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抽象函数单调性 (2)


抽象函数问题
——抽象函数的单调性

一、复习
1、函数单调性的定义
? x1 , x2 ? D, D ? I , (1)当x1 ? x2 , 都有f ( x1 ) ? f ( x2 ), 那么函数f ( x )在区间 D 上是增函数 (2)当x1 ? x2 , 都有f ( x1 ) ? f ( x2 ), 那么函数f ( x)

在区间 D 上是减函数

2、证明函数单调性的一般步骤
取值,作差,变形,定号,下结论(判断函数单调性“五部曲”)

二、知新必备

1 问题1:证明函数f ( x) ? x ? 在区间( 1, ? ?)上为增函数. x

?-1,1?上的增函数,且 问题2:已知函数f ( x)是定义在区间
f ( x ? 2) ? f (1 ? x),求x的取值范围 .

解:由题意得: ?1 ? x ? 2 ? 1 ? x ? 1 3 解得: 1? x ? 2 ? 3? ? x的取值范围为?1, ? ? 2?
x ? 0时,f ( x) ? 0,判定f ( x)的单调性.

如何判断?

问题3:已知函数f ( x)在R上满足f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y),且当

三、探索新知
1、抽象函数问题 是指没有给出解析式,只给出一些特殊条件的函数问题. 2、如何判断抽象函数的单调性. 判断抽象函数的单调性,仍然要紧扣单调性的定义,并且适当

运用题设条件. 一般地,若f(x)满足:
f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y),则f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 ? x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 );

x1 x1 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y),则f ( x1 ) ? f ( ? x2 ) ? f ( ) ? f ( x2 ); x2 x2
f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y),则f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 ? x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 );

四、尝试解决,形成方法
例1、已知函数f ( x)在R上满足f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ),且当 x ? 0时,f ( x) ? 0,f (1) ? 2 (1)令x ? y ? 0,则f (0+0)=f (0) ? f (0),f (0) ? 0. (1)求f (0)、f (3)的值; (2)判定f ( x)的单调性.
? f (1)=2 ? f (3)=f (2) ? f (1) ? f (1+1)+f (1) ? 3 f (1) ? 6
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) ? ? f ( x2 ? x1 ) ? x2 ? x1 ? 0, 当x ? 0时, f ( x) ? 0 ?? f ( x2 ? x1 ) ? 0 即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x)在R上为增函数.

(3)求不等式f ( x ? 1) ? 6的解集( . 2)任取x1 , x2 ? R,且x1 ? x2

? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ?

例2、已知定义在 ? 0, ?? ? 上的函数f ( x)满足:①对任意的x, y ? ? 0, ?? ?, 都有f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y );②当0 ? x ? 1时,f ( x) ? 0. (1)判断并证明的单调性 1 (2)已知f (9) ? ?2, 且f ( ) ? ? f ( x), x 求不等式 ? 2 ? f ( x) ? 2的解集.
解:(1)f ( x)在R上为减函数. 任取x1 , x2 ? ? 0, ?? ?,且x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) x2 x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) x2 x1 ) x2

? f( ? f( ?0 ? ?f(

x1 ? 1, 当0 ? x ? 1时, f ( x) ? 0 x2 x1 )?0 x2

即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x)在R上为减函数.

五、课堂演练,反馈提升
练习 1、函数f ( x)对任意的a, b ? R,都有f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 1, 并且当x ? 0时,f ( x) ? 1. ( 1)求证:f ( x)在R上是增函数; (2)若f (4) ? 5,解不等式f ( m ? 2 ) ? 3.

练习2、已知函数f ( x)的定义域是( 0, ? ?),且f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ), 当x ? 1时,f ( x) ? 0. ( 1)求f (1); (2)证明f ( x)在(0, ? ?)上是增函数 .

练习1 解答:

(1)证明:任取x1 , x2 ? R,且x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) ? ? f ( x2 ? x1 )+1 ? x2 ? x1 ? 0, 当x ? 0时, f ( x) ? 1 ?? f ( x2 ? x1 )+1 ? 0 即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x)在R上为增函数. ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 )-1?

(2)解: ? f (4) ? f (2)+f (2)-1,f (4)=5 ? 5 ? 2 f (2) ? 1,f (2)=3 ? f ( m ? 2 ) ? 3,又 f ( x)在R上为增函数. ? m?2 ? 2 即-2 ? m ? 2 ? 2,解得: 0?m?4 ? m的范围为 ? 0, 4 ? .

一、课堂小结
如何判断抽象函数的单调性. (1)紧扣单调性的定义,

(2)适当运用题设条件.
一般地,若f(x)满足:
f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y),则f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 ? x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 );

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y),则f ( x1 ) ? f (

x1 x ? x2 ) ? f ( 1 ) ? f ( x2 ); x2 x2

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y),则f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 ? x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 );

一、作业
已知函数f ( x)的定义域是R,对任意x均有f ( x) ? 0,且满足: ①f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ),②当x ? 0时,f ( x) ? 1. ( 1)求f (0); (2)证明f ( x)在R上是增函数.


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