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山东师大附中2013届高三1月份第四次调研(数学文)


山东师大附中 2010 级高三模拟考试 数学(文史类)
2013 年 1 月 4 日

注意事项: 1. 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟. 2. 此卷内容主要涉及集合与简易逻辑、复数、函数与导数、三角函数、数列、不等式、立体几 何、概率、推理与证明和算法内容。填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。

第Ⅰ 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.若全集为实数集 R ,集合 A = {x | log 1 (2 x ? 1) ? 0}, 则CR A =
2

A. ( , ??) 2.设 z ?

1 2

B. (1, ??)

C. [0, ] ? [1, ?? )

1 2

D. (??, ] ? [1, ??)

1 2

2 2 ? ?1 ? i ? ,则 z = 1? i
B.1 C.2 D. 3

A. 2

3.平面向量 a , b 共线的充要条件是 A. a , b 方向相同 C. ?? ? R ,使得 b ? ? a 4.若 ? ? ? A.

?

?

?

?

B. a , b 两向量中至少有一个为零向量

?

?

?

?

D. 存在不全为零的实数 ?1 , ?2 , ?1 a ? ?2 b ? 0

?

?

?

?? 1 ?? ? ? , ? ? , tan ? ? ? ? ? , 则sin ? ? ( 4? 7 ?2 ? ?
B.

)
D. ?

3 5

4 5

C. ?

3 5

4 5

2 5.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a2 、 a 4 是方程 x ? x ? 2 ? 0 的两个根, S5 ?

A.

5 2

B.5

C. ?

5 2

D.-5

6. 已知两条直线 a , b 与两个平面 ? 、 ?,b ? ? ,则下列命题中正确的是 ①若 a // ? , a ? b ; 则 ②若 a ? b , a//? ; ③若 b ? ? , ? // ? ; 则 则 ④若 ? ? ? , b // ? . 则 A.①③ B.②④ C.①④ D.②③

7.要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ? A.右移

? ?

?? ? 的图象 ??
? 个单位 ?
D.左移

? 个单位 ?

B.右移

? 个单位 ?

C.左移

? 个单位 ?

? x ? y ? 0, ? 8.若实数 x , y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 10 ? 0, 则 2x ? y 的最大值是 ? ? 3x ? y ? 5 3 ? 0,
A.11 B.23 C.26 D.30

9.按如下程序框图,若输出结果为 170 ,则判断框内应补充的条件为 开始

i ?1

S ?0

S ? S ? 2i


i ?i?2

结束 是

?
D. i ? 10

输出S

A. i ? 7

B. i ? 9

C. i ? 9

10.若一个底面为正三角形的几何体的三视图 如右图所示,则这个几何体的体积为 主视图 左视图 4

3 3

A. 12 3

B. 36 3

C. 27 3

D. 6 俯视图

11.函数 y ? x ? 2 sin x, x ? ??

? ? ?? , 的大致图象是 ? 2 2? ?

12.函数 f ( x ) ? log 2 x ? A. (0, )

1 2

1 的零点所在的区间为 x 1 B. ( ,1) C. (1, 2) 2

D. (2,3)

山东师大附中 2010 级高三模拟考试 数学(文史类)
第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知向量 a ? ?x,?2?, b ? ? y,1?,其中 x , y 都是正实数,若 a ? b ,则 t ? x ? 2 y 的最小值 是_______. 14.有 4 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能 性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 15.观察下列式子: 1 ? 第 n 个不等式应该为 16.有下列四个命题: (1) “若 b ? 3 ,则 b2 ? 9 ”的逆命题; (2) “全等三角形的面积相等”的否命题; (3) “若 c ? 1 ,则 x2 ? 2 x ? c ? 0 有实根”的逆命题; (4) “若 A ? B ? A ,则 A ? B ”的逆否命题. 其中真命题的个数是___________________ 三、解答题:本大题共 6 个小题.共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? 3 cos x ?
2

2013 年 1 月 4 日



1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,?,根据上述规律, 2 2 3 4 2 2 3 2 3 4

3 ( x ? R) . 2

(1)求 f (x) 的最小正周期; (2)求 f (x) 图象的对称轴方程和对称中心的坐标. 18. (本小题满分 12 分) 在锐角 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (1)确定角 C 的大小; (2)若 c = 7 ,且 ?ABC 的面积为

3 3 2

,求 a ? b 的值.

