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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第5章 第1节 数列的概念与简单表示法


第一节

数列的概念与简单表示



[主干知识梳理] 一、数列的定义、分类与通项公式

1.数列的定义:
(1)数列:按照 一定顺序 排列的一列数. (2)数列的项:数列中的 每一个数 .

2.数列的分类: 分类标准 类型 有穷数列 满足条件 项数 有限 项数 无限 an+1 > an

项数
无穷数列 项与项间 的大小关 系 递增数列

递减数列
常数列

an+1 < an
an+1=an

其中
n∈N*

3.数列的通项公式: 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式子

来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

二、数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项),且 任一项an 与它 的 前一项an-1 (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式

来表示,那么这个公式叫数列的递推公式.

[基础自测自评] 2 3 4 5 1.(教材习题改编)数列 1, , , , ?的一个通项公式是 3 5 7 9 ( n A.an= 2n+1 n C.an= 2n-3
B

)

n B.an= 2n-1 n D.an= 2n+3

2.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为 ( A.15 B.16 )

C.49

D.64

A [a8=S8-S7=64-49=15.]

n 3.已知数列{an}的通项公式为 an= ,则这个数列是 n+1 ( A.递增数列 C.常数列 B.递减数列 D.摆动数列 )

n+1 (n+1)2-n(n+2) n A [an+1-an= - = n+2 n+1 (n+1)(n+2) 1 = >0.] (n+1)(n+2)

4.(教材习题改编)已知数列{an}的通项公式是 an=
n-1 ? 2 · 3 (n为偶数), ? ? 则 a4·a3=________. ? ?2n-5(n为奇数),

解析 a4·a3=2×33·(2×3-5)=54. 答案 54

q 3 3 5.已知数列{an}的通项公式为 an=pn+ ,且 a2= ,a4= ,则 n 2 2 a8=________. q 3 ? 1 ? ?2p+2=2, ?p= , 解析 由已知得? 解得? 4 ? ?4p+q=3, q=2. ? 4 2 ? 1 2 9 则 an= n+ ,故 a8= . 4 n 4 9 答案 4

[关键要点点拨]
1.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数,一个数列不仅 与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺 序有关,这有别于集合中元素的无序性.因此,若组成 两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同 的两个数列.

(2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复
出现,这也是数列与数集的区别.

2.数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2, 3,?,n})的特殊函数,数列的通项公式也就是相应的

函数解析式,即f(n)=an(n∈N*).

由数列的前几项求数列的通项公式

[典题导入]

(2014· 西安五校联考)下列公式可作为数列{an}: 1, 2, 1, 2, 1,2,?的通项公式的是 ( A.an=1
? nπ ? C.an=2-?sin 2 ? ? ? ? ?

)

(-1)n+1 B.an= 2 (-1)n-1+3 D.an= 2

[听课记录]



? nπ? ? an=2-?sin 2 ? ?可得 ? ?

a1=1,

a2=2,a3=1,a4=2,?.

答案 C

[互动探究] 若本例中数列变为:0,1,0,1,?,则{an}的一个通项公式为 ________. 答案
? ?0(n为奇数), 1+(-1)n 1+cos ? an= 或 an= 或 an= 2 2 ? ?1(n为偶数).



[规律方法] 1.根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每 一项的特点,观察出项与n之间的关系、规律,可使用添 项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公

式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调
整. 2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归 纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想.

[跟踪训练] 1.写出下面数列的一个通项公式. (1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 (3)3,33,333,3 333,?; 3 1 3 1 3 (4)-1, ,- , ,- , ,?. 2 3 4 5 6

解析

(1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1.

