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一道高考题在圆锥曲线上的推广


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中学数学杂志( 高中) 2 0 0 7年第 1 期 



道高考题在圆锥曲线上的推广  
湖南省 常德 市第六中学 4 1 5 0 0 3   彭世金 

2 0 0 4年高考湖南卷文( 2 2 ) , 理( 2 1 ) 题:   如图, 过抛 物线  =4 y的对称轴上  任一 点 P ( O , m ) ( m   >0 ) 作直线与抛物 
r  

‘  
; I I I ’ 一

+   ) m]  

2 +   l   ; + 2 . p (   l +   2 ) m  
 

P Xz  

(   l +  2 )? (   l   2 +2 p m )  
= I I l 。 一  

线交于 A ,   两点, 点  Q是点 P关于原点的  对称点 .  



 

x  
: : 

PX 2  

● .   — — — —— — — — — — —— — — — — — —— — — — — —— — ’ 一

. 

! ± .   二  

±  

:1 , 3 、
= .   . 

px 2  

( I ) 设点 P分有向线段  所成的比为  A , 证明: Q p上 ( Q A—A   Q B ) ;   ( Ⅱ) ( 略)   本文将问题 ( I )在圆锥 曲线上进行 推 
广 .  

故  上 (   一 A   ) .   我们知道 , 抛物线  =2 p y 的焦点为( O ,  

号 ) , 准 线 , , = 一 号 与 对 称 轴 的 交 点 为 ( o 。 一  
) , 将 导换成m , 即 得 定 理l 中 的 点P ( o , m )  

定理 1   过抛物线  =2 p y ( p>0 ) 的对 

称轴上任一点 P ( O , m) ( m >0 ) 作直线与抛  物线交于 A ,  两点 , 点 Q是点 P关于原点的  对称点 . 设点 P分有 向线段A  所成的比为  A , 则Q 户上 ( Q  一A   Q   ) :  
证明   因过点 P的直线 与抛物线  =   2 p y相 交 于 A ,   两 点, 设A (   。 , Y 。 ) , B C x 2 ,  
y 2 ) , 直线 A B的方程为 Y=k x+m, 与   =  

和 点 Q ( o , 一 m ) . 椭 圆   2 + 紊 = l ( 双 曲 线  


- b - y   1 )的一个焦点为( 0 , c ) , 相应准线与 

对 称 轴 的 交 点 为 ( o , 譬 ) , 将 c 换 成 m , 即 可 构  
造出点 尸 ( o , m ) 和点 Q ( o ,  ) .将定理 l中  

2 p y 联立 , 消去Y 得  一 2 p  一 2 p m =0 , 所以  
f   l+  2=2 p k ,  
‘  

的抛物线换成椭 圆或双曲线 , P , Q分别换成 

P ( O , m )和点 Q ( O ,  ) , 结论仍然成立 .  
定理 2   过点 P ( O , m ) ( 1   m   l <a , m≠   o ) 作直线与椭 圆   +   =1 ( 口>6>o ) 相 

t x l‘  2=一   m.  

又点P 分有向 线段窟 所成的比为A , 所 
以o=   =一   X l  

点 Q是点 P关于原点的对称点, 故点 Q   的坐标是( O ,一m) , Q p=( 0 , 2 m) , Q  一A  
Q B =(   l , Y l + m)一 A (   2 , Y 2 + m)=(   1 一   A x 2 , Y 1 一 A y 2 +( 1 一 A ) m) , Q 尸? l ( Q a " 一 A Q   )  


交于点 A ,  , 点Q ( o ,  ) , 设点 P分有向线段 
所成的比为 A , 则  上 (   一A   ) .   证明   当直线的斜率不存在时 , 易证结  论成立 .   当直线的斜率存 在时, 设直线 的方程为 
Y   k x + m.  

2 m[ y ? 一A y 2 +( 卜 A ) m ]=2 m [   +% _ x z  

^ .

2  

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中学数学杂志( 高中) 2 0 0 7 年第 1 期 

2 l  

由 {   y = : k + x 口 + :   m   一 口   6   : 。 消 去 y , 得  
( a  +k 2 b   )   +2 b   k m x+6   m  一a 2 b  =0 .  



( , n 一 鲁 ) 【 2   。 + ( , n 一 譬 ) ( 1 +   ) 】  
-  
.  

设A ( 戈 1 , Y 1 ) , 曰 (   2 , Y 2 ) , 则 1 +  2=一  
2 6  
. .   ..  

=  
:  

( m 一   2  

) 】  

b   ( m 2一a 2 )  
。  

?  

2  

又点 P分有向线段  所成的比为 A , 所 

以 o = 皆 , 得 A 一   .  
因为 P ( o , m ) , Q ( O ,   a) , 所以   =( o ,  


【  
:   .  

一 鲁  

】  

m x2  



一 

) ,   一A  

=(   y 。 一  2 )


【 【口    + j }   6  +   。  口   + 矿 6  J 卜o ~ .  
故  上 (   一A   ) .   定理 3 过点 P ( O , m) ( I   ml >a ) 作直 

A (  

y 2 一   )=(   ? 一 A   y l — A y 2 一 a( 1 一 A ) ) ?  


Q — P .(  


一 A  

) = ( m 一  

线与 双曲 线  一 鲁= l ( a , b > o ) 相 交 于点  
A , B , /  ̄Q ( O ,   a) , 设点 P 分有 向线段  所成 
的比为 A , 则Q — — — p上 - + ( Q — — — A—A     Q ? - —   _ ’ )   .  

) 【 y 。 一 A   一   2 ( 1 一 A ) 】 = ( m 一   2 ) .  

【  + m +   (  训 一 1 + 纠 

证 明略 .  

“ 配"中求活  
— —

不等式 a 。+b  ≥ 2 a b的活用  
2 4 7 0 0 0   吴成强 

安徽省贵池 中学  

不等式  + b   ≥2 a b ( 或a + b≥2  口 6 ,   a> O , b > o ) 是—个最基本的不等式, 但它的应 

≥ 

+  

+  

用却十分灵活广泛, 在高考及竞赛中经常出现.   应用这个不等式常常需要作适 当的“ 配”才能  见效, 体现了这一基本不等式应用的灵活性, 本  文从几个方面探究“ 配” 的技巧 .  
1   通过轮 换对 称技 巧来 “ 配”  

证明:   1+   1≥  1  ≥  2   同理  +  



≥ 

2  
,  


+ 



≥ 

2  



三式相加得证 .  

2   通过求得“ 定”和“ 等”来“ 配”  

在应用不等式 口+ 6≥2   6 。 求最值时,   有的问题具有轮换对称的性 质, 通过适  需要满 足三个条 件 , 即“ 一 正、 二 定、 三 相  当的“ 配对 ” , 使 问题迎刃而解 , 这类问题较  等” . 但 往往需要通过适 当的“ 配” 才能达到  多, 仅举一例 .   “ 定” 和“ 等” .   1   1   例1   已知 口 , b , c>0 , 求证 :   +   +  
例2   已知 b  +   a =l ( 口 , b>0 ) ,  


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