19.(本小题满分 12 分) 在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD ,点 E 是 PD 的 中点.
P

(1)求证: PB // 平面 AEC ; (2)求证:平面 EAC ⊥平面 PAB .
E

20.(本小题满分 12 分)
A B

已知等差数列 ?an ? 满足 a2 =0,a6 ? a8 =-10.
D C

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ?1 ? ?2 ?

21.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n且S n ?1 ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {

3 S n ? 1, (n ? N * ) 2

1 12 的 n 值. } 的前 n 项和为 Tn ,求满足不等式 Tn ? an Sn ? 2

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? b ,其中 a, b ? R . (1)若函数 f (x ) 在 (0,2) 上单调递增,求实数 a 的取值范围. (2)当 x ? (0,1] 时, y ? f (x) 图象上任意一点处的切线的倾斜角为 ? ,且 0 ? ? ? 取值范围.

?
4

,求 a 的

山东师大附中 2010 级高三模拟考试 2013 年 1 月 4 日 数学(文史类)参考答案
一、选择题稿源:konglei DADAA AADCB DC 二、填空题 13.4 14.

1 4

15. 1 ?

1 1 1 2n ? 1 ? 2 ? ?? ? ? 2 2 n ?1 2 3 (n ? 1)

16.1

三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 解 (1) f ( x) ? ?4 分

: ????

1 cos 2 x ? 1 3 1 3 ? sin 2 x ? 3 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 2 3

故T ? ?
分 (2) 令 2 x ? ∴

????????6

?
3

?

?
2

? k? , k ? Z ,


得x ? 称

5? k? ? ,k ? Z 12 2
轴 ????????9 分 为

x?

5? k? ? ,k ? Z 12 2

令 2x ? ∴

?

3

? k? , k ? Z ,
对 称

得x ?

?
6

?

k? ,k ? Z 2
心 为



(

?
6

?

k? ,0), k ? Z 2

??????????12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)? 锐角三角形中,由正弦定理得 3 sin A ? 2 sin C sin A ,因为 A 锐角? sin A ? 0

? sin C ?

3 2

又 C 锐角?
2 2

C?
2

?
3

---------------6 分 w

(2) 三角形 ABC 中,由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cosC 即 7 ? a ? b ? ab
2 2

--------8 分 w

又由 ?ABC 的面积得 即 ab ? 6

S?

1 1 3 3 3 absin C ? ab ? . 2 2 2 2

---------10 分

(a ? b) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? 25

由于 a ? b 为正,

所以 a ? b ? 5 ---------12 分
P

19. (本小题满分 12 分) 解: (1)连接 BD 交 AC 于 F,连接 EF,------------2 分 在三角形 DPB 中,EF 为中位线, --------4 分 F ? EF//PB, 又 PB ? 平面EAC ,
E

EF ? 平面EAC
? PB // 平面 AEC ;--------6 分 w
(2)? PA ? 平面 ABCD , AC ? 平面ABCD
D C A B

? PA ? AC ------------8 分
又 AB ? AC , PA ? AB ? A

? AC ? 平面 PAB------------10 分 AC ? 平面EAC ? 平面EAC ? 平面PAB------------12 分
20. (本小题满分 12 分)
? ?a1+d=0, (1)解 设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得? ?2a1+12d=-10, ?

------------2 分

解得?

?a1=1, ? ? ?d=-1.

------------4 分

故数列{an}的通项公式为 an=2-n. ------------6 分 (2)解法一:设数列? ∵
?

an ?
n-1?

?2

?