(2)每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 21,22,23,24,?, 2n-1 所以 an= n . 2 9 99 999 9 999 (3)将数列各项改写为 , , , ,?,分母都是 3,而分 3 3 3 3 子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,?. 1 n 所以 an= (10 -1). 3

(4)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式的符号为(-1)n;各项绝 对值的分母组成数列 1,2,3,4,?;而各项绝对值的分子组成 的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项为 2-1,偶数项 为 2+1,
n 2 +(- 1 ) 所以 an=(-1)n· ,也可写为 n

? 1 ?-n,n为正奇数, an=? ?3,n为正偶数. ?n

由an与Sn的关系求通项an [典题导入] 已知数列{an}的前n项和Sn,根据下列条件分别求它们

的通项an.
(1)Sn=2n2+3n;(2)Sn=3n+1. [听课记录] (1)由题可知, 当n=1时,a1=S1=2×12+3×1=5, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]= 4n+1. 当n=1时,4×1+1=5=a1, 故an=4n+1.

(2)当 n=1 时,a1=S1=3+1=4, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2× 3n-1. 当 n=1 时,2× 31-1=2≠a1, 故
? ?4, an=? n-1 ? 2× 3 , ?

n=1, n≥2.

[规律方法]

已知数列{an}的前n项和Sn,求数列的通项公式,其求解过程分为三
步: (1)先利用a1=S1求出a1; (2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2) 便可求出当n≥2时an的表达式;

(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,如果
符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1 与n≥2两段来写.

[跟踪训练]

2.(1)(2014·长沙模拟)已知a1=2,an+1-an=2n+1(n∈N*),
则an=__________. 解析 由an+1-an=2n+1(n∈N*), 得an-an-1=2n-1, an-1-an-2=2n-3,?,a3-a2=5,a2-a1=3,

将以上各式相加,

得 an-a1=3+5+?+(2n-3)+(2n-1), (1+2n-1)n 即 an=1+1+3+5+?+(2n-1)=1+ 2 =n2+1.

答案 n2+1

(2)(2014· 河池模拟)在数列{an}中,a1=2,3(a1+a2+?+an)=(n +2)an,n∈N*,则 an=__________. 解析 由已知可得 3Sn=(n+2)an, 当 n≥2 时,3(Sn-Sn-1)=(n+2)an-(n+1)an-1=3an, an n+1 ∴ = . an-1 n-1

an-1 an a2 a3 ∵a1· · ·?· · a1 a2 an-2 an-1 n+1 3 4 5 6 n =2× × × × ×?× × 1 2 3 4 n-2 n-1 =n(n+1), ∴an=n(n+1). 答案 n(n+1)

数列的性质
[典题导入] 已知数列{an}的通项公式为an=n2-21n+20. (1)n为何值时,an有最小值?并求出最小值; (2)n为何值时,该数列的前n项和最小?

[听课记录]

(1)因为 an=n

2

? 21? ? ?2 361 -21n+20=?n- 2 ? - ,可知对称 4 ? ?

21 轴方程为 n= =10.5.又因 n∈N*,故 n=10 或 n=11 时,an 有最 2 小值,其最小值为 112-21× 11+20=-90. (2)设数列的前 n 项和最小,则有 an≤0,由 n2-21n+20≤0,解 得 1≤n≤20,故数列{an}从第 21 项开始为正数,所以该数列的前 19 或 20 项和最小.

[互动探究] an 在本例条件下,设 bn= ,则 n 为何值时,bn 取得最小值?并求 n 出最小值.
2 an n -21n+20 20 解析 bn= = =n+ -21, n n n

20 20 令 f(x)=x+ -21(x>0),则 f′(x)=1- 2 , x x 由 f′(x)=0 解得 x=2 5或 x=-2 5(舍).

而 4<2 5<5,故当 n≤4 时,数列{bn}单调递减; 当 n≥5 时,数列{bn}单调递增. 20 20 而 b4=4+ -21=-12,b5=5+ -21=-12, 4 5 所以当 n=4 或 n=5 时,bn 取得最小值,最小值为-12.

[规律方法]
1.数列中项的最值的求法 根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数an= f(n),利用求解函数最值的方法求解,但要注意自变量的 取值.

2.前n项和最值的求法
(1)先求出数列的前n项和Sn,根据Sn的表达式求解最值; (2)根据数列的通项公式,若am≥0,且am+1<0,则Sm最大; 若am≤0,且am+1>0,则Sm最小,这样便可直接利用各项 的符号确定最值.

