两个平面平行的判定定理.
所以只有③④正确,选择 D.

答案 D

呈重点、现规律
1.判定直线与平面平行的方法: (1)定义法:直线与平面没有公共点则线面平行; (2)判定定理:(线线平行?线面平行), a? α ? ? b?α??a∥α. ? a∥ b ? 2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形 的中位线、平行线的判定等来完成.


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