的前 n 项和为 Sn,

an 2-n 1 n - = - = - - - , 2n 1 2n 1 2n 2 2n 1

1 1 1 ? ? 2 3 n ? ? ∴Sn=?2+1+ + 2+?+ n-2?-?1+ + 2+?+ n-1?. 2 2 2 ? ? 2 2 2 ? ? 2 3 n 记 Tn=1+ + 2+?+ n-1, 2 2 2 1 1 2 3 n 则 Tn= + 2+ 3+?+ n, 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ①-②得: Tn=1+ + 2+?+ n-1- n, 2 2 2 2 2 1 1- n 2 n 1 ∴ Tn= - n. 2 1 2 1- 2 ① ②

? 1? n 即 Tn=4?1- n?- n-1. ? 2? 2

? ?1?n? 2?1-? ? ? n ? ?2? ? ? 1 ? n ? 1? ? 1? n ∴Sn= -4?1- n?+ n-1=4?1- n?-4?1- n?+ n-1= n-1.-------------------12 分 2? 2 2? ? 2? 2 1 2 ? ? 1- 2
解法二:设数列?
?

an ?
n-1?

?2

?

的前 n 项和为 Sn,

1 0 ?1 ? 2 ? 3 2?n S n ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ① 1 2 2 2 2 2 1 1 0 ?1 ? 2 ? 3 2?n Sn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ② 2 2 2 2 2 2 2
①-②得: ??????8 分

1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 2 ? n Sn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2?n ? 1 ? ( ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ) ? n 2 2 2 2 2 2 2

1 1 (1 ? n ?1 ) 2?n 2 ? 1? 2 ? n 1 2 1? 2
? n 2n n 2 n ?1
??????????12 分

∴ Sn ?

21. (本小题满分 12 分) 解: (1)由 S n ?1 ? ∴ S n ?1 ? S n ?

3 3 S n ? 1 ,得 当 n ? 2 时 S n ? S n ?1 ? 1 2 2 3 3 ( S n ? S n ?1 ) , 即 an ?1 ? an 2 2
,∴

an ?1 3 ? ( n ? 2 )-----------3 分 an 2


又 a1 ? 1 ,得 S 2 ?

3 3 a1 ? 1 ? a1 ? a2 , ∴ a2 ? , 2 2 3 的等比数列 2

a2 3 ? 适合上式 a1 2

∴数列 {an } 是首项为 1,公比为 ∴ an ? ( )

3 2

n ?1

------------6 分

(2)∵数列 {an } 是首项为 1,公比为 ∴数列 {

3 的等比数列, 2

2 1 } 是首项为 1,公比为 的等比数列, 3 an

2 1 ? ( )n 3 ? 3[1 ? ( 2 )n ] ∴ Tn ? 2 3 1? 3
又∵ S n ? 2 ? ( ) ? 2 ,∴不等式 Tn <
n

-----------?9 分

3 2

12 sn ? 2

即得: ( ) >

2 3

n

1 , 3
…………12 分

∴n=1 或 n=2

22. (本小题满分 14 分) 解 (1)f′(x) = - 3x2 + 2ax , 要 使 f(x) 在 (0,2) 上 单 调 递 增 , 则 f′(x)≥0 在 (0,2) 上 恒 成 立 , ------------2 分 ∵f′(x)是开口向下的抛物线, ?f′?0?≥0 ? ∴? ,∴a≥3. ------------6 分 ? ?f′?2?=-12+4a≥0 π (2)∵0≤θ≤ ,∴tanθ=-3x2+2ax∈[0,1]. 4 据题意 0≤-3x2+2ax≤1 在(0,1]上恒成立,------------9 分 3 3 由-3x2+2ax≥0,得 a≥ x,a≥ , ------------11 分 2 2 3 1 由-3x2+2ax≤1,得 a≤ x+ . 2 2x 3 1 3 又 x+ ≥ 3(当且仅当 x= 时取“=”), 2 2x 3 ∴a≤ 3 .------------13 分 3 综上,a 的取值范围是2≤a≤ 3. …………14 分


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