[跟踪训练] n 3.数列{an}的通项 an= 2 ,则数列{an}中的最大值是 n +90 ( A.3 10 1 C. 19 B.19 10 D. 60 )

1 1 1 C [an= ,由基本不等式得, ≤ , 90 90 2 90 n+ n+ n n 1 由于 n∈N ,易知当 n=9 或 10 时,an= 最大.] 19
*

【创新探究】 函数思想在数列中的应用 (2014· 安阳模拟)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若不等
2 S n 2 式 an+ 2≥ma2 1对任意等差数列{an}及任意正整数 n 都成立, n

则实数 m 的最大值为 ( 1 A. 4 C.1 1 B. 5 D.无法确定 )

【思路导析】 将已知不等式用 an 与 a1 表示后分离参数 m 转化为 函数的最值问题求解. 1 【解析】 因为 Sn= n(a1+an), 2 所以原不等式可化为 1 2 an+ (a1+an)2≥ma2 1. 4

若 a1=0,则原不等式恒成立;
? ? ? 5? ?an?2 1?an? 1 若 a1≠0,则有 m≤ ?a ? + ?a ?+ , 4? 1? 2? 1? 4

? ? ? ? ? 5? ?an?2 1?an? 1 5?an 1?2 1 1 而 ?a ? + ?a ?+ = ?a +5? + ≥ , 4? 1? 2? 1? 4 4? 1 ? 5 5

1 则 m≤ . 5 1 故实数 m 的最大值为 , 5 故选 B.

【答案】 B

【高手支招】 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义

在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大
取值时所对应的一列函数值,就是数列.因此,在研究函数 问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特 殊性.

[体验高考] 1.(2013· 新课标全国Ⅰ高考)设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn, cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,?.若 b1>c1,b1+c1 cn+an bn+an =2a1,an+1=an,bn+1= ,cn+1= ,则 2 2 ( A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 )

B [已知 b1>c1,b1+c1=2a1,a2=a1, c1+a1 3 1 故 b2= = c1+ b1<b1, 2 4 4 b1+a1 3 1 c2= = b1+ c1>c1, 2 4 4 b1+c1 b2+c2=a1+ =2a1, 2 c1-b1 b2-c2= <0, 2 3 1 3 1 即 b2<c2,b2c2=( c1+ b1)· ( b1+ c1) 4 4 4 4 3 1 2 = (b1+c1) + b1c1>b1c1. 16 4

c2+a2 3 1 又 a3=a2=a1,所以 b3= = c2+ b2<b2, 2 4 4 b2+a2 3 1 c3= = b2+ c2>c2, 2 4 4 c2+a2 b2+a2 b3+c3= + =2a2=2a1, 2 2 3 1 3 1 2 c2-b2 b3-c3= c2+ b2-( b2+ c )= >0, 4 4 4 4 2 3 1 3 1 即 b3>c3,b3c3=( c2+ b2)( b2+ c2) 4 4 4 4 3 1 2 = (b2+c2) + b2c2>b2c2>b1c1. 16 4

又△AnBnCn 的面积为 Sn= p(p-an)(p-bn)(p-cn)= 1 p(p-an)[p -(bn+cn)p+bncn],其中 p= (an+bn+cn),p(p 2
2

-an)和 p2-(bn+cn)p 都为定值,bncn 逐渐递增,所以数列{Sn}为 递增数列,选择 B.]

2 1 2.(2013· 新课标全国Ⅰ高考)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ , 3 3 则{an}的通项公式是 an=__________. 2 1 解析 当 n=1 时,由已知 Sn= an+ , 3 3 2 1 得 a1= a1+ ,即 a1=1; 3 3 2 1 当 n≥2 时,由已知得到 Sn-1= an-1+ , 3 3

2 1 2 1 所以 an=Sn-Sn-1=( an+ )-( an-1+ ) 3 3 3 3 2 2 = an- an-1,所以 an=-2an-1, 3 3 所以数列{an}是以 1 为首项,以-2 为公比的等比数列, 所以 an=(-2)n-1.

答案 (-2)n-1

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